1 Tema 4B. Inecuacines 1. Intrducción Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen númers y letras ligads mediante las peracines algebraicas. Ls signs de desigualdad sn: <,, >, Las inecuacines se clasifican pr su grad y pr su númer de incógnitas. Slucines de una inecuación sn ls valres de la(s) incógnita(s) que cumplen la desigualdad. En las inecuacines cn una incógnita el cnjunt de slucines suele darse mediante intervals. En las inecuacines cn ds incógnitas, el cnjunt de slucines suele ser una región del plan. Reslver una inecuación es encntrar sus slucines. Para reslver una inecuación hay que despejar la incógnita. Para ell hay que tener en cuenta las siguientes prpiedades: 1. A < B A + n < B + n. También: A n < B n. A < B A n < B n, si n > 0. También: A/n < B/n, si n > 0 3. A < B A n > B n, si n < 0. También: A/n > B/n, si n < 0 OJO: Si se multiplica ( divide) pr un númer negativ, cambia el sentid de la desigualdad. Observa: 3 < 5 (multiplicand pr 6) 18 < 30 3 < 5 (multiplicand pr 6) 18 > 30 (se cambia < pr >) Igualmente: < 8 (dividiend pr ) < 4. + 1 < (multiplicand pr 1) ( + 1) > < 1. Menr que 0 y mayr que 0 en prducts y ccientes Muchas veces interesa cncer sól el sign de una epresión algebraica. Est es, saber cuánd es menr que cer (negativa) cuánd es mayr que cer (psitiva). El mejr prcedimient, salv en cass inmediats, cnsiste en descmpner dicha epresión en factres y, después, tener en cuenta las reglas de ls signs: (+) ( ) = ( ) < 0 (+) (+) = (+) > 0 ( ) (+) = ( ) < 0 ( ) ( ) = (+) > 0 (+) : ( ) = ( ) < 0 (+) : (+) = (+) > 0 ( ) : (+) = ( ) < 0 ( ) : ( ) = (+) > 0 Pueden presentarse ls siguientes cass: A < 0 y B > 0, Prduct A B < 0 A > 0 y B < 0 A < 0 y B < 0, Prduct A B > 0 A > 0 y B > 0 (Un factr es psitiv y tr negativ.) (Ls ds factres tienen el mism sign.) La epresión > 0 cuand > 0. Análgamente, < 0 si < 0. > 0 para td R. En cnsecuencia, < 0 siempre. Pr l mism, ( 1) > 0 cuand 1 > 0; est es, si > 1.
A Cciente < 0 B A < 0 y B > 0, A > 0 y B < 0 A Cciente > 0 B A < 0 y B < 0, A > 0 y B > 0 (Ls ds términs cn distint sign) (Ls ds términs cn el mism sign) 1 1 1 El sign de las epresines, 3 sól depende del denminadr. Así: 1 1 1 < 0 si < 0; > 0 si > 0. Obsérvese que nunca vale 0. 1 > 0 siempre, pues el denminadr siempre es psitiv. 1 1 3 < 0 si > 0 [( ) : (+) = ( )]. 3 > 0 si < 0 [( ) : ( ) = (+)]. 1 > 0 cuand 1 > 0 y + > 0 [(+) : (+) = (+)] > 1. + También, cuand 1 < 0 y + < 0 [( ) : ( ) = (+)] < 3 1 El sign de las epresines de sól depende del numeradr, pues el ( + ) denminadr siempre es psitiv, salv en = 0 y =, respectivamente, en dnde dichas epresines n están definidas. Así: 3 3 3 = 0 si 3 = 0 = 3; > 0 si > 3; < 0 si < 3. 1 1 1 = 0 si 1 = 0 = ±1; > 0 si < 1 > 1; < 0 si 1 < < 1. ( + ) ( + ) ( + ). Inecuacines de primer grad Sn de la frma a + b < c. El sign < puede sustituirse pr >,. Para reslverlas se utilizan las tres prpiedades indicadas. Además, en tds ls cass se tendrá en cuenta el rden de priridad de las peracines. Para reslver ( 1) + 7 5( 3) + 15, se resuelven ls paréntesis y se traspnen términs. Así: ( 1) + 7 5( 3) + 15 + 7 5 15 + 15 5 5 3. 3 La slución sn ls punts del interval [5/3, ). 4 Para reslver < : 3 5 1. Se multiplican ambs miembrs pr 15: 5( ) < 3( 4). Se peran ls paréntesis: 5 10 < 6 1 3. Se traspnen y agrupan términs: 5 6 < 1 + 10 < 4. Multiplicand pr 1: >
3 3. Inecuacines de segund grad La epresión a + b + c puede ser mayr, menr igual que 0. Est es, pueden plantearse las siguientes inecuacines: a + b + c < 0 a + b + c 0 a + b + c > 0 a + b + c 0 En tds ls cass, para btener la slución, cnviene reslver la ecuación de segund grad asciada y escribir el trinmi a + b + c cm prduct de factres. Dependiend de las raíces de esa ecuación, pdrá escribirse: a + b + c = a )( ) < 0 0 (si hay ds slucines distintas 1 y ). ( 1 + b + c = a( 1) < 0 a 0 (si sól hay una slución, 1 ) (Si n hay slucines reales, la inecuación n puede descmpnerse en factres; y viceversa.) En cada cas, estudiand ls signs de ls factres se encuentran ls intervals slución. Observación. En tds ls cass puede n haber slución slucines. Para reslver + 4 6 < 0, se hallan las slucines de la ecuación asciada, que sn 1 = 3 y = 1. Pr tant, + 4 6 = ( + 3)( 1). Cn est: + 4 6 < 0 ( + 3)( 1) < 0. Cm el primer factr,, es psitiv, el sign del prduct dependerá del sign de cada un de ls trs ds factres, ( + 3) y ( 1). (+) ( ) ( + 3 > 0) ( 1 < 0) ( > 3) y ( < 1) 3 < < 1 ( ) (+) ( + 3 < 0) ( 1 > 0) ( < 3) y ( > 1) N hay punts cmunes. Observación: Al reslver la inecuación prpuesta se han hallad ls punts para ls que + 4 6 = 0 = 3 y = 1. También se han btenid ls punts para ls que + 4 6 < 0 3 < < 1. En cnsecuencia, para tds ls demás valres de se cumplirá que + 4 6 > 0. Est es, para < 3 para > 1. Pr tant, al reslver + 4 6 < 0, también queda resuelta la inecuación + 4 6 > 0 Gráficamente, la situación es la siguiente: + 4 6 > 0 + 4 6 = 0 + 4 6 > 0 < 3 > 1 3 + 4 6 < 0 1 3 < < 1 Para reslver + 4 + 4 0, cm la ecuación + 4 + 4 = 0 sól tiene una slución dble, =, se deduce que + 4 + 4 = ( + ) ; y cm un cuadrad nunca es negativ, la inecuación planteada sól es cierta para =. En cnsecuencia, la inecuación + 4 + 4 = ( + ) 0, se cumple para cualquier númer real.
4 La inecuación + 4 6 < 0 es cierta para td valr de, pues + 4 6 = 0 n tiene slucines reales. Pr tant, sól hay ds psibilidades: siempre es mayr que cer; siempre es menr que cer. Cm para = 0 vale 6, siempre será negativa; est es, + 4 6 < 0 es cierta para td valr de. En cnsecuencia, + 4 6 > 0 n tiene slución. Interpretación gemétrica de las slucines de inecuacines de segund grad Puede ser prtun recrdar que la función y = a + b + c es una parábla. En particular, si se representa gráficamente y = + 4 6 se bserva que su curva: Crta al eje OX en ls punts = 3 y = 1, que sn las slucines de la ecuación + 4 6 = 0 ; Está pr debaj del eje OX en el interval ( 3, 1), precisamente las slucines de + 4 6 < 0. Igualmente, la parábla y = + 4 + 4 tiene su vértice (su mínim) en el punt (, 0), de abscisa = ; para ls demás valres de siempre está pr encima del eje OX. Pr es, + 4 + 4 0 sól es ciert si = Para el cas + 4 6 < 0, cm la gráfica de la parábla y = + 4 6 queda pr debaj del eje OX para cualquier valr de, su slución es td R. 4. Inecuacines de grad superir Para reslver una inecuación de la frma P ( < 0 P ( > 0, dnde P ( es un plinmi de grad 3 mayr, se prcede cm sigue: 1º. Se descmpne P ( en factres; para ell habrá que hallar las raíces de P ( = 0. Si estas raíces fuesen 1,, 3, supuest P ( de tercer grad, se tendría: 3 P ( < 0 a + b + c + d < 0 a ( 1 )( )( 3) < 0 º. Representar las raíces sbre la recta y determinar ls intervals que se btienen. 3º. Estudiar el sign de a ( 1 )( )( 3) < 0 en cada un de ess intervals. 4º. Dar la slución. Ejempl: Para reslver la inecuación 3 4 5 < 0 en primer lugar se resuelve la ecuación 3 4 5 = 0 ( 4 5) = ( + 1)( 5) = 0. Cn est, 3 4 5 < 0 ( + 1)( 5) < 0. A cntinuación, se representan las raíces = 1, = 0 y = 5. Se btiene ls intervals: < 1, 1 < < 0, 0 < < 5, > 5 Ls signs de ls factres de ( + 1)( 5) sn: ( )( )( ) ( ) ( )(+)( ) (+) (+)(+)( ) ( ) (+)(+)(+) (+) En cnsecuencia, las slucines de la inecuación sn: < 1 0 < < 5.
5 5. Inecuacines racinales Su frma estándar es < 0 0. Para reslverlas hay que analizar ls signs del numeradr y denminadr para determinar el sign del cciente. Un errr frecuente cnsiste en establecer la secuencia < 0 P ( < 0. En el cas < k, hay que transfrmar la desigualdad hasta epresarla en la frma estándar. Así: k < k k < 0 < 0 Otr errr frecuente cnsiste en establecer la secuencia < k P ( < k. Ejempl: 5 Para reslver la inecuación < 0, primer se resuelven las ecuacines 5 = 0 ( = 5) y + + = 0 ( = ). Cn est, y cnsiderand las slucines btenidas de menr a mayr, se tiene:: Si <, tant el numeradr cm el denminadr sn negativs cciente psitiv. Si < < 5, el numeradr es psitiv y el denminadr negativ cciente negativ. Si > 5, el numeradr y el denminadr sn psitivs cciente psitiv. Pr tant, el interval slución de la inecuación dada es (, 5). 5 En cnsecuencia, > 0 es ciert si (, ) (5, + ). + + 4 + 4 7 La inecuación 3 se transfrma en esta tra: 0 3 0, cuya slución 1 1 1 se btiene cnsiderand ls intervals (, 1), (1, 7) y (7, + ). Si < 1, el numeradr es psitiv y el denminadr negativ cciente negativ. Si 1 < < 7, el numeradr y el denminadr sn psitivs cciente psitiv. Si > 7, el numeradr es negativ y el denminadr psitiv cciente negativ. Pr tant, la slución es el interval (1, 7] 6. Inecuacines cn valr abslut La epresión A < n significa que n < A < n : n < A y A < n. La epresión A > n significa que n > A A > n. < 4 4 < < 4 Análgamente, la inecuación < 1 indica que 1 < < 1. Est es: 1 < < 3. Para btener ese resultad puede sumarse a ls tres miembrs de las desigualdades: 1 < < 1 1 + < + < 1 + 1 < < 3 La inecuación +1 > 3 indica que 3 > +1 + 1 > 3. Est es, < 4 >. Para btener ess resultads hay que reslver las inecuacines pr separad: 3 > + 1 3 1 > + 1 1 4 > < 4 + 1 > 3 + 1 1 > 3 1 >.
6 Observación: Nótese que en la slución de la primera inecuación, < 1, interviene el cuantificadr y : > 1 y < 3, interval (1, 3); bien, cnjunt (1, + ) (, 3). En cambi, en las slucines de la segunda inecuación, +1 > 3, hay que utilizar el cuantificadr : < 4 > ; cnjunt (, 4) (, + ) 7. Inecuacines cn epresines radicales Para raíces cuadradas, pueden plantearse las ds siguientes inecuacines: A < n ; A > n dnde A es una epresión cn una incógnita ( más) y n es un númer psitiv. Sus slucines sn las siguientes: A < n A > n 0 A < n. Ejempl: < 3 0 < 9 n A > Ejempl: > 5 > 5 Si intervienen trs términs se prcederá utilizand ls criteris generales ya estudiads. Además, se tendrá en cuenta que al elevar al cuadrad una desigualdad se pueden intrducir errres (ganar perder slucines). También habrá que tener en cuenta si el sign + de la raíz puede afectar al resultad. Cm cnsecuencia de est, es acnsejable cmprbar ls resultads. De > 3 > ( 3) > 9. El resultad n es fals, per es incmplet, pues la desigualdad se cumple siempre que 0. < 3 (multiplicand pr 1) > 3 > 9 1 1 1 < < > 4 pdría deducirse que ( ) + Para reslver la inecuación > 0 hay que aplicar las reglas del cciente y tener en + cuenta el valr del radicand. Observa: + ESTÁ MAL: > 0 >. El mtiv es que + + n está definid si 1 < < 0. + ESTÁ BIEN: > 0 (, 1) (0, + ). Est es: { > } { 1 < < 0}. + Para reslver < 6, l nrmal es hacer l siguiente: < 6 < 6 ( ) ( ) 6 < 1 + 36 < 13 + 36 < 0 4 < < 9. (Ls valres 4 y 9 sn las slucines de 13 + 36 = 0 ). Sin embarg, la inecuación dada admite tras slucines, pr ejempl =. Qué ha sucedid para que n salga directamente? El errr se ha generad al hacer el cuadrad. Véase ahra tra psibilidad: < 6 6 < 0 (haciend el cambi = t ) t t 6 < 0. Se resuelve la ecuación t t 6 = 0, cuyas slucines sn: = t = 3 y = t =. Si se cnsidera sól el sign psitiv de la raíz, que es l habitual, y se bserva que la n puede tmar valres negativs, la slución es: 0 = t < 3 0 < 9, que es la slución crrecta. Oj: Si A < B n siempre es ciert que A < B. Obsérvese que < 1, per ( ) > 1.
7 8. Inecuacines lineales cn ds incógnitas Sn desigualdades de la frma: a + by < c, a + by > c El cnjunt de slucines de cualquiera de ellas es un de ls ds semiplans en ls que divide la recta a + by = c al plan cartesian. Para determinar cuál de ls semiplans es la slución basta cn cnsiderar un punt, que n sea de la recta, y ver si cumple n la desigualdad inicial Si se cnsideran las desigualdades a + by c a + by c, el cnjunt de slucines cntiene, además del semiplan crrespndiente, a ls punts de la recta a + by = c. Las slucines de la inecuación + 3y < 1 sn tds ls punts del semiplan situad a la izquierda de la recta + 3y = 1. (Puede prbarse cn el punt (0, 0): cm 0 + 3 0 < 1, el semiplan slución es el indicad.) Las slucines de la inecuación y 4 sn tds ls punts del semiplan situad a la derecha de la recta y = 4. (Esta vez puede prbarse cn el punt (4, 0): cm 4 0 = 4 > 4, se cnfirma que el semiplan de la derecha es el cnjunt slución de la inecuación dada.) En las figuras siguientes se visualiza l dich. 9. Otras inecuacines cn ds incógnitas Cuand se estudian funcines cn ds variables, para determinar su dmini de definición para precisar alguns valres de su recrrid, puede ser necesari reslver ecuacines más cmplicadas. Frecuentemente, para precisar el cnjunt slución es necesari cncer alg de tería de cónicas. Aquí se bviará td ell para dar eclusivamente alguns pares de slucines. El dmini de definición de la función f (, y) = y 10 sn tds ls punts (, y) del plan que verifican la desigualdad y 10 0. O también y 10. Alguns punts slución sn: (, 5); (, 6); (3, 5) ; también, (, 5); ( 3, 7). N sn slucines ls punts (1, 4), (, 3) ( 4, 8). La inecuación + y < 16 tiene pr slución, entre trs, ls punts (1, 3), (0, ), ( 3, 0) N cumplen la inecuación ls punts (1, 4), ( 3, ) En las figuras adjuntas se dan las regines slución de las inecuacines anterires. En el primer cas la región está determinada pr ls punts interires de una hipérbla equilátera. En el segund, pr ls punts del círcul de radi 4 y centr el punt (0, 0).