Herramientas básicas de Matemática Financiera

UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CÁTEDRA: SISTEMAS DE INFORMACIÓN CONTABLE II ( B ) SERIE DE CUADERNILLOS CONTABLES Coordinador: Mgter. Gustavo Sader Cuadernillo Nº 4 Tema: Herramientas básicas de Matemática Financiera Autores: Mgter. Cecilia R. FICCO - Cr. Carlos O. DOMÍNGUEZ ÍNDICE DE TEMAS: QUÉ ES EL VALOR? VALUACIÓN Y MEDICIÓN EN CONTABILIDAD EL VALOR TIEMPO DEL DINERO MONTO INTERÉS TASA EFECTIVA DE INTERÉS INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO OPERACIONES FINANCIERAS EQUIVALENTES - TASAS EFECTIVAS DE INTERÉS EQUIVALENTES UN CASO PARTICULAR: LA TASA NOMINAL ANUAL DE INTERÉS CAPITALIZACIÓN Y ACTUALIZACIÓN INTERÉS Y DESCUENTO LA TASA EFECTIVA DE DESCUENTO: SU RELACIÓN CON LA TASA DE INTERÉS TASAS DE DESCUENTO EQUIVALENTES LA TASA INTERNA DE RETORNO -TIR- Página 1

QUÉ ES EL VALOR? Existen muchas interpretaciones del valor, sin embargo, desde el punto de vista económico, puede decirse que el valor es el grado de utilidad o aptitud de las cosas para proporcionar bienestar o deleite o para satisfacer necesidades. El valor expresa un juicio que el hombre hace en relación a los bienes que necesita para satisfacer sus necesidades. Valorar un bien es señalar la estimación numérica que relaciona condiciones, circunstancias y usos que se hace del mismo. Es importante aclarar que aunque esa estimación numérica se encuentre expresada en dinero, no debe confundirse el valor de un bien con su precio. En realidad, el valor es diferente del precio y del costo de los bienes. El precio es el valor en el que estarían de acuerdo un comprador y un vendedor a la hora de hacer una transacción, es decir, lo que se paga por el bien en el mercado. Y el costo de un bien es una medida de la cuantía de recursos empleados para producirlo. En esencia, y resumiendo mucho, el valor de las cosas está asociado a dos elementos básicos: la utilidad de los bienes para el usuario de los mismos y el costo de obtención de dichos bienes, los cuales han de ser conjugados en el mercado, normalmente a través de la oferta y la demanda, donde debe jugar un papel muy importante el grado de escasez de los bienes. Así pues, el valor es una función directa de todas estas variables: utilidad, costo, escasez. VALUACIÓN Y MEDICIÓN EN CONTABILIDAD La valuación es el proceso por el cual se trata de asignar valor a las cosas, es decir, de determinar el grado de utilidad que la cosa reportará a sus usuarios o propietarios. Página 2

La Contabilidad posee entre sus objetivos el de valuar, es decir, asignar valor a los recursos, sus cambios y resultados. Pero, cómo se realiza la valuación de los recursos en la Contabilidad? A través de un atributo específico que responda al que requiere el usuario de la información contable para satisfacer sus necesidades, el cual puede o no ser cuantificable monetariamente. Para citar un ejemplo, un Bien de Uso se podría valuar según: - lo desembolsado en el momento de la adquisición, - los recursos necesarios para sustituirlo, - la capacidad física para producir, - otros. Cuál de estos atributos debe elegirse? El que responda a las necesidades del usuario de la información contable. La valuación en Contabilidad significa asignar valor numérico a los recursos, acontecimientos o servicios relativos a un ente. Cuando éstos se valoran en función del dinero se produce la medición. Medición es cuantificar monetariamente el significado económico de un elemento patrimonial. En la medición contable existen dos cuestiones claves: la unidad de medida que se utiliza, a saber: - moneda de curso legal - moneda homogénea los valores que se consideren, que pueden ser -de acuerdo al momento al que se refieran-: - valores pasados, vinculados al costo o sacrificio económico que es necesario realizar para obtener el activo que se mide o el que será necesario aplicar para cancelar el pasivo correspondiente. - valores presentes, que buscan asignar a los elementos del patrimonio la riqueza que representa en ese momento, considerando la riqueza disponible a su valor presente y los créditos y deudas a su valor actual. Página 3

- valores futuros, están expresados en moneda del futuro; generalmente están referidos a créditos y deudas. EL VALOR TIEMPO DEL DINERO Hay una preferencia por recibir hoy la misma cantidad de bienes o servicios que en el futuro. En otras palabras, podría decirse que valoramos en mayor medida un bien o servicio cuanto más pronto podamos utilizarlo o consumirlo. Lo dicho también es válido para el dinero y por ello hablamos del valor tiempo del dinero. Ahora bien, por qué existe esa preferencia?: por razones de riesgo y, también, de rentabilidad (aún en contextos sin inflación). En este marco, llamamos: CAPITAL: valor económico de los bienes y servicios presentes destinados a la producción de nueva riqueza, o disponibles para su consumo, en un momento determinado. MONTO: valor de los bienes futuros que se recibirán a cambio. INTERÉS: acrecentamiento del capital en el tiempo. OPERACIÓN FINANCIERA: es aquella en la que se cambian capitales no simultáneos, es decir, capitales disponibles en un momento por otros disponibles o a disponer en momentos distintos. Estos conceptos están dados en sentido amplio. Tradicionalmente, en Matemática Financiera, se ha llamado CAPITAL a una suma de dinero otorgada en préstamo o al importe financiado en una venta a plazo, e INTERÉS a la retribución por el uso del capital ajeno. Página 4

MONTO INTERÉS TASA EFECTIVA DE INTERÉS En el campo financiero existe un postulado fundamental que establece que "todo capital colocado a interés crece continuamente". De esta forma, el capital, al devengar intereses en forma continua, va creciendo con el transcurso del tiempo. Es decir, el capital colocado a interés crece con el transcurso del tiempo, y ello se debe a que va generando interés en forma continua. Así, denominamos MONTO al... "... valor que asume el capital después de transcurrido un cierto período de tiempo; y ese valor está constituido por el capital inicial más los intereses". Podemos afirmar, entonces, que el INTERÉS es... "... el incremento de un capital inicial en un período de tiempo". Ahora bien, ese incremento del capital (o interés) que, como dijimos, se devenga en forma continua a través del tiempo, por razones prácticas se mide en intervalos discretos de tiempo, para lo cual, en toda operación financiera, se establece un período de tiempo para medir el crecimiento del capital, al cual denominamos unidad de tiempo. Específicamente, la unidad de tiempo puede definirse como el período al final del cual los intereses devengados son medidos, ya sea para ser "pagados o cobrados", o bien, para ser "capitalizados" (léase, sumados al capital inicial para generar junto a él nuevos intereses). Estamos ahora en condiciones de decir que se llama TASA EFECTIVA DE INTERÉS (O TASA DE INTERÉS)... "... al interés realmente producido por la unidad de moneda en la unidad de tiempo". Es decir, la tasa efectiva de interés mide, al final de la unidad de tiempo, el crecimiento de la unidad de moneda (en nuestro país $ 1), el cual se ha producido en forma continua a lo largo de toda la unidad. La tasa efectiva de interés es, en definitiva, la herramienta que se utiliza, en la práctica, para capitalizar o pagar los intereses. Página 5

Si volvemos ahora sobre el concepto de monto, a la luz de los demás elementos que hemos definido, podemos decir que el monto depende del capital inicial, del tiempo y de la fuerza de crecimiento del capital, la cual en la práctica se mide - como ya dijimos- a través de la tasa de interés. Así, podemos escribir una expresión algebraica para el monto: M = CI (1 + i) t Donde: CI = capital inicial M = monto al final del período de la operación i = tasa de interés de la unidad de tiempo t = número de unidades de tiempo comprendidas en el período de la operación. ACTIVIDADES PROPUESTAS 1- Cuál es el monto que se forma al cabo de 5 años si se deposita un capital inicial de $ 10.000 a una tasa de interés mensual del 0,08, siendo la capitalización mensual?. 2- Cuál es el monto que se forma al cabo de 3 años y 6 meses si se deposita un capital inicial de $ 3.000, con capitalización trimestral, a una tasa de interés del 0,12 trimestral?. Cálculo de la tasa de interés y del tiempo: Puede ocurrir que, para una determinada operación financiera, se conozca el monto (M) que se desea formar, el capital inicial (CI) y el tiempo durante el cual ese capital tiene que estar colocado a interés, siendo la tasa de interés una incógnita. Para resolver esta cuestión se parte de la ecuación anterior (fórmula del monto) y se despeja i, del siguiente modo: i M t = 1/ CI 1 De igual manera, puede ocurrir que se conozca el monto (M) que se quiere formar, el capital inicial (CI) y la tasa de interés (i) que se paga en la operación financiera, siendo necesario averiguar Página 6

durante cuánto tiempo tiene que estar depositado a interés ese capital inicial, para lo cual también debe partirse de la fórmula del monto y despejar el valor de t mediante pasos algebraicos, siendo: t = log log M CI ( 1 + i ) ACTIVIDADES PROPUESTAS 3- Ud. contrajo una deuda de $ 15.000 por la cual le exigen pagar $ 20.158,75 al cabo de 10 meses. Cuál es la tasa efectiva de interés mensual que le cobran?. 4- Durante cuánto tiempo debe estar colocado un capital inicial de $ 2.000 a una tasa de interés del 0,06 cuatrimestral si se desea obtener un monto de $ 2.382,03?. INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO En las operaciones financieras existen dos formas básicas de operar: - retirando los intereses generados al final de cada unidad de tiempo, en cuyo caso se obtiene el interés simple, o - capitalizando los intereses al final de cada unidad de tiempo, en cuyo caso lo que se tiene es el interés compuesto. Si se coloca a interés un capital inicial CI durante un período que comprende n unidades de tiempo y se fija para la operación una tasa de interés i, al final de la primera unidad de tiempo se tendrá el monto M del capital CI, que estará constituido por dicho capital más los intereses por él generados en la unidad de tiempo. Así, en cualquiera de las dos formas de operar, se tendrá M 1 = CI + CI i = CI (1 + i). Sin embargo, a partir de la segunda unidad de tiempo la situación cambia según se trate de una operación a interés simple o de una a interés compuesto. Veamos qué sucede si los intereses no se retiran al final de la primera unidad de tiempo. En este caso, al comienzo de la segunda unidad de tiempo el capital que se colocará a interés es Página 7

M 1 = CI (1 + i), y al final de dicha unidad de tiempo se tendrá M 1 más sus intereses calculados a la tasa i, es decir: M 2 = CI (1 + i) + CI (1 + i) i = CI (1 + i) 2. De la misma forma, al comienzo de la tercera unidad de tiempo se tendrá M 2 = CI (1 + i) 2 y al final de dicha unidad de tiempo se obtendrá M 3 = CI (1 + i) 2 + CI (1 + i) 2 i = CI (1 + i) 3. Y así al final de las n unidades de tiempo el monto de CI será... M = CI (1 + i) n, que es la fórmula de monto a interés compuesto Si, en cambio, los intereses CI i que se han generado al final de la primera unidad de tiempo se retiran (es decir, se pagan), al comienzo de la segunda unidad se tiene nuevamente el capital CI, como si se iniciara una nueva operación. De esta manera, al final de la segunda unidad de tiempo se tendrá M 2 = CI + CI i = CI (1 + i), que también será el monto al final de cada una de las siguientes unidades de tiempo si los intereses se siguen retirando. En este caso, entonces, los intereses retirados al final de cada unidad de tiempo son siempre iguales a CI i. La suma algebraica de todos los intereses ganados durante el período de la operación da como resultado el interés simple, que es I = CI i n. Ahora bien, dicha fórmula no muestra el "valor" de todos los intereses al final de las n unidades de tiempo, sino la simple suma algebraica de los intereses producidos por el capital inicial al final de cada una de las unidades de tiempo. Y ello se debe a que, desde el punto de vista financiero, no es correcto sumar cantidades ubicadas en distintos momentos de tiempo que, por lo tanto, no son financieramente homogéneas. La suma del capital inicial y el total de intereses simples permite obtener el "mal llamado" monto a interés simple, que es... M = CI + CI i n = CI (1 + i n) En función de lo expresado anteriormente se puede advertir que dicha fórmula es financieramente incorrecta, ya que en ella se suman intereses que están ubicados en diferentes momentos del tiempo. Para operar correctamente es necesario trasladar cada uno de los intereses al final del período de tiempo de la operación, es decir, al momento n. Y si se trasladan los intereses en el tiempo el monto a interés simple asume el siguiente valor: M = CI (1 + i) n, que es el monto a interés compuesto. Página 8

Se concluye entonces que: - las operaciones a interés simple existen, siempre que los intereses producidos se retiren al final de cada unidad de tiempo; - y en dichas operaciones el rendimiento por unidad de capital y por unidad de tiempo es la tasa i pactada; - sin embargo, lo que no existe es el monto a interés simple cuando se trabaja con más de una unidad de tiempo; - solamente hay un monto, que es el monto a interés compuesto. ACTIVIDADES PROPUESTAS 5- Si se depositan $ 10.000 a una tasa efectiva de interés del 0,02 mensual y la operación se pacta a interés compuesto, cuál es el monto que recibirá el depositante si la operación se realiza... a) por un lapso de dos meses?. b) por un lapso de dos años?. 6- Si los $ 10.000 de la operación anterior fueran depositados al 0,02 mensual pero a interés simple: a) Cuál sería el importe del llamado monto a interés simple si la operación se realiza por un plazo de dos meses?. b) Y si se realizara a dos años de plazo?. OPERACIONES FINANCIERAS EQUIVALENTES - TASAS EFECTIVAS DE INTERÉS EQUIVALENTES Qué le resulta más conveniente a un inversor que dispone de $ 1.000? 1. Colocar a interés $ 1.000 durante un año a una tasa de interés del 0,015 mensual, o 2. Colocar a interés $ 1.000, también durante un año, pero a una tasa de interés del 0,030225 bimestral. Para averiguarlo, calculemos el monto que se genera, al cabo del año, en cada una de las dos alternativas: Página 9

1. M = 1000 (1,015) 12 = $ 1.195,60 2. M = 1000 (1,030225) 6 = $ 1.195,60 Como vemos, es posible concluir que es indistinto hacer una colocación u otra, ya que en ambos casos se colocan $ 1.000 y al cabo de un año se obtiene igual monto: $ 1.195,60. Y esto se debe a que ambas operaciones financieras son equivalentes. Podemos decir, entonces, que las OPERACIONES FINANCIERAS EQUIVALENTES son... "... aquellas que con la misma unidad de capital producen el mismo monto al cabo del mismo período de tiempo pero con distintas unidades de tiempo". Ahora bien, debemos remarcar otra cuestión importante: que las tasas que intervienen en las operaciones financieras equivalentes se llaman TASAS EQUIVALENTES. En el caso planteado anteriormente la tasa efectiva del 0,015 mensual es equivalente al 0,030225 bimestral. Pero, cómo obtenemos tasas efectivas equivalentes? Las podemos obtener respetando la relación que existe entre las mismas, la cual está dada por: i = (1 + j) 1 / m - 1 y j = (1 + i) m - 1 Donde: i = tasa efectiva de interés de la unidad de tiempo menor j = tasa efectiva de interés de la unidad de tiempo mayor m = número de veces que la unidad de tiempo menor está contenida en la unidad de tiempo mayor (referida a las tasas) Página 10

Veámoslo a través de un ejemplo utilizando los datos del caso que venimos desarrollando: i = (1 + 0,030225) 1 / 2-1 = 0,015 y j = (1 + 0,015) 2-1 = 0,030225 Fácilmente podes notar que j > m.i ya que 0,030225 > 2 x 0,015. Por lo que podemos concluir que LAS TASAS EFECTIVAS DE INTERÉS EQUIVALENTES NO SON PROPORCIONALES A LAS UNIDADES DE TIEMPO. ACTIVIDADES PROPUESTAS 7- Calcule las tasas efectivas anuales equivalentes a: a) una tasa efectiva trimestral del 0,08. b) una tasa efectiva diaria del 0,003. c) una tasa efectiva para 45 días del 0,09. 8- Calcule las tasas equivalentes a una tasa efectiva anual del 0,75 para: a) un mes. b) 30 días. c) un semestre. d) 180 días. UN CASO PARTICULAR: LA TASA NOMINAL ANUAL DE INTERÉS La tasa nominal anual de interés surge por la costumbre que existe en nuestro país de fijar, en las operaciones financieras, una tasa de interés anual y la unidad de tiempo en subperíodos del año, efectuando la capitalización o el pago de los intereses con una tasa proporcional. Así, por ejemplo, se menciona una tasa del 0,12 anual con capitalización mensual y, para realizar la operación financiera, se utiliza una tasa mensual (i) que no es la equivalente al 0,12 anual mencionado, sino que es una tasa proporcional al 0,12 anual, que está dada por 012, = 001, 12 mensual. Esta forma de operar determina una modificación en el rendimiento de la operación, ya que si se utiliza el 0,01 mensual para efectuar la misma, la verdadera tasa de interés anual que rige la Página 11

operación será la tasa equivalente anual al 0,01 mensual, que está dada por (1 + 0,01) 12-1 = 0,12683 anual, que es mayor que el 0,12 anual citado. Esta tasa proporcional expresada en términos de año (en el ejemplo: 0,12 anual) se denomina TASA NOMINAL ANUAL (TNA), siendo: TNA = i. m de donde podemos deducir que i, o sea, la verdadera tasa de interés que rige la operación y que corresponde a la unidad de tiempo más pequeña, es igual a: i = TNA m Siendo, en ambos casos: m = número de veces que la unidad de tiempo menor está contenida en la unidad de tiempo mayor (referida a las tasas). En definitiva, cuando se opera del modo que se acaba de explicar, la tasa de interés del subperíodo que constituye la unidad de tiempo de la operación (i) y la tasa nominal anual (TNA) son proporcionales a las magnitudes de las respectivas unidades de tiempo en que están expresadas, y no son equivalentes financieramente. Es por ello que la tasa anual mencionada no es la verdadera tasa anual que rige la operación, sino que es menor a ella. La verdadera tasa anual se determina calculando la tasa equivalente (no proporcional) anual a la tasa que corresponde al subperíodo del año. ACTIVIDAD PROPUESTA 9- Un depósito a plazo fijo de $ 5.000 por 30 días se realiza con una tasa nominal anual del 36,5 %. Determine: a) El monto que retirará el depositante a los 30 días. b) La verdadera tasa de interés para 30 días y anual que rigió la operación. Página 12

CAPITALIZACIÓN Y ACTUALIZACIÓN Retomemos ahora la expresión algebraica que habíamos presentado para el monto: M = CI (1 + i) t en la cual M representa el valor de CI después de transcurridas t unidades de tiempo. En dicha expresión haremos u = 1 + i y llamaremos factor de capitalización u t = (1 + i) t. Fácilmente podemos advertir el efecto que produce este factor de capitalización: a cualquier capital multiplicado por el factor de capitalización se traslada en el tiempo en sentido positivo, al final del período t-ésimo. Así, podemos afirmar que la CAPITALIZACIÓN es......la operación que permite calcular el monto o valor final de un capital inicial. La operación inversa a la capitalización se denomina ACTUALIZACIÓN, la cual...... permite calcular el capital inicial conociendo el monto o valor final. Así, si partimos de la fórmula del monto y despejamos el valor del capital inicial, tenemos: CI = M t ( 1 + i ) = M 1 1 + i t CI es el capital inicial de un valor que está colocado en el futuro. O sea, CI es el valor actual de M y vemos que puede obtenerse multiplicando al capital final M por Si hacemos 1 v 1+ i = siguiente modo: CI = M v t. t 1 i 1+ y reemplazamos en la fórmula anterior, el capital inicial puede obtenerse del. Página 13

Y es precisamente v t = u -t 1 = i 1+ t lo que llamamos factor de actualización. al multiplicar un capital por el factor de actualización, éste se traslada en el tiempo en sentido negativo, desde el futuro hacia el presente o desde el presente hacia el pasado. Dos son las operaciones fundamentales que existen en el campo financiero: la CAPITALIZACION y la ACTUALIZACION ACTIVIDAD PROPUESTA 10- Una deuda debía saldarse en 3 cuotas mensuales crecientes mes a mes en $ 500, siendo la primera de ellas de $ 1.500. El deudor no pagó ninguna cuota y, dos meses después del vencimiento de la última, se presentó ante el acreedor a regularizar su situación. Cuánto debe pagar en ese momento para saldar totalmente su deuda si la tasa de interés que le cobran es del 12,683 % anual?. INTERÉS Y DESCUENTO Una de las aplicaciones que tiene la actualización es la operación financiera de descuento de documentos. Supongamos que una persona es propietaria de un documento por un cierto valor nominal (VN) que se hará efectivo recién al final de un período dado y que quiere disponer de ese valor nominal hoy. Ello es factible, pero quien recibe el documento le dará en préstamo una suma inferior al valor escrito en el documento: el valor actual (VA) del mismo. De esta manera, el VN del documento indica el importe del capital prestado más los intereses que se pagarán por él. Veamos un caso práctico: un señor se dirige a un banco a descontar un documento de $ 1.000 que vence dentro de 3 meses. El banco le adelanta, (es decir, le presta) el valor actual del documento y le cobra una tasa de interés del 0,15 (15 %) mensual. Para determinar el importe que entregará el banco debe procederse así: VA = VN v t = 1.000 3 1 1+ 0, 15 = $ 657,52 Página 14

En este caso el descuento realizado por el banco ha sido: Descuento = VN VA = 1.000 657,52 = $ 342,48 Consideremos ahora otra operación financiera y supongamos que vamos al banco a pedir un préstamo de $ 657,52 a devolver al cabo de 3 meses siendo la tasa de interés mensual con que opera el banco del 0,15 (15 %) mensual. El importe a devolver al cabo de 3 meses será: M = CI (1 + i) t = CI u t = 657,52 (1 + 0,15) 3 = $ 1.000 Y el interés cobrado por el banco es: Interés = M CI = 1.000 657,52 = $ 342,48 Sobre la base de estos dos ejemplos es posible afirmar que el Interés es igual al Descuento. Y ello es así no sólo porque tienen el mismo valor; sino porque, además, están ubicados en el mismo momento de tiempo: ambos se pagan al final del período de la operación. Porque, en realidad, cuando se hace una operación de descuento de documento los que hace el banco es dar un préstamo que debe pagarse a la fecha que vence el pagaré y cuando se paga el valor nominal del documento se está abonando la cantidad que presta el banco más el descuento. Esto nos permite afirmar que el descuento, o sea el interés, no es pagado al comienzo sino al final del período de la operación. Y con los intereses ocurre lo mismo, se abonan al final del período, ya que para que un capital genere intereses, necesariamente, debe transcurrir el tiempo. En consecuencia: El INTERES y el DESCUENTO son IGUALES, ya que sus valores son iguales y están ubicados en el mismo momento de tiempo. Página 15

LA TASA EFECTIVA DE DESCUENTO: SU RELACIÓN CON LA TASA DE INTERÉS TASAS DE DESCUENTO EQUIVALENTES A pesar de que el interés es igual al descuento, la tasa de interés no es igual a la tasa de descuento (o tasa efectiva de descuento), ya que las tasas mencionadas se refieren a unidades de capital ubicadas en distintos momentos de tiempo. La tasa de interés es el interés (o descuento) de una unidad de capital inicial en una unidad de tiempo La tasa de descuento es el descuento (o interés) de una unidad de capital final en una unidad de tiempo. Sin embargo, ambas tasas se encuentran relacionadas, siendo entonces: d i d = i = 1+ i 1 d Así, por ejemplo, si la tasa de interés es del 0,15 mensual, la tasa de descuento correspondiente a ella es: 0, 15 d = = 0, 130435 mensual 1+ 0, 15 Y si partimos de una tasa de descuento del 0,20 semestral, la tasa de interés correspondiente a ella es: 0, 20 i = = 0, 25 semestral 1 0, 20 Al igual que en el caso de la tasa efectiva de interés, es necesario mencionar que así como existen tasas efectivas equivalentes de interés, existen TASAS EFECTIVAS EQUIVALENTES DE DESCUENTO, siendo éstas las que verifican entre ellas la siguiente relación: d = 1 - (1 - g) 1 / m y g = 1 - (1 - d) m Página 16

Donde: d = tasa efectiva de descuento de la unidad de tiempo menor g = tasa efectiva de descuento de la unidad de tiempo mayor m = número de veces que la unidad de tiempo menor está contenida en la unidad de tiempo mayor (referida a las tasas) ACTIVIDAD PROPUESTA 11- Si una operación financiera se realizó a una tasa de interés del 0,03 para 30 días: a) Cuál es la tasa efectiva de descuento para 30 días de la operación?. b) Y la tasa efectiva de descuento para 180 días?. Aclaración final: Recordando la fórmula del monto y considerando las relaciones anteriores, es fácil advertir que resulta posible expresar al monto en función de la tasa de descuento y también a la fórmula del valor actual en función de la misma tasa. Es decir,...... en las dos operaciones financieras fundamentales, capitalización y actualización, se pueden utilizar indistintamente la tasa de interés o la tasa de descuento, siempre que las mismas se apliquen correctamente. No obstante, toda operación financiera se puede resolver utilizando exclusivamente la tasa de interés, ya que aún en el caso de que se tuviera como dato la tasa de descuento acabamos de ver como ésta puede convertirse sencillamente en la tasa de interés correspondiente. Lo importante es no confundir la tasa de interés con la tasa de descuento, es decir, no utilizar la tasa de interés como si fuera tasa de descuento o vicecersa. ACTIVIDAD PROPUESTA 12- Cuál es el importe que debe recibirse hoy por un documento cuyo valor nominal es de $ 30.000 y que vence dentro de 4 meses, si la tasa efectiva de descuento es del 0,16361 anual?. Página 17

LA TASA INTERNA DE RETORNO -TIR- Cuando una operación financiera es concertada de modo tal que en ella no sólo intervienen un capital inicial (CI) y un capital final (M), sino que el capital inicial (CI) será cobrado o pagado a través de varios pagos a realizarse en distintos momentos futuros, cabe plantear el siguiente interrogante: Cómo se calcula la tasa efectiva de interés de una operación de este tipo?. Ello debe realizarse calculando la llamada Tasa Interna de Retorno TIR-. Explicaremos esta tasa a través de un ejemplo: Supóngase que se efectuó una venta financiada de un bien cuyo precio de contado es de $ 1.000, por la que se esperan recibir pagos durante varios períodos, específicamente, 4 cuotas mensuales vencidas de $ 300 cada una. La tasa efectiva de interés de esta operación es aquella que iguala el valor de contado del bien con la suma del valor actual de los flujos de fondos que se esperan recibir por la venta financiada del mismo. Esta tasa recibe el nombre de Tasa Interna de Retorno (TIR) 1, que no es otra cosa que una tasa efectiva de interés. Así: 300 300 300 300 1. 000= + + + 1 2 3 4 ( 1+ TIRmensual ) ( 1+ TIRmensual) ( 1+ TIRmensual) ( 1+ TIRmensual) Con la ayuda de una calculadora financiera o bien de las funciones financieras de algún programa de computación, es posible determinar el valor de la TIR mensual, siendo: TIR = 0,07714 mensual Es necesario aclarar que a través del cálculo de la tasa interna de retorno se puede hallar la tasa efectiva de interés de cualquier operación financiera, independientemente de la cuantía y de la periodicidad de los flujos de fondos futuros esperados. Así, por ejemplo, si se otorga un préstamo de $ 10.000 que será devuelto mediante un pago de $ 3.500 a realizarse a los 3 meses del otorgamiento, otro pago de $ 4.500 a realizarse a los 8 meses 1 La tasa Interna de Retorno también se conoce como Tasa Interna de Rendimiento o, simplemente, Tasa de Rentabilidad (Pascale,. 2005, p. 401.) Página 18

del otorgamiento y un tercer pago de $ 5.000 a realizarse a los 12 meses del otorgamiento, la Tasa Interna de Retorno que nos permite obtener la tasa efectiva de interés de esta operación es aquella que iguala el valor original prestado con la suma del valor actual de las cuotas que se devolverán para cancelar el préstamo. Así: 3. 500 4. 500 5. 000 10. 000 = + + 3 8 12 ( 1 + TIRmensual ) ( 1 + TIRmensual ) ( 1 + TIRmensual ) Siendo: TIR = 0,03343 mensual ACTIVIDAD PROPUESTA 13- Cuál es la tasa efectiva de interés anual que paga el tomador de un préstamo que recibe $ 8.000 y que debe devolverlo en 12 cuotas mensuales comenzando a pagar la primera de ellas 3 meses después del otorgamiento del préstamo, si las 6 primeras cuotas todas iguales entre sí- son de $ 800 cada una y las últimas 6 también todas iguales entre sí- de $ 1.100 cada una?. Página 19

BIBLIOGRAFÍA: 1. CALZADA ARROYO, JOSÉ MARÍA - GARCÍA GÜEMES, ALFREDO (1997). Matemática de las operaciones financieras. Editorial AC, Madrid. 2. CANDIOTTI, EDUARDO (2000). Administración Financiera a Base de Recetas Caseras. Ed. Universidad Adventista del Plata. 3. CISSELL, ROBERT - CISSELL HELEN (1981). Matemáticas Financieras. Cía. Editorial Continental S.A., México. 4. GIANNESCHI, MARIO (2005). Curso de Matemática Financiera. Ed. Macchi. 5. PASCALE, RICARDO (2005). Decisiones Financieras. Ed. Macchi. Página 20