AREA DE ESTADISTICA E INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMA: METODOS ESTADISTICOS. PROYECTO: SERVICIO DE CONSULTORIA ESTADISTICA.
SERVICIO DE CONSULTORIA ESTADISTICA. Diseño con propósitos de un posterior análisis estadístico de: ENCUESTAS, EXPERIMENTOS, MUESTRAS. Análisis estadístico de: EXPERIMENTOS, MUESTRAS No importando el campo de aplicación: Ingeniería, Ciencias Sociales, Biológicas, etc..
CASO: Un investigador en ciencias médicas a cada uno de 46 pacientes suministra tres tipos de drogas: A, B y C. Después de suministrada, cierto tiempo, al inspeccionar al paciente clasifica el efecto de la droga como Favorable (F) o desfavorable (D).
Respuestas a las drogas A, B y C de los 46 sujetos. F: favorable, D: desfavorable. Sujeto DROGA Sujeto DROGA Sujeto DROGA Sujeto DROGA A B C A B C A B C A B C F F D 6 F D F 3 F F F 46 D F D 2 D D D 7 D D D 32 F D F 3 D D F 8 F F D 33 F F D 4 F F D 9 F D D 34 D F F 5 D D D 2 D D F 35 D F D 6 F F D 2 F F F 36 F F D 7 F F F 22 F F D 37 F F D 8 F F D 23 F F U 38 F F F 9 F D D 24 D F D 39 F D D D D F 25 F F D 4 D D F F F D 26 D D D 4 F F D 2 D F D 27 F D D 42 D D D 3 F F F 28 D D F 43 D D F 4 F F D 29 D D D 44 F F D 5 D F F 3 F F D 45 F F F
Situaciones a considerar previo al análisis: Una: Las drogas siempre las suministro en el mismo orden. Dos: Para cada suministro, la asignación de la droga fue aleatoria.
Objetivo: La respuesta favorable es la misma en los tres tipos de droga?. Estamos en el caso uno de la diapositiva anterior? Cómo entrarle al problema?
Considere que: tiene una secuencia de n ensayos, en cada uno de los ensayos puede ocurrir uno y solo uno de los mutuamente excluyentes y exhaustivos eventos: E, E 2,.., E C ; π i = P( E i ) es la probabilidad de que i-ésimo evento ocurra siendo tal que <π i < y c π i = i= tales probabilidades se mantienen inalterables durante los n ensayos, X i es el número de veces que el evento E i ocurrirá, con X i y C i= X i = n Sabemos que la probabilidad de que el evento: E ocurra X veces, E 2 ocurra X 2 veces,, E C ocurra X C veces; cuando se realicen los n ensayos, es dada al utilizar la función de densidad probabilística Multinomial, para la cual E( X i ) = n π i Var( X i ) = n π i ( -π i ) i=, 2,, c Cov ( X i, X i ) = - n π i π i i i =, 2,., c
Si Y = ( X, X 2,...., X c ) es un vector de posibles resultados, su matriz de varianzas y covarianzas esta dado por Var ( Y ) = nπ ( π ) nππ 2 nππ c nππ nπ ( π ) 2 nπ π 2 2 c 2......... nππ c nπ 2πc nπ ( π ) c c
Sabemos que el estimador de máxima verosimilitud para π i es P i = X i / n para i=, 2,..., c Si P = ( P, P 2,...., P C ) es un vector de tales proporciones tal es insesgado del vector π = (π, π 2,...., π C ) con matriz de varianzas y covarianzas dada por Var( P ) = n π( π) ππ 2 ππ c ππ π( π ) 2 ππ 2 2 c 2......... ππ c ππ 2 c π( π) c c
Cuando n ocurre que P ~ N C (π, Var( P ) ) Un estimador consistente de tal matriz es V P = n P( P) PP 2 PP c PP P( P) 2 PP 2 2 c 2......... PP c PP 2 c P( P) c c
EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS. Sean: Y = ( Y, Y 2,..., Y n ) un vector de observaciones a realizar, X una matriz diseño (modelo) de orden n x p, con p n β un vector de p x parámetros y ε un vector de residuales de orden n. Si se tiene el modelo Y = Xβ + ε donde ε ~ N n (, σ 2 I n ),
El teorema degauss-markoff demuestra que el MELI de β es B = (X X) - X Y Qué, si se tiene ε ~ N n (, V n ) en donde V n es una matriz de varianzas y covarianzas diferente de σ 2 I n?
METODO DE MINIMOS CUADRADOS PONDERADOS. Sabemos que existe una única matriz no singular V /2 tal que V /2 V /2 = V De modo que al premultiplicar el modelo propuesto para mínimos cuadrados ordinarios por V -/2 produce V -/2 Y = V -/2 Xβ + V -/2 ε
En donde al hacer: Y* = V -/2 Y, X* = V-/2 X, ε* = V -/2 ε se tiene el modelo Y* = X*β + ε* en cual no es difícil demostrar que ε* ~ N n (, I n )
y que el estimador insesgado de mínimos cuadrados para β es B = (X V - X) - (X V - Y) El cual tiene como matriz de varianzas y covarianzas a Var ( B ) = (X V - X) - El ajuste del modelo puede ser probado usando el valor mínimo de la Suma de Cuadrados del Error, mediante W = min SCE = Y V - Y (XB) BV - XB Así, si el modelo se ajusta a los datos, entonces W~ χ 2 con n-p grados de libertad.
Tras lo cual, si se desean probar hipótesis de la forma Ho: Cβ = con C una matriz de coeficientes de orden c x p el estadístico de Wald es W C = (CB) [ C(X V - X) - ]CB el cual, si Ho es cierta, W C ~ χ2 con c grados de libertad.
Sea F(π) = (F(π ), F(π 2 ),..., F(π U )), un vector de u funciones respuesta de interés, las cuales son independientes, con u s(r ); cada una de ellas requiere tengan derivadas parciales de orden 2. Denote con F(P) = (F (p), F 2 (p),..., F U (p)), al correspondiente función respuesta muestral, y sea Q = F ( ) π La u x sr matriz de derivadas parciales evaluadas a las proporciones muestrales p.
F(P) ~ Nn ( F(π), V F ) con V F =QVˆQ Aunque una variedad de funciones F(P) se pueden considerar, unas pocas de ellas se utilizan en práctica. En particular F(π) = A π Con A una matriz de constantes, siendo apropiada cuando las funciones respuesta son funciones lineales de las probabilidades subyacentes. Siendo su varianza Vˆ F = AVˆ A
Asi, es que se pueden utilizar los Mínimos Cuadrados poderados para ajustar modelos de la forma F(π)= Xβ Volviendo al caso práctico que nos ocupa y disponiendo los datos para usar Mínimos Cuadrados Ponderados se tiene el perfil siguiente:
Perfil de las respuestas a las drogas. DROGA A F F F F D D D D B F F D D F F D D C F D F D F D F D Frec. 6 6 2 4 2 4 6 6
Denotemos con π i y P i a la proporciones de sujetos en el perfil de i-ésima respuesta i=, 2,..., 8 en población y muestra, respectivamente. Sean los vectores Π= (π, π 2,..., π 8 ) y P=(P, P 2,..., P 8 ) Por ejemplo, π = Pr( F F F )
Denótese con π A, π B, π C a las proporciones marginales en población con respuestas favorables a las drogas: A, B y C Por ejemplo: π A = Pr( FFF o FFU o FUF o FUU ) Similarmente defínanse a P A, P B y P C Así si F(P)=( P A, P B, P C ) Puede ser calculado con la transformación lineal donde F(P)=Ap,
= A Siendo =.34783.687.687 F(P)
La hipótesis de que homogeneidad marginal especifica que las probabilidades marginales de una respuesta favorable a las drogas A, B y C son la misma, i.e.: Ho: π A = π B = π C Se utiliza el modelo saturado con F(P)=Xβ donde = X α α µ = β 2
El cual usa reparametrización suma a cero, produciendo los estimados b=(.527,.87,.87) Así que reconfigurando la hipótesis a Ho: Cβ= C =
La estadística de Wald es W C =6.58 con 2 g. l. y una significancia observada de.37 La hipótesis resulta rechazada. Aquí: W C = (CB) [C(X V - X)C ] - CB
Por su atención GRACIAS!