214 CAPÍTULO 2 Funciones 2.7 Combinación de unciones En esta sección se estudian dierentes ormas de combinar unciones para construir nuevas. La suma de se deine mediante 1 212 12 12 El nombre de la nueva unción es. Por lo tanto, este sino representa la operación de adición de unciones. El sino del lado derecho, sin embaro, representa la suma de los números 12 12. Sumas, dierencias, productos cocientes Dos unciones se pueden combinar para ormar nuevas unciones,, / de una manera similar a la orma en que se suma, resta, multiplica divide números reales. Por ejemplo, se deine la unción por 1 212 12 12 La nueva unción se llama suma de las unciones ; su valor en es 12 12. Por supuesto, la suma del lado derecho tiene sentido sólo si 12 12 están deinidas, es decir, si pertenece al dominio de también al dominio de. Así, si el dominio de es A el dominio de es B, entonces el dominio de es la intersección de estos dominios, es decir, A B. De manera similar, se puede deinir la dierencia, el producto, el cociente/ de las unciones. Sus dominios son A B, pero en el caso del cociente se debe recordar no dividir entre cero. Álebra de unciones Sean unciones con dominios A B. Entonces las unciones,, / se deinen como siue. 1 212 12 12 1 212 12 12 1212 1212 a b12 12 12 Dominio A B Dominio A B Dominio A B Dominio 5 A B 0 12 06 Ejemplo 1 Combinaciones de unciones sus dominios Sean 12 1 12 1. 2 a) Encuentre las unciones,, / sus dominios. b) Encuentre 1 2142, 1 2142, 12142 1/2 142. Solución a) El dominio de es 5 0 26 el dominio de es 5 0 06. La intersección de los dominios de es 5 0 0 and 26 30, 22 12, q2
SECCIÓN 2.7 Combinación de unciones 215 Para dividir racciones, invierta el denominador multiplique: 1/1 22 1/1 22 1 1/1 1 # 1 2 1 1 1 221 Así, se tiene 1 212 12 12 1 2 1 1 212 12 12 1 2 1 1212 1212 1 2 a b12 12 12 1 1 221 Dominio 5 0 0 and 26 Dominio 5 0 0 and 26 Dominio 5 0 0 and 26 Dominio 5 0 0 and 26 Ha que observar que en el dominio de / se eclue 0 porque 102 0. b) Cada uno de estos valores eiste porque 4 está en el dominio de cada unción. 1 2142 142 142 1 4 2 14 5 2 1 2142 142 142 1 4 2 14 3 2 1 12142 142142 a 4 2 b 14 1 a b142 142 142 1 14 2214 1 4 Fiura 1 = =Ï La ráica de la unción se puede obtener de las ráicas de mediante adición ráica. Esto siniica que se suman las coordenadas correspondientes, como se ilustra en el ejemplo siuiente. Ejemplo 2 Uso de la adición ráica Las ráicas de se muestran en la iura 1. Use la suma ráica para trazar la unción. Solución Se obtiene la ráica de al sumar ráicamente el valor de 12 a 12 como se muestra en la iura 2. Esto se pone en práctica al copiar el semento de recta PQ en la parte superior PR para obtener el punto S sobre la ráica de. S R () =(+)() = () =Ï Fiura 2 Suma ráica Q P ()
216 CAPÍTULO 2 Funciones Composición de unciones Ahora, considérese una orma mu importante de combinar dos unciones para obtener una nueva unción. Supona que 12 1 12 2 1. Se puede deinir una unción h como h12 1122 1 2 12 2 2 1 La unción h está compuesta de las unciones de una manera interesante: dado un número, se aplica primero a la unción, lueo se aplica al resultado. En este caso, es la rela sacar la raíz cuadrada, es la rela elevar al cuadrado después sumar 1, h es la rela elevar al cuadrado, a continuación sumar 1, lueo sacar la raíz cuadrada. En otras palabras, se obtiene la rela h al aplicar la rela lueo la rela. En la iura 3 se muestra un diarama de máquina para h. Entrada +1 œ + Salida Fiura 3 La máquina h está compuesta de la máquina (primero) después la máquina. En eneral, dadas dos unciones cualesquiera, comience con un número en el dominio de encuentre su imaen 12. Si este número 12 está en el dominio de, se puede calcular entonces el valor de 1122. El resultado es una nueva unción h12 1122 obtenida al sustituir en. Se llama la composición (o compuesta) de se denota mediante ( compuesta con ). Composición de unciones Dadas dos unciones, la unción compuesta (denominada también la composición de ) está deinida por 1 212 1122 El dominio de es el conjunto de todas las en el dominio de tal que 12 está en el dominio de. En otras palabras 1 212 se deine siempre que 12 1122 estén deinidas. Se puede ilustrar por medio de un diarama de lecha (iura 4). $ () Ó Ô Fiura 4 Diarama de lechas para
SECCIÓN 2.7 Composición de unciones 217 Ejemplo 3 Determine la composición de unciones Sea 12 2 and 12 3. a) Encuentre las unciones sus dominios. b) Halle 1 2152 1 2172. En el ejemplo 3, es la rela elevar al cuadrado es la rela restar 3. La unción primero resta 3 después eleva al cuadrado; la unción primero eleva al cuadrado lueo resta 3. Solución a) Se tiene 1 212 1122 1 32 1 32 2 1 212 1122 1 2 2 2 3 Los dominios de son. b) Se tiene 1 2152 11522 122 2 2 4 1 2172 11722 1492 49 3 46 Del ejemplo 3 se puede ver que, en eneral,. Recuerde que la notación siniica que la unción se aplica primero después. Ejemplo 4 Determine la composición de unciones Si 12 1 12 12, encuentre las siuientes unciones sus dominios. a) b) c) d) Solución a) 1 212 1122 112 2 312 1 4 2 El dominio de es 5 0 2 06 5 0 26 1 q, 24. b) 1 212 1122 112 32 1
SECCIÓN 2.7 Composición de unciones 219 Entonces 1 212 1122 1 92 1 4 9 F12 tiempo mediodía 5 mi s d tiempo t Fiura 5 distancia velocidad tiempo Ejemplo 7 Una aplicación de la composición de unciones Un barco está viajando a 20 millas/h paralela a una ribera recta. El barco está a 5 millas de la orilla. Pasa un aro a mediodía. a) Eprese la distancia s entre el aro el barco como una unción de d, la distancia que ha recorrido el barco desde mediodía; es decir, encuentre de modo que s 1d2. b) Eprese a d como una unción de t, el tiempo transcurrido desde mediodía; es decir, encuentre tal que d 1t2. c) Encuentre. Qué representa esta unción? Solución Primero se traza un diarama como en la iura 5. a) Se pueden relacionar las distancias s d mediante el teorema de Pitáoras. Así, s puede ser epresada como una unción de d por b) Puesto que la nave está viajando a 20 millas/h, la distancia d que ha recorrido es una unción de t como siue: c) Se tiene 1 21t2 11t22 s 1d2 225 d 2 d 1t2 20t 120t2 225 120t2 2 La unción da la distancia del barco desde el aro como una unción del tiempo. 2.7 Ejercicios 1 6 Encuentre,, / sus dominios. 1. 12 3, 2. 12 2 2, 12 3 2 1 3. 12 24 2, 12 11 4. 12 29 2, 12 2 5. 12 2, 12 4 4 12 2 2 4 6. 12 2, 1 12 1 7 10 Encuentre el dominio de la unción. 7. 12 1 11 8. 12 1 1 1 9. h12 1 32 1/4 10. k12 1 3 1
220 CAPÍTULO 2 Funciones 11 12 Use la adición ráica para bosquejar la ráica de. 11. 23. 11222 24. 25. 1 2142 26. 27. 1 21 22 28. 11022 1 2102 1 2142 0 29 40 Encuentre las unciones,,, sus dominios. 29. 12 2 3, 12 4 1 12. 30. 12 6 5, 12 2 31. 12 2, 12 1 32. 12 3 2, 12 1 3 0 33. 12 1, 12 2 4 13 16 Dibuje las ráicas de, en una pantalla común para ilustrar la suma ráica. 13. 12 11, 14. 12 2, 15. 12 2, 16. 12 1 4 1, 12 1 12 1 3 3 12 11 12 B 1 2 17 22 Use 12 3 5 12 2 2 para evaluar la epresión. 17. a) 11022 b) 18. a) 11422 b) 19. a) 1 21 22 b) 20. a) 1 21 12 b) 21. a) 1 212 b) 22. a) 1 212 b) 23 28 Use las ráicas de para evaluar la epresión. 9 11022 11322 1 21 22 1 2122 1 212 1 212 34. 12 2, 35. 12 0 0, 36. 12 4, 37. 12, 1 38. 12 1, 1 39. 12 1 3, 40. 12 2, 12 1 3 12 2 3 12 2 4 12 1 4 12 2 41 44 Encuentre h. 41. 12 1, 12 1, 42. 12 1, 12 3, 12 0 40 12 2 1 43. 12 4 1, 12 5, h12 1 h12 2 2 h12 1 44. 12 1, 12, 1 h12 1 3 2 0 2 45 50 Eprese la unción en la orma. 45. F12 1 92 5 46. F12 1 1