stimados lumnos: Pongo en sus manos esta recopilación de ejercicios que he usado y otros nuevos para que ejerciten el eje temático de GOMTRÍ, que corresponde al 30% de la PSU, eje que para muchos resulta complejo, por tanto tendrán una batería de 401 ejercicios de nivel PSU y algo más. reo no haber dejado materia alguna fuera de este material, por tanto imagino nada les resultará novedoso en la PSU al respecto de geometría. ebo dejar constancia que la motivación principal de este es ayudar de mejor forma a los alumnos del Liceo Nacional, que por la realidad del año no han tenido una formación regular y por tanto me nació esta manera de ayudarles a competir de mejor forma con todos aquellos que han tenido un año normal. Obviamente este material me nace compartirlo con todos aquellos que se están preparando para el ingreso a la universidad, y para mí el hecho de que alguno lo utilice es el mejor pago a este trabajo. mis alumnos particulares las gracias por haberme indicado su falencias, las cuales son las de la gran mayoría por tanto orientaron la confección de este, agradezco la ayuda de ellos en la confección de las respuestas y las correcciones en los ejercicios que ahora ustedes disponen. omo ellos también lo usarán, es que incluí ejercicios nuevos, entretenidos y desafiantes, por tanto no me cabe duda que será un material de apoyo importante en la preparación de ellos y ustedes. ebo agradecer de manera especial a avid Painequeo, con quien disfrute mucho tiempo hablando y ejercitando geometría, que en la actualidad no hemos podido encontrarnos para seguir gozando de esta parte de las matemáticas que nos gusta en demasía. Para ti en parte es parte de este trabajo avid. Finalmente agradezco a mi pequeña, SVN, quien me acompaña siempre indicándome que no puedo olvidar a muchos niños que pretenden llegar lejos y entrar a estudiar las carreras que anhelan. lla es la que me empuja a hacer distintas cosas por el mejor entendimiento de las matemáticas, por tanto es a quien debo agradecer todo lo que hago por mejorar el nivel de la ciencia, mi querida matemática. ueno, dejo en sus manos este material que me tuvo un buen tiempo entretenido en esta parte de las matemáticas que me encanta, sin más dejo en sus manos 401 ejercicios para que lo disfruten resolviéndolos como yo me entretuve haciéndolos. Sixto Maulén y Savane megu 011 1
Guía jercicios Nº 3 Geometría 1. n la figura Nº 1, L 1 // L, uánto mide x? 134º ) 46º ) 66º ) 56º ) 134º fig. 1 ) 67º xº L 1 L. n un triángulo isósceles el ángulo interior distinto mide 40º, entonces uno de los ángulos de igual medida, mide ) 40º ) 50º ) 60º ) 70º ) 140º 3. n la figura, OR y OT son bisectrices de los ángulos O y O respectivamente, si el ángulo TO mide 10º y el ángulo RO mide 5º, entonces el ángulo OT mide ) 35º ) 45º T ) 50º R ) 60º fig. O ) 70º 4. n la figura 3, el triángulo JKL es isósceles de base LJ, cuánto mide el ángulo KLJ? ),5º ) 5º ) 35º ) 45º fig. 3 ) 135º 45º J K L
5. n la figura 4, r // s, cuánto mide el ángulo x? 30º ) 160º 80º ) 130º ) 110º x ) 100º fig. 4 ) 80º 50º s r 6. uál es la medida del ángulo x en términos de m, en la figura 5? ) m x ) m ) 3m 4m ) 8m fig. 5 ) No se puede determinar m 3m 7. n la figura 6, //, si el ángulo = 150º y el ángulo = 5º, entonces cuánto mide el ángulo? ) 30º ) 5º ) 15º ) 5º fig. 6 ) 0º 8. Si L 1 // L, entonces cuánto mide x en la figura 7? 3x - 10 L 1 ) 16º ) 0º ) 30º ) 45º fig. 7 x ) 100º L 3
9. l triángulo de la figura 8 es isósceles de base. La medida del ángulo es 1º y el ángulo mide 0º, cuánto mide el ángulo? ) 3º ) 36º ) 106º ) 116º fig. 8 ) 13º 10. n la figura 9, //, uánto mide el ángulo? ) 45º ) 65º ) 70º ) 100º 30º fig. 9 ) 110º 80º 11. uál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) respecto del triángulo de la figura 10? I) l triángulo es isósceles. II) Si p = 60º, entonces es equilátero. III) Si p = 90º, entonces el área del triángulo es. ) Sólo I ) Sólo I y II ) Sólo II y III ) Todas fig. 10 p p ) Ninguna 1. l triángulo de la figura es isósceles de base ( = ), luego m = ) 18º ) 30º m ) 36º ) 7º fig. 11 ) 108º m 4
13. uántos triángulo hay en la figura 1? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) más de 6 fig. 1 14. n la figura 13, PTO es un cuadrado de área 0 cm. Los puntos L, y N son puntos medios de OM, MT y TO, luego el área achurada mide O N T ) 0,15 cm L ) 1,5 cm ) cm M ) 4 cm fig. 13 ) 8 cm P 15. on cuál(es) de las siguientes informaciones se puede construir un triángulo? I) Si se conocen sus tres ángulos interiores. II) Si se conocen sus tres lados. III) si se conocen dos de sus lados y el ángulo que forman dichos lados. ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo II y III ) Sólo I y II ) I, II y III 16. n la figura 14, los ángulo y miden 70º y 40º, si es altura y bisectriz, entonces la medida del ángulo F es ) 15º ) 115º ) 55º F ) 35º fig. 14 ) 0º 5
17. n la figura 15, un paralelepípedo recto de base cuadrada (sombreadas) se ha extendido en el plano, si el lado del cuadrado es 4 cm. y los largos de los rectángulos miden el doble del lado del cuadrado, entonces el volumen del paralelepípedo es ) 160 cm 3 ) 18 cm 3 ) 10 cm 3 ) 64 cm 3 fig. 15 ) 3 cm 3 18. n un heptágono (polígono de 7 lados), cuántas diagonales se puede trazar desde un vértice? ) 7 ) 6 ) 5 ) 4 ) 3 19. Si OP es bisectriz de O (figura 16), entonces xº = ) 40º P ) 30º ) 0º yº-10º ) 10º fig. 16 yº xº+30º ) 5º O 0. n la figura 17, L 1 // L y L 3 // L 4, luego la medida de x es L 1 L ) 10º ) 50º 110º L 3 ) 70º xº L 4 ) 110º fig. 17 ) 170º 6
1. Las medidas de dos lados de un triángulo son 1 cm y 13 cm, si el tercer lado tiene como medida un número entero, cuántos triángulos se pueden construir? ) ninguno ) 3 ) 4 ) 5 ) 6. n el triángulo de la figura 18, F y son bisectrices de los ángulos respectivos, uánto mide el ángulo? ) 45º ) 50º ) 60º 10º ) 80º fig. 18 ) 100º F 3. uánto mide el ángulo que excede a su suplemento en 66º? ) 66º ) 13º ) 133º ) 13º ) 144º 4. n la figura 19, cuánto mide el ángulo? ) 163º 0º 7º ) 153º 85º ) 88º ) 75º 0º fig. 19 ) 60º 5. Si los radios de los círculos son 10 cm. y 5 cm., entonces cuál es el área de la figura sombreada (figura 0)? ) 5 cm 10 cm ) 75 cm ) 100 cm 5 cm ) 15 cm fig. 0 ) 175 cm 7
6. n la figura 1, M es el punto medio del segmento y P es un punto cualquiera entre M y, uál de las siguientes relaciones es correcta? ) MP = P ) M = P P P ) PM = ) MP = ) P = MP M P fig. 1 7. OP es bisectriz del ángulo O de la figura, cuánto mide y? ) 10º ) 0º ) 30º y-10º P ) 50º y x+30º fig. ) 60º 8. n la figura 3; = F = F y =, uánto mide el ángulo x? F ) 45º ) 60º ) 75º ) 105º fig.3 ) 115º x O 9. Las rectas r y s son paralelas, figura 4, luego y = 70º ) 150º ) 10º y r ) 30º ) 10º fig. 4 ) 7º 4x 3x s 8
30. l triángulo de la figura 5 es isósceles de base, es paralelo a y es bisectriz del ángulo, luego cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) = II) = III) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) Todas fig. 5 31. n el rectángulo LTI de la figura 6 se ha inscrito el trapecio LTO, si el largo del rectángulo es el triple de su ancho y I = IO, entonces, qué parte del área del rectángulo es el área del trapecio? I O T ) la mitad ) los dos tercios ) los tres cuartos ) los cinco sextos fig. 6 ) los cinco octavos L 3. n el triángulo de la figura 7, las líneas punteadas son bisectrices de los ángulos respectivos, cuánto mide x? ) 40º x ) 30º ) 0º ) 10º ) No se puede determinar 40º fig. 7 33. Un tablón de 3, metros se divide en tres trozas que están en razón 1 : 3 : 4. uánto mide cada trozo? ) 40 cm. 100 cm. 100 cm. ) 40 cm. 10 cm. 160 cm. ) 60 cm. 10 cm. 140 cm. ) 80 cm. 100 cm. 140 cm. ) 10 cm. 30 cm. 40 cm. 9
34. l trazar la altura en un triángulo equilátero el menor ángulo que se forma mide ) 0º ) 30º ) 60º ) 90º ) 10º 35. n el triángulo UP se han trazado las alturas M y L, figura 8, cuánto mide el ángulo PL? L ) 10º 15º ) 15º ) 30º ) 45º fig. 8 ) 75º 30º U M P 36. n la figura anterior (figura 1), cuánto mide el mayor ángulo formado por las alturas M y PL? ) 30º ) 60º ) 10º ) 145º ) 150º 37. n el triángulo PQR de la figura 9, se han dibujado las bisectrices PM y QN si los ángulos PQR y QRP miden 50º y 60º respectivamente. uánto mide el ángulo QPM? R ) 35º ) 40º N M ) 45º ) 50º fig. 9 ) 55º P Q 38. n la figura, cuánto mide el ángulo PMR? ) 75º ) 85º ) 95º ) 105º ) 135º 10
39. n un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide 1 5 del ángulo recto, luego cuánto mide el otro ángulo agudo? ) 18º ) 36º ) 60º ) 7º ) 8º 40. n qué triángulo al trazar una altura no se forman dos triángulos congruentes? ) Triángulo equilátero ) Triángulo isósceles ) Triángulo escaleno ) Triángulo rectángulo isósceles ) Triángulo isósceles obtusángulo 41. n la figura 30, L 1 // L, si las líneas punteados son bisectrices de los ángulos respectivos, entonces el ángulo formado por las líneas punteadas mide ) 90º ) 75º L 1 ) 60º ) 45º fig. 30 ) No se puede determinar L 4. Si dos ángulos son suplementarios y uno es cinco veces el otro, entonces el menor de ellos mide ) 30º ) 45º ) 60º ) 150º ) 43. n la figura 31, L 1 // L, si la línea segmentada es bisectriz, entonces el ángulo x mide ) 140º x ) 10º L 1 ) 100º ) 90º fig. 31 ) 40º 0º L 11
44. Si dos ángulos exteriores de un triángulo miden cada uno 135º, entonces el triángulo es ) Isósceles ) Rectángulo isósceles ) scaleno ) Obtusángulo ) cutángulo isósceles 45. l triángulo de la figura 3 es isósceles de base, y son bisectrices de los ángulos y respectivamente, si el ángulo mide 80º, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) = II) 5º III) 50º ) Sólo I ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) Sólo II y III ) Todas fig. 3 46. n un triángulo rectángulo es falso que ) La hipotenusa se opone al ángulo recto ) Un cateto mide menos que la hipotenusa ) La suma de las medidas de los catetos es mayor que la hipotenusa ) l cuadrado de la hipotenusa es igual a la resta de los cuadrados de los catetos ) La mitad de la hipotenusa es igual a uno de los catetos 47. l paralelogramo que no es rectángulo ni rombo es ) cuadrado ) romboide ) trapecio ) trapezoide ) deltoide 48. Si en un triángulo las medidas de dos sus lados son; 3 cm y 5 cm, entonces el tercer lado no puede medir ) 4 cm. ) 5 cm. ) 6 cm. ) 7 cm. ) 9 cm. 1
49. l efectuar una rotación de 180º al cuadrado se obtiene ) ) ) ) ) 50. l triángulo de la figura 33, es equilátero. Si =, entonces el x = ) 60º ) 70º ) 80º ) 90º x ) 110º fig. 33 51. La figura 34 muestra la planta de una casa (vista de arriba) si a esta se le desea poner una huincha adhesiva por todo el borde para que las hormigas no entren a la casa, cuántos metros de huincha se necesitan? 5 m ) 9 m ) 3 m 10 m ) 4 m 8 m ) 6 m fig. 34 ) 7 m 16 m 5. Si el perímetro de un triángulo equilátero aumenta de 100 a 169 cm, en cuánto aumenta cada lado? ) 3 cm ) 13 cm ) 3 cm ) 33 cm ) 69 cm 13
53. uál de las siguientes figuras corresponde a una traslación de la figura original? ) ) ) ) ) 54. n la figura 35. L 1 // L, luego xº = ) 80º ) 90º ) 100º 10º ) 110º fig. 35 xº ) 10º L L 1 0º 55. Los triángulos y son congruentes, si el ángulo mide 90º, entonces el ángulo T mide ) 0º 70º ) 30º T ) 45º ) 60º fig. 36 ) 80º 50º 56. LTO es rectángulo y los triángulo R y TR son equiláteros congruentes, luego cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? (figura 37) I) RT es rombo II) LRT 60º O T III) O LTR ) Sólo I ) Sólo I y II R L fig. 37 ) Sólo II y III ) I, II y III ) Ninguna 14
57. l triángulo es equilátero y se a rotado respecto del vértice como lo muestra la figura 38 de manera que es perpendicular a, luego es falso que: ) es perpendicular a ) l ángulo mide 30º ) = ) F = F fig. 38 ) Todas son falsas F 58. n la figura 39, LUN es cuadrado y LUZ es un triángulo equilátero, cuánto mide el ángulo TZU? N Z ) 15º ) 30º T ) 45º ) 75º ) No se puede determinar L U fig. 39 59. n la figura 41. L 3 es bisectriz del ángulo obtuso formado por las rectas L 1 y L, cuánto mide el ángulo x? L 3 ) 96º ) 98º ) 84º xº L ) 8º 1 ) 49º 49º fig. 41 L 60. n la figura 4, O + O = 30º, luego el O mide: ) 30º ) 50º ) 70º ) 90º ) Falta información O fig. 4 15
61. l triángulo es rectángulo en. n la hipotenusa esta el punto tal que = y =, cuánto mide el ángulo ) 67,5º ) 60º ) 45º ) 30º ),5º 6. n el triángulo se ha trazado la altura, figura 43, luego la suma de las medidas de los ángulos y es ) 55º º ) 68º ) 90º ) 113º ) 13º 35º fig. 43 63. n la figura 45,, F, F y son bisectrices, luego F ) 80º 60º ) 100º ) 10º ) 140º F ) No se puede determinar fig. 45 64. n la figura 46, y son bisectrices de los ángulos y F respectivamente, si el ángulo mide 50º, entonces el ángulo mide F ) 5º ) 30º ) 40º ) 50º ) no se puede determinar fig. 46 16
65. n la figura 47, YUIN es cuadrado, los triángulo UTI y NGY son rectángulos isósceles, si los ángulos en T y G son rectos, entonces cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) falsa(s)? I) GY // UN // TI II) UNGY y NUTI son trapecios rectángulos III) GT = YU N I ) Sólo I ) Sólo II y III G T ) Sólo III ) I, II y III fig. 47 ) ninguna Y U 66. n un triángulo, = 40º, = 80º y = 60º, luego es verdadero ) > > ) > > ) > > ) > > ) > > 67. n un triángulo los ángulos exteriores están en razón : 3 : 4, entonces qué tipo de triángulo es? ) equilátero ) isósceles ) acutángulo ) rectángulo ) obtusángulo 68. uál de los siguientes cuadriláteros tiene sus diagonales distintas perpendiculares y se dimidian (dividirse en dos partes iguales)? ) cuadrado ) rectángulo ) rombo ) romboide ) deltoide (trapezoide simétrico) 17
69. n el cuadrado de la figura Nº 48, L y N son los puntos medios de los lados, qué parte del cuadrado es el área achurada? ) 1 4 ) 3 8 N ) ) 3 16 5 3 L fig. 48 ) 5 8 70. Si dos triángulos son congruentes, entonces cuál de las siguientes alternativas es falsa? ) Tienen la misma forma. ) Sus ángulos correspondientes son iguales. ) Tienen el mismo perímetro ) Tienen los mismos ejes de simetría ) Ninguna 71. Si las medidas de dos ángulos consecutivos suman 7º, entonces cuánto mide el complemento del ángulo formado por las bisectrices de dichos ángulos? ) 54º ) 36º ) 18º ) 7º ) 108º 7. n el triángulo de la figura 49, =, si - = 30º, entonces = ) 10º ) 15º ) 30º ) 45º ) 60º fig. 49 18
73. l respecto del triángulo equilátero se afirma que: I) Tiene 3 ejes de simetría. II) No tiene simetría central. III) l rotarlo 10º con respecto al ortocentro, coincide con la figura original. e estas afirmaciones es(son) verdadera(s) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) I, II y III 74. n un mismo triángulo se han trazado las transversales de gravedad y las medianas, si el área del triángulo formado por las tres medianas es a, luego el área de uno de los 6 triángulos que se forman al trazar las transversales es ) a ) a 3 ) 3 a 4 ) a ) 3a 75. l unir los puntos medios de un rombo se forma un cuadrilátero, cuál de las siguientes afirmaciones es la más precisa al respecto de dicho cuadrilátero? ) es un rombo ) es un rectángulo ) es un paralelogramo ) es un cuadrado ) es un romboide 76. La figura 50 representa una sucesión de triángulos rectángulos, luego x = 4 ) 30 ) 5 ) 6 ) 0 ) 10 fig. 50 3 1 x 19
77. uánto mide el ángulo x (figura 51), si las rectas horizontales son paralelas? ) ) 10º 130º 40º ) 140º ) 150º x ) 160º fig. 51 100º 78. l cuadrilátero de la figura 5, tiene dos ángulos rectos, en los vértices y, cuál es el área de? 4 ) 8 3 ) 6 6 1 ) 8,5 ) 17 ) 1 6 fig. 5 79. n la figura 53, L 1 // L, si =, entonces es siempre verdadero que ) ) ) ) ) fig. 53 L 1 L 80. esde las 14:30 a las 14:50, el ángulo descrito por el horario de un reloj análogo es (no considerando el sentido de rotación) ) 5º ) 10º ) 15º ) 0º ) 5º 81. uánto mide el ángulo de la figura 54? ) 45º ) 55º 105º ) 135º ) 15º ) 35º fig. 54 130º 0
8. n el triángulo de la figura 55, se han dibujado la altura y la bisectriz, luego el ) 30º ) 40º ) 70º ) 80º 0º 60º ) 100º fig. 55 83. Los triángulos y MNP de la figura 56 son congruentes, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? P I) = MP II) NPM III) PMN ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III M ) Sólo I y II ) Sólo I y III fig. 56 N 84. Los triángulos de la figura 57, son isósceles con = =, si entonces los ángulos y suman ) 115º ) 10º ) 130º ) 135º ) no tiene solución única fig. 57 1
85. Los cinco ángulos interiores de un pentágono están en una progresión aritmética (la diferencia entre dos consecutivos, siempre es constante), si el menor mide 100º, entonces el mayor de ellos mide ) 104º ) 108º ) 116º ) 10º ) 14º 86. Tres lados de un cuadrilátero son iguales, si los dos ángulos interiores formado por dichos lados miden 60º y 70º, entonces cuánto mide el ángulo interior mayor del cuadrilátero? ) 145º ) 150º ) 155º ) 160º ) 165º 87. n la figura 58, aparecen un hexágono regular y un cuadrado, luego el ángulo x mide ) 15º ) 30º ) 45º x ) 60º ) no se puede determinar fig. 58 88. n el triángulo de la figura 59, se han dibujado las bisectrices y, luego el ángulo mide 80º ) 160º ) 150º ) 130º ) 10º ) 100º fig. 59
89. n la figura 60, =, luego m = m 7m ) 10º ) 15º ) 18º m 3m m ) 0º ) 9º fig. 60 90. n la figura 61, = =, luego la relación correcta es ) y = 3x y ) y = x ) x + y = 180º ) x = y fig. 61 ) x + y = 90º x 91. l triángulo de la figura 6 es equilátero, si los ángulos F y FHG son iguales, entonces la medida del ángulo G es H G ) 30º ) 40º F ) 50º ) 60º ) Falta información fig. 6 9. uánto mide el ángulo x en la figura 63? ) 0º 70º ) 40º ) 50º ) 70º x ) 10º fig. 63 50º 93. n el triángulo de la figura se verifica que; = =, luego la medida del ángulo x es x ) 5º ) 50º ) 60º 5º ) 80º ) No se puede determinar fig. 64 3
94. n la circunferencia de la figura 65, O es centro, cuánto mide el ángulo x? ) 15º ) 110º 110º ) 70º ) 65º O x ) 55º fig. 65 95. n qué razón están las áreas de dos círculos, si sus radios son 5 cm y 10 cm? ) 1 : ) 1 : 4 ) : 3 ) 1 : 5 ) 5 : 15 96. La altura de un cono es igual al radio de la base, luego el ángulo del sector circular que corresponde al manto del cono es ) 45º ) 90º ) Obtuso ) xtendido ) óncavo 97. n la figura Nº 66, //, luego mide ) 1º ) 11º 136º ) 10º ) 78º fig. 66 ) 58º 1º 98. Tres rectas concurrentes (las tres se intersectan en el mismo punto) forman 6 ángulos consecutivos, si dos de ellos miden 18º y 5º, qué medida no corresponde a uno de los ángulos que genera la figura? ) 110º ) 18º ) 144º ) 16º ) 70º 4
99. l rectángulo ZYXW de la figura 67, esta inscrito en el triángulo. Si WZ = º y XY = 65º, entonces = ) 87º ) 8º ) 90º W X ) 93º fig. 67 ) 97º Z Y 100. n la figura 68, las rectas L 1 y L son paralelas, separadas d unidades, si la flecha se reflejó primero con respecto a L 1 y luego se reflejó con respecto a L, entonces las dos reflexiones sucesivas corresponde a ) Una traslación de d unidades ) Una rotación de -180º ) Una traslación de d unidades ) Una traslación de 3d unidades ) Una rotación de 180º L 1 L fig. 68 101. n la figura 69, se muestra un adminículo mecánico en cual aparecen tres discos tangentes exteriores unidos por sus centros mediante una barra fija, la rotación de uno de ellos se transmite totalmente al otro (no resbalan), los diámetros de los discos son; 6 cm, 8 cm y 10 cm, si el disco menor se gira en el sentido de la flecha 10º, considerando el sentido de rotación, el disco mayor gira ) -10º ) -90º ) -7º ) 7º fig. 69 ) 90º 5
10. n la figura 70, es un trapecio de bases y, si es punto medio de, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) l área de y son iguales. II) l área del triángulo es la cuarta parte del trapecio III) Las áreas de los triángulos y son iguales ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y III ) I, II y III fig. 70 103. l cuadrilátero IJKL de la figura 7 es rectángulo, IK y JL son diagonales, entonces xº = ) 6º L K ) 36º xº 64º ) 44º ) 64º fig. 71 ) 5º I J 104. n la figura 7, O O, O bisectriz del ángulo O, si O 140º, entonces O ) 40º ) 50º ) 80º ) 90º ) 100º O fig. 7 105. uánto mide el ángulo x en la figura 73? 70º ) 0º ) 35º ) 70º ) 110º ) 140º x fig. 73 6
106. n la figura 74, la medida del a es: ) 6,5 10 ) 1,666 ) 6 a ) 16,666 45º 45º ) 3,5 fig. 74 5 3 107. Un método para encontrar la altura de un objeto es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del objeto pueda verse en el espejo. Qué altura tiene una torre si una persona de 150 cm de altura observa la parte superior de la torre cuando el espejo esta a 6 m de la torre y la persona esta a 10 cm del espejo? ) 75 m ) 7,5 m ) 4,8 m ) 3 m ) m. 108. n la figura 75, es paralelogramo, si esta en la prolongación de, entonces, es(son) falsa(s) las siguientes afirmaciones, I) F es semejante al F II) F es semejante al III) F es semejante al ) Sólo I ) Sólo II F ) Sólo I y II fig. 75 ) Solo II y III ) Sólo III 109. n la figura 76, L 1 // L // L 3, luego x + y = ) ) ) ) ) ac bd a b c d d c bc c d ad cd x b c a y d L 1 L L 3 fig. 76 7
110. uál de las siguientes figuras representa una reflexión (simetría axial) del triángulo al triángulo, con respecto a uno de los ejes coordenados? I) II) III) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II ) Sólo II y III 111. l número de segmentos distintos necesarios para representar las alturas, transversales de gravedad y bisectrices de un triángulo isósceles no equilátero es ) 9 ) 7 ) 6 ) 5 ) 4 11. uánto mide el ángulo x en el de la figura77? ) 0º x ) 30º ) 50º ) 60º ) 70º 3 100º fig. 77 113. l volumen de un cubo es igual al de un paralelepípedo recto, si el ancho del paralelepípedo es igual a la arista del cubo y el largo es igual al doble de la arista del cubo, entonces la altura del paralelepípedo recto es ) la mitad de la arista del cubo ) el doble de la arista del cubo ) el cuádruplo de la arista del cubo ) igual a la arista del cubo ) igual a la diagonal del cubo 8
114. Los puntos de la figura 78 son los vértices de cuadrados de lado 1 cm., cuál es el área de la figura sombreada? ) 30,0 cm ) 30,5 cm ) 31,0 cm ) 34,0 cm ) 36,0 cm fig. 78 115. n la figura 79, L 1 // L, luego al ordenar los ángulos; m, n y p de manera decreciente de acuerdo a sus medidas, se obtiene 70º 60º p ) p, n, m ) p, m, n ) m, p, n ) m, n, p ) n, m, p fig. 79 m n L L 1 116. n la figura 80, T es la bisectriz del ángulo LO del triángulo LO, si OT es paralelo a L, entonces al ángulo TO mide O T ) 95º 40º ) 85º ) 55º ) 45º ) 70º 30º fig. 81 117. La reflexión del punto (-5, 4) respecto del punto (, -4) da como resultado el punto L ) (9, -1) ) (4, -5) ) (-3, 0) ) (-7, 8) ) (-1, 1) 118. Si un paralelepípedo recto tiene por altura 5 cm. y un volumen de 100 cm 3, entonces al suma de las áreas basales es ) 10 cm ) 0 cm ) 30 cm ) 40 cm ) falta información 9
119. n la figura 8, y son bisectrices de los ángulos exteriores, luego x = 1 ) (90º aº) ) 90º - aº x ) 180º - aº ) 180º - aº 1 ) (180º aº) aº fig. 8 10. on cuál(es) de las siguientes baldosas se puede cubrir completamente el patio, si todas las figuras están formadas por cuadrados iguales? I) II) III) Patio ) Sólo con I ) Sólo con II ) Sólo con I ó II ) on I ó II ó III ) on ninguna 11. Si se quiere llegar del punto (1,) al punto (-,1) se debe hacer: I) Una traslación de vector (-3,-1) II) Una rotación de 90º respecto de (0,0) III) Un simetría respecto del punto (0, 3 ) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I o II ) I o II o IIII 30
1. n la figura 83, L 1 // L, cuál es la medida de a? ) 10º ) 0º 180º -a L 1 ) 30º ) 40º a+10º L ) no se puede determinar fig. 83 13. TO es rectángulo, MIL es cuadrado TI es triángulo isósceles de base T, si el área achurada mide 4 cm, entonces el área de TO es (figura 84) O T ) 30 cm ) 36 cm L ) 40 cm I ) 48 cm ) no se puede determinar M fig. 84 14. n la figura 85, //, si O, entonces : como 3 ) ) ) ) ) 3 1 3 3 5 1 5 5 O fig. 85 15. l hacer una reflexión respecto de O de la figura se obtiene O ) ) ) ) ) 31
16. Si el punto (-4,1) se rota 180º con respecto al punto (0,1) y después se refleja respecto del origen (0,0), entonces el punto final resulta lo mismo que ) reflejar el punto original respecto el eje y ) rotar 45º el punto original respecto del punto (0,0) ) reflejar el punto original respecto de la recta y = x ) reflejar el punto original respecto de la recta y = -x ) reflejar el punto original respecto de la recta y = 0 17. Si queremos determinar si el triángulo inscrito en el pentágono de la figura 86, es isósceles, necesitamos saber que: (1) que el ángulo mide 108º () que el pentágono es regular ) (1) por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, (1) y () ) ada una por sí sola, (1) ó () ) Se requiere información adicional fig. 86 18. uatro rayos de origen común forman 4 ángulo que están en razón : 3 : 5 : 8, cuánto mide el mayor de los ángulo? ) 40º ) 60º ) 100º ) 10º ) 160º 19. os ángulos son tales que; ambos son suplementarios y el complemento de uno de ellos es igual al suplemento del otro, luego el menor de ellos mide ) 135º ) 10º ) 90º ) 60º ) 45º 130. n el triángulo de la figura 88, H es ortocentro y es punto medio de, luego el ángulo mide ) 50º H ) 40º ) 30º ) 0º 50º ) 10º fig. 88 3
131. l triángulo de la figura 89 es equilátero, SI es altura, V es simetral, luego el ángulo S mide V I ) 30º ) 45º ) 60º ) 90º ) 10º S N fig. 89 13. l trazar la bisectriz del ángulo exterior distinto de un triángulo isósceles y la altura desde el vértice del ángulo interior distinto, ocurre que I) La bisectriz dibujada es paralela a la base del triángulo. II) La altura es perpendicular a la bisectriz trazada. III) Uno de los lados iguales es bisectriz del ángulo formado por la altura y la bisectriz trazada. uál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)? ) Sólo I ) Sólo I y II ) Sólo III ) I, II y III ) ninguna 133. n la figura 89, es un pentágono regular, entonces, cuál de las afirmaciones es la más completa respecto del cuadrilátero F? ) s un cuadrilátero ) Sus lados opuestos son iguales F ) Sus ángulos opuestos son iguales ) s un paralelogramo ) s un rombo fig. 89 33
134. Qué figura muestra una rotación de 45º respecto al punto O? O ) ) ) O O O O ) ) O 135. n la figura 90, es rectángulo y F es triángulo equilátero, para encontrar el área del rectángulo es necesario conocer: (1) F () ) (1) por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, (1) y () F ) ada una por sí sola, (1) ó () ) Se requiere información adicional fig. 90 136. n la figura 1, L 1 // L, si =, entonces x = L 1 xº ) 30º 70º ) 35º ) 37,5º ) 40º L ) 45º fig. 91 137. n la figura 9, aº + bº = aº ) 55º ) 70º ) 75º P ) 80º ) 90º R 15º fig. 9 Q 55º bº M N 34
138. n la figura 93, L 1 // L, el ángulo mide 18º, si =, entonces cuánto mide el ángulo x? L 1 ) 18º ) 36º ) 4º ) 54º x ) 7º L fig. 93 139. l cuadrilátero de la figura 94 es un deltoide ( = y = ), luego el ángulo x = ) 140º ) 110º ) 100º ) 80º x 100º 40º ) 70º fig. 94 140. Las circunferencias de centros O y O son tangentes exteriores en Q, P es tangente en y P tangente en, si PQ es tangente común y el ángulo P mide 80º, entonces el ángulo Q mide ) no se puede determinar ) 140º ) 10º ) 100º O Q O ) 90º fig. 95 P 141. n la circunferencia de la figura 96 de centro O, si el 15º, entonces O ) 30º ) 45º ) 60º O ) 75º ) 80º fig. 96 35
14. Los segmentos dibujados dentro del cuadrado van desde un vértice al punto medio del lado opuesto, como lo muestra la figura 97, si el lado del cuadrado es 1, entonces el área del cuadrilátero es ) ) ) ) ) 9 1 4 3 9 1 8 1 5 fig. 97 143. uánto mide el ángulo x de la figura 98? ) 45º ) 30º x ) ) 60º 75º 1 1 ) 105º 45º fig. 98 144. n el cuadrilátero LP de la figura 99, L // P, es bisectriz del ángulo TK y L es bisectriz del ángulo PL, si U = 9 cm y P = 1 cm, entonces UP mide K ) 1 cm U P ) cm ) 3 cm ) 4 cm T L ) falta información para determinarlo fig. 99 145. Para conocer el área de un triángulo rectángulo isósceles, es necesario saber: (1) la medida de uno de sus catetos () la medida de la altura que intersecta a la hipotenusa ) (1) por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, (1) y () ) ada una por sí sola, (1) ó () ) Se requiere información adicional 36
146. uánto mide el ángulo que sumado con el triple de su complemento da como resultado 10º? ) 60º ) 40º ) 30º ) 0º ) 10º 147. n la figura 100, los triángulos y son congruentes, luego es falso que ) // ) y = 10 ) x = 14 35 3y+5 ) = 15 ) = 1 x-6 fig. 100 148. uánto suman los ángulos de la figura 101, marcados con arcos? ) 180º ) 70º ) 360º ) 70º ) 900º fig. 101 149. l triángulo MNP de la figura 10 es isósceles de base NP, si MO = OP = PN, entonces la medida del ángulo PMN es P ) 18º ) 30º ) 36º ) 7º M O N ) No se puede determinar fig. 10 150. La circunferencia de la figura 103 está inscrita en el trapecio isósceles, luego el perímetro del trapecio es 10 ) 1 ) 38 ) 50 13 ) 6 ) 150 fig. 103 15 37
151. l complemento de un ángulo es 30º, luego su suplemento es ) 60º ) 90º ) 100º ) 150º ) 10º 15. l triángulo MNQ de la figura 104 es equilátero, el triángulo MNP es rectángulo en N, si MN 3 NP, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 3 I) MP es perpendicular a NQ II) l ángulo QMP mide 30º III) T es punto medio de NQ Q T P ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II M N ) I, II y III fig. 104 153. l hexágono F de la figura 105 es regular, qué parte del área de él esta achurada? ) ) ) ) ) 1 6 1 5 1 4 1 3 1 F fig. 105 154. n el rectángulo RTO de la figura 106, N y OI son perpendiculares a la diagonal RT, luego cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsa(s)? I) T Nes semejante al RT O II) III) N RI TI T RI RT O N T ) Sólo II I ) Sólo III R ) Sólo I y II ) Sólo II y III ) ninguna fig. 106 38
155. l poliedro de la figura 107 es un prisma cuyas bases son rombos de diagonales 1 y 6 cm., si la altura del prisma es el doble de la diagonal mayor, entonces su volumen es ) 1.78 cm 3 ) 864 cm 3 ) 648 cm 3 ) 43 cm 3 ) Ninguna de la anteriores fig. 107 156. n la figura 108, se ha dibujado un cubo, luego el seno del ángulo es ) 3 ) 3 3 ) 3 ) 3 ) depende de la arista del cubo fig. 108 157. l perímetro de un triángulo es 11 cm, si sus lados son todos números naturales, cuál es el mayor valor que puede tomar uno de sus lados? ) 7 cm ) 6 cm ) 5 cm ) 4 cm ) 3 cm 158. Un cuadrado y un rectángulo tienen igual área. Si el ancho del rectángulo es la mitad del lado del cuadrado, entonces el largo del rectángulo es: ) l doble del lado del cuadrado ) l triple del lado del cuadrado ) Igual al lado del cuadrado ) La mitad del lado del cuadrado ) l cuádruplo del lado del cuadrado 39
159. La razón de las áreas de dos círculos concéntricos es 1 : 3, si el radio del menor es r, entonces la diferencia entre el radio del círculo mayor y el menor es ) r ) r ) 4r ) 8r ) ( 3 1) r 160. Los triángulo y F de la figura 109 no son congruentes, y G son puntos medios de los lados y respectivamente, si // F, entonces F = ) 80º F ) 70º 60º G ) 60º ) 65º 40º ) no se puede determinar fig. 109 161. l triángulo MNP de la figura 110 es rectángulo en P, si MR = RN, entonces cuál(es de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) NR = RP II) PR es bisectriz de NPM. III) Si NRP 50º, entonces MPR 5º. P ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III M R N ) Sólo I y III ) I, II y III fig. 110 16. l triángulo achurado de la figura 111, está inscrito en un octógono regular, qué tipo de triángulo lo representa mejor? ) equilátero ) isósceles ) isósceles acutángulo ) isósceles rectángulo ) rectángulo fig. 111 40
163. n la circunferencia de centro O de la figura 11, TP es tangente en P, SPR 30º, cuánto mide el ángulo PRS? ) 150º ) 10º S T ) 90º R O P ) 60º ) 30º fig. 11 164. n un triángulo de lados 0, 1 y 9, cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita? ) 4 ) 7 3 ) 5 ) 5 3 ) 6 165. Las tres circunferencias de la figura 113, son tangentes entre si y tangentes a la recta, las dos mayores tienen igual radio y la menor tiene radio 3, entonces el radio de las mayores es ) 6 ) 8 ) 10 ) 1 ) ninguno de las anteriores fig. 113 166. Los lados de un triángulo están en la razón 4 : 6 : 11, qué tipo de triángulo es? ) rectángulo ) obtusángulo ) isósceles ) acutángulo ) no existe tal triángulo 41
167. n el cuadrilátero de la figura 114, una medida posible de la diagonal es ) 9 10 ) 10 ) 13 5 9 ) 15 19 ) 0 fig. 114 168. n la figura115, I es el incentro del triángulo, uánto mide el ángulo x? ) 30º ) 40º I ) 50º x 50º ) 60º ) No se puede determinar fig. 115 169. l triángulo VN de la figura 116 es equilátero, si el ángulo NS mide 15º, entonces el ángulo S mide N ) 15º 30º ) 5º ) 30º ) 45º ) 50º 30º fig.116 V S 170. l aumentar la longitud de los lados de un cuadrado, su área aumenta en un %. uál es la medida del lado del cuadrado original? (1) = 5 () el área final es 15 cm ) (1) por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, (1) y () ) ada una por sí sola, (1) ó () ) Se requiere información adicional 4
171. n la figura 117, todos los lados interiores al ángulo PQR son iguales, si dicho ángulo mide 18º, cuántos triángulos isósceles se pueden formar? P ) ) 3 ) 4 ) 5 Q R ) infinitos fig. 117 17. e un polígono regular de vértices,,,, se sabe que el ángulo mide 10º, luego cuántas diagonales diferentes pasan por el centro de el? ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 ) 18 173. n la circunferencia de la figura 118, las cuerdas miden 6 cm. y 8 cm., si ellas están a una distancia de 1 cm., entonces el radio de la circunferencia mide ) cm. ) 3 cm. ) 4 cm. ) 5 cm. ) no se puede determinar fig. 118 174. l triángulo es rectángulo en, si es altura (figura 119), entonces = ) 6 3 ) 5 ) ) ) 10 3 3 8 13 3 13 3 6 4 fig. 119 43
175. l área del triángulo isósceles de la figura 10 es b. Si uno de sus lados iguales es b, entonces su perímetro es ) b + 4 ) b 4 ) 3b ) b + 4 b b ) 4 fig. 10 176. l complemento de un ángulo es 36º, cuánto mide el suplemento de dicho ángulo? ) 54º ) 116º ) 16º ) 136º ) 154º 177. l triángulo de la figura 11 es escaleno, T es bisectriz, MP es simetral y T = T, si el ángulo QM mide 65º, entonces el ángulo mide ) 115º P ) 105º Q T ) 95º ) 75º ) 5º fig.11 M 178. n la circunferencia de centro O de la figura 1, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) falsa(s)? I) O O II) O III) O O O ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo III ) Ninguna fig. 1 44
179. l rectángulo de la figura 13, tiene por ancho 5 cm. y por largo 7 cm., si los cuadrados achurados tienen área de 1 cm, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) l perímetro de la figura sombreada es 8 cm. mayor que el perímetro del rectángulo. II) l área achurada es 8 del área del rectángulo. 35 III) l sacar cuadrados achurados, el perímetro de lo achurado sería igual al del rectángulo. ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II ) Todas fig. 13 180. n el cuadrado de la figura 14 se ha inscrito el rectángulo MNPQ. uál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) MQ PN P II) NP MN III) MN PQ Q ) Sólo I N ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II M ) I, II y III fig. 14 181. l triángulo de la figura 15, se ha reflejado respecto del eje y obteniéndose el triángulo, si los vértices y del triángulo están en los ejes, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) = II) mbos triángulos son congruentes. III) ''' y 3 ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo II y III ) I, II y III fig. 15 1 3 x 45
18. Si dos triángulos son congruentes, entonces cuál de las siguientes alternativas es falsa? ) Tienen la misma forma. ) Sus ángulos correspondientes son iguales. ) Sus lados homólogos son iguales. ) Tienen el mismo perímetro ) Sus áreas están en razón 1 es a. 183. n la figura 16, es trapecio isósceles, y son sus diagonales, cuál(es) de los siguientes pares de triángulos son congruentes? I) y II) III) y y ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo II y III ) I, II y III fig. 16 N ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III P ) Sólo I y III ) I, II y III M fig. 17 184. n la figura 17, el es simétrico (reflejo) con el MNP respecto de la recta L, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? L I) M L II) MN // III) M = N 185. La flecha sombreada achurada se traslada como lo muestra la figura 18, luego el vector de la traslación mostrada es ) (-,0) y ) (4,-) ) (-4,) ) (0,-) -1 3 x ) (-4,-) fig. 18 46
186. Las figuras;,, y son; cuadrado, rombo, triángulo equilátero y trapecio isósceles respectivamente. Luego si las ordenamos en orden creciente de acuerdo al número de ejes de simetría tenemos ),,, ),,, ),,, ),,, ),,, 187. La figura I) está formada por 5 cuadrados congruentes, la figura II) es un cuadrado y la figura III) es un triángulo equilátero. n cuál(es) de ella(s) al rotarlas 90º respecto de su centro, la figura resultante coincide con la inicial? I) II) III) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo III ) Ninguna 188. n la figura 19, L 1 // L // L 3, luego x + y = ) 4 ) 8 ) 1 1 1 x y 3 ) 16 L 1 L L 3 ) 0 fig. 19 47
189. uál es la conclusión más precisa respecto del perímetro y el área de un círculo cuando su radio se duplica? ) l perímetro y el área se duplican. ) l perímetro se cuadriplica y el área se duplica ) l perímetro y el área aumentan. ) l área aumenta en mayor proporción que el perímetro. ) l perímetro se duplica y el área se cuadriplica. 190. n la circunferencia de centro O y diámetro de la figura 130, el 5, luego ) 75º ) 60º ) 45º O ) 30º ) 15º fig. 130 191. n la figura 131, cuál es la medida del radio de la circunferencia de centro O? ) 4 4 ) 3 3 O ) 3 60º 3 1 ) 3 3 ) fig. 131 19. n el paralelogramo de la figura 13, si = 15, = 5 y F = 3 entonces el área del paralelogramo es ) 144 ) 10 ) 80 ) 60 ) Ninguna de las anteriores fig. 13 F 48
193. n un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos es y tg sen = 5 cos, entonces 13 ) ) ) ) ) 96 65 13 65 131 65 1 5 5 13 194. n una circunferencia de diámetro 8 10 cm., una cuerda esta a una distancia de 4 cm. del centro, cuál es la medida de la cuerda? ) 1 cm. ) 16 cm. ) 0 cm. ) 4 cm. ) 30 cm. 195. l rotar el triángulo equilátero de lado 6 (figura 133) en torno a la recta L, se genera un volumen de L ) 7 ) 54 ) 81 ) 16 ) Otro valor fig. 133 196. Se desea embaldosar un patio cuadrado de m de lado, luego con cuál de las siguientes baldosas no podrá cubrirse completamente el patio si no se puede transformar ninguna de las baldosas? ) baldosas cuadradas de lado 50 cm. ) baldosas rectangulares de 0cm. por 5 cm. ) baldosas de forma de triángulo rectángulo de catetos 50 cm y 10 cm. ) baldosas de forma de triángulo equilátero de lado 0 cm. ) baldosas rectangulares de 40 cm. por 8 cm. 49
197. n el cuadrilátero de la figura 134, es diagonal que intersecta a F en, luego el es semejante al F si: F (1) es paralelogramo. () F ) (1) por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, (1) y () ) ada una por sí sola, (1) ó () ) Se requiere información adicional fig. 134 198. n la circunferencia de centro O de la figura 135, PQRT es rombo, el área achurada se puede determinar si: R (1) = 0 () T = TO = OQ = Q = 5 T Q ) (1) por sí sola O ) () por sí sola ) mbas juntas, (1) y () ) ada una por sí sola, (1) ó () P ) Se requiere información adicional fig. 135 199. l complemento del complemento de un ángulo de 5º es ) 5º ) 10º ) 15º ) 45º ) 85º 00. n qué triángulo el ortocentro está en la circunferencia circunscrita a él? ) equilátero ) isósceles acutángulo ) obtusángulo ) rectángulo ) en ningún triángulo 50
01. n la figura 136, F F y, luego cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? F I) = II) = III) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y III ) I, II y III fig. 136 0. n un triángulo escaleno al trazar del mismo vértice; la altura, la bisectriz, la transversal de gravedad y la simetral, cuántos triángulos se forman en total? ) ) 3 ) 4 ) 1 ) no se puede determinar 03. n la figura 137, L es tangente en a la circunferencia de centro O. uál(es) de las siguientes afirmaciones hace(n) que sea paralelo a L? I) II) III) O ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III L ) Sólo I y II ) I, II y III fig. 137 04. uántos triángulos se forman al trazar todas las diagonales desde un mismo vértice en un dodecágono (1 lados) regular? ) 1 ) 10 ) 8 ) 6 ) más de 1 51
05. uál es el cuadrilátero que tiene 4 ejes de simetría? ) el rombo ) el rectángulo ) el deltoide (trapezoide simétrico) ) el trapecio isósceles ) el cudrado 06. uál es la mejor figura que representa una reflexión respecto a L de la figura original? L ) ) ) ) ) 07. os triángulos equiláteros iguales se unen por un lado. espués todas las esquinas de la figura obtenida se juntan en el centro. Qué figura se obtiene? ) un triángulo ) un cuadrado ) un rectángulo ) un hexágono ) un rombo 08. on cuál o cuáles de los triángulos se puede cubrir completamente el pentágono de la figura? ) Sólo con I ) Sólo con II ) Sólo con III ) on I y con III ) on I y II I) II) III) 5
09. Los triángulos y son congruentes (figura 138), cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? I) F = F II) F F III) F es punto medio de y ) Sólo I F ) Sólo I y II ) Sólo III ) Sólo I y III ) todas fig. 138 10. n la figura 139, la circunferencia mayor está inscrita al cuadrado mayor y pasa por los 4 vértices del cuadrado menor, la circunferencia menor está inscrita al cuadrado menor, luego en qué razón están los radios de las circunferencias? ) 1 : ) : 3 ) 1 : ) : ) no se puede determinar fig. 139 11. n la figura 140, es rombo, es un punto de tal que del triángulo y el rombo están en una razón de r t, entonces las área ) ) r (r t (r t) t) ) t r t ) ) r r t r t fig. 140 53
1. Si F es el punto medio de (figura 141), entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) FG es isósceles. II) es semejante con. III) G es punto medio de. G ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo I y III ) Ninguna fig. 141 13. Sobre los lados y del triángulo, se han dibujado triángulos equiláteros, como lo muestra la figura 14. Si F y G son los puntos medios de y respectivamente, FG entonces = 1 G ) ) 1 ) 3 F ) 1 4 ) no se puede determinar fig. 14 14. Si en la figura 143, los lados de los cuadrados están en razón 4 : 3 :, entonces si el área no achurada es 17 cm, entonces el lado del cuadrado mayor es F ) 1 cm. ) cm. ) 3 cm. ) 4 cm. ) 8 cm. fig. 143 15. n la circunferencia de centro O y radio r (fig. 144), se ha inscrito el PQR. ntonces la longitud del segmento PQ esta representada por R ) r sen ) r cos ) r sen ) r cos ) r sen P. O Q fig. 144 54
16. l rotar la figura sombreada en torno a la recta L, el cuerpo engendrado es similar a: L ) ) ) ) ) 17. Para teselar un cuadrado con una pieza esta puede tener la forma de un: I) triángulo equilátero II) rectángulo III) pentágono regular ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II ) I, II y III 18. Si se quiere saber el seno de un ángulo, se requiere (1) conocer los lados del triángulo rectángulo donde está el ángulo en cuestión. () conocer el coseno del mismo ángulo. ) (1) por si sola ) () por si sola ) mbas juntas, (1) y () ) ada una por si sola, (1) ó () ) Se requiere información adicional 19. n la circunferencia de la figura 145, las cuerdas y son perpendiculares, para encontrar el diámetro de la circunferencia es necesario conocer (1) m () n ) (1) por sí sola ) () por sí sola 6 ) mbas juntas, (1) y (). ) ada una por sí sola, (1) ó () m fig. 145 ) Se requiere información adicional. n 55
0. n la figura Nº 146, se muestran un rectángulo y un romboide traslapados, el área achurada en términos de a es a ) ) ) ) a a a a 45º 3a fig. 146 ) No se puede determinar 1. n la figura 147, p q y r s, luego el ángulo x mide p r ) 5º ) 90º x s ) 115º ) 155º 5º q ) 165º fig. 147 a a. l suplemento de un ángulo es 130º y el complemento del otro es 40º, entonces la diferencia entra las medidas de ellos es ) 0º ) 10º ) 0º ) 50º ) 90º 3. n el triángulo rectángulo en de la figura 148, se ha trazado la altura, que divide a la hipotenusa en dos segmentos; = y = 16, luego el perímetro del triángulo mide ) 4 4 14 ) 18 7 1 ) 36 ) 4 1 ) 16 14 fig. 148 16 4. La suma de las medidas de las tres transversales de gravedad es ) Igual al perímetro del triángulo ) Igual a la mitad del perímetro del triángulo ) Mayor que el perímetro del triángulo ) Menor que el perímetro del triángulo ) Igual a un tercio del perímetro del triángulo 56
5. Para ubicar el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo se deben trazar ) dos medianas ) dos bisectrices ) dos alturas ) dos simetrales ) dos transversales de gravedad 6. n la figura 149, es paralelogramo y = =. Sabiendo que = 5 y = 6, cuánto, mide el perímetro del trapecio? ) 17 ) 18 ) 19 ) 0 ) 1 fig. 149 7. n la circunferencia de la figura 150, es altura. Para que divida aureamente al diámetro, es igual a ) a ) b a ) a b ) b a b O a fig. 150 ) a 5 8. l trapecio de la figura 151 es isósceles, luego, es(son) verdadera(s) la(s) siguientes afirmación(es) I) : = : II) III) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III fig. 151 ) Sólo I y III ) I, II y III 9. Tres cuadrados de lados; 10 cm, 8 cm y 6 cm, respectivamente (fig. 151), si se colocan uno al lado del otro, entonces cuál es el área sombreada? ) 100 cm ) 90 cm ) 10 cm ) 80 cm ) 40 cm fig. 151 57
30. Si con un triángulo isósceles de área 5 se forma un rombo, entonces el producto de las diagonales es ) 5 ) 10 ) 1 ) 0 ) 40 ` 31. n la figura 15, es paralelogramo, F esta en la prolongación de. Si F = 3 y GF = 4, entonces es igual a F ) 4 ) 8 ) 10 G ) 1 ) 16 fig. 15 3. n la figura 153, isósceles de base, = ) 1 ) 1 ) ) 3 40º 1 1 ) 5 fig. 153 33. n el cuadrado de la figura 154, se han prolongado las diagonales de manera tal que = = G y F = = H, si el lado del cuadrado es a, entonces el área del octógono FGH es H G ) ) a a ) 3a 3 ) a ) no se puede determinar fig. 154 F 58
34. La figura que mejor representa la reflexión de la flecha con respecto a L 1 y luego respecto de L es L 1 L ) ) ) ) ) 35. Si el punto, 3 se rota 30º con respecto al origen (0,0), el punto resultante es ) (0,) ) (0,4) ) (4,0) ) (,0) ), 3 36. Un patio cuadrado se desea embaldosar, si este mide 5 metros de lado, con cuál de las siguientes baldosas no se podrá embaldosar completamente, sin cortar ninguna baldosa? ) baldosas cuadradas de 50 cm. de lado. ) baldosas rectangulares de 50 cm. por 5 cm.. ) baldosas de forma de triángulo rectángulo de catetos 50 cm. y 5 cm.. ) baldosas cuadradas de 40 cm. de lado. ) baldosas de forma de triángulo rectángulo de catetos 5 cm. y 1,5 cm.. 3 37. Si tan, entonces el perímetro del triángulo rectángulo que tiene el ángulo y cuya 4 hipotenusa mide 50 cm. mide ) 100 cm. ) 110 cm. ) 10 cm. ) 70 cm. ) no se puede determinar 59
38. La figura 155 muestra parte de un cubo, el corte sombreado es un triángulo formado por las diagonales de las caras, si el cubo original tiene arista 1 cm, entonces el volumen del cuerpo resultante es ) ) ) ) ) 1 cm3 1 3 cm3 3 cm3 5 6 cm3 fig. 155 1 6 cm3 39. Si el volumen de un cilindro es V y el área del manto (superficie curva que lo envuelve) es S, entonces el volumen expresado en términos del radio y la superficie del manto es ) V S r ) ) ) ) S V r S V r r V S Sr V 40. Para saber el número de lados de un polígono convexo se necesita saber (1) l número de diagonales que se pueden dibujar en él. () La suma de los ángulos exteriores. ) (1) por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, (1) y () ) ada una por sí sola, (1) ó () ) Se requiere información adicional 60
41. n la figura 156, aparecen tres cuadrados dentro de un rectángulo, dos de ellos de lado a y el otro de lado b, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) l área achurada es II) III) a ab b l perímetro de la zona sombreada es 1a l perímetro del rectángulo es 8a + b ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y III b ) Sólo II y III ) I, II y III a fig. 156 4. n la figura 157, 6º y 1º, luego cuánto mide el ángulo? a ) 3º ) 9º ) 39º ) 18º + 36º ) 18º fig. 157 43. uánto mide el ángulo x en la figura 158, si L 1 // L y L 1 L 3? 4º ) 4º ) 64º L 3 L 1 ) 66º ) 76º 4º xº ) 114º fig. 158 L 44. n el triángulo MNP de la figura 159, PT es altura y PQ es bisectriz, cuánto mide el ángulo x? P ) 0º x ) 5º ) 15º 40º 30º ) 35º M T Q N ) falta información para determinarlo fig. 159 61
45. Sea un triángulo de lados a, b, c y alturas h a, h b y h c, luego I) ah a = bh b = ch c II) Si a > b > c h a < h b < h c III) h a : h b : h c = a : b : c s(son) verdadera(s) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II ) I, II y III 46. uál es el valor de x en la figura 160? ) 10 ) 1,5 ) 7,5 10 6 x ) 4,5 ) 6,5 fig. 160 47. n al rectángulo de la figura 161, el ángulo en es trisectado por y F, luego el área de dicho rectángulo es ) 108 3 36 ) 6 3 ) 18 3 ) 151 F 6 ) 10 fig. 161 6
48. n la figura 7, F // G // H, si O : : = : 4 : 1, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) GH = FG OF II) Los triángulos OF y OH son semejantes. III) F : G = : 4 ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo II y III ) I. II y III O F G H fig. 16 49. n la figura 163, cuál es el seno del ángulo? ) no se puede determinar ) 5 13 ) 1 13 ) 13 15 ) 15 6 13 5 15 fig. 163 50. Los triángulos F y de la figura 164 son congruentes, G es rectángulo. uál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) F II) l área del FG más el área de es igual al área del F. III) F es paralelogramo. G ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II ) I, II y III fig. 164 F 51. n el triángulo e la figura 165, se han trazado las alturas y F, si = 8, = 6 y = 4, entonces = ) ) 1 5 F ) 5 ) ) 3 fig. 165 63
5. La figura 166, presenta un cono recto invertido, de diámetro 8 cm y altura 4 cm y dentro de él una esfera de radio 1 cm, si la esfera es no puede descender más por el interior del cono, entonces a qué distancia del vértice del cono queda el centro de la esfera? ),3 cm ) 6,0 cm ) 8,0 cm ) 37 cm ) 37 cm 4 fig. 166 8 53. l cubo de la figura 167 tiene el punto de intersección de las diagonales en el origen del sistema coordenado, si las caras del cubo son paralelas a los planos xy, yz y zx, además las coordenadas del vértice (1,1,1), entonces las coordenadas del vértice son z ) (-1,-1,-1) ) (-1,-1,0) ) (-1,1,-1) ) (1,-1,-1) ) (-1,-1,1) y fig. 167 x 54. l pentágono SLIM de la figura 168, está formado por un cuadrado y un triángulo equilátero de igual lado, el triángulo LF es equilátero de igual lado que el pentágono SLIM, si el perímetro del pentágono es 40 cm., entonces el área del triángulo achurado es I ) 3 cm ) 4 cm ) 0 cm M L ) 18 cm F ) no se puede determinar fig. 168 S 64