Preparo 6.º
Índice Nuestro sistema de numeración... 244 La numeración romana... 246 La jerarquía en las operaciones combinadas... 248 Las potencias... 250 Cuadrados y cubos... 252 Los múltiplos de un número... 254 Los divisores de un número... 256 Multiplicación de números decimales... 258 División de decimales... 260 Cálculo de porcentajes... 262 Unidades de medida de superficie... 264 Los poliedros... 266 La medida del volumen... 268
Nuestro sistema de numeración Agrupamos de diez en diez MILLONES DMM UMM 4 CM MILLARES DM UM 6 0 0 C UNIDADES D U 3 6 8 El número 4 600 368 se lee: «Cuatro millones seiscientos mil trescientos sesenta y ocho». 4 600 368 UMM CM DM UM C D 4 UMM + 6 CM + 3 C + 6 D + 8 U 9 9 9 9 9 4 000 000 + 600 000 + 300 + 60 + 8 U Vale 60 unidades. Vale 600 000 unidades. Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Qué número corresponde a cada descomposición? a) 6 UMM + 8 CM + 4 UM + 5 C + 7 D... b) 2 UMM + 2 DM + 9 UM + 4 D... c) 4 000 000 + 60 000 + 7 000 + 80 + 5... d) 7 000 000 + 600 000 + 10 000 + 2 000 + 500... Nuestro sistema de numeración es: Decimal, porque diez unidades de un orden forman una unidad del orden siguiente. Posicional, porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número.
2 Escribe con cifras. a) Siete millones veinticinco mil doscientos seis. b) Tres millones cuarenta y dos mil setecientos tres. c) Seiscientos veinticinco mil ochenta y seis. d) Cuatro millones novecientos seis mil veintidós............. 3 Cuál es el valor de la cifra 4 en estos números?: a) 884 699 8 La cifra 4 vale... unidades. b) 6 025 947 8 La cifra 4 vale... unidades. c) 6 470 816 8 La cifra 4 vale... unidades. 4 Escribe el signo > o <, según corresponda. 775 789 775 897 493 109 493 901 389 810 388 910 687 750 677 850 699 401 699 041 316 493 316 439 5 Cuáles son los tres números mayores de seis cifras que puedes formar con estas bolas?: 5 2 2 5 2 5... 6 Ordena de menor a mayor estos números: NÚMERO 2 487 650 677 399 9 393 939 80 574-80 745-80 475-80 547... AVANZO 7 Copia y completa la tabla. DECENA DE MILLAR MÁS PRÓXIMA CENTENA DE MILLAR MÁS PRÓXIMA
La numeración romana Utilizamos letras para escribir números El sistema de numeración romano utilizaba estas letras mayúsculas para escribir los números: 1 5 10 50 100 500 1 000 Para escribir números seguían estas reglas: 1.ª Solo las letras I, X, C y M se pueden repetir dos o tres veces seguidas. II = 2 XXX = 30 CC = 200 MMM = 3 000 2.ª Si una letra se pone a la derecha de otra de igual o mayor valor, se suman sus valores. XII = 10 + 2 = 12 CLV = 100 + 50 + 5 = 155 3.ª Las letras I, X y C escritas a la izquierda de otra de mayor valor le restan su valor. IV = 5 1 = 4 XC = 100 10 = 90 4.ª Una raya encima de una o varias letras indica que el número queda multiplicado por 1 000. VII = 7 000 XVI = 16 000 Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Escribe en nuestro sistema los números romanos siguientes: XII =... XVII =... XCV =... XCIX =... XLIX =... MI =... DCCXX =... CMX =... DCCV =... LXIX =... DCCCVI =... XXV =... 2 Escribe con números romanos. 816 =... 74 =... 1 014 =... 89 =... 29 =... 91 =... 2 306 =... 7 010 =... 4 512 =... 1 200 =... 314 =... 59 =...
3 En qué año se construyeron estos monumentos?: MCCXVI DCCIX XCIX......... CCXIX XXV XXVIII......... 4 Escribe cuatro números romanos más en cada serie. a) VI - IX - XII - XV -... b) I - III - VI - X - XV -... 5 Escribe el signo >, < o =, según corresponda. 7 209 VIICCIX 2 516 MMDXXV 1 942 MCMLII VIIILVI 8 036 AVANZO 6 Realiza estas operaciones: a) XL + CXXXV + XCIX =... b) CMXC DCCXCIV =... HAGO PROBLEMAS 7 Claudio reparte el dinero que tiene en la bolsa entre sus dos hijos. Cuántos sestercios le corresponde a cada uno? CCCLXXVIII...
La jerarquía en las operaciones combinadas Utilizamos la prioridad de las operaciones Siempre que aparecen operaciones combinadas es necesario conocer en qué orden debemos realizarlas. Primero, efectuamos la operación que está entre paréntesis. (25 7) = 18 (13 7) = 6 8 Ò (25 7) : (13 7) 10 Después, las multiplicaciones y las divisiones. 8 Ò 18 = 144 144 : 6 = 24 Por último, las sumas y las restas. 24 10 = 14 8 Ò 18 : 6 10 144 : 6 10 24 10 14 Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Calcula como en el ejemplo. 6 Ò 8 24 : 3 + 15 48 8 + 15 40 + 15 55 8 Ò (6 + 4) (20 15) 8 Ò 10 5......... 4 Ò (25 10) + 3 Ò (30 12)... Ò... +... Ò...... +...... 2 Repasa y detecta cuál de estas operaciones está mal hecha y corrígela: (17 8) Ò (14 6) : 4... Ò... :...... :...... a) 2 + 4 Ò 1 1 Ò 2 = 10 8... b) 3 + 4 Ò 3 + 5 2 Ò 1 = 18 8...
3 Calcula. a) (120 18) : 3 + 10 =... b) 3 Ò 25 (60 15) =... c) (180 60) Ò 2 + 70 =... d) 56 9 Ò 4 + 15 =... 4 Asocia cada operación con su resultado. 60 (40 15) 30 60 40 15 5 6 Ò 10 5 35 6 Ò (10 5) 55 AVANZO 5 Coloca los paréntesis en los lugares adecuados para que se cumpla cada igualdad. a) 40 4 Ò 8 = 8 c) 30 17 + 4 = 9 b) 5 + 3 Ò 6 = 48 d) 20 + 5 Ò 3 = 75 6 Escribe los signos +,, Ò o : para que se cumplan las igualdades siguientes: 2 9 7 = 25 48 2 16 = 8 HAGO PROBLEMAS 7 Carlos tenía 48 canicas y compró dos bolsas con 15 canicas cada una. Si repartió todas las canicas entre sus tres hermanos, cuántas canicas le dio a cada uno?...
Las potencias Expresamos multiplicaciones de forma abreviada Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales. 4 Ò 4 Ò 4 = 4 3 Exponente La base es el factor que se repite. El exponente indica el número de veces que se multiplica la base por sí misma. 4 3 = 4 Ò 4 Ò 4 = 64 4 Ò 4 Ò 4 Base Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Completa la tabla. PRODUCTO BASE EXPONENTE POTENCIA 3 Ò 3 5 Ò 5 Ò 5 Ò 5 3 2 2 Ò 2 Ò 2 Ò 2 Ò 2 8 Ò 8 Ò 8 2 Completa la tabla. POTENCIA PRODUCTO DE FACTORES 9 5 6 3 10 6 2 Ò 2 Ò 2 Ò 2 Ò 2 Ò 2 Ò 2 5 Ò 5 Ò 5 Ò 5 Ò 5 Ò 5
AVANZO 3 Escribe cómo se leen estas potencias: 3 6 = Tres elevado a seis 5 3 =... 6 2 =... 2 5 =... 8 4 =... 10 4 =... 4 Rodea la expresión correcta en cada caso. 6 4 = 6 + 6 + 6 + 6 6 4 = 6 Ò 4 6 4 = 6 Ò 6 Ò 6 Ò 6 10 5 = 10 Ò 5 10 5 = 10 Ò 10 Ò 10 Ò 10 Ò 10 10 5 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 HAGO PROBLEMAS 5 Sara tiene seis cajas; en cada caja hay seis sobres, y en cada sobre, seis postales. Cuántas postales tiene en total?... 6 La biblioteca de la clase de Juan tiene ocho estanterías; en cada estantería hay ocho baldas, y en cada balda, ocho libros. Cuántos libros hay en total?...
Cuadrados y cubos Calculamos potencias de exponentes dos y tres 2 5 2 2 5 5 2 2 = 2 2 5 5 = 5 2 2 2 2 = 2 3 5 5 5 = 5 3 CUADRADOS Las potencias de exponente dos se denominan cuadrados y se leen: 2 2 = Dos al cuadrado. 5 2 = Cinco al cuadrado. CUBOS Las potencias de exponente tres se denominan cubos y se leen: 2 3 = Dos al cubo. 5 3 = Cinco al cubo. Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Completa la tabla. PRODUCTO 6 Ò 6 Ò 6 4 Ò 4 8 Ò 8 Ò 8 POTENCIA SE LEE 9 Ò 9 Ò 9 7 Ò 7 Ò 7 10 Ò 10 2 Escribe con cifras. a) Nueve al cuadrado:... b) Tres al cubo:... c) Diez al cubo:... d) Doce al cuadrado:... e) Cuatro al cubo:... f) Ocho al cuadrado:... g) Siete al cuadrado:... h) Quince al cubo:...
3 Escribe en forma de multiplicación y calcula. a) 12 2 = 12 Ò 12 =... b) 11 2 =... c) 15 3 =... d) 20 2 =... e) 30 2 =... f) 15 2 =... g) 20 3 =... h) 14 2 =... i) 12 3 =... j) 25 2 =... 4 Completa la tabla. NÚMERO CUADRADO CUBO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 AVANZO 5 Calcula. a) 5 2 + 8 =... b) 6 2 15 =... c) 8 2 + 10 =... d) 10 3 3 3 =... e) 5 2 + 5 3 =... f) 4 3 7 2 =... g) 3 3 3 2 =... h) 12 2 + 30 =... 6 Escribe los números cuyo cuadrado esté comprendido entre 100 y 200.... 7 Expresa estos números en forma de potencia con exponente dos o tres: a) 8 =... b) 25 =... c) 81 =... d) 9 =... e) 27 =... f) 36 =... g) 16 =... h) 64 =... i) 125 =... j) 100 =... k) 49 =... l) 121 =...
Los múltiplos de un número Obtenemos múltiplos de un número Ò 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 Los números: 4, 8, 12, 16, 20, 24 son múltiplos de 4. Múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por cualquier otro. Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Completa las tablas y contesta. NÚMERO DE CAJAS NÚMERO DE HUEVOS Cuáles son los cinco primeros múltiplos de 12?... NÚMERO DE PULSERAS NÚMERO DE PERLAS 1 2 3 4 5 6 12 1 2 3 4 5 6 9 Cuáles son los cinco primeros múltiplos de 9?...
2 Escribe los cinco primeros múltiplos de estos números: 2 8 2, 4, 6, 8, 10 3 8... 5 8... 6 8... 7 8... 8 8... 3 Completa. 15 es múltiplo de 5 porque 15 : 5 = 3 y resto: 0 20 es múltiplo de 4 porque 20 : 4 =... y resto:... 24 es múltiplo de 6 porque 24 : 6 =... y resto:... 18 es múltiplo de 3 porque 18 : 3 =... y resto:... 12 es múltiplo de 2 porque 12 : 2 =... y resto:... 30 es múltiplo de 10 porque 30 : 10 =... y resto:... AVANZO 4 Tacha los números que sean múltiplos de 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 11 26 41 56 71 86 12 27 42 57 72 87 13 28 43 58 73 88 14 29 44 59 74 89 15 30 45 60 75 90 5 Escribe los siete primeros múltiplos de 10 y de 5. Múltiplos de 10 8... Múltiplos de 5 8... Contesta. a) Qué tienen en común todos los múltiplos de 10?... b) Y los múltiplos de 5?... 6 Cuáles de estos números son múltiplos de 7?: 18-40 - 42-56 - 32-21 - 75-14 35-45 - 54-70 - 63-48 - 24-91 Son múltiplos de 7 8...
Los divisores de un número Buscamos los divisores de un número Para encontrar todos los divisores de un número, realizamos todas las divisiones exactas que tengan al número como dividendo. 6 0 1 6 6 0 2 3 6 0 3 2 6 2 4 1 6 1 5 1 6 0 6 1 Los números: 1, 2, 3 y 6 son los divisores de 6. Los divisores de un número son todos los números que caben en él una cantidad exacta de veces. Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Realiza estas divisiones y completa: 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 1 0 10 Los divisores de 10 son:... 2 Cuáles de estos números son divisores de 12?: 8-6 - 12-7 - 1-2 9-4 - 10-3 - 5-11 Son divisores de 12:...
3 Contesta. a) Es 5 divisor de 10?... Y de 20?... Por qué?... b) Es 8 divisor de 25?... Por qué?...... 4 Tacha los números que no sean divisores de 20. 1 7 3 5 6 8 2 10 4 15 9 20 AVANZO 5 Busca todos los divisores de estos números: 12 8 1, 2, 3, 4, 6, 12 14 8... 15 8... 16 8... 18 8... 22 8... 24 8... 25 8... 28 8... 30 8... 36 8... 40 8... 6 Escribe todos los números menores que 20. a) Que tengan solo dos divisores.... b) Que tengan más de dos divisores.... HAGO PROBLEMAS 7 Ana da pasos de 60 centímetros. Cuántos pasos tiene que dar para ir desde el banco hasta la fuente? 15 m...
Multiplicación de números decimales Calculamos el producto de dos números decimales Para multiplicar dos números decimales, procedemos así: Primero, realizamos la operación como si fueran números enteros. Después, separamos en el producto tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores. 2, 7 5 Ò 8, 3 8 2 5 + 2 2 0 0 0 2 2, 8 2 5 TRES CIFRAS DECIMALES Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Calcula. 2 7, 4 Ò 1 6, 9 5 5, 2 Ò 3, 2 8 4 6, 6 Ò 2 0, 1 4 5, 3 Ò 2, 8 6 3, 7 5 Ò 1 9, 3 3 4, 4 Ò 5 0, 9 258 2 Escribe la coma decimal en el producto. a) 3,16 Ò 24,6 = 77736 d) 3,18 Ò 14,5 = 46110 b) 12,45 Ò 0,9 = 11205 e) 0,25 Ò 9,6 = 2400 c) 105,4 Ò 7,8 = 82212 f) 6,5 Ò 0,94 = 6110
3 Completa la tabla. Ò 10 100 1 000 7,23 0,516 38,9 0,041 2,095 8,2 AVANZO 4 Calcula en céntimos los precios de estos artículos: 0,74 0,99 0,95 1,05............ 5 Escribe las cifras que faltan en estas multiplicaciones: Ò 0, 4 + 3 1 2, 5 5 7 1, Ò,7 3 8 + 7 0 6 Calcula los costes de estos productos: 0,75 /kg 9,95 /kg 3,8 kg 1,20 kg...... + Ò 3 2 8, 0, 5 3 2 3 7
División de decimales Dividimos dos números decimales Para dividir 16,575 entre 4,25, seguimos estos pasos: 1.º Transformamos la división en otra que no tenga decimales en el divisor. Para ello, en este caso, multiplicamos el dividendo y el divisor por 100. 2.º Realizamos la nueva división que tendrá el mismo cociente que la primera. 16,575 : 4,25 Ò 100 Ò 100 1 657,5 : 425 1 6 5 7, 5 3 8 2 5 00 0 425 3,9 Para dividir dos números decimales, se transforma el divisor en un número entero; para ello, se multiplican el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. A continuación, se realiza la división. Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Realiza estas divisiones hasta obtener resto cero: 1 5, 7 7 6 6,8 3, 3 5 4 0,86 Ò 10 Ò 10 Ò 100 Ò 100 1 5 7, 7 6 68 3 3 5, 4 86 1 1, 6 2 8 Ò 100 1 1 6 2, 8 1,53 153 Ò 100 3 9, 2 2 Ò 10 3 9 2, 2 7,4 74 Ò 10
2 El jamón vale 47,25. A cómo sale el kilo de jamón? 6,30 kg... 3 Calcula el cociente de dos cifras decimales. 1 5, 8 0,3 2, 4 4 1,5 5, 2 0 0,48 6, 9 7,2 1 2, 5 0,45 9, 9 0,84 AVANZO 4 Escribe las cifras que faltan en estas divisiones: 5 9,, 6,3 1 5,, 2 5 2,4 0 9 0 0 8 5 0 0 3,7,2 HAGO PROBLEMAS 5 Un coche consume 7,4 litros de gasolina cada 100 kilómetros. Cuántos kilómetros puede recorrer con 11,1 litros?... 6 Juan pagó 7,56 por cuatro bolsas de patatas fritas. Cuánto vale una bolsa?...
Cálculo de porcentajes Calculamos el tanto por ciento de una cantidad 40 El 40% de 75 es lo mismo que de 75. 100 40 100 75 de 75 = Ò 40 = 0,75 Ò 40 = 30 100 REBAJAS 40% 75 Para calcular el tanto por ciento de una cantidad se divide la cantidad entre 100 y, después, se multiplica el resultado por el tanto por ciento. 75 : 100 0,75 Ò 40 30 40% Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Calcula como en el ejemplo. 20 60 a) El 20% de 60 = de 60 = Ò 20 = 0,60 Ò 20 = 12 100 100 b) El 30% de 40 =... c) El 15% de 120 =... d) El 25% de 200 =... e) El 10% de 850 =... f) El 5% de 90 =... g) El 85% de 600 =... h) El 25% de 300 =... i) El 75% de 600 =...
2 Cuántos gramos de cacao contiene esta tableta de chocolate?: 60% de cacao 300 g... AVANZO 3 Completa la tabla. 10% 15% 20% 30% 50% 60 120 240 720 900 HAGO PROBLEMAS 4 Calcula el precio actual de cada prenda. REBAJAS 30% 75 54 69 30 49 Camisa:... Pantalón:... Falda:... Jersey:... Blusa:... Deportivas:... 60
Unidades de medida de superficie Estudiamos los múltiplos y los submúltiplos del metro cuadrado Las unidades de superficie del Sistema Métrico Decimal van de 100 en 100; es decir, cada unidad es igual a 100 veces la inmediata inferior y a la centésima parte de la inmediata superior. 1 dam 2 = 100 m 2 1 m 2 = 100 dm 2 1 m 2 = 0,01 dam 2 1 dm 2 = 0,01 m 2 1 dam2 1 m2 1 dm2 Las principales medidas de superficie son: km 2 MÚLTIPLOS UNIDAD PRINCIPAL SUBMÚLTIPLOS hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Completa. a) Cuántos metros cuadrados hay en un decámetro cuadrado?... Y decímetros cuadrados?... b) Cuántos centímetros cuadrados tiene un metro cuadrado?... 2 Expresa en metros cuadrados. 0,06 dm 2 = 0,06 Ò 100 = 6 m 2 750 dm 2 = 750 : 100 =... m 2 0,003 km 2 = 0,003 Ò 1 000 000 =... m 2 0,82 hm 2 = 0,82 Ò... =... m 2
3 Completa. a) Para pasar de metro cuadrado a centímetro cuadrado hay que multiplicar por... b) Para pasar de kilómetro cuadrado a metro cuadrado hay que multiplicar por... c) Para pasar de metro cuadrado a hectómetro cuadrado hay que dividir entre... d) Para pasar de decímetro cuadrado a metro cuadrado hay que... entre... AVANZO 4 Completa las igualdades. 3 m 2 =... dm 2 2 cm 2 =... mm 2 1 km 2 =... dam 2 500 mm 2 =... cm 2 7 000 m 2 =... hm 2 72 000 cm 2 =... m 2 800 000 m 2 =... km 2 0,25 dam 2 =... m 2 HAGO PROBLEMAS 5 Una urbanización está formada por 260 parcelas. La superficie de cada parcela es de 1 750 m 2. Calcula la extensión de la urbanización en hectómetros cuadrados.... 6 La superficie de una hoja del cuaderno es de 622,65 cm 2. Cuántos milímetros cuadrados son?...
Los poliedros Identificamos los poliedros y sus elementos Los poliedros son cuerpos geométricos que tienen todas sus caras planas (polígonos). PRISMAS PIRÁMIDES BASE VÉRTICES BASE ARISTA CARAS LATERALES ARISTA BASE VÉRTICE CARA LATERAL Los prismas tienen dos bases y sus caras laterales son paralelogramos. Las pirámides tienen una base y sus caras laterales son triángulos. Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Cuenta el número de caras, vértices y aristas que tiene cada poliedro y completa la tabla. A B C G D E F A B C D E F G CARAS VÉRTICES ARISTAS
AVANZO 2 Colorea del mismo color cada cuerpo y su desarrollo. A C B D E F 1 2 3 6 5 4 3 Dibuja el desarrollo de este prisma:
La medida del volumen Medimos el espacio que ocupan los cuerpos Los cuerpos ocupan espacio. Para medir y comparar el espacio que ocupan, utilizamos unidades cúbicas. UNIDAD CÚBICA Tiene 4 cubos. Volumen: 4 unidades cúbicas. Tiene 9 cubos. Volumen: 9 unidades cúbicas. El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Medir el volumen es calcular el número de unidades cúbicas que caben en su interior. Actividades APLICO LO APRENDIDO 1 Calcula el volumen de cada uno de estos cuerpos geométricos y completa la tabla: UNIDAD CÚBICA D FIGURA VOLUMEN A B C E F A B C D E F
2 Dibuja dos cuerpos que tengan cinco unidades cúbicas de volumen. 3 Observa estos tres cuerpos y contesta: Tienen el mismo volumen?... Tienen la misma forma?... AVANZO 4 Calcula los volúmenes de estos primas y completa la tabla: B A C D E PRISMA A B C D E VOLUMEN 5 Cuántos cubos caben en cada caja? B A En la caja A caben... cubos. En la caja B caben... cubos. En la caja C caben... cubos. C