MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS GEMETRÍ a geometía es la ama de las Matemáticas que tiene po objeto el estudio de las figuas geométicas. Se denomina figua geomética a cualquie conjunto no vacío de puntos del espacio. Se considea al espacio como el conjunto de todos los puntos. En el fontis de EMI (Institución fomada po latón paa el cultivo de las iencias), apaecía una inscipción, la cual decía: ué nadie ignoante en Geometía pase po esta pueta. * latón (47 347..), notable filósofo giego. aa el estudio de la geometía es necesaio tene una idea claa del significado de los téminos: concepto y poposiciones. os conceptos son de dos tipos: pimitivos y definidos. os conceptos pimitivos son los pimeos que se dan en la teoía. ecisamente po este hecho es que no se los puede defini, ya que la definición de un concepto se basa en otos dados anteiomente. Son los conceptos pimitivos, el punto, la ecta y el plano. as poposiciones son de dos tipos: ostulados o xiomas (esta dos palabas son sinónimas) y Teoemas. os postulados o axiomas son las poposiciones que se aceptan sin demostación. os teoemas son las poposiciones que necesitan se demostadas. lgunos autoes afiman que un postulado es una poposición cuya vedad es evidente. Esta apeciación es incoecta. a vedad de un postulado no es una vedad absoluta, sino una vedad convencional. En otas palabas, la vedad del postulado depende de nosotos y no del postulado mismo. El descubimiento de este hecho ha costado siglos de meditación. El matemático alemán enhad Riemann fue uno de los pimeos en descubilo. Riemann, a mediados del siglo XIX, cambió el postulado de Euclides (el postulado de las paalelas) po este oto que no tiene nada de evidente: os ectas siempe se intesectan. Es deci, no existen ectas paalelas. El esultado fue que Riemann ceó una nueva Geometía tan útil y buena como la Geometía de Euclides. El matemático uso obachevsky (1793 1856) hizo algo simila, ceando una tecea geometía. a Geometía de Riemann y la de obachevsky son conocidas con el nombe de Geometías no Euclidianas. ERE-UNI GEMETRÍ 1
MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS uando una teoía ha sido desaollada sistemáticamente patiendo de conceptos pimitivos y axiomas, se dice que esta teoía ha sido constuida usando el Método xiomático. El pimeo en intoduci este método fue Euclides en su tascendental oba de geometía que lleva el nombe de os Elementos. Sin embago, Euclides no se dio cuenta de la existencia de conceptos pimitivos. avid Hilbet (1 86 1 943) fue el pimeo en econstui la Geometía de Euclides exitosamente en foma axiomática, lo hizo usando 6 conceptos pimitivos y 1 postulados. STUS Tenemos un conjunto no vacío E a cuyos elementos les llamaemos puntos. En E se distinguen dos familias de subconjuntos no vacíos, la familia de las ectas y la familia de los planos. No definimos lo que es un punto, una ecta o un plano. Estos son nuestos conceptos pimitivos. E, que es el conjunto fomado po todos los puntos, lo llamamos espacio. Este es nuesto conjunto univesal. ostulado de la distancia: Si y son dos puntos, entonces existe un númeo eal denominado distancia ente y y que se denota d (, ) tal que: a) ( ) d, 0,, E b) d(,) = 0 es c) d(, ) = d(, ),, E d) (esigualdad tiangula) d, S d, + d, S,, S E ( ) ( ) ( ) d(,s) d(,) S d(,s) ostulado de la egla (anto edekind): Si es una ecta y si 0 y 0 son dos puntos difeentes de, entonces existe una coespondencia biunívoca ente los puntos de y los númeos eales tal que: a) l punto 0 le coesponde el númeo eal 0 y a 0, el númeo eal 1. b) Si al punto le coesponde el númeo eal x y a el númeo eal y, entonces: d (, ) = x y ERE-UNI GEMETRÍ
MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS M 0 0 R: x 1 0 1 y Toda ecta tiene infinitos puntos. Un sistema de coodenadas unidimensional es una coespondencia, como la descita en el postulado. El punto 0 es el oigen del sistema de coodenadas. a coodenada de un punto es el númeo eal que le coesponde. Sean, y S tes puntos difeentes de. El punto está ente y S cuando d (, S) = d (, ) + d (, S). Esto se denota: S El segmento ceado de la ecta de extemos y es el conjunto: = {, } a longitud de y de es el númeo = d (, ). Si omitimos los extemos se denomina segmento abieto. Si una ecta es pependicula en el punto medio a un segmento, entonces es la mediatiz de dicho segmento. Teoema 1: os segmentos cualesquiea, y '' son conguentes ( '' ) = ''. Si y son dos puntos difeentes de la ecta, entonces existe un punto de la ecta, tal que está ente y. emostación: Sean x e y las coodenadas de y espectivamente. x + y Supongamos que x < y. El númeo es tal que: x + y x < < y x + y Si es el punto cuya coodenada es, tenemos que está ente y. ERE-UNI GEMETRÍ 3
MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS oolaio: ostulado: Ente dos puntos difeentes de una ecta, existen infinitos puntos de la ecta. ados y, dos puntos difeentes cualesquiea de E, existe una única ecta, tal que, en. En este caso denotaemos a con y diemos que es la ecta que pasa po y o que es la ecta deteminada po y. Teoema : Si dos ectas difeentes se intesectan, entonces su intesección es un punto. Sea y dos puntos de una ecta el ayo es el conjunto que esulta de la unión del segmento y de todos los puntos tales que está ente y.. a definición de ayo se escibiá: = { / está ente y }. as dos pates del ayo se epesentan así:. Si un punto está ente y se dice que y son ayos opuestos. a siguiente figua ilusta este concepto:. Si a un ayo se le omite su oigen, al conjunto de puntos estantes se le denomina semiecta y se denota. ÁNGUS Se denomina ángulo a la unión de dos ayos no colineales que tienen el mismo oigen. Si los ayos son: y entonces el ángulo se denota = { U } es el vétice del ángulo, y son los lados del ángulo. a pate sombeada es el inteio del ángulo y los puntos del plano que no petenecen ni al ángulo ni a su inteio constituyen el exteio del ángulo. ERE-UNI GEMETRÍ 4
MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS isectiz: Es el ayo que divide al ángulo en dos ángulos conguentes. ostulado de la medida de un ángulo. cada ángulo le coesponde un único númeo eal compendido ente 0 y 180, denominado la medida del ángulo, tal que m< = ostulado de la adición de ángulos. Si un punto petenece al inteio de un ángulo entonces; m + m = m os ángulos son adyacentes cuando tienen el vétice y un lado común, los inteioes de los ángulos son conjuntos disjuntos. y son ángulos adyacentes os ángulos foman un pa lineal cuando son adyacentes y los lados no comunes son ayos opuestos. β α os ángulos y foman un pa lineal. ERE-UNI GEMETRÍ 5
MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS ostulado del suplemento Si dos ángulos foman un pa lineal, entonces son suplementaios. En la Figua:,, son ángulos consecutivos. NJUNTS NVEXS Un conjunto de puntos se denomina conjunto convexo, cuando todo segmento deteminado po dos puntos cualesquiea de, está contenido en. * es conjunto convexo,, En las figuas (1) y () se muestan conjuntos convexos, en cambio en la figua (3) se ha epesentado un conjunto no convexo. Fig. 1 Fig. Fig. 3 Ejemplos: onjuntos convexos: Una ecta, un ayo, un segmento de ecta, un cículo, el inteio de un ángulo, una esfea, etc onjuntos no convexos: El exteio de un ángulo, un ángulo, una cicunfeencia, el exteio de un cuadado, el exteio de una esfea, etc ERE-UNI GEMETRÍ 6
MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS atición de un onjunto Se denomina patición de un conjunto a cualquie colección de subconjuntos de, ninguno de los cuales es vacío y tales que cada elemento de petenece a sólo uno de estos subconjuntos de.. Si una cicunfeencia está contenida en un plano H, R 1 y R son espectivamente el inteio y el exteio de la cicunfeencia, una patición esultante del plano H es {R 1,, R,}. R H R 1. Si es un punto de una ecta y y son espectivamente las dos semiectas esultantes, entonces la coespondiente patición es {,, } ostulado de la sepaación de puntos de un plano Si una ecta está contenida en un plano H, entonces los puntos del plano que no petenecen a la ecta constituyen dos conjuntos disjuntos denominados semiplanos H 1 y H. H 1 s H Tales que: H a) H 1 y H son conjuntos convexos. b) Si H1 y H φ c) H 1, H y foman una patición del plano H: { H 1,, H } ERE-UNI GEMETRÍ 7
MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS Se denomina a como la aista de los dos semiplanos. ostulado de la constucción de un ángulo. Si es un ayo de la aista del semiplano H y es un númeo eal tal que 0 < < 180, entonces existe un único ayo con H tal que m =. Teoema: Si dos conjuntos de puntos y son conjuntos convexos, entonces la intesección de estos conjuntos es un conjunto convexo. Ejecicios: 1. En la figua, m = 150. Halle el mayo valo enteo de x. x + y 4x 3y m + m = 150 x + y + 4x 3y = 150 5x y = 150 y = 5x 150 * 4x 3y > 0 4x > 3y 4x > 3 (5x 150) 450 > 11x 450 11 > x 40,9 > x x = 40. etemina el valo de vedad de las siguientes poposiciones: I. lguna difeencia de dos conjuntos no convexos, es un conjunto convexo. II. Si T es una egión tiangula y E es un ciculo, tal que T E = φ, entonces T E, es un conjunto convexo. III. Si la unión de dos conjuntos es un conjunto convexo, entonces los conjuntos son conjuntos convexos. I) V II) V III) F ERE-UNI GEMETRÍ 8
MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS 3. En la figua, si x asume su mínimo valo enteo. Halle y. x y x + y x + y * x + y + x y + x + y = 180 4x + y = 180 y = 180 4x * x y > 0 x > y x > 180 4x x > 36 x = 37 y = 180 4(37) = 3 4. etemina el valo de vedad de las siguientes poposiciones: I. Una egion tiangula de la que se han omitido los puntos medios de sus lados, es un conjunto convexo. II. El ayo es un conjunto convexo. III. En un cículo en cuyo contono se han omitido dos puntos diametalmente opuestos, es un conjunto convexo I) F II) V III) V 5. as medidas de tes ángulos adyacentes, y foman una pogesión aitmética. Si m = 40, entonces la medida del ángulo que deteminan las bisectices de los ángulos y es x 0 0 0 + 0 + 40 x = 0 + 40 + 0 + x = 80 ERE-UNI GEMETRÍ 9
MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS su su 6. En la figua, 1 //. Halle x 160 110 x = 10 + 0 x = 140 50 110 suu 70 10 7. as medidas de ángulos estan en la elación de 1 a 3. Si la difeencia ente sus complementos es un octavo de la suma de sus suplementos. Halle el complemento del meno ángulo. Sean α y β las medidas de los ángulos. α 1 α = k = β 3 β = 3k ( ) 1 90 α ( 90 β ) = ( 180 α + 180 β ) α = 18 8 omplemento de α = 90 18 = 7 su su 8. En la figua 1 //. Halle x. α θ θ α x x 130 su 1 su 1 suu 160 0 α + θ = x + 50 180 x = x + 50 130 = x x = 65 E 10 x 130 su 1 50 suu IIGRFÍ: 1. Edwin Moise, Floyd owns, Geometía Modena, Fondo Educativo Inteameicano, Edición 1 970.. Michel Helfgott, Geometía lana, Editoial Escuela ctiva, 1 98 3. ofesoes ERE UNI uso de Geometía lana Edición 00. ERE-UNI GEMETRÍ 10
MISIÓN 011-II GEMETRÍ STUS 4. Seminaio ERE UNI ERE-UNI GEMETRÍ 11