TEORIA DE COLAS, FENOMENOS DE ESPERA

Universidad del Bío-Bío Facultad de Ingeniería Depto. Ingeniería Industrial Investigación de Operaciones II: TEORIA DE COLAS, FENOMENOS DE ESPERA Integrantes: Pedro Chávez Cristian Guajardo Victor Pino Milton Saavedra Nº Grupo: 7 Profesor: Milton Ramírez Domingo 29 de Enero de 2012

INDICE I. INTRODUCCION... 3 II. MODELO DE LINEAS DE ESPERA.... 4 II.1. Elementos básicos del modelo de Líneas de espera... 4 II.1.a. Fuente de entrada o población potencial... 4 II.1.b. Cliente... 4 II.1.c. Capacidad de la cola... 4 II.1.d. Disciplina de la cola... 4 II.1.e. Instalación o mecanismo de servicio... 4 II.1.f. Cola... 5 II.1.g. Sistema de la cola... 5 II.2. Consideraciones... 5 III. PROCESO BASICO DE COLAS... 6 III.1. Estructura básica... 6 III.2. Tipos de Sistemas... 6 III.2.a. Una línea un servidor.... 6 III.2.b. Una línea, múltiples servidores.... 6 III.2.c. Varias líneas, múltiples servidores.... 7 III.2.d. Una línea, servidores secuenciales.... 7 IV. FUNCIONES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL... 7 IV.1. Axiomas... 8 IV.1.a. Axioma 1... 8 IV.1.b. Axioma 2... 8 IV.1.c. Axioma 3... 8 IV.2. Colas especializadas de Poisson... 9 V. MEDIDA DE RENDIMIENTO DE ESTADO DESEABLE... 10 VI. LINEAS DE ESPERA CON LLEGADAS Y SALIDAS COMBINADAS.... 11 VII. APLICACIONES Y EJEMPLO... 12 VII.1. Ejemplo... 12 VIII. CONCLUSIONES... 14 IX. REFERENCIAS... 15 2

I. INTRODUCCION La teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Básicamente los objetivos de la teoría de colas permiten identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo, sin dejar de lado la atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola. Esta teoría aparece a principios del siglo XX para estudiar los problemas de congestión de tráfico que se presentaban en las comunicaciones telefónicas. Erlang, destacado matemático danés, fue el primero en tratar el tráfico telefónico de forma científica (entre los años 1903 y 1905), y estableció la unidad de tráfico telefónico, que recibe su nombre. Comúnmente el problema en las colas surge al querer establecer una determinada capacidad o tasa de servicio que sea balanceada, puesto que un mal cálculo de las colas puede llevar a un costo operacional excesivo, y en contraposición puede causar costos sociales los que se ven reflejados en una pérdida de clientes, como también al mantener empleados ociosos. A continuación se presentan en detalle los elementos que conforman el modelo de líneas de espera, métodos para su desarrollo y los problemas en que se pueden aplicar. 3

II. MODELO DE LINEAS DE ESPERA. Cuando se habla de líneas de espera se refiere a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Un factor por lo que los clientes tengan que esperar en cola puede ser porque los medio existentes son los inadecuados para satisfacer la demanda de servicio, en estos casos, la cola tiende a ser explosiva, esto significa que ha medida que pase el tiempo la cola irá en aumento. Los modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola. Si se tiene, dicha información, se puede ser capaz de tomar decisiones que equilibren los niveles de servicio deseables con el costo de proporcionar dicho servicio. II.1. Elementos básicos del modelo de Líneas de espera II.1.a. Fuente de entrada o población potencial Conjunto de individuos posibles usuarios del servicio. Esta puede ser finita o infinita, aunque esta última no es realista, nos ayuda a resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que la población es finita pero de gran tamaño. Ejemplos serían: personas, automóviles, máquinas que puedan requerir reparación, documentos y diversos artículos. II.1.b. Cliente Todo individuo, entidad o elemento de la población potencial que solicita el servicio, en ocasiones formará una cola. II.1.c. Capacidad de la cola Máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola antes de recibir el servicio. Puede ser finito o infinito. II.1.d. Disciplina de la cola Orden en el que se seleccionan los miembros de una cola para recibir el servicio. Las disciplinas más habituales son: -La disciplina FCFS (first come firts serve): Se atiende al cliente que primero haya llegado. -La disciplina LCFS (last come first serve): Se atiende primero al cliente que ha llegado último. -La SIRO (random selection of service): Selecciona a los clientes de forma aleatoria. II.1.e. Instalación o mecanismo de servicio Procedimiento por el cual se entrega el servicio al cliente. Consiste en una o más instalaciones de servicio, donde cada una de ellas consta con uno o más servidores. Conocido el número de servidores es necesario conocer el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio hasta su terminación en una instalación según el 4

cliente, el cual es llamada tiempo o duración de servicio. Un modelo de un sistema de colas debe especificar la distribución de la probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. II.1.f. Cola Número de clientes que esperan ser atendidos por el servicio que han solicitado, no incluye a quien está recibiendo el servicio. II.1.g. Sistema de la cola Conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, la fuente son los clientes que tienen la alternativa de iniciar el servicio o esperar en la cola su turno. Los elementos básicos de un modelo de espera dependen de los siguientes factores: -Distribución de llegada. -Distribución de tiempo de servicio. -Diseño de instalaciones de servicios. -Disciplina de servicio. -Tamaño de cola. -Fuente de llamadas. II.2. Consideraciones Otro factor que podría considerarse en las líneas de espera es la conducta humana, ya que un cliente puede cambiarse de una línea de espera a otra pensando en reducir su tiempo de espera. Algunas personas también pueden eludir la línea cuando se percatan que la demora será de arto tiempo, o bien, pueden renunciar después de estar un momento en la fila ya que su espera haya sido demasiado larga. Como complemento definiremos los costos posibles: -Costos de espera: Es lo que significa al cliente tener que esperar en la cola, es decir el costo oportunidad del tiempo que ha de demorarse en ser atendido. -Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio entregado. Uno de los objetivos de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo. Desde el punto de vista de un modelo de espera, una situación de líneas de espera se genera de la siguiente manera: cuando un cliente llega a una instalación se forma una línea de espera, el servidor atiende al cliente correspondiente de la cola para comenzar y prestar el servicio, al terminar el servicio con el cliente, se repite el servicio con el siguiente en espera. Se supone que no se pierde tiempo entre el momento que un cliente ya atendido sale de la instalación y la admisión de un nuevo cliente en espera. Desde el punto de vista del análisis de colas, la llegada de clientes se representa por media del "tiempo entre llegadas" y el servicio se describe por el "tiempo de - servicio" por cliente. En general los tiempos entre llegada y servicios pueden - ser probabilística. 5

III. PROCESO BASICO DE COLAS El proceso básico supuesto por la mayoría de los modelos de cola es el siguiente: los clientes entran y se unen al sistema de colas, en determinado momento se selecciona un miembro la cola para proporcionarle el servicio, mediante una regla conocida como "disciplina de cola", posteriormente en un mecanismo de servicio se lleva a cabo la necesidad del cliente, ante lo cual sale del sistema de colas. La disciplina más común es al que llega primero se le atiende primero (FCFS). Otras disciplinas influyen al que llega al último se le atiende primero (LCFS) y servicio en orden aleatorio (SIRO). Los clientes también se pueden seleccionar de la cola con pase en algún orden de prioridad. III.1. Estructura básica Permitiendo que varíen el número de colas y el número de servidores, pueden hacerse los: diagramas de, los cuatro, tipos de sistemas como se observa en las siguientes figuras. III.2. Tipos de Sistemas III.2.a. Una línea un servidor. Se utiliza para describir sistemas de una sola cola, como lavados de auto o sistemas de descarga. III.2.b. Una línea, múltiples servidores. Una línea de múltiples servidores, es utilizado típicamente en sistemas en los que se avanza mediante varios servidores, como en una carnicería o farmacia, en la que cuando se llega al local se debe sacar un número y se espera el turno correspondiente. 6

III.2.c. Varias líneas, múltiples servidores. Es aquel en donde cada servicio tiene su propia cola, esto queda claro en el caso de los bancos ya que estos tienen colas para clientes, empresas y público general. III.2.d. Una línea, servidores secuenciales. Es un sistema de cola de servicios, esto generalmente ocurre en una fábrica. IV. FUNCIONES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL En la mayor parte de las situaciones de colas, el arribo de los clientes ocurre en forma totalmente aleatoria: este carácter aleatorio significa que la ocurrencia de un evento (por ejemplo la llegada de un cliente o el término de un servicio) no está influido por el tiempo que trascurre desde la ocurrencia del último evento. Los tiempos aleatorios entre llegadas y de servicio se describe en forma cuantitativa con el propósito del modelado de colas mediante la distribución exponencial, que se define como: f ( T) * t * e, t 0 (Exponencial) Con media E t 1 7

Para ilustrar la aplicación de las distribuciones de poisson y exponencial, se considera una situación de espera en la cual el numero de llegadas y salidas (a las que se le da servicio), durante un intervalo de tiempo es controlado por los siguientes axiomas. IV.1. Axiomas IV.1.a. Axioma 1 La probabilidad que un evento (llegada o salida) ocurra entre los tiempos t y t+h depende únicamente de la longitud de h lo que significa que la probabilidad no depende ni del numero de evento que ocurren hasta el tiempo t ni del valor especifico del periodo (0,t). (Matemáticamente decimos que la función de probabilidad tiene incrementos independientes estacionarios). IV.1.b. Axioma 2 La probabilidad que ocurran n eventos durante un intervalo de tiempo muy pequeño h es positiva, pero menos que uno. IV.1.c. Axioma 3 Cuando mucho, puede ocurrir un evento durante un intervalo de tiempo muy pequeño h. Estas tres condiciones describen un proceso donde el conteo de eventos durante un intervalo de tiempo dado sigue la distribución de poisson y que equivalentemente, el intervalo de tiempos entre eventos sucesivos es exponencial. En este caso decimos que las condiciones representan un proceso de poisson, definiendo lo siguientes se tiene: Pn(t)= probabilidad de que ocurran n eventos durante el tiempo t. Como f(t) es una distribución exponencial, la teoría de la probabilidad indica Pn(t) debe ser una distribución de poisson, o sea: n * t ( * t) * e Pn ( t), 0,1,2,... n! n (Poisson) El valor medio de n durante un periodo dado t es E n / t * t eventos. Esto significa que alfa representa la tasa a la que ocurren los eventos. La conclusión de los resultados anteriores es que si el intervalo de tiempo entre eventos sucesivos es exponencial con media de 1/ unidades de tiempo, entonces, el número de eventos de un periodo dado debe corresponder a una distribución de 8

poisson, o con una tasa media de ocurrencia (evento por unidad de tiempo). El enunciado inverso igual es verdadero. El proceso de poisson es un proceso completamente aleatorio porque tiene la propiedad de que el intervalo de tiempo que permanece hasta la ocurrencia del próximo evento, es totalmente independiente del intervalo tiempo que ha trascurrido desde la ocurrencia del último evento. Esta propiedad equivale a demostrar el siguiente enunciado de probabilidad: P t T S T s Pt T Donde s es el intervalo de tiempo desde la ocurrencia del último evento. Como t es exponencial, tenemos: P t T S T S P t T S T P T S S P t T P t S S e *( T S ) T e * * S P e t T Esta propiedad suele denominarse olvido o falta de memoria de la distribución exponencial, y es la base para demostrar que la distribución de poisson es totalmente aleatoria. Otra característica que distingue a la de poisson es que es la única distribución cuya media es igual a la varianza. En ocasiones se usa esta propiedad como un indicador inicial para conocer si los datos de muestra se tomaron de una distribución de poisson. IV.2. Colas especializadas de Poisson Se tiene una situación especializada de cola de poisson c servidores paralelos idénticos. Un cliente en espera se selecciona de la cola para inicial el servicio con el primer servidor libre. La tasa de llegada al sistema es clientes por unidad de tiempo. Todos los servidores ofrecen servicios iguales lo que significa que la tasa de servicio para cualquier servidor es clientes por unidad de tiempo. El número de cliente en el sistema está definido para incluir los que están en servicio y los que esperan en la cola. La notación estándar descrita fue ideada originalmente por DG kendall en 1953 en la forma (a/b/c) y se le conoce en la literatura como notación de kendall después, A.M. lee en 1966 agregó los símbolos d y e a la notación de kendall. En el modelo se 9

aumenta la notación de kendall-lee mediante el uso del símbolo f, que representa la capacidad de las fuentes de llamadas. (a/b/c):(d/e/f) Donde: - a: descripción de la distribución de llagadas - b: descripción de la distribución del tiempo de servicio (o de salidas) - c: numero de servidores en paralelo - d: disciplina general de servicio o de la cola - e: número máximo (finito o infinito) admitido en el sistema (en la cola y además en el servicio). - f: tamaño de la fuente de llegada (finito o infinito) La notación estándar para representar las distribuciones de llagada y salida (símbolos a y b) son: - M: distribución de llegadas o salidas Markovianas (o de poisson) o como de forma equivalente, distribución de llegadas o de tiempo de servicio exponencial. - D: distribución degenerada (tiempos constantes) - Ek: distribución Erlang o gama del tiempo (suma de distribuciones exponenciales independientes) - GI: distribución general (permite cualquier distribución arbitraria) del tiempo de llegadas. - G: distribución general (permite cualquier distribución arbitraria) del tiempo de servicio. La notación de la disciplina de colas (símbolo d) incluye: - FCFS: el primero que llega es el primero que se entiende - LCFS: el último que llega es el primero que se atiende - SIRO: servicio en orden aleatorio. - GD: disciplina general, es decir, cualquier tipo de disciplina. V. MEDIDA DE RENDIMIENTO DE ESTADO DESEABLE Las medidas de desempeño de estado estables se pueden usar para analizar la operación de las líneas de espera con el fin de hacer recomendaciones sobre el diseño del sistema, entre las principales medidas de desempeño se cuentan: el número de clientes estimados en espera, el tiempo estimado de espera por cliente y la utilización estimada del servicio. Las medidas de rendimiento más comúnmente usadas en una situación de colas son: - Ls: número esperado de clientes en el sistema. - Lq: número esperado de clientes en la cola. - Ws: tiempo aproximado de espera en el sistema. - Wg: tiempo aproximado de espera en la cola. 10

- C: número esperado de servidores ocupados. VI. LINEAS DE ESPERA CON LLEGADAS Y SALIDAS COMBINADAS. Modelo (M/M/1) :(GD/ / ) Este es un modelo donde se indica que la entrada o llegada al sistema es poisson, la atención es exponencial, se tiene un único servidor que presta los servicios. Este modelo presenta una disciplina de cola general (generalmente es fcfs), la capacidad del sistema y de la fuente son infinitas. Se supone que las tasas de llegadas son independientes del número en el sistema, es decir λ n = λ. Similarmente se supone que el servidor completa su servicio a una tasa constante, es decir, µ n = µ. Definiendo generalizado de Poisson: obtenemos la siguiente fórmula general para este modelo Ecuaciones del Sistema M/M/1 ( ): λ= Tasa de llegada o número promedio de llegada de cliente por unidad de tiempo. 1/λ= Tiempo medio entre llegadas. 1/μ= Tiempo promedio de atención a un cliente. µ= Tasa de servicio o número promedio de servicios por unidad de tiempo. Este parámetro representa la máxima capacidad de servicio. n= Cantidad de clientes en espera. P W : Probabilidad de que el sistema este ocupado. P w debe ser menor que 1 porque de lo contrario, si llegan más clientes que la capacidad de atención que debe tener el sistema, se formará una cola cuyo crecimiento será infinito. Si ρ es mayor que 1, se deberán agregar más servidores al sistema de manera que se cumpla la condición. P W P 0 : Probabilidad de que el sistema este vacío. P 0 1 PW 1 1 P n : Probabilidad de que haya n unidades en el sistema. P P ) n n n 0. P0.( 11

L: Valor esperado de unidades en el sistema. L np n 1 n 0 L q : Valor esperado de unidades que esperan ser atendida (cola). L q 2 2 1 ( ) L L q W: Valor esperado del tiempo en que una unidad se encuentra en el sistema. W L 1 W q : Valor esperado del tiempo en que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida (tiempo en la cola). W q L q.( ) W W q 1 Las líneas de espera que combinan salidas y llegadas se inician en condiciones transitorias y llegan gradualmente al estado estable después de haber transcurrido un tiempo lo suficientemente grande, siempre que los parámetros permitan que se alcance el estado estable. VII. APLICACIONES Y EJEMPLO Un ejemplo claro de este tipo de colas es en un lavado de autos en donde se dispone de una maquina única para realizar el servicio y los clientes esperando su servicio. El uso de cajeros automáticos es otro ejemplo de este tipo de modelo. El uso de la maquina principal para el proceso de la madera en un aserradero. VII.1. Ejemplo Los clientes llegan a una ventanilla bancaria de autoservicio, según una distribución de Poisson con media de 10 por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 5 minutos. El espacio en frente de la ventanilla, incluyendo al auto al que se le está dando servicio, puede acomodar un máximo de tres automóviles. Otros vehículos pueden esperar fuera de este espacio. a) Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega pueda manejar directamente hasta el espacio frente a la ventanilla? 12

b) Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tendrá que aguardar fuera del espacio indicado? c) Cuántos espacios tendrán que proporcionar enfrente de la ventanilla de manera que todos los clientes que llegan puedan esperar frente a ésta al menos el 20% del tiempo? Solución: Resolviendo mediante el modelo (M/M/1) :(GD/ / ) a) λ= 10 clientes/hora = 10(Clientes/hora)*(1/60)= 0,16667 clientes/minuto μ= 5 minutos Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente que llega pueda manejar directamente hasta el espacio frente a la ventanilla es de aproximadamente un 96,7% b) la posibilidad de que un cliente que llega tenga que aguardar afuera, implicaría que este es el cliente nº 4, pues en la ventanilla solo hay 3 puestos, por ende n=4 ρ= λ/ μ =0,16667/5= 0,03333 Luego,, la probabilidad de que un cliente que llega tenga que aguardar fuera del espacio indicado es del 0% c) en el enunciado se indica que Por lo tanto, los espacios en la ventanilla, para que el cliente espere como mínimo un 20% del tiempo frente a ella tiene como valor óptimo 1 sola ventanilla 13

VIII. CONCLUSIONES Los sistemas de colas son muy comunes hoy en día, ya que para diversos trámites, tales como trámites bancarios, pago de cuentas, etc.; o utilización de algunos servicios, como por ejemplo cajeros automáticos, se pueden producir colas, por lo cual este tipo de sistemas no se pueden dejar de lado. El tema de tener que realizar colas es algo engorroso, que tiene efecto sobre la calidad de vida de las personas, ya que estas deben dedicar parte de su tiempo a esperar ser atendidos, lo cual es un costo para estas personas. Es por esto que las empresas están tratando de buscar la forma de reducir esto a través de los servicios a domicilio o utilización de sistemas online, como son el caso de pago de cuentas, pedidos de comida, etc; el objetivo que pretenden conseguir con esto es que los clientes prefieran utilizar el servicio prestado por este tipo de empresas, ya que con esto disminuirán sus costos, los costos de la empresa y por consiguiente esto provocará un aumento de la productividad de esta. Un claro ejemplo son las tiendas de Retail que trabajan intensamente en el tema de la teoría de colas. En los módulos de atención a clientes, se han implementado números de atención para luego ser llamado para solucionar sus problemas. En síntesis, la teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera, donde la formación de colas es un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva, por lo que se trata de una potente herramienta que puede ser de gran utilidad en una infinidad de situaciones tanto cotidianas como industriales y que se nos presentarán reiteradas veces en nuestro ambiente laboral. 14

IX. REFERENCIAS - Ricardo Cao, Ricardo Cao Abad. Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas. [Recurso Bibliográfico]. 1º Ed. NETBIBLIO, Coruña, España, 2002 [Consulta: 24 de Enero del 2012] - Thomas L. Saaty, Rafael Pro Bermejo. Elementos de la teoría de colas. [Recurso Bibliográfico]. Aguilar, 1997 [Consulta: 24 de Enero del 2012] - David de la Fuente García; Raúl Pino Diez. Teoría de líneas de espera: Modelos de Colas. [Recurso Bibliográfico]. Universidad de Oviedo, Servicio de Publicaciones, España, 2001[Consulta: 24 de Enero del 2012] - Franco Bellini M. Teoría de Líneas de Espera. [En línea] Investigación de Operaciones, Universidad Santa María, Caracas, Venezuela. [Consulta: 26 de Enero del 2012]. Disponible en: http://www.investigacionoperaciones.com/teoria_colas_web.htm - Prof. Efraín Muretti. Sistema de Colas. [En línea] Simulación de Sistemas, UGMA, Barcelona, Venezuela. [Consulta: 28 de Enero 2012]. Disponible en: http://members.libreopinion.com/ve/efrain-muretti/simulacion/ss_colas.pdf 15