Este material es de uso exclusivo para clase de algoritmos y estructura de datos, la información de este documento fue tomada textualmente de varios libros por lo que está prohibida su impresión y distribución.
Árboles
Arboles Un árbol es una estructura de datos no lineal formada por un conjunto de nodos. Son estructuras jerárquicas, cada elemento puede tener diferentes siguientes elementos. El concepto de árbol implica una estructura en la que los datos se organizan de modo que los elementos de información están relacionados entre sí a través de ramas
Arboles Un árbol esta compuesto por un conjunto finito de elementos, llamados nodos y un conjunto finito ramas, que conectan a los nodos. En un árbol existe un nodo especial llamado raíz. Así mismo, un nodo del que sale una rama, recibe el nombre de nodo de bifurcación o nodo rama y un nodo que no tiene ramas se le llama nodo hoja
Como se aprecia en la figura cada nodo de un árbol es la raíz de algún subárbol contenido en el. El número de ramas de un nodo recibe el nombre de grado del nodo. El nivel de un nodo respecto al nodo raíz se define diciendo que la raíz tiene el nivel 0 cualquier otro nodo tiene un nivel igual a la distancia de ese nodo al nodo raíz. El máximo de los nivele se denomina altura del árbol. Es útil limitar los arboles en el sentido de que cada nodo sea a lo sumo de grado 2. De esta forma cabe distinguir entre subárbol izquierdo y subárbol derecho de un nodo. Los arboles así formados, se les llama arboles binarios.
Es necesario recordar: Un árbol consta de un conjunto finito de elementos, denominados nodos y un conjunto finito de líneas dirigidas llamadas ramas, que conectan a los nodos. El numero de ramas asociado con un nodo es el grado del nodo. Un árbol es una estructura recursiva (los subarboles se definen como arboles)
Nivel de un nodo es la distancia desde la raíz o la longitud del camino que lo conecta a la raíz. La altura de un árbol es la longitud del camino más largo que conecta la raíz a una hoja.
Un árbol binario es un árbol en el que ningún nodo puede tener más de dos subárboles. En un árbol binario cada nodo puede tener cero, uno o dos hijos (subárboles). Se conoce el nodo de la izquierda como hijo izquierdo y el nodo de la derecha como hijo derecho.
Un árbol binario es una estructura recursiva, existe un nodo denominado raíz. Cada nodo es la raíz de su propio subárbol y tiene 0, 1 o 2 hijos, que son raíces de árboles llamados subárboles derecho e izquierdo del nodo respectivamente. Un árbol binario se divide en tres subconjuntos disjuntos: {R} Nodo raíz {I 1, I 2, I n } Subárbol izquierdo de R {D 1, D 2, D n } Subárbol derecho de R
Imagen de un árbol binario
En cualquier nivel n, un árbol binario puede contener de 1 a 2 n nodos. El número de nodos por nivel contribuye a la densidad del árbol. En la siguiente figura, el árbol de raíz A contiene 8 nodos en una profundidad de 4, mientras que el árbol (B) contiene 5 nodos y una profundidad 5. Este último caso es una forma especial, denominada árbol degenerado, en el que existe un solo nodo hoja y cada nodo no hoja sólo tiene un hijo. Un árbol degenerado es equivalente a una lista enlazada.
La distancia de un nodo a la raíz determina la eficiencia con la que ser localizado. Si dado cualquier nodo de un nodo árbol, a sus hijos se puede llegar siguiendo sólo un camino de bifurcación o de ramas, el que conduce al nodo solicitado. los nodos a nivel 2 de un árbol sólo pueden ser llegar siguiendo un camino de sólo dos ramas del árbol. La información anterior nos conduce a una característica importante de un árbol binario, su balance o equilibrio. Para determinar si un árbol está equilibrado, se calcula su factor de equilibrio. El factor de equilibrio de un árbol binario es la diferencia en altura entre los subárboles derecho e izquierdo. Si so define la altura del subárbol izquierdo como H I y la altura del subárbol derecho como H D, entonces el factor de equilibrio del árbol B, se determina: B = H D -H I
Utilizando esta fórmula el equilibrio del nodo raíz los dos árboles de la figura anterior, (A) -1 y (B) 4. Un árbol está perfectamente equilibrado si su equilibrio o balance es cero y sus subárboles son también perfectamente equilibrados. Dado que esta definición ocurre raramente se aplica una definición alternativa. Un árbol binario está equilibrado si la altura de sus árboles difierenciarse en no más de uno (su factor de equilibrio es -1, 0, +1) y sus subárboles son también equilibrados. Un árbol binario está equilibrado si para cada nodo del árbol la diferencia entre la altura de la rama derecha y, rama izquierda es menor o igual que 1 (en valor absoluto).
Un árbol binario completo de profundidad n es un árbol en el que para cada nivel, del 0 al nivel n-1, tienen un conjunto lleno de nodos y todos los nodos hijo a nivel n ocupan las posiciones más a la izquierda del árbol. Un árbol binario, de profundidad n, completo que contiene 2n nodos a nivel n es un árbol lleno. Un árbol lleno es un árbol binario que tiene el máximo número de entradas para su altura. Esto sucede cuando el último nivel está lleno. En la figura A muestra un árbol binario completo.
Árbol completo de profundidad 4 El último caso de árbol es un tipo especial denominado árbol degenerado en el que hay un solo nodo hoja (E) y cada nodo no hoja sólo tiene un hijo. Un árbol degenerado es equivalente a una lista enlazada.
el árbol de la figura (a) es un árbol degenerado y (b) corresponde con uno lleno.
Los árboles binarios y llenos de profundidad k+1 proporcionan algunos datos matemáticos que es necesario comentar. En cada caso, existe un nodo al nivel 0 (raíz), dos nodos (2 1 ) a nivel 1, cuatro nodos (2 2 ) a nivel 2, etc. Se puede demostrar que a través de los primeros k niveles (del nivel 0 al nivel k-1) hay 2 k -1 nodos, considerando la suma de la progresión geométrica de razón 2: 1 + 2 + 4 +... + 2 k-1 = 2 k -1
A nivel k, el número de nodos adicionados para un árbol completo está en el rango de un mínimo de 1 a un máximo de 2 k (lleno). Con un árbol lleno, el número de nodos es: 1 + 2 + 4 +... + 2 k-1 + 2 k+1-1 El número de nodos n en un árbol binario completo de profundidad k+1 (del nivel 0 al nivel k) cumple la inigualdad: 2 k < n < 2 k+1-1 < 2 k+1 Aplicando logaritmos a la desigualdad anterior: k < log 2 (n) < k + 1
Se deduce que la altura o profundidad de un árbol binario completo de n nodos es: H = Log 2 n + 1 (parte de Log 2 n + 1 Por ejemplo, un árbol lleno de profundidad 4 (niveles 0 a 3) tiene 2 4-1 = 15 nodos.
Existen otros conceptos que definen las características del árbol, en relación a su tamaño: Orden: es el número potencial de hijos que puede tener cada elemento de árbol. De este modo, diremos que un árbol en el que cada nodo puede apuntar a otros dos es de orden dos, si puede apuntar a tres será de orden tres, etc. Grado: el número de hijos que tiene el elemento con más hijos dentro del árbol.
Nivel: se define para cada elemento del árbol como la distancia a la raíz, medida en nodos. El nivel de la raíz es cero y el de sus hijos uno. Así sucesivamente. Altura: la altura de un árbol se define como el nivel del nodo de mayor nivel. Como cada nodo de un árbol puede considerarse a su vez como la raíz de un árbol, también podemos hablar de altura de ramas.
Estructura de un Árbol Binario La estructura de un árbol binario se construye con nodos. Cada nodo debe contener el campo dato (datos a almacenar) y dos campos apuntador, uno al subárbol izquierdo y otro al subárbol derecho, que se conocen como apuntador izquierdo (izquierdo, izdo.) y apuntador derecho (derecho, dcho.) respectivamente. Un valor NULL indica un árbol vacío.
El algoritmo correspondiente a la estructura de un árbol es el siguiente: Nodo subarbolizquierdo datos subarbolderecho Fin Nodo <apuntador a Nodo> <Tipodato> <apuntador a Nodo>
La figura muestra un árbol binario y su estructura en nodos:
Diferentes tipos de representaciones en C Los nodos se pueden representar con un de struct. Suponiendo que el nodo tiene tres campos Datos, Izquierdo (apuntador subárbol izquierdo) y Derecho (apuntador a subárbol derecho): Representación 1 typedef struct nodo *puntero_arbol; struct nodo { } int datos; puntero_arbol hijoizdo, hijodcho;
Representación 2 typedef int TipoElemento; es el tipo de los datos; puede ser cualquier tipo ya definido. struct Nodo { }; TipoElemento dato; struct Nodo *izdo, *dcho; typedef struct Nodo ElementoDeArbolBin; typedef ElementoDeArbolBin *ArbolBinario;
Creación de un Árbol Binario A partir del nodo raíz de un árbol es posible llegar a los demás nodos del árbol; por ello el apuntador que permite llegar al árbol es el que referencia al raíz. La rama izquierda y derecha son a su vez árboles binarios que tienen su raíz, y así recursivamente hasta llegar a las hojas del árbol. La formación del árbol pasa por la creación de cada uno de los nodos y el enlace con el correspondiente nodo padre. Para crear un nodo de un árbol binario, se reserva memoria para el nodo, se asigna el dato al campo de datos y se inicializa los apuntadores izdo y dcho a NULL.
ArbolBinario crearnodo (TipoElemento x) { ArbolBinario a; a = (ArbolBinario) malloc (sizeof(nodo)); a -> dato = x; a -> dcho = a -> izdo = NULL; return a; } La función nuevoarbol ( ) crea un árbol cuya raíz es un nodo nuevo que tiene como campo dato y es pasado como tercer argumento. A su vez, la rama izquierda y derecha del árbol se pasan como segundo y cuarto argumento.
void nuevoarbol (ArbolBinario* raíz, ArbolBinario ramaizqda, TipoElementos x, ArbolBinario ramadrcha) { } *raíz = crearnodo(x); (*raiz) -> izdo = ramaizda; (*raiz) -> dcho = ramadrcha; Como ejemplo: se establece un árbol binario de cadenas de caracteres, siguiendo un esquema secuencial y utilizando la estructura auxiliar Pila:
ArbolBinario raiz, al, a2; Pila pila; nuevoarbol(&al, NULL, "Maria", NULL); nuevoarbol(&a2, NULL, "Rodrigo", NULL); nuevoarbol(&raiz, al, "Esperanza", a2); insertar(&pila, raiz); nuevoarbol(&al, NULL, "Anyora", NULL); nuevoarbol (&a2, NULL, "Abel",NULL); nuevoarbol (&raiz, al', "M Jesus", a2) ; insertar(&pila, raiz) a2 = quitar(&pila); al = quitar(&pila); nuevoarbol (&raiz, al, "Esperanza", a2) ;
Operaciones en Árboles Binarios Es necesario que árbol binario exista, para poder realizar las operaciones sobre el. El hacer uso de una operación u otra dependerá de la aplicación que se le quiera dar al árbol. Las operaciones típicas en árboles binarios son: Determinar su altura. Determinar su número de elementos. Determinar el número de nodos hoja. Hacer una copia. Visualizar el árbol binario en pantalla. Determinar si dos árboles binarios son idénticos. Borrar (eliminar el árbol). Si es un árbol de expresión", evaluar la expresión. Si es un árbol de expresión, obtener la forma de paréntesis de la expresión.
Las operaciones se pueden realizar recorriendo el árbol binario de un modo sistemático. El recorrido de un árbol es la operación de vista al árbol, o lo que es lo mismo, la visita a cada nodo del árbol una vez y sólo una. El recorrido de un árbol es necesario en muchas ocasiones, por ejemplo si se quiere ver la información contenida en cada nodo. Existen diferentes formas de recorrer un árbol.
Profundidad y altura de un árbol binario La profundidad de un árbol binario es una característica que se necesita conocer con frecuencia durante el desarrollo de una aplicación con árboles. La función profundidad ( ) determina la profundidad de un árbol binario. Para ello tiene un parámetro que es un apuntador a la raíz del árbol. El caso más sencillo de cálculo de la profundidad es cuando el árbol está vacío (raiz == NULL, o bien,! raiz) en cuyo caso la profundidad es 0. Si el árbol no está vacío, cada subárbol debe tener su propia profundidad, por lo que se necesita evaluar cada una por separado. Las variables profundidadi, profundidadd almacenan las profundidades de los subárboles izquierdo y derecho respectivamente.
La altura es un concepto similar al de profundidad de un árbol. Un árbol que tiene nodo raíz, se considera que su altura es 1, la altura del árbol: es 2, y la altura del árbol: es 4. Por último, si la altura de un árbol con un nodo es 1, la altura de un árbol vacío (el puntero es NULL) es 0.
Función que determina la altura de un árbol binario de manera recursiva. Se considera que la altura de un árbol vacío es 0; si no está vacío, la altura es 1 + máximo entre las alturas de rama izquierda y derecha. int altura(arbolbinario r) { if (r == NULL) return 0; else return (1 + max(altura(r->izdo), altura(r->dcho))); }
Número de hojas de un árbol binario Muchas aplicaciones se necesita recorrer los nodos de un árbol pero sin tomar en cuenta un orden de recorrido preestablecido. La operación que determina el número de nodos que no tienen descendientes visita cada nodo del árbol comprobando si tiene descendientes, es decir, si es un nodo hoja. La operación con la función contarhojas (); el nodo es hoja sí su rama izquierda como derecha están a NULL, para visitar cada uno de los nodos se utiliza el recorrido en preorden. void contarhojas(arbolbinario r, int* nh) { if (r!= NULL) { contarhojas(r -> izdo, nh); contarhojas(r -> dcho, nh); /* procesar raíz: determinar si es hoja */ if (r->izdo= =NULL && r->dchoa==null) (*nh)++; } }
Eliminar los nodos de un árbol binario Esta operación libera todos los nodos del árbol; se visita cada uno de los nodos para borrar el nodo con la función free( ). El recorrido del árbol se hace de tal forma que asegura la liberación de la memoria ocupada por un nodo después de haber liberado su rama izquierda y derecha. La función eliminarbol(), antes de liberar el nodo se escribe el dato (se supone de tipo entero). void eliminarbol(arbolbinario r) { if (r!= NULL) { eliminarbol(r -> izdo); eliminarbol (r -> dcho); printf ("\tnodo borrado: %d ",r -> dato); free(r) ; } }
Árboles de Expresión Es una secuencia de tokens (componentes de léxicos que siguen unas reglas establecidas). Un token puede ser o bien un operando o bien un operador. La figura representa la expresión infija a * (b + c ) + d junto a su árbol de expresión. El nombre de infija es debido a que los operadores se sitúan entre los operandos. En una primera observación vemos que los paréntesis de la expresión no aparecen en el árbol y esto resulta muy interesante para la evaluación de la expresión. Un árbol de expresión es un árbol binario con las siguientes propiedades: Cada hoja es un operando. Los nodos raíz y nodos internos son operadores. Los subárboles son subexpresiones en las que el nodo raíz es un operador.
Árboles de Expresión Es una secuencia de tokens (componentes de léxicos que siguen unas reglas establecidas). Un token puede ser o bien un operando o bien un operador. La figura representa la expresión infija a * (b + c ) + d junto a su árbol de expresión. El nombre de infija es debido a que los operadores se sitúan entre los operandos. En una primera observación vemos que los paréntesis de la expresión no aparecen en el árbol y esto resulta muy interesante para la evaluación de la expresión. Un árbol de expresión es un árbol binario con las propiedades: 1. Cada hoja es un operando. 2. Los nodos raíz y nodos internos son operadores. 3. Los subárboles son subexpresiones en las que el nodo raíz es un operador.
Los árboles binarios se usan para representar expresiones en memoria; esencialmente, en compiladores de lenguajes de programación. Se muestra el árbol binario de expresión de (a + b) * c. Note: que los paréntesis no se almacenan en el árbol pero están implicados en la forma del árbol
Si todos los operadores tienen dos operandos, se puede representar una expresión con un árbol binario cuya raíz contiene un operador y cuyos subárboles izquierdo y derecho son los operandos izquierdo y derecho. Cada operando puede ser una letra (x, y, a, b, etc.) o una subexpresión representada como un subárbol. En la figura se puede ver cómo el operador que está en la raíz es *, su subárbol izquierdo representa la subexpresión (x + y) y su subárbol derecho representa la subexpresión (a - b). El nodo raíz delsubárbol izquierdo contiene el operador (+) de la subexpresión izquierda y el nodo raíz del subárbol derecho contiene el operador (-) de la subexpresión derecha. Todos los operandos letras se almacenan en nodos hojas. Árbol de expresión (x + y) * (a - b).
Reglas para la Construcción de Árboles de Expresión Los árboles de expresiones se usan para evaluar expresiones usadas en programas. El algoritmo más sencillo para construir un árbol de expresión es aquel que lee una expresión completa que contiene paréntesis en la misma. Una expresión con paréntesis es aquella en que: La prioridad se determina sólo por paréntesis. La expresión completa se sitúa entre paréntesis. A fin de ver la prioridad en las expresiones, considérese la expresión, a * c + e I g - (b + d) Los operadores con prioridad más alta son * y /; es decir, (a * c) + (e I g) - (b + d) Los operadores que siguen en orden de prioridad son + y -, que se evalúan de izquierda a derecha. Por consiguiente, se puede escribir, ((a * c) + (e I g)) - (b + d) Por último la expresión completa entre paréntesis será, (((a*c) + (e/g)) - (b+d))
El algoritmo para la construcción de un árbol de expresión se expresa en los siguientes pasos: La primera vez que se encuentra un paréntesis a izquierda, crea un nodo y lo hace en el nodo raíz. Se llama a éste, el nodo actual y se sitúa su apuntador en una pila. Cada vez que se encuentre un nuevo paréntesis a izquierda, crear un nuevo nodo. Si el nodo actual no tiene un hijo izquierdo, hacer al nuevo nodo el hijo izquierdo; en caso contrario, se crea el hijo derecho. Hacer el nuevo nodo el nodo actual y situar su apuntador en la pila.
Cuando se encuentra un operando, crear un nuevo nodo y asignar el operando a su campo de datos. Si el nodo actual no tiene un hijo izquierdo, crea al nuevo nodo el hijo izquierdo; en caso contrario, crea el hijo derecho. Cuando se encuentra un operador, sacar un apuntador de la pila y situar el operador en el campo datos del nodo del apuntador. Ignora los paréntesis derecho y blancos.
Recorrido de un árbol Para consultar los datos almacenados en un árbol se necesita recorrer el árbol o visitar los nodos del mismo. Al contrario que las listas enlazadas, los árboles binarios no tienen un primer valor, un segundo valor, tercer valor, etc. Se puede afirmar que el raíz viene el primero, pero quién viene a continuación? Existen diferentes métodos de recorrido de árbol ya que la mayoría de las aplicaciones binarias son bastante sensibles al orden en el que se visitan los nodos, de forma que será necesario definir el tipo de recorrido. Un recorrido de un árbol binario requiere que cada nodo del árbol sea procesado (visitado) una vez y sólo una, en una secuencia predeterminada. Existen dos enfoques generales para la secuencia de recorrido, profundidad y anchura.
En el recorrido en profundidad, el proceso exige un camino desde el raíz a través de un hijo, al descendiente más lejano del primer hijo antes de proseguir a un segundo hijo. En otras palabras, en el recorrido en profundidad, todos los descendientes de un hijo se procesan antes del siguiente hijo. En el recorrido a lo ancho, el proceso se realiza horizontalmente desde el raíz a todos sus hijos, y enseguida a los hijos de sus hijos y así sucesivamente hasta que todos los nodos han sido visitados. En este recorrido cada nivel se procesa totalmente antes de que pase al siguiente nivel. Dado un árbol binario que consta de un raíz, un subárbol izquierdo y un subárbol derecho se pueden definir tres tipos de secuencia de recorrido en profundidad.
Recorrido en Preorden El recorrido preorden 2 (NID) conlleva los siguientes pasos, en los que el raíz va antes que los subárboles: Recorrer el raíz (N) Recorrer el subárbol izquierdo (I) en preorden. Recorrer el subárbol derecho (D) en preorden. Regla( En el recorrido preorder el raíz se procesa antes que-los subárboles izquierdo y derecho.) Dado las características recursivas de los árboles y la definición recursiva del recorrido, el algoritmo tiene naturaleza recursiva. Primero, se procesa la raíz, a continuación el subárbol izquierdo y a continuación el subárbol derecho. Para procesar el subárbol izquierdo, se hace una llamada recursiva al recorrido preorden y luego se hace lo mismo con el subárbol derecho.
Preorden
Recorrido en Inorder (orden) El recorrido en orden (inorder) visita primero el subárbol izquierdo, después el raíz y a continuación el subárbol derecho. El significado de in es que la raíz se procesa entre los subárboles. Sí el árbol no está vacío, el método implica los siguientes pasos: 1. Recorrer el subárbol izquierdo,(i)en inorden. 2. Visitar el nodo raíz (N). 3. Recorrer el subárbol derecho (D) en inorden.
En el árbol de la figura siguiente, los nodos se han numerado en el orden en que son visitados durante el recorrido inorden. El primer subárbol recorrido es el subárbol izquierdo del nodo raíz (árbol cuyo nodo contiene la letra E). Este subárbol consta de los nodos B,D y E, es a su vez otro árbol con el nodo B como raíz, por lo que siguiendo el orden IND, se visita primero D, a continuación B (nodo raíz) y por último E (derecha).
Después para el subárbol izquierdo se visita el nodo raíz A y por último se visita el subárbol derecho que consta de los nodos C,F y G. Siguiendo el orden IND para el subárbol derecho, se visita primero F, después C (nodo raíz) y por último G. Entonces el orden del recorrido inorden del árbol de la figura, es D-B-E-A-F-C-G.
Recorrido en Postorden El recorrido postorden (IDN) visita el nodo raíz (post) después de que los subárboles izquierdo y derecho se han visitados. Se inicia situándose en la hoja más a la izquierda y se procesa. Después se visita su subárbol derecho. Por último se visista el nodo raíz. Las etapas del algoritmo son: 1. Recorrer el subárbol izquierdo (I) en postorden. 2. Recorrer el subárbol derecho (D) en postorden. 3. Visitar el nodo raíz (N) Recorriendo en postorden el árbol de la figura siguiente se visita primero el subárbol izquierdo de A. Este subárbol lo forman de los nodos B,D y E; siguiendo el orden IDN, se visitará primero D(izquierdo), luego E (derecho) y por último B(nodo). Enseguida se visita el subárbol derecho de A que esta formado por los nodos C, F y G. Siguiendo el orden IDN para este árbol, se visita primero F (izquierdo), después G(derecho) y por último C (nodo). Al final se visita el nodo raíz A.
La secuencia de nodos que determina el recorrido en postorden del árbol de la figura, es: D-E-B-F-G-C-A.
Árbol Binario de Búsqueda Los árboles binarios ordenados se disponen siguiendo un cierto orden, respecto de un campo clave, de tal forma que para cualquier subárbol, los nodos de la rama izquierda son menores que el raíz, y los nodos de la rama derecha son mayores que el raíz. Los elementos de un árbol ordenado pueden ser eficientemente localizados, se utiliza un algoritmo de búsqueda binaria similar al empleado en arrays. Un árbol binario de búsqueda es aquel en el que dado un nodo, todos los datos del subárbol izquierdo son menores que el dato de ese nodo, mientras que todos los datos del subárbol derecho son mayores que el dato del nodo.
Creación de un Árbol Binario de Búsqueda El árbol binario de búsqueda se construye teniendo en cuenta las siguientes supuestos: El primer elemento se utiliza para crear el nodo raíz del árbol. Los valores que guarda cada nodo del árbol deben ser tales que pueda existir un orden. Es decir, debe existir un campo (entero, real, carácter, cadena) respecto del cual se establece el orden del árbol. En cualquier nodo todos los valores del subárbol izquierdo del nodo son menores al valor del nodo. De modo similar, todos los valores del subárbol derecha deben ser mayores que los valores del nodo. Con estas condiciones es sencillo probar que el recorrido inorden del árbol produce una secuencia de valores en orden ascendente. Por ejemplo, el árbol de búsqueda de caracteres, los tres tipos de recorrido para el árbol:
inorden preorden postorden C E F G N P R T N E C G F P T R C F G E R T P N