Proceedings of the 5 th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June Analysis and selection of the modular block distribution in indentation process by the Upper Bound Theorem C. Bermudo (), F. Martín (), L. Sevilla () () Department of Manufacturing Engineering, University of Malaga. C/ Dr. Ortiz Ramos s/n 97 Málaga SPAIN. bgamboa@uma.es RESUMEN Habiéndose demostrado la mejor adecuación y solución ofrecida por el modelo modular en estudios anteriores, la elección actual se basa en la minimización de la relación adimensional p/k obtenida en cada modelo analizado bajo las mismas condiciones de contorno y esfuerzos para cada caso. En el presente trabajo se muestra el estudio realizado para la elección de la óptima distribución geométrica de bloques, de entre las diferentes contempladas. Se aplica el Teorema del Límite Superior (TLS) mediante Bloques Rígidos Triangulares (BRT), bajo enfoque modular en el proceso de indentación. Se considerarán casos de diferentes espesores con el fin de ampliar la aplicación del modelo. Palabras clave: Teorema del Límite Superior, Bloques Rígidos Triangulares, Indentación, Distribución Modular. ABSTRACT Having established the best adaptation and solution offered by the modular model in previous studies, the current choice is based on the minimization of the p/k dimensionless relation obtained in each model, analyzed under the same boundary conditions and efforts. This paper shows the study for the optimal choice of the geometric distribution of blocks among the different covered. It is applied the Upper Bound Theorem (UBT) by Triangular Rigid Blocks (TRB) under modular distribution to an indentation process. Cases of different thicknesses are considered to extend the application of the model. Keywords: Upper Bound Theorem, Triangular Rigid Blocks, Indentation, Modular Distribution.. Introducción Para lograr la deformación plástica en la mayoría de las aplicaciones tecnológicas, como es el caso de la indentación, es suficientemente válido utilizar un valor aproximado del esfuerzo, sin la necesidad de alcanzar el valor exacto de deformación. Existen distintas técnicas y aplicaciones para calcular esfuerzos aproximados a los esfuerzos necesarios, siendo el Teorema del Límite Superior (TLS) una de ellas. Mediante la aplicación del TLS se obtiene siempre un valor por exceso al real, garantizando así el esfuerzo necesario para llevar a cabo la deformación plástica requerida en todo momento [ ], siendo este el motivo por el cual la aplicación del TLS resulta un método que realiza un planteamiento aproximado, puede ser lo suficientemente acertado y cercano a la realidad para dar una solución sencilla que permita resolver el problema. Se elige dicho proceso porque presenta una complejidad limitada en comparación con otros procesos tradicionales de análisis [], como pueden ser los métodos numéricos, lo que le permite su implementación analítica sin un elevado coste matemático o computacional[5 8]. Dentro de este campo de aplicación, se demuestra que el modelo modular resulta un planteamiento óptimo [9] para la resolución del proceso de indentación. Para el desarrollo del TLS se utilizan bloques rígidos triangulares (BRT) en los que se asume que tanto las tensiones como las deformaciones tienen lugar únicamente en los planos que delimitan cada BRT, puesto que cada punto de cada BRT se desplazará con la misma dirección y misma velocidad, siendo a lo largo de esta discontinuidad donde se producirá el efecto de cizalladura y los cambios en las velocidades []. Mediante el modelo modular, se particulariza esta condición cinemático geométrica y se introducen módulos de no más de tres BRT, lo que permite obtener soluciones más precisas y aumentar
Proceedings of the 5 th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June la capacidad de analizar los diferentes factores que intervienen en el proceso, siempre realizando el estudio bajo la consideración de una deformación plana. En estudios anteriores [] se ha mostrado la capacidad y versatilidad del modelo modular en la aplicación del Teorema del Límite Superior (TLS) mediante Bloques Rígidos Triangulares (BRT) en el caso específico de la indentación, proceso particular de la forja. Mostrando una comparativa con el modelo no modular, el modelo modular presentaba una relación de valores de p/k menor, siendo, por consiguiente, un modelo más adecuado. Al igual que en otros procesos [], el presente estudio desarrolla la aplicación modular y realiza un análisis de adaptación de los módulos para seleccionar la distribución geométrica más adecuada al proceso de deformación en un caso de indentación, con el fin de optimizar la relación adimensional p/k y obtener valores menores más cercanos a los valores reales. Se trabaja siempre bajo condiciones de deformación plana, para las que el TLS es especialmente apto, conociendo que el material opondrá su máxima resistencia cuando τ=k y por tanto el valor de la potencia disipada debido a la energía interna no excederá del valor k s v, siendo s la longitud de la línea de discontinuidad de la velocidad tangencial []. Al igual que en los planteamientos anteriores [9], se centrará el estudio en un cuarto de la pieza debido a la doble simetría impuesta. Con motivo de ampliar el estudio a diferentes espesores del material a conformar, se presentarán los resultados de esta aplicación para modelos con diferentes espesores de valores claramente diferenciados, realizando un estudio del modelo más adecuado en cada caso (Figura ).. Metodología Figura. Identificación del cuarto y zona de estudio en casos de diferente espesor Habiéndose implementado el modelo modular como la solución más adecuada al estudio del proceso de deformación plástica en un caso de indentación [], se considera adecuado continuar el estudio en aras de una mejor adaptación de los módulos y optimización de los datos arrojados por este modelo, así como una ampliación de las dimensiones de la pieza estudiada. En principio se aplicó el procedimiento a una configuración similar al que se puede encontrar en el Ensayo de Ford [], es decir, a una pieza de espesor reducido. Debido a que esta configuración es más aceptable para un proceso de conformado de chapa [], se procedió a ampliar el estudio extendiendo la geometría de la pieza para adaptarla a un proceso de forja. Por ello también se trabajará con una pieza de dimensiones mayores. En la Figura se muestra, para ambos casos, la porción de material estudiada. Figura. Condiciones de contorno de la zona de estudio
Proceedings of the 5 th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June A continuación se van a presentar y analizar las diferentes alternativas de distribución de módulos y de BRT consideradas, a las que se aplicará el TLS una vez desarrollado para cada caso el hodógrafo correspondiente, siempre a partir de campos de velocidades cinemáticamente admisibles, y una vez impuestas las condiciones de contorno inherentes al proceso, que serán comunes en todos los modelos que se van a estudiar. En caso de una pieza de espesor mayor, el rectángulo descenderá, manteniendo la misma proporción, en la dirección del punzón, hasta que su base entre en contacto con la línea de simetría horizontal. En ese momento se irá produciendo una reducción en su altura. El material a la derecha del rectángulo estudiado, es decir, colindante a, se supondrá rígido perfecto, por lo que se verá desplazado proporcionalmente hacia el lateral.. Aproximación El estudio partirá del modelo que se muestra en la Figura, compuesto por un módulo (A) formado por tres BRT y por otro módulo (B) de dos BRT. Se opta por un módulo de solo dos bloques porque de esta forma el modelo se adaptará mejor a la fluencia del material en esa zona. Figura. Aproximación La diferencia entre el estudio de una pieza de espesor reducido y de otra elevado radica en la interpretación de las condiciones internas en la misma. En caso de trabajar con una pieza de espesor reducido, el valor de m será cero ya que debido a la simetría, el bloque inferior se moverá con la misma velocidad y en la misma dirección que el superior. Por el contrario, en caso de una pieza de tamaño considerable, es decir, un espesor elevado, la línea de simetría queda alejada de la porción de material estudiada y por tanto, m será la unidad [5]. A continuación se procede a realizar el análisis del campo de velocidades cinemáticamente admisible y a plantear las ecuaciones referentes a cada módulo para, posteriormente, realizar la media ponderada y obtener los valores finales. Figura. Módulo y hodógrafo A, aproximación Siendo b, h y V valores conocidos y m el rozamiento por adherencia, es posible plantear la siguiente ecuación (Ec.) y resolverla en función de p/k (Ec.): Ec. Resolviendo según la relación de la Figura, se obtiene la Ec.:
Proceedings of the 5 th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June Ec. Seguidamente se procede a realizar el mismo análisis para el módulo B que se muestra en la Figura 5. Figura 5. Módulo y hodógrafo B, aproximación Y resolviendo según la relación anterior, obtenemos la Ec.: Se aprecia que en este caso no existe rozamiento m ya que el módulo no se encuentra en contacto con el punzón y por tanto ese rozamiento herramienta pieza no se incluye en la ecuación.. Aproximación Para el siguiente modelo se procede a realizar una partición del primero módulo para dar paso a dos módulos de dos BRT, similares al módulo B de la aproximación. De esta forma se consigue simplificar la resolución de las ecuaciones de forma considerable. En la Figura 6 se muestra la nueva disposición. En este caso, todos los módulos tienen la misma orientación. Ec. Figura 6. Aproximación Por lo que, al igual que en el modelo anterior, se estudia cada módulo por separado y se obtiene la relación p/k de cada uno de ellos como se muestra a continuación en las Ec. 6: Ec.. Aproximación Por último, se presenta un modelo similar al anterior pero con los módulos reorientados. De este modo, los módulos que se encuentran bajo el punzón tendrán una inclinación hacia la derecha y el módulo que se encuentra libre, la tendrá en sentido contrario, como se aprecia en la Figura 7. Ec.5 Ec.6
Proceedings of the 5 th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June Figura 7. Aproximación Estudiando cada módulo por separado, se obtienen las relaciones p/k necesarias en cada caso (Ec.7 9). Ec.7 Ec.8 Ec.9. Resultados Una vez analizados los modelos por separado se procede a la comparativa para la elección del modelo más adecuado. Para lograr el valor de p/k total, se realiza una media ponderada. Atendiendo al modelo de la aproximación y, la media ponderada será la mostrada en la Ec.: Ec. Aplicando el TLS para valores extremos de rozamiento en función del factor de forma, se obtienen las siguientes gráficas mostradas a continuación. En la Figura 8, el Gráfico, realizado para valores de rozamiento en el punzón nulo (m=) y en el caso de espesores reducidos (m =), los tres modelos coinciden. La concurrencia de los valores cuando no existe rozamiento indica que los tres modelos son semejantes y el planteamiento es correcto. No existe nada que impida la fluencia del material más allá que las mismas propiedades de este y, al trabajar con un material rígido plástico perfecto (RPP) una vez alcanzado el valor de fluencia, no presentará endurecimiento ni discontinuidades en la fluencia. Es al incrementar el valor de rozamiento cuando los modelos presentan diferencias. Para valores de rozamiento máximo trabajando sobre la misma pieza de espesor reducido, mostrados en el Gráfico, se aprecia claramente la diferencia entre los tres modelos. Atendiendo a estos resultados, el modelo correspondiente a la aproximación es el que ofrece valores de p/k sensiblemente menores y, por lo tanto, resulta ser el modelo óptimo para este proceso con estas condiciones de contorno. Sin embargo, cuando se trabaja en el otro extremo del espectro de espesores, es decir, cuando se realiza la indentación sobre una pieza de espesor mayor (m =), los resultados se invierten de la forma en que se aprecia en el Gráfico y. Cuando se considera un rozamiento nulo con la herramienta (m=), el modelo que ofrece los valores menores es la aproximación, siendo la la que ofrece los valores de p/k más altos. Cuando el rozamiento con la herramienta es máximo, vuelven a coincidir los tres modelos. Es interesante apreciar que entre la aproximación y del el Gráfico, la diferencia existente resulta de un cambio de dirección de los módulos y produce una mejora considerable del modelo. Esto es debido al tratamiento del rozamiento herramienta pieza en cada módulo ya que, aunque el rozamiento se encuentra en ambos módulos situados bajo el punzón, en la aproximación el valor de m se incorpora
Proceedings of the 5 th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June en las dos ecuaciones debido al planteamiento geométrico del hodógrafo. Pero en la aproximación el hodógrafo es distinto y en la ecuación del primer módulo no aparecerá el valor del rozamiento. m m m m Gráfico : m= m = Gráfico : m= m = 6 p/k 5 Ap. AP. Ap. 5 6 7 6 5 Gráfico : m= m = p/k Ap. Ap. Ap. 5 6 7 6 5 Gráfico : m= m = p/k p/k Ap. Ap. Ap. 5 6 7 Ap. Ap. Ap. 5 6 7 Figura 8. Resultados de cada modelo según condiciones de contorno Para la completa comprensión de este fenómeno es necesario realizar un estudio más cercano de los dos modelos, concretamente del cambio de dirección incorporado. En la aproximación, el BRT sufre por completo el empuje del punzón hacia abajo y, debido a las condiciones de contorno y del proceso en sí, no cuenta con velocidad absoluta horizontal, únicamente se mueve en la vertical hacia abajo con la misma velocidad del punzón, V, y, por tanto, el rozamiento herramienta pieza no tendrá lugar. En cambio, en la aproximación, este mismo bloque únicamente está en contacto con el punzón por su vértice, siendo el BRT el que reciba en mayor parte el empuje vertical. Además, el BRT recibe el empuje horizontal del BRT y, por tanto, sí tendrá lugar el rozamiento con la herramienta que no aparece en el último modelo. Debido al mismo fenómeno, cuando se trabaja con una pieza de espesores considerables, se aprecia en las gráficas y que se invierten debido a las condiciones de contorno. Donde antes existía un rozamiento máximo (m=) y una simetría (m =), ahora no existirá rozamiento (m=) y la simetría quedará lejana a la parte estudiada (m =), caso que se aprecia mejor en la Figura 9. Además, al comparar todos los resultados en una sola gráfica (Figura ), cuando se tienen las condiciones de contorno opuestas, como sería el caso de rozamiento cero en pieza de espesor reducido (Figura, Ap n*) y rozamiento máximo en pieza de espesores mayores, la aproximación arroja los mismos resultados debido a su configuración uniforme, todos los módulos en la misma dirección, y al tratamiento matemático del mismo. Por lo que se podría determinar que es el modelo más estable de los tres.
Proceedings of the 5 th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June Figura 9. Similitud de rozamiento para la aproximación 6 5 p/k Ap. Ap. Ap. Ap. * Ap. * Ap. *,,,,, 5, 6, 7, Figura. Comparación de todos los modelos en condiciones inversas de m y m. Conclusiones Debido a la introducción de la consideración de una pieza con un espesor considerable, se presentan dos opciones según el proceso que se esté analizando. En el caso de estudiar una pieza con un espesor reducido, el planteamiento o aproximación que arroja los mejores resultados de p/k es la aproximación. Esta se propondría como la más adecuada en un proceso de indentación de esas características, ya que satisface las condiciones iniciales y de contorno, respeta la fluencia de material y ofrece la solución menor para la relación de valores de p/k. En el caso contrario, en el que la pieza de estudio presenta un espesor considerable, entonces el mejor modelo a seguir resultaría de la aplicación de la aproximación. Ésta se propondría como la más adecuada ya que, al igual que la anterior, respeta la fluencia, las condiciones de contorno y arroja los valores de p/k más bajos. Ahora bien, ya que la aproximación presenta los mismos resultados cuando m=, m = y m=, m =, y que cuando se trabaja con un rozamiento mínimo en una pieza de espesor reducido y un rozamiento máximo en una de espesor considerable los tres modelos arrojan los mismos resultados, se podría clasificar a la aproximación como el modelo más estable y aceptable para tratar un proceso de indentación mediante la aplicación del TLS mediante BRT. La aplicación del TLS siempre ofrece valores iguales o mayores a los reales, por tanto, cuanto más se afine el modelo para obtener resultados menores, más se estará acercando al comportamiento real del material. Por lo que en caso de querer afinar el estudio para una pieza de espesor reducido, que serán los menores casos en la realidad, se podrá aplicar la aproximación. Por tanto, la aproximación puede ser descartada para cualquiera de los dos estudios porque siempre presentará resultados mayores, reduciéndose la resolución del problema a la aplicación de dos modelos,
Proceedings of the 5 th Manufacturing Engineering Society International Conference Zaragoza June la aproximación y según el espesor de la pieza a tratar. Cabe destacar que al eliminar los módulos formados por tres BRT y sustituirlos por sólo BRT, se permite una mayor versatilidad a la hora de poder adecuar de forma simple el modelo a futuros estudios de geometría del punzón o de la misma pieza. Por tanto, se han analizado diferentes configuraciones modulares a través de las cuáles se ha determinado la más favorable (con la inclusión de un módulo de diferentes características geométricas), con la que se alcanza un nuevo valor de p/k y, por ende, una mejor aproximación al valor real. 6. Referencias [] G. W. Rowe, Conformado de los metales. Bilbao, 97. [] H. Kudo, An upper bound approach to plane strain forging and extrusion i, International Journal of Mechanical Sciences, vol., pp. 57 8, 96. [] S. Kobayashi, A. G. MacDonald, and E. G. Thomsen, Some aspects of press forging, International Journal of Mechanical Sciences, vol., pp. 8, 96. [] R. Hill, The mathematical theory of plasticity: Oxford Classic Texts in the Physical Sciences, 998. [5] F. J. Olivares, A. M. Camacho, and M. A. Sebastian Perez, Analysis of technological factors in open die forging by comparison of different analysis methods, th Manufacturing Engineering Society International Conference, MESIC,. [6] R. Domingo, A. M. Camacho, E. M. Rubio, and M. A. Sebastian Perez, Mechanical solutions for hot forward extrusion under plane strain conditions by upper bound method, Key Engineering Materials, vol. 67, pp. 8, 8. [7] F. Martín, L. Sevilla, E. M. Rubio, and M. A. Sebastian Perez, Bases para la aplicación del teorema del límite superior en procesos de forja sobre configuraciones geométricas modulares, Proc of the th CISIF MESIC, p. 8, 7. [8] F. Martín, L. Sevilla, and M. A. Sebastian Perez, Implementation of technological and geometrical parameters in forging processes by means of the upper bound element technique, AIP Conference Proceeding, vol. 8(), pp. 55 6, 9. [9] F. Martín, C. Bermudo, and L. Sevilla, Analytical approach to the indentation process. Application of the upper bound element technique, Materials Science Forum, vol. 7, pp. 8,. [] W. F. Hosford and R. M. Caddell, Metal forming: Mechanics and metallurgy: Cambridge University Press,. [] C. Bermudo, F. Martín, and L. Sevilla, Application of the upper bound element technique with triangular rigid blocks in indentation, American Institute of Physics Conference Proceedings, vol., p.,. [] F. Martín, L. Sevilla, and M. A. Sebastian Perez, Optimización de módulos en la aplicación del teorema del límite superior en procesos de forja, Anales de Ingeniería Mecánica,. [] W. F. Chen, Limit analysis and soil plasticity: J. Ross Pub., 7. [] G. E. Dieter, H. A. Kuhn, and S. L. Semiatin, Handbook of workability and process design: Asm International,. [5] F. Fereshteh Saniee, I. Pillinger, and P. Hartley, Friction modelling for the physical simulation of the bulk metal forming processes, Journal of Materials Processing Technology, vol. 5 5, pp. 5 56,.