Caítulo 5: UNCIONES DE VRIS VRILES 5 Dominio gráica de unciones En esta sección estudiaremos unciones reales de varias variables reales Cantidades de la vida cotidiana o económica o ciertas cantidades ísicas deenden de dos o más variables El volumen de una caja V deende del largo del ancho de la altura de la caja Los costos de una emresa que abrica dos tios de artículos deenden de q la cantidad de artículos de tio I q la cantidad de artículos de tio II que roduce La temeratura que tiene un gas deende del volumen que ocua de su resión Veamos la deinición ormal de una unción real de dos variables Deinición- Sea D un conjunto de ares ordenados de números reales D R Una unción real de dos variables reales es una regla que asigna a cada ar ordenado en D un único número real denotado or El conjunto D es llamado el dominio de la unción el conjunto de todos los valores de la unción es el rango de la unción Observación: Cuando tenemos una unción de dos variables se suele utiliar ara reresentar los valores de la unción: La variable es la variable deendiente las variables indeendientes Normalmente no se esecíica cual es el dominio de la unción Cuando éste es el caso tenemos que considerar el dominio imlícito El dominio imlícito de una unción de dos variables es el conjunto más amlio de donde tiene sentido evaluar la órmula el resultado es un número real Muchas veces este dominio se reresenta gráicamente En el caso de dos variables la reresentación es una región en el lano Ejemlo - Sea a Calcular el dominio de b Rereséntelo gráicamente c Calcule Solución: a La unción está bien deinida es un número real cuando el radicando es maor o igual a cero esto es: sí que el dominio es el conjunto de todas las arejas tales que Más ormalmente escribimos: Dom { / } b Este conjunto se uede reresentar en el lano Es una región del lano limitada or la curva Primero se traa la curva Reescribiéndola como la
Caítulo 5: unciones de varias variables identiicamos como una arábola abriendo hacia abajo con vértice en Para determinar la región comletamente odemos roceder de dos maneras Primer rocedimiento: Es claro que nuestra región es el conjunto de untos que satisace la desigualdad Este conjunto lo odemos ver como la unión de todas las curvas d con d Entre ellas están ; 5 6 7 todas las intermedias que están or encima de éstas Haciendo el gráico de todas estas curvas odemos visualiar el dominio de la unción vea la igura a la derecha Segundo rocedimiento: Una ve que hemos establecido que el dominio es una de las dos regiones del lano limitada or la curva odemos tomar un unto de rueba en el lano que no esté en la curva Claramente no está sobre la curva Evaluamos la desigualdad en este unto si satisace la desigualdad entonces la región que contiene el unto de rueba es el conjunto solución esto es es el gráico del dominio de la unción si no satisace la desigualdad entonces el conjunto solución a la desigualdad es la otra región Como no se satisace entonces el dominio es la región limitada or la curva que no contiene el como eectivamente a deducimos con el otro rocedimiento vea la igura como eectivamente está raada la región que no contiene el unto c La evaluación de unciones se hace de manera similar al caso de unciones de una sola variable Por ejemlo ara obtener el valor sustituimos el valor de or el de or sí no es real
5 Dominio gráica de unciones Eectivamente la unción no está deinida en Vea el gráico dado en b chequee que eectivamente este unto no está en el dominio Remarcamos que con el rimer rocedimiento demostramos que la solución de una desigualdad en dos variables tiene como reresentación gráica a una de las dos regiones delimitadas or la curva dada or la igualdad El segundo rocedimiento es más eedito en determinarla En ocasiones nos reeriremos al dominio de una unción como su reresentación gráica recuerde que realmente el dominio es un conjunto de ares ordenados que ueden ser reresentados en el lano Ejemlo - Encuentre el dominio de la siguiente unción rereséntelo gráicamente a ln ; b h Solución: a Para que la unción esté bien deinida sea un número real se tiene que cumlir que entonces: Dom { / } Sabemos que la reresentación gráica de esta región del lano es un semilano or ser una desigualdad lineal Para determinar el semilano ráidamente rimero graicamos la recta unteada ues los untos sobre la recta no satisace la desigualdad luego tomamos un unto de rueba uera del la recta si este unto satisace la desigualdad el semilano es donde está este unto en caso que no se cumla la desigualdad el conjunto solución es el otro semilano El unto escogido es de nuevo orque está uera de la curva Como el unto satisace la desigualdad entonces el dominio de la unción es el semilano que contiene el origen De nuevo insistimos se ha dibujado la recta en orma unteada ara indicar que ella no ertenece al dominio de la unción b Para que la unción esté bien deinida sea un número real se tiene que cumlir que Dom h { / } La rimera restricción es todo el lano salvo la recta
Caítulo 5: unciones de varias variables La segunda restricción es el semilano donde la variable es no negativa esto es el semilano a la derecha del eje uscamos la intersección o arte común de estos dos subconjuntos de R ara determinar el dominio de la unción Ejercicio de desarrollo- Sea g ln e a Calcular el dominio de b Rereséntelo gráicamente; c Encuentre veces es conveniente reresentar la unción geométricamente En el caso de una sola variable teníamos una reresentación geométrica de la unción en el lano Ella era una curva En el caso de una unción en dos variables la reresentación de la unción será en el esacio obteniendo en este caso una suericie como reresentación Deinición- Sea una unción de dos variables La gráica de la unción es el conjunto de todos los untos de la orma donde Dom Ejemlo - osqueje la gráica de las siguientes unciones a ; b Solución a Graicamos la ecuación que corresonde a un lano con intersecciones con los ejes en resectivamente b Graicamos la ecuación ella es la mitad de la esera con coordenada ositiva
5 Dominio gráica de unciones 5 PLICCIONES Suonga que estamos en la situación de una emresa que elabora dos roductos Podemos considerar la unción de costos conjuntos C q q que reresenta los costos totales de roducir q unidades del roducto q unidades del roducto De manera similar odemos deinir la unción de ingresos conjuntos I q q de utilidad conjunta U q q El siguiente ejemlo ilustra una situación en que es ácil determinar estas unciones Ejemlo - Una astelería roduce chocolate blanco chocolate oscuro El costo de material mano de obra or roducir un kilo del chocolate blanco es 6 UM el del oscuro es 5UM Suonga que la emresa tiene costos ijos semanales de UM a Encuentre el costo semanal como unción de la cantidad de kilos de chocolates de cada tio roducido a la semana b Suonga que la astelería vende el kilo de chocolate blanco a UM el oscuro a 8UM Obtenga la unción utilidad mensual como unción del número de kilos de cada tio roducidas vendidas a la semana Solución: a El costo de material manos de obra or roducir q kilos de chocolate blanco q kilos de chocolate oscuro están dado or 6 q 5 q resectivamente El costo conjunto en este caso esta dado or C q q Costo ijo+costo variable C q q 6q 5q b Primero obtendremos la unción de ingreso conjunto Es claro que I q q Ingreso or la venta de q chocolate blanco+ Ingreso total or la venta de q chocolate oscuro I q q q 8q inalmente obtenemos U q q I q q C q q U q q q 8q 6q 5q U q q q q Ejemlo 5- Una heladería orece tinitas barquillas Se ha estimado que si se vende la tinita a UM la barquilla a UM la ecuación de demanda de la tinita está dada or D 5 la ecuación de demanda de la barquilla or D 7 5 al día Erese el ingreso diario de la comañía en unción de Solución: El ingreso diario lo odemos calcular a artir de Ingreso conjunto=ingreso or la venta de tinita+ingreso or la venta de barquillas Ingreso conjunto=recio de la tinitanúmero de tinitas vendidas +recio de la barquillanúmero de barquillas vendidas I 5 7 5 5 7 5 I 7 5 5 I
6 Caítulo 5: unciones de varias variables unción de utilidad de consumo Satisacción al consumo La unción de utilidad de consumo denotada or u cuantiica el nivel de satisacción o utilidad que un consumidor tiene al adquirir unidades de un roducto de otro roducto Muchas veces se está interesado en todas las osibles combinaciones de comras que roducen el mismo nivel de satisacción c En nuestra terminología si tenemos la unción u cua reresentación gráica es una suericie en R nosotros sólo estamos interesados en la traa con el lano c Esta curva de nivel dada or la ecuación c u se llama curva de indierencia Ejemlo 6- Suonga que la unción de utilidad de consumo de dos bienes ara un cliente está dada or u El cliente ha comrado 5 unidades del bien X del bien Y Reresente geométricamente otras osibilidades que tenía el cliente ara tener el mismo nivel de satisacción o de utilidad en su comra Solución: Primero calculamos la utilidad o satisacción del cliente or esta comra Ella está dada or u 5 5 Planteamos la curva de indierencia ara u ella es Esto es una curva en R Para visualiar mejor la gráica escribimos está ecuación como una unción l graicar sólo hemos considerado la arte ositiva de las s En Economía es corriente determinar distintas curvas de nivel ara diversas cantidades En el caso de unciones de costos estas curvas son conocidas como las líneas de isocosto EJERCICIOS 5 Calcule el valor de la unción indicada ; ; ; e ; ln ; ut ; ; ; u t e t ; ln; 5 g ; g ; g ; 6 ln w G w ; G; G-e; u 7 h r s t u ; h ; h ; h h ; s t 8 ; ; h
5 Dominio gráica de unciones 7 Determine el dominio de las siguientes unciones Rereséntelo gráicamente ln ; e ; ; u u t ; 5 g ; 6 h ln u t 7 g ; 8 h ; 9 g ; H u v u ln u v ; g osqueje la gráica de las siguientes unciones g ; h ; g ; h Trace la curva de nivel C ara cada C dada ; C= C=C=C=-; ; C=; C=; ; C=-; C=; ; C=; C=; 5 C=-; C= C= ; 6 e ; C=; C= PROLEMS DE ECONOMÍ Una tienda tiene dos tios de CD virgen Se ha estimado que si se vende el rimer tio de CD a el segundo tio de CD a la ecuación de demanda del rimer tio de CD está dada or D 5 la ecuación de demanda del segundo tio de CD está dada or D 6 unidades a la semanaa Si I denota el ingreso total a la semana determine I como unción de b Calcule el ingreso total a la semana si el rimer tio de CD se vende a UM el segundo a UM Resuestas: a I 5 8 ;b I 7 UM Una emresa roduce dos tios de roductos X Y El costo de material mano de obra or roducir una unidad de X es UM el de Y es UM Suonga que la emresa tiene costos ijos semanales de UM a Obtenga el costo semanal como unción de las unidades de los dos tios de roductos roducidas b Si la comañía vende el roducto X a UM el Y a 6UM Obtenga la unción utilidad mensual como unción del número de unidades roducidas vendidas a la semana Resuesta a: I ; donde es el número de unidades roducidas de tio X b U 8 Javier iensa comrar 5 unidades de un bien 6 de un segundo bien Si la unción de utilidad de consumo de Javier está dada or u donde reresenta el número de unidades a comrar del rimer bien Reresente geométricamente otras alternativas de consumo que le dan el mismo nivel de utilidad La unción de costos conjuntos or la abricación q artículos de tio q artículos de tio está dado or C q q q q q 6 Graique la curva de nivel C q q Curva de isocosto uda: Identiique la ecuación resultante con la de una circunerencia Resuestas: 5; ; -/; ; -/; -7/; 7; -9; 5 ; 5; 6 ; 7 ;; ; 8-6; h ; Dom= R /<-; h ln e ; e
8 Caítulo 5: unciones de varias variables Dom { / } ; Dom = R /; Dom { u t / u t u t } ; 5 Dom g= R ; 6 Dom h { / } ; 7 Dom g { / } ; 8 Dom h { / } ; 9 Dom g { / } ; Dom H { u v / u v} ; Dom g { / }
5 Dominio gráica de unciones 9
Caítulo 5: unciones de varias variables 5 Derivadas arciales Suonga que tenemos una unción en dos variable Si dejamos una variable ija or ejemlo la asumiendo un valor a variamos la odemos ver en cierta manera que tenemos una unción de una sola variable dada or g a Podemos entonces considerar derivar g con resecto a su variable el resultado es la derivada arcial de con resecto a la variable en a En este caso la notación emleada está dada bien or a o or la notación de Leibni: continuación establecemos la deinición ormal de derivadas arciales ara unciones a en dos variables: Deinición- Sea una unción en las variables Lla derivada arcial de con resecto a está deinida or h lim h h siemre cuando este límite eista La derivada arcial de con resecto a está deinida or lim h siemre cuando este límite eista h h Observación: El símbolo se lee derivada arcial de con resecto a Si los valores de son reresentados or esto es si entonces también usamos notaciones como ara las derivadas arciales Otras notaciones usadas ara las derivadas arciales están dadas or las arciales con resecto a resectivamente ara reerirse a CÁLCULO DE DERIVD PRCILES Para calcular derivadas arciales nos valemos de las reglas eistentes ara una sola variable Si or ejemlo queremos calcular consideramos a como una constante derivamos con resecto la Si queremos calcular se deriva con resecto a manteniendo a como una constante Ejemlo - Calcule ara 5 Solución: Primero calculamos Derivamos como una suma recuerde que se comorta como una constante 5 En el segundo actor sacamos de actor constante El término 5 se comorta como una constante su derivada es
5 Derivadas arciales 6 6 hora calculamos Derivamos como una suma recuerde que se comorta como una constante 5 5 5 5 Otro tio de notación ara la derivada es D que indica la arcial de con resecto a Ejemlo - Calcule ara Solución: Derivamos como un cociente / / / / Sumamos términos semejantes Pasamos al denominador el actor con eonente cambiado de signo sumamos los eonentes orque tienen igual base inalmente obtenemos / Como la unción es simétrica en ara obtener la arcial de intercambiamos or en esta última Esto es / Las derivadas arciales de unciones de dos variables también son unciones de estas variables Ellas ueden ser evaluadas continuación introducimos las distintas notaciones ara las derivadas arciales evaluadas en el unto b a En el segundo actor sacamos de actor constante El término se comorta como una constante su derivada es Se simliica el en el segundo término luego se saca actor común / en el numerador Se realia la multilicación en el rimer término se distribue la en el segundo término
Caítulo 5: unciones de varias variables Ejemlo - Calcule ara Solución: Primero calculamos Para derivar reescribimos derivamos con la regla de la otencia generaliada inalmente evaluamos = Para alicamos las mismas consideraciones l evaluar queda Ejercicio de desarrollo- Sea ln Calcule: a b Derivada con resecto a Derivada con resecto a Notación de subíndice b a b a Notación de Leibni b a b a b a b a
5 Derivadas arciales En ocasiones odemos tener unciones de tres o más variables or ejemlo w es una unción de tres variables en este caso odemos considerar tres derivadas arciales: w w w El conjunto de todas las derivadas de una unción las llamaremos las derivadas de rimer orden de la unción Ejemlo - Sea w Encuentre todas las derivadas de rimer orden de w esto es en este caso calcular: w w w Solución: Primero calculamos w Derivamos como un cociente manteniendo como constantes: w Se distribue se agruan términos semejantes Se sacar actor común se simliica w Como la unción es simétrica en entonces tenemos que w ntes de calcular w reescribimos la unción como w sí que cuando derivamos con resecto a el rimer actor se considera una constate sale uera de la derivación w Ejercicio de desarrollo- Para calcule todas las derivadas arciales de rimer orden
Caítulo 5: unciones de varias variables INTERPRETCIÓN GEOMÉTRIC DE LS DERIVDS PRCILES Suonga tenemos la unción esta unción tiene como reresentación gráica una suericie en R Cuando ijamos entonces es unción de está reresentada geométricamente or la curva que se obtiene de intersectar el lano con las suericie En esta curva se uede calcular la recta tangente en cualquier unto que satisaga La endiente está dada or la derivada de la unción con resecto a su variable evaluada en Ésta es la derivada de la unción en la dirección que no es otra cosa que la derivada arcial de con resecto a véase la igura de la iquierda La igura de la derecha auda a interretar la derivada arcial de con resecto a de manera análoga a como se euso con la derivada con resecto a EJERCICIOS 5 Para cada una de las siguientes unciones calcule todas las derivadas arciales de rimer orden a b ; ln ; ; ; 5 e ; 6 g a b ; 7 ; 8 h ; 9 / e ; ln e ; e ; ; ln ; ; u 5 u v w u w ; 6 e ; 7 uv
5 Derivadas arciales 5 Evalúe las derivadas arciales indicadas 7 ; ln 7 ; e ; g 5 e ; 6 g e 7 ; h 8 h r s t u st ln s t u t s t u h t s t u e ; h s s t u ; h s ; s t u e Resuestas: ; ; ; ; ; ; ; 5 e e ; e e ; g g 6 ; ; 7 ; ; 8 h h ; ; 9 / / e e ; ; e e ; ; e ; 7 e ; e e ; ; ; / ; u v w u ; ; ; 5 ; ; u u v v uv u ; 6 w ; e ; e 75 ; - ; ; e ; e 5 ; 5 e 6e ; 6 ; ; 7 e 8 e ; 7 8 e ; ;8 ; 9 e ; e
6 Caítulo 5: unciones de varias variables 5 licaciones a la economía COSTO MRGINL Suonga que una industria ábrica dos tios de artículos Sea C q q la unción de costos conjuntos Se deine C q como el costo marginal con resecto a q se interreta como la raón de cambio de C con resecto a q cuando q ermanece ija Normalmente se usa ara aroimar el cambio en los costos cuando la roducción aumenta una unidad en q q no aumenta ermanece C constante Una deinición e interretación similar tiene Recuerde de la deinición de derivada q arcial que C C q h q C q q ara h equeño q h si h= tenemos que Cambio en los costos cuando la C C q q C q q C q q C q q = roducción aumenta una unidad q en q q ermanece constante Pero el cambio en el costo es debido a que se roduce una unidad adicional de tio I Es or C eso que también odemos decir que el costo marginal es el costo de la unidad adicional si se q decide aumentar la roducción del rimer tio en una unidad Ejemlo - Una comañía elabora dos tios de celulares el básico el soisticado La unción de costos conjuntos está dada or C 5 donde es el número de celulares básicos el número de celulares soisticados a roducir a Encuentre los costos marginales cuando se roducen 5 celulares del tio básico del otro tio b Interrete sus resultados Solución: a Primero calculamos las unciones de costo marginal C C Evaluamos los costos marginales en 5 5 5 C C 5 b Interretación: Con un nivel de roducción de 5 celulares de tio básico del soisticado el costo total aumentará 5 UM si la roducción del tio básico aumenta en una unidad la del tio soisticado ermanece constante Por otro lado el costo total aumentará UM si la roducción del celular tio soisticado aumenta en una unidad la del tio básico ermanece constante Ejercicio de desarrollo- Si la unción de costos conjunto de una ábrica que elabora dos roductos X Y está dada or C 5 donde el número de artículos de tio X el número de artículos tio Y a Encuentre el costo marginal con resecto a si se roducen artículos de tio X 7 de tio Y b Interrete sus resultados
5 licaciones a la economía 7 PRODUCTIVIDD MRGINL El nivel de roducción de un roducto deende de muchos actores mano de obra maquinaria caital caacidad de almacenamiento etc Llamaremos unción de roducción P a la cantidad de artículos que se roducen En esta sección suondremos que deende sólo del caital invertido K de la cantidad de mano de obra emleada L sí que en general escribiremos P P K L P Llamaremos la unción de roductividad marginal con resecto a K se interreta como K el cambio aroimado en la roducción cuando la unidad de caital se incrementa en una unidad el nivel de mano de obra se mantiene ija P Similarmente es la unción de roductividad marginal con resecto a L se interreta L como el cambio aroimado en la roducción cuando se incrementa en una unidad la mano de obra contratada el nivel de inversión de caital se mantiene ija Ejemlo - La unción de roducción de un roducto elaborado or cierta emresa está dada 6 or P K L K L unidades donde L es el tamaño de la uera laboral medido en horastrabajador or semana K es el monto de caital invertido or semana en UM a Determine las roductividades marginales cuando K= L=5 b Interrete sus resultados Solución: a Calculemos rimero las derivadas arciales P 6 6 K L K L 6 K K P L K K 6 P 6 K L L L 6 K P K 6 L L l evaluar las derivadas arciales obtenemos: 6 P 5 6 5 5 K P L 6 6 5 5 L b Interretación: Si se ha estado contratando 5 horas-hombres la roducción se incrementa en aroimadamente 5 unidades semanales or cada hora-hombre adicional contratada cuando K se mantiene ija en UM La roducción se incrementa en aroimadamente 5 unidades semanales or cada UM adicional de incremento en el monto semanal del caital invertido cuando L se mantiene ijo en 5 horas hombre el caital era de UM Ejercicio de desarrollo- La unción de roducción de un artículo está dado or determine la roductividad marginal con resecto a K KL P K L K L
8 Caítulo 5: unciones de varias variables UNCIONES DE DEMND MRGINL PRODUCTOS COMPETITIVOS Y COMPLEMENTRIOS Suonga dos roductos en el mercado que están relacionados en el sentido que el cambio en el recio de uno aecta la demanda del otro Por suuesto el aumento de recio de uno de los roductos aecta la demanda de él mismo sí que odemos en ocasiones ensar que la unción de demanda del roducto deende tanto del recio de él mismo como del roducto Igual consideración odemos hacer con resecto al segundo roducto sí tenemos q q Si estas unciones son derivables con resecto a estas derivadas se llaman las unciones de demanda marginal qi es la demanda marginal de q i con resecto a j j Normalmente sabemos que si el recio del roducto aumenta entonces la demanda de q este roducto q disminue si eiste la demanda marginal ertinente tenemos que Puede haber muchos tios de situaciones de como se uedan relacionar estos dos roductos Una de ellas es el caso de dos roductos comlementarios se reiere a la situación en que el aumento de los recios de un roducto lleva a que la demanda del otro disminua ormaliamos lo dicho: Deinición- Diremos que dos roductos son comlementarios si q q Un ejemlo de dos roductos comlementarios es la gasolina el aceite de carro Es claro que si el recio de la gasolina sube los carros se usarán menos or tanto la demanda de aceite disminuirá Otro tio de relación entre dos roductos es cuando el aumento de los recios de un roducto lleva a que la demanda del otro aumente En este caso nos reerimos a roductos cometitivos o sustitutivos Un ejemlo de esta situación es el ollo la carne La carne sustitue al ollo como uente de roteína cuando el recio de éste sube Similarmente si el recio de la carne sube las ersonas tienden a comrar más ollos La deinición de roductos cometitivos o sustitutivos la odemos caracteriar a través de las demandas marginales Deinición- Diremos que dos roductos son cometitivos o sustitutivos si q q Ejemlo - Las ecuaciones de demanda de dos roductos que se interrelacionan están dadas or q 5 ; q 5 Determinar usando derivadas arciales si los roductos son cometitivos comlementarios o ninguno de los dos
5 licaciones a la economía 9 Solución: Calculamos las derivadas arciales q q q 5 q q Es claro que de aquí q ara cualquier valor de Como Entonces los roductos son comlementarios Ejemlo - Las ecuaciones de demanda de dos roductos que se interrelacionan están dadas or q 5 ; q Determinar usando derivadas arciales si los roductos son cometitivos comlementarios o ninguno de los dos q q Solución: Las demandas marginales están dadas or q q Tomando en cuenta que entonces de aquí q q En conclusión estos dos roductos son cometitivos Ejemlo - Las ecuaciones de demanda de dos roductos que se interrelacionan están dadas or q 5 ; q Determinar usando derivadas arciales si los roductos son cometitivos comlementarios o ninguno de los dos Solución: Calculamos las demandas marginales q q Tomando en cuenta que entonces de aquí q q En conclusión estos dos roductos no son ni cometitivos ni comlementarios Ejercicio de desarrollo- Las ecuaciones de demanda de dos roductos que se interrelacionan están dadas or q 7 ; q 6 8 Determinar usando derivadas arciales si los roductos son cometitivos comlementarios o ninguno de los dos
Caítulo 5: unciones de varias variables EJERCICIOS 5 / La unción de roducción de cierta emresa está dada or P L K K / L donde L es el tamaño de la uera laboral medido en horas-trabajador or semana K es el monto de caital invertido or semana en UM a Determine las roductividades marginales cuando K= L=5 b Interrete sus resultados c suma que una hora de trabajador le cuesta al emresario UM Qué debería hacer el roductor ara aumentar la roducción? Resuesta a P L 55; P k 5579 b Interretación: La roducción se incrementa en aroimadamente 5 artículos semanales or cada hora-hombre adicional contratada cuando K se mantiene ija en UM La roducción se incrementa en aroimadamente 558 artículos semanales or cada UM adicional de incremento en el monto semanal del caital invertido cuando L se mantiene ijo en 5 horas hombre c Si el ago de una hora de trabajador es UM al abricante le conviene aumentar el caital ara aumentar su roductividad Una unción de roducción de la orma P L K ck en donde c a b son constantes ositivas es llamada una unción de roducción Cobb-Douglass si a+b= Demuestre que P P P P a P / K ap / K ; b L K P ; c Demuestre que cuando L / K b / a L K L K Para cada una de las unciones de costos conjuntos ara dos roductos dadas abajo encontrar los costos marginales en los niveles dados Interretar los resultados C ; =; =5 C ; =; =5 C ; =5; =5 C Resuestas: 5 6 ; C 5 C 5 75 ; C 5 75 C 55 865 8 ; C 55 596 Para cada una de las unciones de costos conjuntos de dos roductos dadas abajo encontrar los costos marginales C ; C 5 5 ln Resuesta: c ; c ; a L b C C ; 5 Para cada uno de los ares de ecuaciones de demanda de dos artículos dados abajo determine si son cometitivos o comlementarios o ninguno de los dos 5 q 5 ; q ; 5 q ; q 5 7 ; / / / / / / 5 q 5 ; q ; 5 q 5 ; q ; 55 q ; q Resuestas: 5 comlementarios; 5 Ninguna de las dos 5 cometitivo; 5 Comlementarios; 55 Cometitivo
5 licaciones a la economía 6 Un modelo ara la roducción P de miles de kilos de aúcar reinada está dado or P L K KL donde L es el tamaño de la uera laboral medido en miles de horas-trabajador or semana K es el monto de caital invertido en UM or semana a Determine las roductividades marginales cuando K=6 L=5 b Interrete sus resultados Resuesta a P L 8 ; P k 9685 b Interretación: La roducción se incrementa en aroimadamente 8 kilos semanales or cada mil horas-hombre adicional de mano de obra emleada cuando K se mantiene ija en 6 La roducción se incrementa en aroimadamente 968 artículos semanales or cada UM adicional de incremento en el monto semanal del caital invertido cuando L se mantiene ijoen 5 miles de horas-hombre 7 La unción de roducción de una emresa está dada or 6 P L K K K L L miles de unidades donde L es medido en miles de horas-trabajador or semana K es el monto de caital invertido or semana en miles de UM a Determine las roductividades marginales cuando L= K= b Interrete sus resultados Resuesta a P L ; P k 88 b Interretación: La roducción se incrementa en aroimadamente unidades semanales or cada mil hora-hombre adicional de mano de obra emleada cuando K se mantiene ija en UM La roducción se incrementa en aroimadamente 88 unidades semanales or cada mil UM adicional de incremento en el monto semanal del caital invertido cuando L se mantiene ijo en horas hombres 8 El número de cientos de libros que una editorial uede emastar semanalmente deende de L K de acuerdo al modelo P L K K 5KL L donde L es medido en miles de horas-trabajador or semana K es el monto de caital invertido or semana a Determine la cantidad de libros que uede emastar semanalmente si se disone de obreros en una semana la inversión de caital es de 6UM b Use la derivada arcial ertinente ara estimar el incremento en la roducción cuando se contrate un obrero más dejando ijo la inversión de caital en 6UM c Use la derivada arcial ertinente ara estimar el incremento en la roducción cuando se invierte una unidad adicional de caital el número de trabajadores ermanece ijo en Estime la nueva roducción Haga el cálculo eacto Resuestas: a 68 cientos de libros; b 7; c Estimación de la roductividad ara K=7 L= es 79 libros Calculo eacto es 795 t 9 La órmula del monto comuesto anual está dada or P r se uede interretar como unción de P el caital de inversión r la tasa anual de interés anual t los años de inversión a Calcule ; b Interrete P r t P rt Reita el ejercicio 9 con el monto comuesto continuamente dado or la órmula Pe
Caítulo 5: unciones de varias variables 5 Derivación de orden suerior Si es una unción en las variables entonces en general las derivadas arciales son unciones también de or tanto se uede calcular su derivada tanto ara como ara Estas derivadas se llaman segundas derivadas arciales de son cuatro en total bajo resentamos las notaciones su signiicado Segunda derivada Notación de subíndice Notación de Leibni Ejemlo - Encuentre las derivadas de segundo orden de e Solución: Calculamos rimero las derivadas de rimer orden e Procedemos ahora a calcular las derivadas de segundo orden: e 9e e 8 8 Comentario: En el ejemlo anterior resultó En la maoría de los casos que resentaremos en este teto resultará esta igualdad Pero no siemre es así Eiste un Teorema uera del alcance de estas notas que garantia que si las segundas derivadas arciales son continuas entonces la igualdad se cumle Las notaciones ara evaluar derivadas arciales de segundo orden son similares al caso de derivadas de rimer orden Ejemlo - Encuentre donde ln Solución: Calculamos la derivada de rimer orden con resecto a La unción es reescrita como ln En el rimer término sale de actor constante en el segundo término también sale de actor constante derivamos con resecto a como si uera un roducto ln ln ln
5 Derivación de orden suerior ln ln ln denotada or De manera similar se ueden deinir las derivadas de orden maor a Por ejemlo es o también or es la derivada de con resecto a Para unciones de tres o más variable también odemos deinir las derivadas de orden suerior Ejemlo - Sea g u v w u v w uvwln u calcule g uwv u v w Solución: Calculamos la derivadas sucesivas g u g uw u v w uv w g uwv vwln u uvwu u v w uv w v lnu v u v w 6uv w ln u uv w vwln u vw EJERCICIOS 5 Calcule todas las derivadas de segundo orden incluendo las arciales cruadas ; t s t st s t ; g ln ; ; 5 ; 6 ln ; uv 7 e ; 8 g u v e Calcule evalúe la derivada arcial indicada ; ; e ln ; ; 5 e ; 6 g g ; g ; g 68 ; 7 e / ; 8 h s t u s t u h tt h ut Resuesta:: ; ; ; 6t s; 8; t 8s t s ts g g ; ; ; ; ; 5 ; ; ; 6 ; 7 e ; ; e ;8 g 9 e ; g 9 e ; g e ; ; ; - ; ; 5 8 8 7e 9e 8 ; 8 9; 7 e ; e 6 ; 7