Modelos probabiĺıstas para juegos: los orígenes. Por: María Emilia Caballero Instituto de Matemáticas, UNAM 2o. Congreso de Actuaría, FC UNAM Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 1 / 44
PRIMER JUEGO Una fecha fundamental para establecer los orígenes de la probabilidad es 1654, año en el cual se lleva a cabo el famoso intercambio de cartas entre Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665). El problema que nos ocupa de esta correspondencia es el famoso: problema de los puntos que aparece por primera vez en el libro de Fra Luca de Paccioli (Venecia 1494) y dice asi: Se juega entre dos equipos A y B, cada uno apuesta una cantidad igual (5 ducados) y el juego consta de un cierto número de etapas. Cada etapa da a quien la gana 10 puntos, cero puntos a quien la pierde y ambos equipos son igualmente capaces de ganar una etapa. Gana el juego, el primero en llegar a 60 puntos. El juego debe interrumpirse cuando el equipo A lleva 50 puntos ganados y el B lleva 20 puntos.?cómo debe repartirse la apuesta total (10 ducados) entre los dos jugadores? Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 2 / 44
PRIMER JUEGO Algo similar plantea Chevalier de Meré a Pascal y solo las cifras cambian: Dos jugadores A y B apuestan 32 pistols cada uno, para tener una bolsa total de 64 pistols. El juego, nuevamente consta de varias etapas y cada etapa da a quien la gana un punto (ambos jugadores son igualmente capaces de ganarla). Gana el juego y por lo tanto la bolsa total el primero en llegar a tres puntos. El juego debe interrumpirse cuando A lleva 2 puntos y B cero puntos. La pregunta es la misma. Este es el problema que Pascal le platentea a Fermal en la correspondencia mencionada. Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 3 / 44
PRIMER JUEGO Pascal piensa que debe empezar con un caso más simple: A lleva 2 puntos y B lleva 1 punto: Si A gana se lleva la bolsa entera, es decir, las 64 pistols. Si B gana la etapa llevarán cada uno 2 puntos y en ese caso por tratarse de un empate, la bolsa deberá repartirse mitad y mitad, esto es, a A le tocarán 32 pistols. Se sabe que ambos jugadores tienen igual capacidad de ganar una etapa, por lo que la repartición justa deberá ser: x = 64 2 + 32 2 = 48. Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 4 / 44
PRIMER JUEGO Al disponer de ésta información Pascal ya puede tratar el caso que le preguntan originalmente, a saber si A lleva 2 puntos y B cero: si A gana se lleva la bolsa entera y si B gana, se llega al caso anterior, ya que A llevará 2 puntos y B un punto, y ya se sabe que en tal caso a A le corresponden 48 pistols y a B las 16 restantes. Nuevamente, ambos tienen la misma probabilidad de ganar la etapa por lo que la reparticion justa es x = 64 2 + 48 2 = 56. Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 5 / 44
Por último y aunque esta pregunta no aparece en la correspondencia de estos dos sabios, veamos el caso en que A lleve un punto y B cero puntos: Si A gana la etapa, se estará en la situación 2 a 0, por nosotros ya conocida y si B gana hay un empate y la bolsa se reparte mitad y mitad: Y ahora x = 56 2 + 32 2 = 44. Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 6 / 44
En su escrito, además de resolver el problema planteado por Meré, Pascal maneja por primera vez las siguientes ideas y futuros conceptos matemáticos, que en su época ni tenían estos nombres, ni se conocían, ni se utilizaban: Variable aleatoria y esperanza matemática. Probabilidad y esperanza condicionales. Martingala. Cadena de Markov. Tiempo de paro Problema de la ruina Solución elemental al problema de valuación de una opción Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 7 / 44
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El método de Pascal descrito con la teminología actual es el siguiente: gana el juego el primer jugador alcance N puntos. Se define A(r, s) como la probabilidad de que A gane el juego si sabemos que A tiene r puntos y que B tiene s en el momento de interrumpir el juego: Entonces se cumple, para s, r (0, n), (a.) A(r, N) = 0 (b.) A(N, s) = 1 (c.) A(r, s) = pa(r + 1, s) + qa(r, s + 1) En efecto, las afirmaciones (a.) y (b.) son inmediatas de la definición. Para demostrar la propiedad (c.) se requiere el concepto de probabilidad condicional y para la demostración se introducen los siguientes eventos y variables aleatorias : G A = el jugador A gana el juego, { 1 si A gana la i-ésima etapa, X i = 0 si no y Y k = X i i=1 Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 9 / 44 k
Figura: Pascal ya que A(r, s) = P(G A Y r+s = r) = P(G A, Y r+s = r) P(Y r+s = r) = p. P(G A, Y r+s = r, X r+s+1 = 1) P(X r+s+1 = 1) P(Y r+s = r) + q. P(G A, Y r+s = r, X r+s+1 = 0) P(X r+s+1 = 1) P(Y r+s = r) = p P(G A Y r+1+s = r + 1) + q P(G A Y r+s+1 = r) = pa(r + 1, s) + qa(r, s + 1) Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 10 / 44
Es fácil ver que a partir de éstas relaciones podemos calcular A(r, s) para toda r, s N : Se empieza con A(N 1, s), s = N 1, N 2,..,0 y se obtiene: A(N 1, N 1) = p A(N 1, N 2) = p + pq A(N 1, N 3) = p + pq + pq 2... A(N 1, 0) = p + pq + pq 2 + + pq N 1 Luego se calcula A(N 2, s), s = N 1, N 2,...i, 0 y así sucesivamente. Por ejemplo A(N 2, N 3) = p.a(n 1, N 3) + qa(n 2, N 2) Se le puede llamar a esta idea de Pascal el método de inducción regresiva. Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 11 / 44
Si aplicamos esto al problema de Pascal obtenemos lo mismo (con N = 3): si A lleva 2 puntos y B lleva 1 punto y A(2, 1) = 1/2 + 1/4 = 3/4 lo que multiplicado por el capital total nos da 48... si A lleva 2 puntos y B lleva 1 punto y A(2, 0) = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 lo que nos da 56... si A lleva 2 puntos y B lleva 0 punto y A(1, 0) = pa(3, 0) + q.a(2, 1) lo que nos da 44... El concepto de tiempo de paro o tiempo aleatorio también aparece τ = mín{k : Y k = N} y veremos más adelante la importancia del mismo. Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 12 / 44
Figura: Arbol Binario Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 13 / 44
Figura: Arbol Binario Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 14 / 44
Figura: Arbol Binario Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 15 / 44
SEGUNDO PROBLEMA o problema de la ruina. Tenemos a dos jugadores Jose y Melania, que juegan a los volados y Jose tiene inicialmente a 1 y Melania tiene b 1 pesos, a, b N y en cada volado se gana o se pierde un peso: Jose gana un peso si sale águila y Melania paga ese peso, y si sale sol es al revés. Las variables que nos interesan en este caso son: { 1 si J gana la i-ésima etapa, X i = 1 si no El juego termina cuando uno de los dos se quede sin dinero. (S n, n N) describe la evolución del capital de Jose. Es decir, S n = a + Cuál es la probabilidad de que gane Jose? Cuál la que gane Melania? Una solución es aplicar a este problema las ideas de Pascal y usar probabilidad condicional: Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 16 / 44 n i=1 X i
Sea h(u) = P(J S 0 = u) con u {1, 2,..., c 1}, c = a + b y J el evento Jose pierde, es decir se alcanza primero el nivel 0 antes que el nivel c = a + b habiendo empezado con u pesos. (el caso que nos interesa es u = a: h(0) = 1 h(c) = 0, h(u) = ph(u + 1) + qh(u 1), h(0) = 1, h(c) = 0 En el caso de que p = 1/2 = q la última ecuación toma la forma: h(u) = 1 2 ( h(u + 1) + h(u 1) ) P(J S 0 = u) = P(J (S 1 = 1 + u) S 0 = u) + P(J (S 1 = u 1) S 0 = u) Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 17 / 44
Es un sistema de ecuaciones a diferencias finitas que se resuelve facilmente y si denotamos por r a q/p en el caso p q y la solución esta dada por h(j) = rj r c 1 r c, h(a) = ra r c 1 r c El caso p = q = 1/2 es más directo y se obtiene h(j) = c j, h(a) = b c a + b Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 18 / 44
También es claro que si M denota al evento Melania pierde se tiene P(M S 0 = u) = P(M (S 1 = 1 + u) S 0 = u) + P(M (S 1 = u 1) S 0 = u) Si k(u) = P(M S 0 = u) con u {1, 2,..., c 1}, tenemos k(0) = 0 k(c) = 1, k(u) = pk(u + 1) + qk(u 1) Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 19 / 44
Al hacer los cálculos se obtiene y k(j) = 1 rj 1 ra, k(a) = 1 rc 1 r c p q k(j) = j/c, k(a) = Lo extraordinario es ver que a a + b, p = q = 1/2 h(j) + k(j) = rj r c 1 r c + 1 rj 1 r c = 1 o bien si p = q, h(j) + k(j) = c j c para toda j = 0, 1,... + j c = 1 Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 20 / 44
Consecuencias de este simple cálculo toda caminata aleatoria simple sale de una intervalo dado con probabilidad 1. si r < 1, lím c h(u) = r u, lím c k(u) = (1 r u ) si r = q p > 1 se tiene, lím c h(u) = 1, lím c k(u) = 0 La probabilidad lím c h(u) = r u también se puede interpretar como P(m 0 S 0 = a) = r a, r < 1 y P(m 0 S 0 = a) = 1, r 1 y donde m = mín{s n : n = 0, 1, 2,...}. Es decir, se trata de la probabilidad de que Jose ( si inicia el juego con u pesos) se arruine eventualmente. Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 21 / 44
Al trasladar S 0 al origen se tendrá P(m ( a) S 0 = 0) = r a, r < 1 P(m ( a) S 0 = 0) = 1, r 1 por reflexión si ahora M = máx{s n : n = 0, 1, 2,...} se tiene P(M a S 0 = 0) = (r ) a, donde r = p q Como a > 0 es arbitraria, esto nos lleva a conjeturar que P( lím n S n = ) = 1, r 1 P( lím n S n = ) = 1, r < 1 Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 22 / 44
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Lo notable es que esto mismo sucederá para cualquier caminata aleatoria, es decir, cuando las (X i ) i N son cualesquiera vaiid (no sólo el juego de volados) y n S n = a + De hecho se sabe que dada una caminata aleatoria cualquiera se tiene una tricotomía. Si la media de X 1 es mayor que 0 se tiene lím n S n = + o Si la media de X 1 es = 0, entonces i=1 X i lím inf S n =, lím sup S n = + n n Si esta media es negativa, lím n S n = Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 25 / 44
En términos de tiempos de paro el problema de la ruina se puede expresar así: si τ x = mín{k : S k = x} J = {τ 0 < τ a+b }, M = {τ 0 > τ a+b } mín(τ 0, τ a+b ) < mín(τ x, τ y ) <, x, y N Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 26 / 44
Los problemas de ruina o de barreras se pueden plantear también para procesos en tiempo contínuo siempre que tengan ciertas propiedades similares a las de una caminata aleatoria simétrica(p = 1/2 = q): el Movimiento Browniano los procesos de Lévy estables (simétricos), Los procesos de Lévy Transformada de Lamperti ( 2011) Trabajos recientes: MEC, Chaumont, Doney, Kyprianou, Pardo, Pérez, Rivero etc etc. Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 27 / 44
Que son los procesos de Lévy? Son familias de V.a. (X t : t [0, )) que cumplen las siguientes propiedades. X 0 = 0 tienen incrementos independientes, es decir, si s, t > 0, (X t+s X t ) es independiente de F t. tienen incrementos estacionarios: para r, s, t 0, (X t+s X t ) tiene la misma distribución que (X r+s X r ) tienen trayectorias suficientemente regulares (cadlag) En este caso las trayectorias del proceso X = (X t, t 0), (i.e. para cada ω fijo es la función t X t (ω)) tienen dominio [0, ) y toman valores en R, lo que hace todo más dificil... y estas trayectorias no son por lo general contínuas... tienen muchos saltos... Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 28 / 44
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EL Movimiento Browniano, que usualmente se denota por B = (B t : t 0) es un proceso de Lévy al que se le pide además que B t tenga distribución normal de media 0 y varianza t, es decir p(t, x, A) = P(B t A B 0 = 0) = 1 (2πt) 1/2 A exp ( x 2 ) dx, t > 0 2t Y podemos entonces plantear preguntas similares al caso de la caminata aleatoria: Cual es la probabilidad que habiendo empezado en el punto a > 0 llegue primero a c = (a + b) que a cero?? (Melania gana) Si tenemos un MB que empieza en 0 y a > 0, d < 0? cual es la probabilidad de que salga del intervalo (d, a) por a y cual la de que salga por d? Es cierto que con probabilidad 1 sale de cualquier intervalo finito? Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 30 / 44
Si recordamos que existen teoremas que nos permiten aproximar al MB mediante un reescalamiento cada vez más fino en el tiempo y el espacio de las caminatas aleatorias simples, no será sorprendente el siguiente resultado: Teorema Si B es un movimiento Browniano que empieza en a > 0 y sea b > 0. Entonces k(a) = P(τ (a+b) < τ 0 B 0 = a) = a a + b donde h(a) = P(τ (a+b) > τ 0 B 0 = a) = τ x = ínf{t > 0 : B t = x}. b a + b Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 31 / 44
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La idea de la demostración es totalmente diferente del caso discreto: El kernel Gaussiano, 1 y)2 p t (x, y) = exp( (x ) (2πt) 1/2 2t que es la densidad de B t satisface LA ECUACIÓN DEL CALOR p t t = 1 2 p t 2 x 2. Ahora agregamos condiciones a la frontera en una región acotada, por ejemplo un intervalo I = (0, c = a + b) y k(0) = 0, k(c) = 1 como condición a la frontera, la solución satisface d 2 k dx 2 = 0, 0 < x < c por lo que es una función lineal y esta dada por k(x) = x c = a a + b Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 33 / 44
Vemos la analogía con el juego de volados...es el mismo resultado del juego en el que Melania gana si p = q es decir el caso simétrico o justo del juego de volados. Si cambiamos las condiciones a la frontera y ahora se pude que h(0) = 1, h(c) = 0 se obtiene como solución k(x) = c x c = b a + b ( probabilidad de que José gane) Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 34 / 44
Proceso de Cramér-Lundberg (Pérez Garmendia, J.P. Pardo). Un Proceso de Poisson es un proceso de Lévy, que usualmente se denota por N = (N t : t 0), al que se le pide además que N t tenga distribución de Poisson de media 0 y varianza λt,y si ahora pensamos en uns suma aleatoria N(t Y t = con (X i ) i N vaiid, se obtiene un proceso de Poisson Compuesto que también es proceso de Lévy. Recordemos el Modelo Kramer-Lundberg i=1 X i N t Z t = x + ct ξ i. Y vemos que otro modelo más general sería cambiar la parte ct N t i=1 ξ i por un proceso más general, a saber, por un PLEN, es decir, i=1 Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 35 / 44
Procesos de Lévy en Teoría del riesgo. Supondremos que Z es un proceso de L évy espectralmente negativo (sin saltos positivos), lo que permite afirmar que tiene transformada de Laplace Ψ. Por la descomposición de Lévy-Khintchine tenemos que podemos escribirla } { 0 ψ(θ) = (e θz 1 θz1 {z> 1} )Π(dz) 1 } { + cθ 1 (1 e θz )Π(dz) { } 1 + 2 σ2 θ 2. El primer término lo podemos entender como un número infinito numerable de reclamos arbitrariamente pequeños compensados por una deriva positiva correspondiendo a la acumulación de primas sobre un número infinito de contratos. Los reclamos ocurren tal que en un periódo de tiempo dt, un reclamo de tamaño x se realiza de manera independiente con probabilidad Π(dx)dt + o(t). Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 36 / 44
Procesos de Lévy en Teoría del riesgo. La aseguradora balancea tales reclamos asegurándose que colecte primas de manera que en cualquier dt, x Π(dx)dt de su ingreso esta dirigido a compensar reclamos de tamaño x. El segundo término proviene de reclamos grandes que ocurren ocasionalmente y compensados por un ingreso fijo a tasa c > 0 (Cramér-Lundberg). Y el tercer término se puede ver como una perturbación estocástica del sistema de ingresos de reclamos y primas. Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 37 / 44
Funciones de escala. Las funciones de escala resultan una herramienta muy natural para analizar funcionales trayectoriales de procesos de Lévy espectralmente negativos. Para cada q 0 existe una función W (q) : R [0, ) definida por su transformada de Laplace 0 e βx W (q) (x)dx = 1 ψ(β) q para θ > Φ(q). Recordemos que el tiempo de ruina, esta dado por τ0 = ínf{t > 0 : X t < 0}. En cuyo caso podemos identificar al déficit en la ruina con ( Z τ ) y la riqueza antes de la ruina con (Z 0 τ ). 0 Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 38 / 44
Propiedades distribucionales en la ruina. (Pérez Garmendia, J.C. Prado, 2013) Probabilidad de ruina y fórmula de Pollaczek-Khintchine En el caso de que el capital de la aseguradora sea un proceso de Lévy Z con exponente característico ψ, entonces: P x (τ 0 < ) = 1 ψ (0+)W (x). y además si Z t = δt S t (con S t un proceso de Lévy no decreciente) para t 0 entonces, P x (τ 0 = ) = ψ (0+) δ donde ν(dx) = δ 1 Π(x, )dx en (0, ). ν n (x). n 0 Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 39 / 44
Propiedades distribucionales en la ruina. (Pérez Garmendia, J.C. Prado, 2013) Tenemos las siguientes identidades para la probabilidad de que la aseguradora se arruine: Propiedades asintóticas Supongamos que existe α 0 tal que E(e αxt ) = 1 para toda t 0 (condición de Cramér), y que la medida de Lévy no tenga soporte en un látice cuando Π(, 0) <, entonces: lím x eαx P x (τ0 < ) = ψ (0) ψ ( α). Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 40 / 44
Estimaciones de la ruina con colas pesadas, Pérez-Pardo Supongamos que Π(, x), x 0, es de variación regular en infinito con índice (α + 1), para α > 0, entonces conforme x. P x (τ 0 < ) 1 ψ (0+) x Π(, y)dy, Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 41 / 44
Propiedades distribucionales en la ruina.pérez-pardo Recordemos que el déficit en la ruina no es mas que Z τ, en este 0 caso tenemos las siguientes identidades: Déficit en la ruina. Sea Z un proceso de Lévy espectralmente negativo que representa el capital de la aseguradora, con función de escala W y medida de Lévy Π, entonces: } P x ( Z τ 0 du, τ 0 < ) = { [0,x] W (dz)π(x + u z, ) Ruina por creeping. Sea X un proceso de Lévy espectralmente negativo que representa el capital de la aseguradora, con función de escala W y coeficiente Gaussiano σ 2 > 0, entonces: du. P x ( X τ 0 = 0, τ 0 < ) = σ2 2 W (x). Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas para juegos 42 / 44