El Sistema de numeración Romano utiliza letras para escribir los números: I V X L C D M. uno cinco diez cincuenta cien quinientos mil

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1 BLOQUE 1. NÚMEROS Y OPERACIONES CAPÍTULO 1.2. REPRESENTACIÓN ESCRITA DE LOS NÚMEROS La necesidad de comunicación entre los seres humanos ha llevado desde antiguo a la invención y uso de signos para contar, operar, ar y medir. Hombres y mujeres de los pueblos primitivos apilaban piedras, usaban los dedos, hacían muescas sobre palos o dibujaban marcas en los muros de las cavernas haciendo tantas señales como objetos querían mostrar. Estos signos reemplazaban a los objetos, permitían tomar decisiones sobre ellos sin necesidad de manipularlos físicamente. [Ilustración 1] (Un hombre marcando un determinado número de objetos con los dedos, muescas en un palo y en la pared; han de verse los objetos concretos que representa) El sistema más simple de representación numérica conocido tiene este origen, y se caracteriza por la repetición de un mismo símbolo. IIIIIIIIIII...IIIIIIIIII A medida que la humanidad fue avanzando, surgieron nuevas necesidades de comunicación a las que este sistema no podía responder, de ahí que hayan surgido diversos sistemas de numeración a lo largo de la historia, cada vez más avanzados. Sistema egipcio de numeración [Ilustración 2] (Representación de los siguientes númerales egipcios: 1, 10, 100, 1.000, , y , debajo de cada uno de ellos aparecerá en letra que números son; también un ejemplo de cómo se escribe el número 548 en este sistema y su correspondiente en indoarábico) El sistema egipcio utilizó diferentes signos, uno por cada una de las potencias de diez. También el sistema egipcio presentaba dificultades operatorias ya que utilizaba una repetición excesiva de símbolos para determinadas cantidades. A lo largo de la historia se han ido sucediendo distintos sistemas de numeración, vinculados con las grandes civilizaciones. Veamos dos ejemplos conocidos: El Sistema de numeración Romano utiliza letras para escribir los números: I V X L C D M uno cinco diez cincuenta cien quinientos mil La escritura de números dentro de este sistema sigue ciertas reglas. Primera: Una misma cifra no se puede repetir mas de tres veces. Segunda: Una cifra de inferior a la derecha de otra superior, se suma. Tercera: Una cifra de inferior a la izquierda de otra superior, se resta. Un ejemplo de aplicación de estas reglas lo encontramos en el siguiente número: MCMLXXVIII, que se lee: mil (M) novecientos (CM) setenta (LXX) y ocho (VIII). El Sistema Maya de numeración utiliza tres signos para escribir los números: uno cinco cero Θ

2 La escritura de números dentro del Sistema Maya tiene sus propias reglas: Primera: los números del 1 al 19 se forman agrupando en vertical puntos y rayas, con el criterio de no repetir el mismo signo mas de cuatro veces: Segunda: A partir del 20 se sigue una escritura posicional, es decir, cada veinte unidades forman una unidad de superior, que se escribe por encima de la de inferior. Tercera: Se emplea la cifra del cero para indicar que en un determinado no hay cantidad. Así se ve en la escritura maya de los números: 4, 8, 11, 19 y 20 Muchos otros sistemas antiguos fueron desarrollándose y evolucionando para dar respuesta a las cada vez mayores necesidades numéricas del hombre. Finalmente se inventó el Sistema Decimal de numeración, que es el sistema que utilizamos en la actualidad. (Recuadro) Cualquier sistema de numéración tiene: Un número limitado de signos o cifras para representar los números. Unas reglas precisas para escribir los distintos números a partir de las cifras. Los sistemas de numeración primitivos no tenían una cifra para cero. Los sistemas avanzados como el maya o el sistema decimal de numeración si tienen cero. Los sistemas de numeración avanzados siguen la regla de escritura posicional: cada cifra toma un valor distinto según la posición que ocupa.

3 Tema 1.2. El Sistema Decimal de Numeración El sistema de representación de números que conocemos y utilizamos se llama Sistema de Numeración Decimal. Las cifras del Sistema decimal de Numeración son diez: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9. Todos los números se escriben en el Sistema Decimal utilizando estas cifras. Este sistema de numeración tuvo su origen en la india y fueron los árabes quienes lo introdujeron en Europa durante la Edad Media, a través de la Península Ibérica. [Ilustración 3] El descubrimiento del número 0 es uno de los más importantes en la historia de las matemáticas. Gracias a esta cifra disponemos de un sistema de numeración posicional potente y avanzado. Subtítulo 1. CIFRAS DEL SISTEMA DECIMAL Cada una de las cifras del Sistema Decimal representa una cantidad: (Diferentes objetos metidos en cajas de colores y una caja roja sin objetos) Las cantidades representadas por las cifras son cantidades pequeñas, comenzando a partir de un objeto, hasta llegar a nueve objetos. La cantidad más pequeña tiene un objeto o unidad. Agregando sucesivamente un elemento más se van formando las diferentes colecciones dibujadas. En primer lugar hay dibujada una colección que no tiene ningún objeto: una caja que no tiene ninguna bola: la caja roja no tiene bolas, también se dice: la caja roja tiene cero bolas. La cifra 0 sirve para escribir el cardinal de aquellas colecciones que no tienen elementos: la caja roja tiene 0 bolas GLOSARIO La cifra 0 representa una colección sin objetos, una colección vacía. La cifra 0 expresa la ausencia de cantidad. El Sistema de Numeración Decimal emplea diez signos distintos o cifras: Se escribe Se lee Representa a 0 cero 1 uno 2 dos 3 tres 4 cuatro 5 cinco 6 seis

4 7 siete 8 ocho 9 nueve (Recuadro) Los signos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 son las cifras del Sistema Decimal de Numeración. Con estos signos se escriben todos los números Subtítulo 1: NECESIDAD DE NUEVOS NUMEROS Hay cantidades de tamaños muy distintos. Para expresar cantidades grandes necesitamos números mayores, números de varias cifras. Podemos pensar en situaciones en las que hay diferentes cantidades de personas: - miembros de una familia, es una cantidad con una cifra o unidades; - alumnos de una clase, es una cantidad con dos cifras o decenas; - alumnos de un centro de Primaria, es una cantidad con tres cifras o centenas; - cabida de un polideportivo, es una cantidad con cuatro cifras o unidades de millar; - cabida de un gran estadio de futbol, es una cantidad con cinco cifras o decenas de millar; - habitantes de una ciudad grande, es una cantidad con seis cifras o centenas de millar; - habitantes de Rio de Janeiro, es una cantidad con siete cifras o millones. Es posible ampliar la lista de ejemplos, de manera que haya unidades de órdenes mayores. [Ilustración 4] Al utilizar adecuadamente los números tratamos de expresar las cantidades con claridad y precisión. El sistema decimal incluye los órdenes más elevados y permite expresar cualquier cantidad que imaginemos en nuestro universo. Esta es la regla general de agrupamiento que organiza el sistema decimal: (Recuadro) Cada diez unidades de un forman una nueva unidad de superior. El nombre de Sistema Decimal se refiere a esta regla de agrupamiento. GLOSARIO: Llamamos unidades o unidades de primer a los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, pues están formados por una sola cifra Subtítulo 1: AGRUPAMIENTO DE CANTIDADES: LAS DECENAS. La dificultad que supone inventar un nuevo signo para cada una de las cantidades que podamos encontrar en la vida diaria, determina unas reglas para expresar cualquier cantidad a partir de las diez cifras del sistema. Cuando a una cantidad de nueve objetos añadimos un objeto mas, tenemos diez objetos o una decena: Juan tiene nueve cromos de la selección nacional y su amigo Roberto le regala uno. [Ilustración 5] 9 cromos más 1 cromo dan una decena de cromos Consideramos la decena como una nueva unidad, unidad de segundo. Representamos una decena de la siguiente forma:

5 Las diez unidades forman una unidad de segundo : la decena. Una decena se escribe 10. GLOSARIO 9 unidades mas 1 unidad dan una decena = 10 Una decena son diez unidades. Una decena se escribe 10. Las decenas, a su vez, pueden agruparse y así se forman las distintas decenas o unidades de segundo : 2 decenas 3 decenas 4 decenas Igualmente se forman 5 decenas, 6 decenas, 7 decenas, 8 decenas y 9 decenas. Las unidades de segundo : Son Se escribe Se lee 1 decena 10 diez 2 decenas 20 veinte 3 decenas 30 treinta 4 decenas 40 cuarenta 5 decenas 50 cincuenta 6 decenas 60 sesenta 7 decenas 70 setenta 8 decenas 80 ochenta 9 decenas 90 noventa Los números de dos cifras se forman con decenas y unidades. Por ejemplo: 8 decenas y 4 unidades = = 84 Subtítulo 1: UNIDADES DE TERCER ORDEN. LAS CENTENAS. Una cantidad de 99 objetos está formada por 9 decenas y 9 unidades. Si agregamos un nuevo objeto, tenemos 10 decenas. [Ilustración 6] Diez decenas forman una unidad de tercer : la centena. Así se representa una centena:

6 = 10 decenas 1 centena Diez unidades de segundo forman una unidad de tercer : la centena. GLOSARIO 9 decenas mas 1 decena dan una centena = 100 Una centena son diez decenas y también cien unidades. Una centena se escribe 100. Las centenas, a su vez, pueden agruparse y así se forman las distintas centenas o unidades de tercer. Las unidades de tercer : Son Se escribe Se lee 1 centena 100 cien 2 centenas 200 doscientos 3 centenas 300 trescientos 4 centenas 400 cuatrocientos 5 centenas 500 quinientos 6 centenas 600 seiscientos 7 centenas 700 setecientos 8 centenas 800 ochocientos 9 centenas 900 novecientos Los números de tres cifras tienen centenas, decenas y unidades. Por ejemplo: 7 centenas, 4 decenas y 6 unidades = = 746 Subtítulo 1: UNIDADES DE MILLAR El principio de agrupamiento del Sistema Decimal de numeración también se aplica a las centenas. Así, diez centenas o unidades de tercer forman una unidad de cuarto. [Ilustración 7] Diez centenas forman una unidad de millar. GLOSARIO 9 centenas mas 1 centena dan una unidad de millar = Una unidad de millar son diez centenas y también mil unidades.

7 Una unidad de millar se escribe Las unidades de cuarto : Son Se escribe Se lee 1 unidad de millar mil 2 unidades de millar dos mil 3 unidades de millar tres mil 4 unidades de millar cuatro mil 5 unidades de millar cinco mil 6 unidades de millar seis mil 7 unidades de millar siete mil 8 unidades de millar ocho mil 9 unidades de millar nueve mil Los números de cuatro cifras tienen unidades de millar, centenas, decenas y unidades. Por ejemplo: 3 unidades de millar, 5 centenas, 8 decenas y 4 unidades = = Subtítulo 1: DECENAS Y CENTENAS DE MILLAR El millar es una nueva unidad de mayor tamaño. [Ilustración 8] Los millares se agrupan de diez en diez y de cien en cien, dando lugar respectivamente a las decenas de millar y a las centenas de millar. Con diez unidades de millar tenemos una decena de millar o unidad de quinto. GLOSARIO 9 unidades de millar mas 1 unidad de millar dan una decena de millar = Una decena de millar son diez unidades de millar y también diez mil unidades. La decena de millar se escribe A su vez, diez decenas de millar dan una centena de millar o unidad de sexto GLOSARIO 9 decenas de millar mas 1 decena de millar dan una centena de millar = Una centena de millar son diez decenas de millar y también cien mil unidades. La centena de millar se escribe Subtítulo 1: ORDENES DEL SISTEMA DECIMAL El sistema decimal de numeración continúa formando unidades de superior mediante agrupamiento de cada diez unidades. Las unidades que así se forman reciben nuevos nombres: millón, decena de millón, centena de millón, unidad de millar de millón y así sucesivamente. Los nueve primeros órdenes de unidades son:

8 Orden de unidades Primer Segundo Tercer Cuarto Quinto Sexto Séptimo Octavo Noven o Cantidad Unidad Decen a Unidad de millar Decen a de millar Centena Centena de millar Unidad de millón Decen a de millón Centena de millón Se escribe Se lee uno diez cien mil diez mil cien mil millón diez millones cien millones En la tabla se puede observar una primera secuencia de tres es de unidades unidad, decena y centena Cuando se agota la secuencia unidad-decena-centena, aparece una nueva secuencia de tres órdenes, cuya unidad es el millar. Para indicar el millar se emplea un punto seguido de tres ceros. Así, se escribe: (mil); (diez mil); (cien mil) Al concluir el ciclo del millar comienza un nuevo ciclo cuya unidad es el millón. Este ciclo tiene tres órdenes: unidad de millón, decena de millón, centena de millón, Al concluir ese ciclo comienza otro definido por: unidad de millar de millon, decena de millar de millón y centena de millar de millón. Observamos que en el sistema decimal de numeración los distintos es de unidades se presentan en ciclos de tres: unidad, decena y centena; unidad de millar, decena de millar y centena de millar; unidad de millón, decena de millón, centena de millón; unidad de millar de millón, decena de millar de millón, centena de millar de millón, y así sucesivamente. El ciclo del millón se indica con un 1 pequeño (subíndice), así: (millón). De esta manera, las cifras de cada número se separan por puntos en grupos de tres y con subíndices en grupos de seis. Un millón son mil millones. Una vez que se agota el ciclo del millón la nueva unidad es el billón (un millón de millones), que tiene a su vez, seis órdenes. Unidades superiores son el trillón, el cuatrillón, el quintillón, y así sucesivamente. Cada una de estas unidades tienen un ciclo de seis órdenes. Para saber más: Las distintas unidades del sistema decimal de numeración tambien reciben el nombre de potencias de 10.

9 Tema 1.2. Escritura y Lectura de Números Subtítulo 1: NUMEROS DE DOS CIFRAS Cuando queremos contar la cantidad de elementos de una colección con mas de nueve elementos, los agrupamos de diez en diez hasta que no sea posible formar una nueva decena: * * * * * * 5 Decenas y 7 unidades A continuación, contamos las decenas que se han formado y las unidades que quedan sueltas. Asi podemos conocer la cantidad total: nombrando las decenas y unidades que la forman: 5 decenas y 7 unidades = = 57 (Recuadro) Los números formados por decenas y unidades tienen dos cifras. La cifra de la derecha indica las decenas que lo forman; la cifra de la izquierda indica las unidades. Los números de dos cifras son los comprendidos entre 10 y 99. Todos los numeros de dos cifras se leen con el nombre de las decenas y unidades que lo forman. Número Formado por Se lee 47 4 decenas y 7 unidades cuarenta y siete 80 8 decenas y 0 unidades ochenta 73 7 decenas y 3 unidades setenta y tres Subtítulo 1: NUMEROS DE TRES CIFRAS Cuando hay que contar una cantidad con mas de diez decenas, agrupamos cada diez decenas en una centena, hasta que no sea posible formar nuevas centenas. Para formar las unidades de tercer seguimos la misma estrategia que para formar una unidad de segundo, agrupamos las unidades de segundo de diez en diez La pandilla de Juan la componen 15 niños y deciden hacer una colección de plantas, para ello cada uno aporta 10 ejemplares; además encuentran otras 6 plantas. De cuántas plantas se compone la colección? Para saber las plantas que tienen en su colección actúan de la siguiente forma: - Representan las plantas y cuentan: [Ilustración 1] -Agrupan las decenas hasta tener 10: = 100 ; añaden las decenas restantes: = 50; y cuentan las plantas que sobran: 6

10 Cada uno ha aportado una decena: tienen 10 decenas y 5 decenas, tambien hay otras 6 plantas mas, es decir, 1 centena y 5 decenas y 6 unidades. Podemos conocer la cantidad total de plantas contando las centenas, decenas y unidades que la forman: 1 centena y 5 decenas y 6 unidades = = 156 (Recuadro) Los números formados por centenas, decenas y unidades tienen tres cifras. La cifra de la derecha indica las centenas que lo forman; la cifra del centro las decenas y la cifra de la izquierda las unidades. Los números de tres cifras son los comprendidos entre 100 y 999. Los números de tres cifras se leen con el nombre de las centenas decenas y unidades que lo forman. Número Formado por Se lee centenas, 4 decenas y 7 unidades quinientos cuarenta y siete centenas y 3 unidades novecientos tres centenas y 2 decenas seisciento veinte Subtítulo 1 ESCRITURA DE CANTIDADES En general, para contar los elementos que hay en una colección, los agrupamos de diez en diez; se forman así las decenas o unidades de segundo, quedando algunas unidades sueltas. A su vez, agrupamos la decenas de diez en diez, quedando algunas decenas sueltas. Se forman así las centenas o unidades de tercer. De nuevo agrupamos las centenas de diez en diez, para tener las decenas de millar o unidades de cuarto, quedando algunas centenas sin agrupar. [Ilustración 2] Continuamos así hasta que no es posible seguir agrupando de diez en diez. Finalmente tenemos una cantidad formada por unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc. Por ejemplo, Juan ha contado el dinero que ha ahorrado y tiene: 2 unidades, 4 decenas, 0 centenas, 5 unidades de millar y 3 decenas de millar. Esta cantidad se escribe así: pesetas (Recuadro) Las cifras de un número se escriben de izquierda a derecha comenzando por la de mayor hasta la de menor. Subtítulo 1: VALOR DE POSICION Existen números de diferentes tamaños que expresan cantidades de distinta magnitud. Antonio le cuenta a sus compañeros: Ayer invité a mi hermana a merendar y pagué ochocientas setenta y ocho pesetas, lo cual me pareció caro. En ese momento comunicaban por televisión que el delantero centro del equipo de fútbol de nuestra ciudad lo traspasaban por doscientos cuarenta y siete millones, trescientas setenta y nueve mil, quinientas setenta y dos pesetas, cantidad tan grande que no la dominaba. En la situación descrita por Antonio aparecen dos números: - el primero de tres cifras - el segundo de nueve cifras Podemos escribir estos números con el sistema decimal de numeración y analizar las cantidades de las que habla Antonio:

11 - Merienda : ochocientas setenta y ocho pesetas (878 pta.) El valor de las cifras de esta cantidad según sus órdenes de unidades es: 8 Unidades representa... 8 veces uno... 8 pta. 7 Decenas representa... 7 veces diez pta. 8 Centenas representa...8 veces cien pta. Aunque en esta cantidad aparece dos veces la cifra 8, el valor de cada una de ellas es distinto, ya que ocupan un órden de unidades diferente. El 8 de la izquierda indica que hay 8 unidades El 8 de la derecha indica que hay 8 centenas - Traspaso del jugador de fútbol: Doscientos cuarenta y siete millones, trescientas setenta y nueve mil, quinientas setenta y dos pesetas ( pta.) El valor de las cifras de esta cantidad según sus órdenes de unidades es: 2 Unidades... representa... 2 veces uno... 2 pta 7 Decenas... representa... 7 veces diez pta 5 Centenas...representa...5 veces cien pta 9 unidades de millar...representa...9 veces mil pta 7 decenas de millar...representa...7 veces diez mil pta 3 centenas de millar...representa...3 veces cien mil pta 7 millones...representa...7 veces un millón pta 4 decenas de millón...representa...4 veces diez millones pta 2 centenas de millón...representa...2 veces cien millones pta En este número se repite tres veces la cifra 7, pero cada una de ellas tiene un valor distinto, pues representan un de unidades diferente. En el lugar mas a la izquierda la cifra 7 tiene un valor de 70; en el lugar del centro la cifra 7 tiene un valor de ; en el lugar mas a la derecha tiene un valor de (Recuadro) El Sistema de Numeración Decimal es posicional porque el valor de una cifra en un número depende del lugar o posición que ocupa. La posición que ocupa una cifra en un número expresa el de unidades que representa. Subtítulo 1: SISTEMA DECIMAL DE NUMERACION El Sistema Decimal de Numeración tiene diez cifras y se organiza por las siguientes reglas: - Cada diez unidades de un órden forman una del inmediato superior, que se escribe a la izquierda de la primera. La base o principio de agrupamiento de este sistema es diez, por ello el nombre de decimal. - El valor de una cifra en un número depende de su propio valor y del lugar o posición que ocupe dentro del órden de unidades. Por ello se dice que nuestro sistema es posicional. Para conocer el de unidades que corresponde a cada una de las cifras de un número podemos utilizar un casillero como el siguiente, en el que hemos ubicado el número : C. Millón D. Millón U. Millón C. Millar D.Mill ar Millar Centena Decena Unidad Cuando en un número no hay unidades de un determinado la cifra correspondiente es 0. Así en los números "quinientos dos mil trescientos ocho" y "setecientos mil cincuenta", tenemos:

12 C. Millar D.Mill ar Millar Centena Decena Unidad C. Millar D.Mill ar Millar Centena Decena Unidad en los que varias de sus cifras son 0, ya que no tienen los órdenes de unidades correspondientes. Subtítulo 1. LECTURA Y ESCRITURA DE NUMEROS Para leer un número determinado, se separan las cifras en periodos de seis empezando de derecha a izquierda. Al segundo grupo comenzando por la derecha le añadimos un uno pequeño, que indica el grupo de los millones. Si hay mas de doce cifras al tercer grupo por la derecha le añadimos, un dos pequeño, y así sucesivamente. A continuación, dentro de cada grupo de seis, separamos de tres en tres con puntos; de este modo cada clase comprende tres órdenes. Para leer vamos enunciando las diferentes clases empezando por la izquierda, diciendo mil donde haya punto, y millones o billones donde estén los subíndices 1 o 2. Así, el número lo leemos: Siete mil trescientos ochenta y cuatro millones, trescientos cinco mil, doscientos sesenta y siete Para escribir cualquier número tenemos en cuenta los siguientes convenios: 1º Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades de inmediatamente superior 2º La primera cifra de la derecha representa las unidades 3º La cifra cero ocupa el lugar de los órdenes intermedios que faltan Vamos a escribir el siguiente número: Cuatro billones, trescientos dos mil cuatrocientos setenta y ocho millones, seiscientos cincuenta y dos mil trescientos ochenta y nueve Para ello empezamos a escribir por la izquierda: - "cuatro billones", ponemos un 4 y subíndice 2 que indica billones: "trescientos dos mil cuatrocientos setenta y ocho millones", escribimos ponemos un punto para separar los miles y el subíndice 1 para indicar los millones: "seiscientos cincuenta y dos mil trescientos ochenta y nueve", escribimos , separado por un punto que me indica mil, y completamos el número: , Subtítulo 1. ESCRITURA DE NUMEROS CON LA CALCULADORA La calculadora es una máquina muy útil para trabajar con números. [Ilustración: Fotografía o dibujo de una calculadora sencilla] Hay muchos tipos de calculadora, las mas sencillas son las calculadoras de cuatro operaciones, similares a la que tienes en la ilustración

13 Para escribir un número en la calculadora has de teclear el número comenzando por su cifra de mayor e introducir, consecutivamente, el resto de sus cifras. Así, si quieres escribir el número "cuarenta mil trescientos setenta y dos", la secuencia de teclas que has de pulsar es: [4] [0] [3] [7] [2] A medida que introducimos las sucesivas cifras éstas aparecen en pantalla, desplazándose hacia la izquierda hasta completar el número: En la calculadora es necesario introducir todas las cifras, incluida la cifra 0, correspondiente a aquellos órdenes que no tienen valor. Si en el ejemplo anterior no hubieras introducido el 0 para las unidades de millar, y hubieras tecleado [4] [3] [7] [2], el número que hubiera aparecido en la pantalla seria 4.372

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