PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8. [.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto (, ) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y x 4 3x.. [6 puntos] Sea A 4 4 3 Encontrar una matriz P invertible y una matriz D diagonal tal que P AP D. Obtener, si es posible, una matriz P que sea ortogonal. Utilizar los resultados anteriores para calcular A 4. 3. [.5 puntos] Resolver el sistema y expresar los resultados en forma polar. Solución. x + iy 4i ix ( i)y 6 i. Al ser el punto (, ) un punto de la curva dada, la recta tangente a la curva de ecuación y 3 +3y x 4 3x en el punto (, ) viene dada por y m (x +)donde la pendiente es m y (, ). Para calcular, por tanto, la pendiente de esta recta, procedemos a derivar la curva implícitamente 3y y +6yy 4x 3 6x y 3y +6y 4x 3 6x y 4x3 6x 3y +6y y al evaluar la derivada en el punto (, ) obtenemos y (, ) /9. De aquí, la recta tangente pedida es y (x +) 9. En primer lugar, calculamos los autovalores de A. Puesto que su polinomio característico es A λi 4 λ 4 λ 3 λ (λ 3) (λ 5) (3 λ)[(4 λ)(4 λ) ] (3 λ) λ 8λ +5
los autovalores son λ 3con multiplicidad algebraica m a (λ 3)y λ 5con multiplicidad algebraica m a (λ 5). Calculamos ahora los autovectores asociados a los autovaloress: V A (3) (v,v,v 3 ) R 3 : v v v 3 (v,v,v 3 ) R 3 : v + v ª lin ({(,, ), (,, )}) V A (5) (v,v,v 3 ) R 3 : ½ (v,v,v 3 ) R 3 : v + v v 3 v v v 3 ¾ lin ({(,, )}) De aquí concluimos que, si tomamos tres autovectores linealmente independientes y consideramos la matrices 3 P y D 3 5 se verifica que P AP D. Los autovectores correspondientes a distintos autovalores son ortogonales entre sí (la matriz A es simétrica). Además, los dos autovectores obtenidos correspondientes al autovalor λ 3 nos han salido ortogonales (en otro caso, podríamos haber aplicado Gram-Smchidt). De aquí, para obtener una matriz P ortogonal sólo tenemos que dividir los autovectores por su norma obteniendo / / P / / Por último, para calcular A 4 podríamos hacerlo de las siguiente formas: a) Utilizando la primera matriz P no ortogonal obtenida (en este caso hay que calcular P ). 3 4 / / 353 7 A 4 PD 4 P 3 4 7 353. 5 4 / / 8 b) Utilizando la segunda matriz P ortogonal: A 4 PD 4 P T / / / / 3 4 3 4 5 4 / / / / 353 7 7 353 8.
3. Para resolver el sistema x + iy 4i ix ( i)y 6 i podemos proceder, por ejemplo, utilizando el método de Gauss i 4i i 4i i +i 6 i F ( i) +i F +i i 4i +i de donde y +i, x 3i Si obtenemos el módulo y el argumento de x e y obtenemos ½ r 3 x 3i θ π ( q r ( ) y +i + θ arctg ( ) 3π (el complejo está en el segundo cuadrante) 4 y así, escribimos las soluciones del sistema en forma polar x 3 π, y 3π 4 PROBLEMA.. [4 puntos] Se consideran las funciones F (x) ( x) 3 e G (x) +x. Demostrar que sus gráficas se cortan en un único punto. Aproximar la abscisa de dicho punto de corte usando el método de Newton a partir de x. Realizar sólo una iteración. Se puede asegurar la convergencia del método partiendo de este valor inicial? Justificar la respuesta.. [3 puntos] Obtener el polinomio de Maclaurin de grado dos de la función f (x) definida en el intervado (, ) por f (x) +x ln x. Utilizar ese polinomio para aproximar el valor de f(.) y expresar el error cometido en la forma de Lagrange. 3. [3 puntos] Determinar las asíntotas, los intervalos de crecimiento/decrecimiento y los extremos relativosdelafunción g(x) x (x ) +3. Solución
. Para demostrar que las funciones F (x) y G (x) se cortan en un único punto, debemos considerar la ecuación dada por F (x) G(x) que es equivalente a la ecuación dada por H(x) donde H (x) F (x) G (x) ( x) 3 +x definida y continua en todo R. Para esta función H(x) se tiene que H() > y H () < y, al ser continua en el intervalo cerrado [, ], el teorema de Bolzano nos asegura que existe un c [, ] tal que H (c). Además, teniendo en cuenta que H (x) 3( x) < para todo x R y, por tanto H es una función decreciente en todo R, se puede asegura que la función H tiene una única raíz y se encuentra en el intervalo [, ]. Para estimar la abscisa del punto de corte c, haremos una iteración con el método de Newton tomando como punto inicial x. x x H (x ) H (x ) / 7/ 7.486 Para poder asegurar la convergencia del método de Newton tomando como punto inicial x, comprobamos las hipótesis del teorema de convergencia del método de Newton: La función H (x) es continua y dos veces derivable en R que contiene al intervalo [, ]. La función H (x) 3( x) no se anula en ningún punto del intervalo (ya que para todo x R la función H (x) es estrictamente negativa) y H (x) 6( x) tiene signo constante en dicho intervalo (se verifica que H (x) en el intervalo [, ]). Por tanto, el teorema de convergencia de Newton nos asegura la convergencia del método siempre que tomemos como punto inicial un valor cualquiera x [, ] en el que H (x ) H (x ) >. En nuestro caso se tiene que H () H () > y de aquí, la convergencia del método está asegurada con este punto inicial.. El polinomio de Mclaurin de grado,delafunciónf(x) +x ln x [ln ( + x) ln ( x)] es: P (x) f() + f ()x + f () x.! donde f(x) [ln ( + x) ln ( x)] f() f (x) +x f () x f (x) ( + x) + ( x) f () Luego, P (x) x Utilizando ahora el polinomio tenemos que f(.) P (.).. Para expresar el error cometido en la aproximación anterior utilizando la fórmula de Lagrange, necesitamos conocer la derivada tercera f (x) ( + x) 3 + ( x) 3
y, siendo <z<., el error se puede expresar como R (.) f (z) (.) 3 3! 6 (C) En primer lugar, observamos que la función g(x) ( + z) 3 + ( z) 3 x (x ) +3 (.) 3. es una función definida para todo x R \{, }. Asíntotas verticales: son asíntotas verticales las rectas x y x yaquesetieneque x x (x ) +3 x x (x ) +3 x + x (x ) +3 x + x (x ) +3+ Asíntotas horizontales: es asíntota horizontal la recta y 3ya que se tiene x x + x (x ) +33 x (x ) +33 No hay asíntotas oblicuas al haber horizontales. Para estudiar los intervalos de crecimiento/decrecimiento y los extremos relativos necesitamos conocer los puntos críticos. Para ello, calculamos y simplificamos la función derivada obteniendo f (x) 3x + x 3 (x ). Resolviendo la ecuación f (x), obtenemos un punto crítico x /3. Por otro lado, la derivada existe en todos los puntos del dominio de la función; esto es, para todo x R \{, }. Por tanto, sólo hay un punto crítico x /3. Dividimos el dominio de f(x) en los siguientes intervalos y estudiamos el signo de la derivada en cada uno de ellos. Intervalos (, ) (, /3) (/3, ) (, + ) Signo de f (x) + Crec/Decrec. & % & & Observando la tabla anterior y aplicando el criterio de la derivada primera, se observa que en el punto de abscisa x /3 se alcanza un máximo relativo (en x y x hay asíntotas verticales).
PROBLEMA 3.- Sea A 3 3 3 5a a y b 4 5 6 a, cona R. ) [4 puntos] Para todo valor de a y utilizando el método de Gauss, estudiar la compatibilidad del sistema Ax b. ) [.5 puntos] Paraquévaloresdea se puede expresar la matriz A como producto de matrices elementales? 3) [4.5 puntos] Para a,sepide: i) Una base del espacio nulo de A. ii) Una base del espacio columna de A. iii) Sea u (,m,6), con m R. Determinar m para que u pertenezca a N(A). Justificar si el vector obtenido es un vector de R(A). Solución ) Utilizamos el método de Gauss para estudiar la compatibilidad del sistema según los valores de a. Consideramos la matriz ampliada del sistema y realizamos transformaciones elementales F 3 ( 3) 4 3 5 3 3 5a a 6 a F ( ) F 3 ( 3) 4 3 a +5a 6 a +3 Consideramos ahora los siguientes casos: 4 3 3 a +5a 3 a 6 F 3 a +5a 6 a 6,a6 3 4 3 a+3 a +5a 6 Caso de ser a 6 3y a 6, la matriz escalonada nos asegura que el sistema de ecuaciones linealesescompatibleydeterminado. 4 Caso de ser a 3, la matriz escalonada resulta 3 ydeaquíelsistema es compatible indeterminado. 4 Caso de ser a, la matriz escalonada resulta 3 y la última ecuación nos indica que el sistema es incompatible.
) Puesto que la matriz A de los coeficientes del sistema es una matriz cuadrada, ésta se podrá expresar como producto de matrices elementales si, y sólo si, es invertible, si, y sólo si, su determinante es distinto de cero si, y sólo si, el sistema anterior es compatible determinado. Por tanto, para a 6 3y a 6, sí se puede expresar la matriz A como producto de matrices elementales. 3) Para a, i) ElespacionulodelamatrizA es N(A) {x R 3 : Ax }. Nos podemos basar en las transformaciones del apartado considerando la matriz ampliada del sistema Ax, 3 F ( ) F 3 ( 3) 3 3 6 F 3 ( 3) 3 3 de donde se obtiene, el sistema dado por x + x 3 x + x 3 ¾ x α x α x 3 α con α R y, de aquí, N(A) lin {(,, )}. Es evidente que una base de N(A) viene dada por {(,, )}. ii) El espacio columna de la matriz A es R(A) lin {(,, 3), (,, 3), (, 3, 6)} lin {(,, 3), (,, 3)} ya que se comprueba fácilmente que (, 3, 6) es combinación lineal de los dos primeros (el tercero es suma de los dos primeros). Al ser los vectores {(,, 3), (,, 3)} no proporcionales, son linealmente independientes y por tanto, constituyen una base de R(A). iii)para que el vector u (,m,6) pertenezca a N(A) debe ser ortogonal a los vectores de N(A). De aquí, tiene que ser (,m,6) (,, ) m +6 m 4 El vector obtenido es u (, 4, 6) (,, 3), proporcional al primer vector de la base de R(A), por tanto u R(A). PROBLEMA 4.- ) [5 puntos] Sea W {(x, y, z) R 3 : x y +3z }. Buscar una base de W yencontrar vectores u W y v W tales que u + v (,, ). ) [3 puntos] Resolver la ecuación F 3 ( )F 3 ()F 3 ()X F ( ), considerando que las matrices elementales que en ella aparecen son de orden tres.
3) [ puntos] Calcular las soluciones por mínimos cuadrados del sistema x. y Solución ) El subespacio vectorial W viene dado por W (x, y, z) R 3 : x y +3z ª (x, y, z) R3 : lin {(,, ), ( 3,, )} x α 3β y β z α con α, β R Al ser los vectores (,, ), ( 3,, ) linealmente independientes (no son proporcionales), se tiene que una base del subespacio vectorial W de R 3, es B {(,, ), ( 3,, )}. Se pide, ahora, encontrar los vectores u W y v W tales que u + v (,, ); esto es, encontrar las proyecciones ortogonales del vector (,, ) sobre los subespacios W y W, u p W (,, ), v p W (,, ). Aunque hay varios procedimientos para calcular estas proyecciones, indicamos aquí el más sencillo. Calculamos el complemento ortogonal del subespacio W, W { v (x,x,x 3 ):v (,, ), v ( 3,, ) } ½ ¾ x (x,x,x 3 ): + x lin {(,, 3)} 3x + x 3 y puesto que una base ortogonal de W viene dada por B {(,, 3)}, podemos calcular el vector v p W (,, ) mediante la expresión (,, ) (,, 3) v p W (,, ) (,, 3) (,, 3) (,, 3) µ (,, 3) 4 4, 4, 3 4 De aquí u p W (,, ) (,, ) p W (,, ) (,, ) µ 4, 4, 3 µ 3 4 4, 4, 3 4 ) Para resolver la ecuación, procedemos a despejar la matriz X. Sabiendo que las matrices elementales son invertibles tenemos que y, entonces F 3 ( )F 3 ()F 3 ()X F ( ) X F 3 ()F 3 ()F 3 ( )F ( ) X F 3 ( )F 3 ( )F 3 ( /)F ( ) De aquí, teniendo en cuenta que las matrices son de orden tres X /
y, efectuando el producto, se tiene que X / / 3) Para calcular la solución o soluciones en el sentido de los mínimos cuadrados del sistema incompatible Ax b, consideramos el sistema normal asociado A T Ax A T b; esto es, µ µ µ x x µ µ oequivalentemente cuyas soluciones son µ x x µ x x x +α x α µ ¾ con α R. Por tanto, hay infinitas soluciones en el sentido de los mínimos cuadrados y vienen dadas por ( +α, α) con α R.