Matemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato Primera Edición, 2009 Compilación y Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada Coordinador editorial Alan Santacruz Farfán Revisión Alejandro Vázquez Zúñiga Diseño Gráfico de forros para la presente edición Diana Leticia Rebollo Jiménez Formación ************************** Universidad La Concordia Dirección de Educación a Distancia, Av Tecnológico 109 Col. Ejido de Ojocaliente, CP 20198, Aguascalientes, Ags. ISBN pendiente Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra incluido el diseño por cualquier medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor.
Presentación Apoyos didácticos Objetivo general Unidad 1. Expresiones algebraicas Introducción 1. Notación algebraica 1.1 Cómo escribir expresiones algebraicas 1.2 Orden de las operaciones 2. Polinomios 2.1 Clasificación de polinomios 2.2 Suma y resta de polinomios 2.3 Multiplicación de polinomios 2.3.1 Multiplicación de monomios 2.3.2 Multiplicación de un monomio por un polinomio 2.3.3 Multiplicación de un polinomio por un polinomio 2.4 Productos notables 2.5 División de expresiones algebraicas 2.5.1 División de monomios 2.5.2 División de polinomios por monomios 2.5.3 División de polinomio entre polinomio Resumen Autoevaluación Unidad 2. Factorización Introducción 1. Tipos de factorización 1.1 Factor común 1.2 Factorización por agrupamiento 1.3 Trinomio cuadrado perfecto 1.4 Diferencia de cuadrados 1.5 Factorización de trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. 1.6 Trinomio de la forma x 2 + bx + c 2
Resumen Autoevaluación Unidad 3. Operaciones con expresiones racionales Introducción 1. Propiedades de las expresiones racionales 1.1 Estructura 1.2 Multiplicación de fracciones algebraicas 1.3 División de fracciones algebraicas 1.4 Suma y resta de fracciones algebraicas Resumen Autoevaluación Unidad 4. Ecuaciones de primer grado Introducción 1. Ecuaciones equivalentes 2. Definición y solución de ecuaciones de primer grado 2.1 Método de solución 2.2 Aplicaciones de ecuaciones de primer grado en una variable 3. Sistema de ecuaciones de primer grado con dos y tres incógnitas 3.1 Método de suma y resta 3.2 Método de sustitución 3.3 Método de igualación 3.4 Método gráfico 3.5 Determinantes 3.6 Ecuaciones de segundo orden (2x 2) 3.7 Solución de sistema de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas 3.8 Ecuaciones de tercer orden (3 x 3) Resumen Autoevaluación Unidad 5. Ecuaciones de Segundo Grado Introducción 1. Raíces 1.1 Solución de ecuaciones cuadráticas con raíces complejas. 2. Definición de una ecuación de segundo grado con una incógnita 2.1 Representación gráfica 2.2 Solución para la forma incompleta ax 2 + bx = 0 2.3 Solución para la forma completa ax 2 + bx + c 2.4 Ecuaciones irracionales Resumen 3
Autoevaluación Unidad 6. Desigualdades e Inecuaciones Introducción 1. Concepto de desigualdad 1.1 Símbolos de la desigualdad 1.2 Propiedades de las desigualdades 2. Concepto de inecuación 2.1 Solución de inecuaciones de primer grado con una incógnita. 2.1.1 Método gráfico 3. Graficar desigualdades con dos variables Resumen Autoevaluación Bibliografía 4
El propósito fundamental de este libro es que el alumno adquiera y construya con habilidad y destreza los diversos métodos para analizar, relacionar, comparar, diferenciar, sintetizar y valorar expresiones algebraicas por medio de teorías que dan respuesta a problemas clásicos de las matemáticas, los cuales favorecerán su desarrollo intelectual, además de su pensamiento organizado y sistemático para cursos posteriores de matemáticas, así como en las demás materias relacionadas con ella. A la par de esta enseñanza se incorporan los objetos de aprendizaje con el fin de ofrecer a los alumnos amplias gamas de aprendizaje significativo, esta práctica educativa requiere una evaluación cuidadosa de sus objetivos: en matemáticas se deben guiar procesos que apunten hacia formas de razonamiento, también se debe tener presente que el álgebra se ocupa, en su aspecto elemental, de la resolución de ecuaciones que surgen del quehacer de la actividad científica para la resolución de problemas. Se pretende desarrollar una enseñanza que logre encontrar en los aspectos específicos de la estructura cognoscitiva y las dimensiones abstractas del alumno, el establecimiento de vínculos entre lo particular y lo abstracto, debido a que las matemáticas son ciencias de lo abstracto. El contenido de este libro busca establecer una relación entre las matemáticas y el mundo material y social del alumno, ya que es realmente importante destacar que las formas de razonamiento y de creación intelectual del alumno, se mantienen estrechamente asociadas a otras partes del razonamiento humano. En la unidad I conocerá los signos del álgebra por medio de la identificación de elementos en expresiones y términos algebraicos, para que de esta manera el alumno desarrolle la notación algebraica, también identificará polinomios a través de ejercicios de suma, resta y multiplicación de polinomios con la finalidad de usar ejemplos para la resolución de expresiones algebraicas, y utilizará el concepto de álgebra por medio de ejemplos demostrativos de variables y constantes, con el fin de que traduzca expresiones del lenguaje común algebraico. En la unidad II realizará la factorización de diversas expresiones algebraicas por medio del uso y la propiedad distributiva para reducir expresiones en sus partes constituyentes, así como también establecerá el factor común de polinomios, binomios o trinomios, a través de métodos de factorización para fines de disminución de expresiones algebraicas. En la unidad III resolverá problemas que impliquen fracciones racionales a través de la utilización de reglas de simplificación, suma, resta, multiplicación y división, para presentar solución a diversas expresiones. En la unidad IV analizará problemas en donde se utilicen ecuaciones de primer grado con una, dos y tres incógnitas, mediante métodos algebraicos y su interpretación gráfica, a fin de emplear principios de solución a dichas ecuaciones. En la unidad V analizará situaciones en las que se apliquen ecuaciones de segundo grado, por medio de métodos algebraicos a fin de encontrar su solución e interpretación. En la unidad VI examinará problemas en donde intervengan desigualdades e inecuaciones, por medio de sus propiedades para encontrar solución a dichos problemas ayudándose de gráficas, valores absolutos y planos de coordenadas. 5
Son aquellas estrategias de instrucción que apoyan cada aspecto del contenido del programa y su principal objetivo es que el alumno se interese en la construcción de su propio conocimiento a través de actividades que le permitan la adquisición del aprendizaje significativo. Dichos apoyos facilitan la comprensión del contenido por medio de un soporte al desempeño escolar como profesional. Se busca tanto la adquisición de contenidos para el logro de objetivos como adquirir herramientas de apoyo para el aprendizaje. Icono Apoyos didácticos Definición Ejemplo Sesión teórica Ejercicios Ejemplos Contiene la información y desarrollo de cada uno de los temas que integran el programa de la asignatura. Plantea una serie de ejercicios que el estudiante debe resolver. Además de que permiten la integración, aplicación y repaso de los contenidos, su resolución sirve como verificador de la asimilación de los contenidos. Presentan una muestra en general de un modelo representativo de una variedad de alguna temática o contenido en general Problemas propuestos Problemas resueltos Buscan poner en práctica las habilidades del alumno para solución de problemas propuestos. Exponen la manera de resolver problemas propuestos, funcionando como una guía práctica para comparar y optimizar los métodos del alumno para solucionar otros problemas. 6
Contenido interactivo Autoevaluación Resolución de ejercicios Es un material de consulta que se utiliza para cualquier temática y a su vez sirve de apoyo para exponer cualquier tipo de contenido. Está enfocada a una serie de actividades en donde se pondrá a prueba lo que el alumno ha comprendido. Es una forma de regular el avance unidad a unidad, la correcta resolución es indicativo de del manejo adecuado de información requerido para la unidad siguiente. Son un recurso para la comparación de respuestas obtenidas, a manera que el alumno obtenga una retroalimentación de aprendizaje. 7
Al término del curso el alumno construirá con habilidad y destreza los diversos métodos para analizar, relacionar, comparar, diferenciar, sintetizar y valorar expresiones algebraicas por medio de teorías que dan respuesta a problemas algebraicos clásicos de las matemáticas, los cuales favorecerán su desarrollo intelectual, además de su pensamiento organizado y sistemático para cursos posteriores de matemáticas, así como en las demás materias relacionadas con ella. 8
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: Conocerá los signos del álgebra por medio de la identificación de elementos en expresiones y términos algebraicos, para que de esta manera desarrolle la notación algebraica. Identificará polinomios a través de ejercicios de suma, resta y multiplicación de polinomios con la finalidad de usar ejemplos para la resolución de expresiones algebraicas. Utilizará el concepto de álgebra por medio de ejemplos demostrativos de variables y constantes, con el fin de que traduzca expresiones del lenguaje común algebraico. Introducción El concepto de la cantidad en álgebra es mucho más amplio que en aritmética. En aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. Mientras que en álgebra se utilizan, además de números concretos, las letras del alfabeto para representar cantidades (números) conocidas o desconocidas; es decir, los símbolos que se utilizan en el álgebra para representar cantidades son los números concretos y las letras del alfabeto. Entonces podríamos decir que el álgebra presenta una estructura con las siguientes características: Consta de un conjunto de símbolos que expresan números más complejos. 9
Consta de las operaciones algebraicas (operaciones de adición (+), sustracción (-), multiplicación (x), división ( ), potenciación y radicación ( )) Las propiedades de las operaciones. 1. Notación algebraica Álgebra: Es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas. Fórmulas algebraicas: Es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general. Son una consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras. Así la geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura, luego llamando al: A= área del rectángulo b= base h= altura Con estas letras equivale a formar la siguiente fórmula A= h x h Esto representará de un modo general el área de cualquier rectángulo, pues el área de un rectángulo dado se obtendrá con solo sustituir b y h en la formula anterior por sus valores en el caso dado. Ejemplo Haciendo alusión a la anterior formula se puede resolver el siguiente rectángulo aplicando la fórmula anterior. Altura: h=2 Base: b=3 Aplicación de la fórmula anterior: A= b x h = 3m x 2m = 6m En álgebra se trata de establecer un principio que generalizado puede aplicarse en otros problemas semejantes. Signos del álgebra Signos de operación Signos de relación Signos de agrupamiento 10
Signos de operación: Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación se efectuarán en forma similar que en la aritmética; dichas operaciones las expresan los siguientes signos: a) El signo de la adición es: (+). Ejemplos 6 a + b b) El signo de sustracción es: (-). Ejemplos c d c) El signo de multiplicación es: (x), ejemplo a x b; también se usa un punto entre los factores. a b (k) (l) Ejemplos Al tener factores literales o un factor numérico y otra literal, el signo de la multiplicación, no es necesario que se escriba, es decir, uvw, 4cd, 2a. d) El signo de división es: ( ), ejemplo: x y; también se representa separando el dividendo y el divisor por una línea horizontal. Ejemplos x y e) El signo de la potenciación es el exponente, que es un número que se escribe en la parte superior derecha de una literal, número o expresión, indicando el número de veces que la literal, número de expresión que se denomina base, se toma como factor. Ejemplos m 4 = (m) (m) (m) (m) 2 3 = (2) (2) (2) (3 xy) 2 = (3 xy) (3 xy)= 9 x 2 y 2 Cuando una literal, número u expresión no tienen exponente indicado, se Se sobreentiende que su exponente es la unidad. 11
Ejemplos a b 1 3 = 3 1 5 xy = 5 1 x 1 y 1 f) El signo de radicación es: ( ) llamado radical, dentro de este signo se coloca la expresión a la cual se le va a extraer la raíz. 2 a Extraer la raíz cuadrada de 2a Ejemplos 3 8 x 2 y Extraer la raíz cúbica de 8 x 2 y Signos de relación: Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: = que se lee igual a > que se lee mayor que < que se lee menor que a = b se lee a igual a b x + y > m se lee x + y es mayor que m a < b + c se lee a menor que b + c Signos de Agrupación: Son los siguientes: Paréntesis Corchetes Llaves Coeficiente: Es el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor. Así en el siguiente producto: 3a el factor 3 es coeficiente del factor e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea como sigue: 3a= a + a +a 5b= b + b+ b + b + b Estos son coeficientes numéricos En el producto ab, el factor a es el coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, o sea; Estos son coeficientes literales ab= b + b+ b + b a veces 12
Ejercicio 1. Desarrolle los siguientes coeficientes 8 a = 6 c = 9 b= 1.1 Cómo escribir expresiones algebraicas Para hacer más visual la escritura vamos a suponer que una barra de chocolate cuesta 5 pesos. Entonces 5 x 2 es el costo de dos barras de chocolate, 5 x 3 es el costo de tres y así sucesivamente. En general, para calcular el costo de cualquier cantidad de barras de chocolate se multiplica por 5 pesos por el número de barras de chocolate. Podemos representar esta situación con una expresión algebraica. Ejemplos 5 pesos Por Número de barras de chocolate 5 X n La letra n representa un número desconocido, en este caso las barras de chocolate. La incógnita n se denomina variable porque su valor varía. Una expresión algebraica contiene al menos una variable y al menos una operación matemática, como se muestra en los siguientes ejemplos: h 3 5n + 1 r 1 xy 4 x a t Una expresión numérica contiene sólo números y operaciones matemáticas. Por ejemplo 9 + 1 2 es una expresión numérica. En una expresión en donde haya una multiplicación, las cantidades que se multiplican se llaman factores y el resultado es el producto. Ejemplos 9 x 3 x 7 = 189 Factores Producto 13
Para escribir una expresión de multiplicación, como 7 x b, se puede usar un punto o un paréntesis; mientras que para expresar una división se puede utilizar una línea. 7 b 7 (b) (7) (b) 7b Significa 7 X b t 2 Significa t 2 El resultado de una expresión de división se llama cociente. Para resolver problemas en matemáticas es importante que aprenda a convertir las palabras en expresiones algebraicas. El siguiente cuadro presenta algunas de las palabras y frases que se usan para indicar operaciones matemáticas. Suma Más la suma de aumentado en más que sumado a el total de Resta Diferencia de disminuido en restado de menor que sustraído de Álgebra División Dividido entre el cociente de la razón de por Multiplicación El producto de multiplicado por a de Ejemplos 1 La suma de k y 18 2 a dividido entre b m + 18 a b o a b 14
Ejercicio 2. Escribe la expresión algebraica para cada expresión verbal. a. 26 disminuido en w b. 4 más 8 por y c. La suma de a y b d. z dividido entre y Una ecuación es un enunciado matemático que contiene un signo de igual (=). Algunas palabras que se emplean para indicar los signos de igual son: Igual a Es Es equivalente a Igualdad Es igual a Es lo mismo que Es como Es idéntico a Una ecuación puede incluir números, variables o expresiones algebraicas. 1.2 Orden de las operaciones Algunas expresiones tienen más de una operación. El valor de la expresión depende del orden en el que se evalúan las operaciones Cuál es el valor de 8 4 + 3? Método 1 8 4 +3 = 32 + 3 = 35 Método 2 8 4 + 3 = 8 7 Sumar 4 y 3 = 56 Multiplicar 8 y 7 La respuesta correcta es 35 y 56? Los valores son diferentes porque se multiplicó y se sumó en diferente orden. Para determinar el valor correcto de la expresión debe seguir el orden de la operación. Orden de las operaciones Encuentra los valores de las expresiones que estén dentro de los símbolos de agrupación; por ejemplo, paréntesis ( ), corchetes [ ] y las que estén indicadas en barras de cociente. Resuelve todas las multiplicaciones o divisiones de izquierda a derecha. Resuelve todas las sumas o restas de izquierda a derecha 15
Ejercicio 3. Encuentre el valor de las siguientes expresiones 1. 5 [3 (6 2)] + 14 2. (22-15) 7 9 3. 8 4 6 (5 4) 2. Polinomios Un polinomio es cualquier expresión algebraica constituida por un conjunto finito de términos, en cada uno de los cuales aparecen números y letras relacionadas solamente mediante productos y potencias de exponentes con números que son naturales. x 2 6x + 9 Ejemplos 5 x 2 y 3ab 6 + 7n 4 9 ab 2 14 ab 4 2 ab 5 En cambio la expresión 8 a x ⅓ y 16 x -3 + 4 no son polinomios, porque contienen exponentes que no son números naturales. 2.2 Clasificación de polinomios Monomios: Es un polinomio que consta de un solo término. -6 Un número Monomios x a 2 Una variable El producto de variables 1 a 2 b 2 El producto de números y variables 16
Binomio: Es un polinomio que consta de dos términos. y + 4 Binomios 7a - 6 3y 2 - y Trinomio: Es un polinomio que consta de tres términos. a + b + c Trinomios x 2 + 7 x - 5 2x 2 + 5xy + 4y 2 2.3 Suma y resta de polinomios Suma o adición: Operación que consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola. Para efectuar adiciones con polinomios, se realiza sumando sólo términos semejantes. Sumandos 6a 2 + 8a 2 +2a 2 = 16a 2 Suma Sumar las expresiones: 6a 2 + 8b +2a 2 3 ab + 3b + 8ab - b acomodando los términos semejantes tenemos: Ejemplos 6a 2 3 ab + 3b 2a 2 + 8ab + 8b -b 8a 2 + 5 ab + 10b Acomodo de términos semejantes Solución 17
Ejercicio 4. Realice la suma de polinomios que se indican 1. 3x 2 7x + 5; -4 + 3x 5x 2 2. 5a + 3b - 5c; -7a +12c - 7b - 3 3. -9x 2 4 + 5x; 10x 5 + 7x 2 ; -2x + 12 x 2 4. x 4 2x 3 + 7x 2 5 +8x; -x 3 4x 2x 4 7x 2 + 11 5. 4x 2-2xy + y 2 5; -2xy 3y 2 + 2 5x 2 ; 4xy + y 2 5x 2 6. x 4 x 2 + x; x 3 4x 2 + 5; 7x 2 4x + 6 7. a 4 + a 6 + 6; a 5 3a 3 + 8; a 3 a 2 14 8. x 5 + x 9; 3x 4 7x 2 + 6; - 3x 3 4x + 5 9. a 3 + a; a 2 + 5; 7a 2 + 4a; - 8a 2 6 10. x 4 x 2 y 2 ; - 5x 3 y + 6xy 3 ; - 4xy 3 + y 4 ; - 4x 2 y 2 6 11. xy + x 2 ; - 7y 2 + 4xy x 2 ; 5y 2 x 2 + 6xy; - 6x 2 4xy + y 2 12. a 3 8ax 2 + x 3 ; 5a 2 x 6ax 2 x 3 ; 3a 3 5a 2 x x 3 ; a 3 + 14ax 2 x 3 Resta o sustracción: Restar una cantidad x de una cantidad y, significa determinar la cantidad x que dé como resultado y. Es decir, para efectuar la resta de dos polinomios se suma el minuendo con el inverso aditivo del sustraendo. Se acostumbra escribir en un renglón los términos del minuendo, y por debajo de éste los que corresponden al inverso aditivo del sustraendo. Restar el polinomio 10y 4 + 8y 3 7y 4 + 5y 2 de 10y 2 6y 4 + y 10 y 3 Tenemos (10y 2 6y 4 + y 10 y 3 ) ( 10y 4 + 8y 3 7y 4 + 5y 2 ) 18
Ordenando los polinomios con respecto a y en forma descendente y aplicando la regla de la resta resulta: Ejemplos -6y 4 - y 3 + 10y 2 + y - 10 +10y 4-8y 3-5y 2 +7y +4 4y 4-9y 3 + 5y 2 +8y - 6 Acomodo de términos semejantes Solución Ejercicio 5. Reste el segundo polinomio del primero 1. 6x 2 + 3y 2 7x + 4y 2; 2x 2 y 2-7x + 8 2. a 3 6b 2 c 3 ; 3c 3 + 6b 2 2a 3 3. x 2 3x + y + 6; -12 6y + 2x + 2x 2 4. 5 x 1 y; -7x 3y 6 4 8 8 5. 3x 4xy + 6y 8; -10 y + 7x + 2xy 6. x 3 6x 4 + 8x 2 9 + 15x ; 25x + 25x 3 18x 2 11x 5 46 7. a 5 26a 3 b 2 + 8ab 4 b 5 + 6 ; 8 a 4 b + a 3 b 2 15a 2 b 3 45 ab 4 8 8. y 6 + y 3 + y 2 + 9 ; 23 y 3 + 8y 4 15 y 5 8y 5 9. x 8 x 6 + 3x 4 5x 2 9 7x 7 + 5x 5 23x 3 + 51x + 36 10. x 7 3x 5 y 2 + 35x 4 y 3 8x 2 y 5 + 60 ; y 7 60 x 4 y 3 + 90x 3 y 4 50xy 6 x 2 y 5 11. a x-3 8a x+1 5; a x+2 5a x+1 6a x 12. -8a n + 16a n-4 + 15a n-2 + a n-3 ; 8a n-1 + 5a n-2 +7a n + a n-3 19
2.4 Multiplicación de polinomios Es una operación en la que dos expresiones denominadas multiplicando y multiplicador dan como resultado un producto, a dicho multiplicando y multiplicador se les denomina factores. xz + yz (x + y) z Multiplicando Multiplicador Producto Se regula por las siguientes leyes. Conmutativa El orden de los factores no altera el producto. (a) (b) (c) = abc ó (c) (b) (a) = abc Asociativa Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. a (bc) = b (ac) = c(ab) = abc Distributiva Un producto es igual a una suma y la suma es igual a un producto. a (b + c) = ab + ac Ley de los signos: (+) (+) + (-) (-) + (+) (-) - (-) (+) - Ley de los exponentes: Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores. a 4 x a 3 x a 2 = a 4+3+2 = a 9 20
Ley de los coeficientes: Utilizando la ley conmutativa de la multiplicación llegar a definir lo siguiente: 3a x 4b = Hay tres diferentes casos de multiplicación algebraica Multiplicación de monomios Multiplicación de un polinomio por un monomio Multiplicación de polinomios 2.4.1 Multiplicación de monomios Para multiplicar dos o más monomios se utilizan las reglas de los signos para dicha operación y las leyes de los exponentes. Para multiplicar se pueden seguir los siguientes pasos: P A S O S 1. Determinar el signo del producto 2. Multiplicar los coeficientes numéricos. 3. Multiplica las partes literales realizando las leyes de los exponentes correspondientes. a) (3x 2 y)(7xy 4 )= (3) (7) x 2 +1 x 1+4 = 21 x 3 y 5 Ejemplos b) (-6x2y4 n)(-2xy2 n4) = (-6) (-2) x 2+1 y 4+2 n 1+4 = 12 x 3 y 6 n 5 21
Ejercicio 6. Efectúe las siguientes multiplicaciones a. 6a 3 b (2ab 5 )= b. (-8xy2) (3xy)= c. (-4m2b) (-5m3b)= d. (- 4m 2 ) (- 5mn 2 p) = e. (5a 2 y) (- 6x 2 ) = f. (- x 2 y 3 ) (- 4y 3 z 4 ) = g. (abc) (cd) = h. (- 15x 4 y 3 ) (- 16a 2 x 3 ) = i. (3a 2 b 3 ) (- 4x 2 y) = j. (- 8m 2 n 3 ) (- 9a 2 mx 4 ) = 22
2.4.2 Multiplicación de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación; o sea, se multiplica cada término del polinomio por el monomio. a. 3x 2 (2x 3 7x 2 x + 6) = (3x 2 )(2 x 3 ) + 3x 2 (-7x 2 ) + 3x 2 (-x) + 3x 2 (6) Solución = 6x 5 21x 4 3x 3 + 18x 2 b. -3a 2 b (5a 3 b 2 +4) = -3a 2 b (5a 3 ) - 3a 2 b (-b 2 ) - 3a 2 b (4) Solución =-15a 5 b + 3a 2 b 3-12a 2 b c. 8 x 5 + x +3 - x + 1 = 8 x 5 + 8 x +3-8 x + 1 2 4 8 2 4 8 Solución = 4(x 5) + 2(x+3) (x+1) = 4x 20 + 2x + 6 x 1 = 5x - 15 Ejercicio 7. Efectúe las siguientes multiplicaciones a. 4y 2 (y 3 5y 2 + y 1) = b. m 4 (m 3 2m 2 n + 4mn 2 n 2 + 4)= c. 10 x 3 + x +1 = 5 2 d. 12 2x 1 - x -3 = 4 3 e. (m 4 3m 2 n 2 + 7n 4 ) (- 4m 3 x) = f. (x 3 4x 2 y + 6xy 2 ) (ax 3 y) = 23
g. (a 3 5a 2 b 8ab 2 ) (- 4a 4 m 2 ) = h. (a m a m-1 + a m-2 ) (- 2a) = i. (x m+1 + 3x m x m-1 ) ( 3x 2m ) = j. (a m b n + a m-1 b n+1 a m-2 b n+2 ) ( 3a 2 b) = 2.4.3 Multiplicación de un polinomio por un polinomio La multiplicación de dos polinomios es igual a la suma de los resultados obtenidos de multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio. Ejemplos (7x - 5) (4x 3 5x 2 2x + 3)= 7x (4x 3 5x 2 2x + 3) 5 (4x 3 5x 2 2x + 3) = 28x 4 35x 3 14x 2 + 21x 20x 3 + 25x 2 + 10x 15 = 28x 4 55x 3 + 11x 2 + 31x 15 Ejercicio 8. Efectúe las siguientes multiplicaciones a. (x 2 3x + 4) (2x - 5) b. (4x 1) (9x - 2) c. (2x - 5y)2 d. (x + 3) (x 2 3x +9) e. (2a b) (4a 4 +2 ab + b 2 ) f. (x 3 + 2x 2 x) (x 2 2x +5) g. (m 3 3m 2 n + 2mn 2 ) (m 2 2mn 8n 2 ) h. (x 2 + 1 + x) (x 2 x 1) i. (2 3x 2 + x 4 ) (x 2 2x +3) j. (a 3 3a 2 b + 4ab 2 ) (a 2 b 2ab 2 10 b 3 ) 24
k. (8x 3 9y 3 + 6xy 2 12 x 2 y) (2x + 3y) l. (2y 3 +y 3y 2 4) (2y + 5) 2.5 Productos notables Son ciertos productos que se efectúan directamente, basándose en reglas notables que al memorizarse su aplicación, nos permiten llegar al resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. Binomios al cuadrado: Elevar al cuadrado un binomio (x + y) ó (x y), equivale a multiplicarlo por sí mismo. a) (x + y) 2 = (x + y) (x + y)= x 2 + 2xy +y 2 Ejemplos b) (x - y) 2 = (x - y) (x - y)= x 2-2xy +y 2 Tenemos un terreno cuadrado como el de la siguiente figura 1. Vamos a ver que para sacar el área de un cuadrado multiplicamos lado por lado. 2. Enseguida vemos que en cada lado existe una suma de a + b, por lo que a la hora de calcular el área del cuadrado multiplicamos (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) 25
Realizamos la multiplicación de la siguiente manera: a + b a + b a 2 + ab + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 Binomios conjugados: Son aquellos binomios que se diferencian únicamente por el signo de uno de los términos y su solución se realiza elevando al cuadrado cada uno de ellos y colocando el signo negativo al término que cuenta con signos diferentes. (a + b) (a b) = a 2 b 2 (-x + y) (x - y)= -x 2 + y 2 Los binomios conjugados tienen como producto la diferencia de dos cuadrados, igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Para que quede claro lo que se ha estado viendo vamos a realizar los siguientes ejercicios. a 2 ab 2 a 2 b b 2 a) (3x + 5y) (3x + 5y) (3x) 2 (5y) 2 = 9x 2 25 2 b) (4y + 8z) (4y + 8z) (4y) 2 (8z) 2 = 16y 2 64z 2 26
Binomio al cubo: Es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo, más el tiple del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. 1. Primero elevamos a + b al cubo, esto quiere decir que desarrollamos el cubo de un binomio, como veremos a continuación. (a + b) 3 = (a + b) (a + b) (a + b) 2. Luego, realizando la primera de las multiplicaciones, nos da el ya conocido concepto de un binomio al cuadrado. El cual vamos a multiplicar por la última parte del trinomio. (a 2 + 2 ab + b 2 ) (a + b) 3. Lo que hace que nos lleve a un resultado final, al cual vamos a llegar realizando la operación siguiente: a 2 + 2 ab + b 2 a + b a 2 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 a 2 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 Binomio con un término común: El producto de dos binomios del tipo (x + a) (x + b) es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos. Tenemos que: (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab (x + a) (x + b) = x 2 + ax + bx + ab = x 2 + (a + b)x + ab 27
Ejercicio 9. Efectúe las siguientes multiplicaciones utilizando la regla del producto notable correspondiente. 1. (y 5) (y +5) 2. (x 4) (x - 7) 3. (a + 6) (a + 2) 4. (2y + 7) (2x 7) 5. (3x + 4) (3x + 10) 6. (9w - 2) (8w - 6) 7. (w + 7) 2 8. (a - 5) 2 9. (n + 2) 3 10. (y - 9) 3 11. (4m 5 + 5n 6 ) 2 12. (7a 2 b 3 + 5x 4 ) 2 13. (4ab 2 + 5xy 3 ) 2 14. (8x 2 y + 9m 3 ) 2 15. (a 3) 2 16. (x 7) 2 28
17. (2a 3b) 2 18. (3a 4 5b 2 ) 2 19. (n 1) (n + 1) 20. (1 3ax) (3ax + 1) 21. (2m + 9) (2m 9) 22. (a 3 b 2 ) (a 3 + b 2 ) 23. (n 2 1) (n 2 + 20) 24. (n 3 + 3) (n 3 6) 25. (a 4 + 8) (a 4 1) 26. (a 6 + 7) (a 6 9) 27. (2a 3 5b 4 ) 2 28. (a 3 + 12) (a 3 15) 29. (x 4 + 7) (x 4 11) 30. (2a + x) 3 31. (1+b) 3 32. (4n + 3) 3 33. (a 2 + 2b) 3 34. (1 a 2 ) 3 29
2.6 División de expresiones algebraicas La división es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), encontrar el otro factor (cociente). De esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. Es evidente que: Ejemplo 6a 2 2a = 6a 2 = 3a 2a Ley de los signos: Se puede utilizar como ya hemos visto en la multiplicación +ab +a +ab +a +b -ab -a -ab -a +b Porque (-a) x (+b)= -ab +ab -a +ab -a -b Porque (-a) x (-b)= +ab -ab +a -ab +a -b Porque (-ab) x (+a)= -ab Ley de los exponentes: Para dividir potencias de la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. Ejemplo a 6 a 4 = a 6 = a 6-4 = a 2 a 4 Ley de los coeficientes: El coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En efecto 20a 2 5a = 4a 4a es el cociente porque 4a x 5a= 20a 2 Y vemos que el coeficiente del cociente 4 Es cociente de dividir 20 5 30
2.6.1 División de monomios De acuerdo con los conceptos analizados anteriormente podemos definir este tema. 1. Dividir 4a 2 b 2-2ab Ejemplos 4a 2 b 2-2ab = 4a 2 b 2 = -2ab -2ab 2. Dividir -5a 4 b 3 c -a 2 b -5a 4 b 3 c -a 2 b = - 5ª 4 b 3 = 5a 2 b 2 c - a 2 b 2.6.2 División de polinomios por monomios Sea (a + b c) m Aplicando la ley distributiva de la división realice lo siguiente: (a + b c) m = a + b c= a + b - c = m m m m 2.6.3 División de polinomio entre polinomio Procedimiento Paso 1. Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra. Paso 2. Paso 3. Se divide el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término cociente. Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta al dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada termino de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, se escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. Paso 4. Paso 5. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta de dividendo, cambiando todos los signos. 31
Paso 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores, hasta obtener 0 como resto. a) (x 4 + 6x 2 5x 3 7x +4) (x 2 3x + 6) Ejemplo x 2-2x -6 x 2 3x + 6 x 4 + 6x 2 5x 3 7x +4 -x 4 + 3x 3 6x 2-2x 3 + 0x 2 7x +2x 3-6x 2 + 12x -6x 2 + 5x +4 +6x 2-18x +36-13x + 40 Ejercicio 10. Efectúe las siguientes divisiones 1. x 2 9x + 14 = x 2 2. x 2 4x - 12 = x + 2 3. (x 3 + 27) (x + 3) = 4. (a 3 b 3 ) (a - b) = 5. (2x 4 + 3x 3 x 2 + 5x 1) (x - 2) = 6. (4x 3 + 5x 2 + 3x 2) (x + 2) = 7. (a m+3 ) (a m+2 ) = 32
8. (2x a+4 ) ( x a+2 ) = 9. (-3a m-2 ) ( 5a m-5 ) = 10. (x 2n+3 ) ( 4x n+4 ) = 11. (8m 9 n 2-10m 7 n 4-20m 5 n 6 ) (2m 2 ) = 12. (a x + a m-1 ) (a 2 ) = 13. (2a m 3a m+2 + 6a m+4 ) ( 3a 3 ) = 14. (a m b n +a m-1 b n+2 a m-2 b n+4 ) (a 2 b 3 ) = 15. (a 2 + 2a 3) (a + 3) = 16. (a2 2a 3) (a + 1) = 17. (5n2 11mn +6m2) (m n) = 18. (32n2 54m2 +12mn) (8n 9m) = 19. ( 14y 2 + 33 + 71y) ( 3 7y) = 20. (x 3 y 3 ) (x y) = 21. (a 2 + b 2 ) (a 2 ) = 22. (9x 3 + 6x 2 + 7) (3x 2 ) = 23. (16a 4 20a 3 b + 8a 2 b 2 + 7ab 3 ) (4a 2 ) = 33
24. (x 2 + 7x + 10) (x + 6) 25. (x 2 5x + 7) (x 4) 26. (m 4 11m 2 + 34) (m 2 3) Resumen Álgebra: Es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas. Signos del álgebra Signos de operación: Las operaciones de adición (+), sustracción (-), multiplicación (x), división ( ), potenciación y radicación ( ) se efectuarán en forma similar que en la aritmética; dichas operaciones las expresan los siguientes signos: Signos de relación: Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. = que se lee igual a, > que se lee mayor que, < que se lee menor que. Signos de Agrupación: Son los siguientes: Paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { } Polinomios: Un polinomio es cualquier expresión algebraica constituida por un conjunto finito de términos, en cada uno de los cuales aparecen números y letras relacionadas solamente mediante productos y potencias de exponentes con números que son naturales. Se clasifican en: Monomios: Es un polinomio que consta de un solo término. Binomio: Es un polinomio que consta de dos términos. Trinomio: Es un polinomio que consta de tres términos. Multiplicación de polinomios: Es una operación en la que dos expresiones denominadas multiplicando y multiplicador dan como resultado un producto, a dicho multiplicando y multiplicador se les denomina factores. Multiplicación de monomios: Para multiplicar dos o más monomios se utilizan las reglas de los signos para dicha operación y las leyes de los exponentes. Multiplicación de un monomio por un polinomio: Para multiplicar un monomio por un polinomio se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación; o sea, se multiplica cada término del polinomio por el monomio. Multiplicación de un polinomio por un polinomio: La multiplicación de dos polinomios es igual a la suma de los resultados obtenidos de multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio. 34
Productos notables: Son ciertos productos que se efectúan directamente, basándose en reglas notables que al memorizarse su aplicación, nos permiten llegar al resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. Binomios al cuadrado Binomios conjugados Binomio al cubo Binomio con un término común División de expresiones algebraicas: La división es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), encontrar el otro factor (cociente). Autoevaluación 1. Dados los siguientes términos, identifique sus elementos. Término Signo Coeficiente Parte literal a) 7x 2 b) 5 (a 2 + b 2 ) c) mx d) 2 ab 2 c e) -3 x 2 y 3 2. Por medio de los siguientes textos identifique los principales componentes de la fórmula y escríbalos en orden. Área de un rectángulo es la multiplicación de la base por la altura. El área de un triángulo es un medio de su base por la altura. El área de un cilindro recto es la multiplicación de 2 por π, por el radio y por la altura. 3. Monomio por monomio 5a 2 y * 6x 2 = -4m 2 * 5mn 2 p = 3a 2 b 3 * 7b 3 x 5 = -8mn 4 * -9a 2 mx 4 = a m b n * ab = 35
4. Monomio por polinomio a 2-2ab + b 2 * - ab = x 5-6x 3-8x * 3a 2 x 2 = x 3-4x 2 y + 6xy 2 * ax 3 y = x 3-3x 2 + 5x -6 * -4x 2 = 5. Polinomio por polinomio m - 6 * m-5 = a 3-4a 2 + 6a * 3ab = a 2-2ab + b 2 * -ab = a 3-5a 2 b - 8ab 2 * -4a 4 m 2 = 6. Productos notables (4x 2 +3y 3 ) 2 = (8-4xy) 2 = (3ab 2-5) 2 = (2b 3 c+9x 4 ) = 7. Efectúa las siguientes multiplicaciones algebraicas y subraya la respuesta correcta. (2x 4 ) (3x 3 y) (-4x 3 y) a) 24x 10 y b) 24x 10 y 2 c) -24x 10 y d) -24x 9 y 2 e) -24x 10 y 2 (-2x 2 y) 3 (3x 2 y 2 ) 3 a) -54x 12 y 9 b) 54x 12 y 9 c) -216x 12 y 9 d) -216x 9 y 15 e) 216x 12 y 9 (-8x 2 y) (-3x 4 y 5 ) 4 a) 648 x 10 y 10 b) -648 x 10 y 10 c) 648 x 18 y 21 d) -648 x 20 y 19 e) -648 x 18 y 21 (5x 3 + 3x 2 2x + 1) (4x - 5) a) 20x 4 + 13x 3 + 23x 2 + 14x - 5 b) 20x 4-11x 3 + 23x 2 + 16x + 5 c) 20x 4-15x 3 + 19x 2 + 12x - 5 d) 20x 4-13x 3-23x 2 + 14x - 5 e) 20x 4-13x 3 + 21x 2 + 18x - 5 36
FACTORIZACIÓN Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: Realizará la factorización de diversas expresiones algebraicas por medio del uso y la propiedad distributiva para reducir expresiones en sus partes constituyentes. Establecerá el factor común de polinomios, binomios o trinomios, a través de métodos de factorización para fines de disminución de expresiones algebraicas. Introducción En matemáticas, la factorización es la descomposición de un objeto en el producto de otros objetos más pequeños, que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. La factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el Teorema fundamental de la aritmética, y Factorizar polinomios en el Teorema fundamental del álgebra. Factorizar una expresión algebraica es reescribirla como el producto de sus factores. Por ejemplo, a 2 b 2 se puede expresar como: (a + b) (a - b) La multiplicación algebraica consiste en encontrar el producto de dos o más factores. Es importante tener presente que no todo polinomio se puede factorizar, es decir, así como en la aritmética hay número primos, también en álgebra hay polinomios primos, y son aquellos cuyas expresiones algebraicas sólo son divisibles entre ellas mismas y la unidad; es decir, no se pueden expresar como el producto de otras expresiones algebraicas. 37
1. Factorizar un polinomio Binomios Existen algunos métodos de factorización, para algunos casos especiales. 1.- Diferencia de cuadrados. 2.- Suma o diferencia de cubos. 3.- Suma o diferencia de potencias impares iguales. Trinomios 1.- Trinomio al cuadrado perfecto Polinomios 1.- Factor común. 1.1 Factor común Caso I: Factor común Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Factor común de un monomio: Factor común por agrupación de términos Ejemplo ab + ac + ad = a (b + c + d) ax + bx + ay + by = (a + b) (x + y) Factor común polinomio: Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menos exponente) para luego operar. Ejemplo ab bc = b (a -c) 38
Ejercicio 1. Determine el máximo factor común de los siguientes polinomios y factorícelos. a. ax - ay = b. 20 ab 2 15a 3 b = c. m 5 2m 2 + 6m = d. 25y 3 15y 2 10 y = 1.2 Factorización por agrupamiento Caso II: Factor común por agrupación de términos Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso: ab + ac + bd + dc = (ab + ac) + (bd + dc) = a (b + c) + d (b + c) = (a + d) (b + c) Ejemplo 39
Ejercicio 2. Factorice completamente las siguientes expresiones algebraicas. a. bx + by + 3x + 3y= b. 5x 2 30x x + 6 = c. x 2 + 6x + 9 y 2 = 1.3 Trinomio cuadrado perfecto Caso III: Trinomio al cuadrado perfecto Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y lo escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. (45x 37y) 2 6564 = 25x 2 30xy + 9y 2 (67x + 25y) 2 456 = 9x 2 + 12xy + 4y 2 Ejemplos (5x + 7y) 2 56 = x 2 + 2xy + y 2 867x 2 + 25y 2 456 67567xy Organizando los términos que tenemos: 467x 2 5675xy + 567y 2 Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separado por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda: (2x 5y) 2 40
Ejercicio 3. Verifique cuáles de los trinomios cuadráticos siguientes son perfectos y factorice los que sean de este tipo. a. 5a 2 8a + 3 b. 14n 2-41 n + 15 c. y 2 10y 25 d. 36a 2 30ab + 25b 2 e. x 2 12xy + 36y 2 1.4 Diferencia de cuadrados CASO IV: Diferencia de cuadrados. Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de los dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo (9y 2 ) (4x 2 ) = (3y 2x) (3y + 2x) 41
Ejercicio 4. Factorice completamente las siguientes expresiones algebraicas a. x 3 + 8 = b. x 3 + 64 = c. 8x 3 + 1= d. 27a 3 8 = e. 125y 3 + 27 b 3 = 1.5 Factorización de trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción. Caso V: Trinomio al cuadrado perfecto por adición y sustracción Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que complementarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. Para moldar debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos polinomios que multiplicado sale igual a la raíz de 2. Ejemplo ab + ac + ad = a (b + c + d) ax + bx + ay + by = (a + b) (x + y) 42
Ejercicio 5. Verifique cuáles de los trinomios cuadráticos siguientes son perfectos y factorice los que sean de este tipo. a. 4x 2 4xy + y 2 b. 49x 2 42xy + 9 y 2 c. 36a 2 30ab + 25b 2 d. y 2-10y - 25 1.7 Trinomio de la forma x 2 + bx + c Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados o restados den como resultado el término del medio. Ejemplo a 2 + 2a 15 = (a + 5) (a - 3) Ejercicio 6. Factorice las siguientes expresiones algebraicas. a. x 2 + 7x + 10 b. x 2 x 12 c. x 2 + 9x 22 d. x 2 7x 30 43
Resumen Existen algunos métodos de factorización, para algunos casos especiales. Binomios 1.- Diferencia de cuadrados: se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de los dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Trinomios 1.- Trinomio al cuadrado perfecto: se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. 2.- Por adición y sustracción: se identifica por tener tres términos, de los cuales dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que complementarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. 3.- Trinomio de la forma x 2 + bx + c: se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Polinomios 1.- Factor común: a) Factor común de un monomio: Factor común por agrupación de términos b) Factor común polinomio: Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menos exponente) para luego operar. 44
Autoevaluación 1. Factor común de un monomio: a. 18ab = b. 20xy = c. 30cd = d. 40mn = 2. Factor común de polinomio (Factorice los siguientes polinomios): a. 18mxy 2-54m 2 x 2 y 2 +36my 2 = b. 6xy 3-9nx 2 y 3 +12nx 3 y 3 +12nx 3 y 3-3n 2 x 4 y 3 = 3. Factor común por agrupación de términos: a. 4x 2-3xy-8x+6y = b. 2x+z 2-2ax-2az 2 = c. x 2 +3x- 28 = d. am-bm+an-bn = 4. Trinomio cuadrado perfecto: a. 1-16ax 2 +64a 2 x 4 = b. a 2 +2ab+b 2 = c. 9-6x+x 2 = d. 36+12m 2 +m 4 = 5. Diferencia de cuadrados (Factorice lo siguiente): a. x 2 -y 2 = b. 9-b 2 = c. 36x 2 y 6 z 10 -a 12 = d. a 2n -9b 4m = 45
6. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción: a. 4a 4 +8a 2 b 2 +9b 4 = b. a 4-16a 2 b 2 +36b 4 = c. 49m 4-151m 2 n 4 +81n 8 = 7. Trinomio de la forma x 2 +bx+c: a. x 2 + 5x+6 = b. x 2-8x+12 = c. x 2 +2x-15 = d. x 2-6x-16 = 46
OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: Resolverá problemas que impliquen fracciones racionales a través de la utilización de reglas de simplificación, suma, resta, multiplicación y división, para presentar solución a diversas expresiones. Introducción Una expresión racional, llamada también fracción algebraica, es aquella que puede expresarse en la forma, donde y son polinomios y es diferente de cero. 4a 8; a 3 6, etcétera a 2 3 a 2 5a + 6 Al escribir este tipo de expresiones supondremos que su denominadores no son nulos, es decir que las literales que aparecen en un denominador no podrán tomar valores que al sustituirse en una expresión hagan que su valor sea cero. 1. Fracciones algebraicas Los términos de la fracción algebraica, se denominan numerador al que ocupa la parte superior y denominador al que ocupa la parte inferior. Numerador ay + bx 2y + 2x Denominador 47
Si una fracción algebraica se multiplica y se divide por una misma cantidad, la facción no se altera. ( ) ( ) = Principios Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o divide por una cantidad, la facción queda multiplicada y dividida respectivamente, por dicha cantidad. ( ) ( ) = ; ( ) ( )= = Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o divide por una cantidad, la facción queda dividida y multiplicada respectivamente por dicha cantidad. ( ) ( ) = ; ( ) ( )= = El signo de la fracción es el símbolo + ó que le precede a la raya de la facción. Cuando delante de ésta no aparece ningún signo de éstos, se sobreentiende que es positivo (+). Así, en la fracción numerador es + y el de la fracción es -. Asimismo, en la fracción negativos y el de la fracción es +; es decir, ) =. Por último, en la fracción fracción -. el signo del denominador es -, el del numerador es + y el del los signos del numerador y del denominador son el signo del numerador es -, el del denominador + y el de la En general, si c representa el cociente que resulta al dividir a entre y, entonces tenemos las siguientes reglas de los signos. 48
4. = - c 1. = c 5. = c 6. = c 2. = c 3. = - c 1.1 Simplificación de facciones algebraicas Reducir una fracción a sus términos mínimos es alterar su forma sin alterar su valor. Simplificar una fracción algebraica es transformarla en una fracción donde el numerador y el denominador ya no tienen ningún factor común, excepto la unidad. Factorizando en el numerador y denominador se procede a la simplificación por división o eliminación de términos comunes. a. = Ejemplos b. = c. = 49
Ejercicio 1. Simplifique si es posible, las siguientes fracciones algebraicas racionales. a. (m 2) 2 = m 2 4 b. a 3 + 1 = a 4 a 3 + a 1 c. x 2 + x - 6 = (2x 7) 2 1.2 Multiplicación de fracciones algebraicas El producto de dos o más fracciones algebraicas es otro cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. A (x) C (x) = A (x) C (x) B (x) D (x) B (x) D (x) x 2 + 5x + 6 x 2 + 2x - 3 = x 2 1 3x + 6 Ejemplo = (x 2 + 5x + 6) (x 2 + 2x 3) (x 2 1) (3x + 6) = (x + 2) (x + 3) (x 1) (x + 3) (x + 1) (x 1) 3 (x + 2) = (x + 3) (x + 3) 3 (x + 1) = (x + 3) 2 3 (x+1) Se factorizan los términos de las fracciones Se eliminan términos comunes Resultado 50
Ejercicio 2. Efectúe las siguientes multiplicaciones de fracciones algebraicas y simplifique el resultado. a. 2x + 4 x 2 y 2 = x + y 4x + 8 b. y 2 + 8y + 15 4y 20 = y 2 25 y 2 + 3y c. y 2-9y + 20 y 2 + 5y = 25 - y 2 y 2 4y d. 7a + 7b a 2 - ab = 14a 2 a 2 b 2 e. y 3 + y 2 4y 2 4y = y 2-1 y 3 1.3 División de fracciones algebraicas Para dividir dos fracciones, es necesario factorizar primeramente los términos de las fracciones dadas; sin olvidar que al igual que en la aritmética se invierte el divisor y luego se eliminan los términos comunes del numerador con los del denominador; la fracción resultante se obtiene al multiplicar los numeradores y dividirlos por el producto de los denominadores. A (x) A (x) C (x) = B (x) = A (x) D (x) B (x) D (x) C (x) B (x) C (x) D (x) x 2 + 5x + 6 x 2 + 2x - 3 = x 2 1 3x + 6 Ejemplo = [(x + 3) (x + 2)] 3 (x + 2) (x 2 1) (x 2 + 2x - 3) = (x + 3) (x + 2) 3(x + 2) (x - 1) (x + 1) (x + 2) (x - 1) = 3 (x + 2) (x + 2) (x - 1) (x + 1) (x - 1) = 3(x + 2) 2 (x+1) (x - 1) 2 Se factorizan los términos de las fracciones dadas Se invierte el divisor y elimino términos comunes Resultado 51
Ejercicio 3. Efectúe las siguientes divisiones de fracciones algebraicas y simplifique el resultado. a. 2y - 14 6y 30 = y 2 2y - 35 y 2-25 b. 9x - 27 6x 2 18x = 15x 30 14 7x c. x 2 + 7x + 10 x 2 4 = x 2 + 5x 2x d. a 2 + 6a + 8 4 a 2 = a 2 + 4a 2a e. b 2 2b - 8 4 b 2 = 4b - b 2 5b 10 1.4 Suma y resta de fracciones algebraicas El procedimiento para sumar y restar fracciones algebraicas es igual al que se emplea en la aritmética. En álgebra la suma y la resta de fracciones suele combinarse en una sola operación, denominada suma algebraica de fracciones. Para sumar algebraicamente dos o más fracciones se aplican los siguientes pasos que nos permiten llegar a su resultado. 1. Si las fracciones tienen diferentes denominadores, es necesario factorizar cada denominador y determinar el mínimo común denominador (M.C.D). 2. El cociente obtenido de dividir el MCD entre cada denominador de las fracciones, se multiplica por el numerador de cada fracción. 3. Se suman los numeradores resultantes, teniendo cuidado con los signos; de esta manera se obtiene el numerador de la suma algebraica de fracciones, cuyo denominador es el MCD. 4. No se debe olvidar el simplificar a sus términos mínimos los resultados. A (x) + C (x) = A (x) D (x) + C (x) B(x) B (x) D (x) B (x) D (x) 52
Ejemplo 8x + -6x + 4 = x + 2 x + 2 = 8x + (-6x) + 4 x + 2 = 2x + 4 x + 2 = 2 (x + 2) x + 2 = 2 Se determina el MCD Se simplifica Resultado Ejercicio 4. Resuelva las siguientes sumas y restas de fracciones, simplificando el resultado. a. 2x + 8 = x 2-16 x 2-16 b. 6n - 30 = n - 5 n - 5 c. 9b - 5-7b - 3 = b - 1 b - 1 d. 10 + 2a = a - 5 5 - a e. 2y - 5 + y - 2 = 7 2 53
Resumen Principios: 1. Si una fracción algebraica se multiplica y se divide por una misma cantidad, la facción no se altera. 2. Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o divide por una cantidad, la facción queda multiplicada y dividida respectivamente, por dicha cantidad. 3. Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o divide por una cantidad, la facción queda dividida y multiplicada respectivamente por dicha cantidad. Simplificación de facciones algebraicas: Se factoriza el numerador y denominador se procede a la simplificación por división o eliminación de términos comunes. Multiplicación de fracciones algebraicas: El producto de dos o más fracciones algebraicas es otro cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. División de fracciones algebraicas: Es necesario factorizar primeramente los términos de las fracciones dadas; se eliminan los términos comunes del numerador con los del denominador; la fracción resultante se obtiene al multiplicar los numeradores y dividirlos por el producto de los denominadores. Suma y resta de fracciones algebraicas: Necesitamos lo siguiente; 5. Si las fracciones tienen diferentes se factoriza y se saca el MCD. 6. El cociente obtenido de dividir el MCD entre cada denominador de las fracciones, se multiplica por el numerador de cada fracción. 7. Se suman los numeradores resultantes, teniendo cuidado con los signos. 8. No se debe olvidar el simplificar a sus términos mínimos los resultados. 54