NSTTUTO POLTÉCNCO NACONAL Ecuela Superior de ngeniería Mecánica y Eléctrica Sección de Etudio de Pogrado e nvetigación DEPARTAMENTO DE NGENERÍA ELÉCTRCA Modelado para análii de la tranferencia de obretenione inducida por decarga atmoférica en itema de ditribución TESS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CENCAS CON ESPECALDAD EN NGENERÍA ELÉCTRCA P R E S E N T A: Juan Carlo Ecamilla Sánche MÉXCO D. F. Junio 8
AGRADECMENTOS Al Dr. Pablo Góme Zamorano por todo el tiempo brindado la paciencia el apoyo y la dedicación otorgada en la dirección de ete trabajo. Al M. en C. David Juáre Aguilar por la contribucione y ugerencia en el dearrollo de eta tei. Al Dr. Javier Gutavo Herrera Murcia por la información proporcionada que hio de ete un mejor trabajo de tei. A la comiión reviora que gracia a u comentario crítica y ugerencia e mejoró el trabajo preentado.
Dedicatoria A la perona que má admiro y repeto. Sin importar el tiempo y la ditancia iempre etará conmigo. Por el apoyo incondicional que hio poible cumplir con eta meta gracia papá. A mi hermano Verónica Joé Miguel Ángel y Alejandro por etar iempre conmigo. A mi Lau por todo ete tiempo junto.
RESUMEN Cuando ocurre una decarga atmoférica cercana a una línea de tranmiión e generan campo electromagnético que inciden obre ella produciendo obretenione que e propagan a lo largo de la línea y que pueden tranferire de un itema de ditribución a otro a travé del tranformador. Exiten técnica en el dominio del tiempo y de la frecuencia que permiten el análii de ete fenómeno. La técnica en el dominio del tiempo on la má empleada en la actualidad; in embargo coniderar la dependencia frecuencial de lo parámetro eléctrico de lo elemento uele er complicado y la aproximacione utiliada pueden producir errore. Por otro lado el análii en el dominio de la frecuencia e má eficiente en ete entido debido a que e má encillo coniderar eta dependencia frecuencial. En eta tei e obtiene un modelo de parámetro ditribuido de la línea de tranmiión que permite la incluión de campo electromagnético incidente. Se dearrolla también un modelo del tranformador para alta frecuencia. Ambo modelo e implementan en el dominio de la frecuencia. El modelado de la línea de tranmiión parte de la ecuacione del telegrafita a partir de la cuale e obtiene un modelo de do puerto en forma nodal. Para el modelo de la línea que conidera la incluión de campo incidente línea iluminada dicho campo e repreentan mediante fuente de corriente y de tenión ditribuida a lo largo de la línea; poteriormente e decribe una técnica con la cual e poible repreentar la incluión de eto campo como fuente concentrada únicamente en lo extremo emior y receptor. El modelo del tranformador a diferencia de la técnica uada generalmente permite coniderar no ólo la propagación de la obretenione en el devando primario ino también u tranferencia al lado ecundario. La naturalea ditribuida de lo parámetro eléctrico del tranformador e decribe a partir de la ecuacione del telegrafita de manera imilar a la línea de tranmiión. A partir de eta ecuacione e obtiene un modelo de puerto del tranformador. Con lo modelo de la línea y del tranformador e analia la tranferencia de obretenione inducida por decarga atmoférica directa e indirecta en itema de ditribución. Todo lo modelo decrito en ete trabajo e implementaron en el lenguaje de programación MATLAB. Para obtener lo reultado en el dominio del tiempo e emplea el algoritmo de la Tranformada Numérica de Laplace TNL. i
ABSTRACT When a lightning troke impact ground nearby a tranmiion line incident electromagnetic field are generated which produce overvoltage propagating along the line and can be tranferred from ditribution network through the tranformer. There are everal frequency and time domain technique that allow analying thi phenomenon. Nowaday time domain technique are the mot commonly ued; however taking into account the frequency dependence of the electrical parameter can be complicated and the approximation uually applied can be prone to error. On the other hand frequency domain analyi i more efficient in thi context given it implicity to conider thi frequency dependence. n thi thei a ditributed parameter model for the tranmiion line which allow the incluion of incident electromagnetic field i obtained. Alo a high frequency tranformer model i developed. Both model are derived in the frequency domain. The tranmiion line model i baed on the telegrapher equation from which a -port model nodal form i obtained. For the tranmiion line model which include incident electromagnetic field illuminated line uch field are repreented by mean of voltage and current ource ditributed along the line; then a technique which permit repreenting the incluion of thee field by mean of lumped ource connected only to the line terminal i decribed. The tranformer model converely to commonly ued technique allow taking into account not only of the overvoltage propagation along the primary winding but alo it tranference to the econdary ide. The ditributed nature of the tranformer electrical parameter i decribed by mean of the telegrapher equation imilarly to the tranmiion line. From thee equation a -port model for the tranformer i obtained. With the combination of the tranmiion line and tranformer model tranference of lightning induced overvoltage direct and indirect in ditribution ytem i analyed. All model decribed in thi work were implemented uing MATLAB. Time domain reult are obtained uing the Numerical Laplace Tranform NLT algorithm. ii
ÍNDCE Reumen. Abtract. ÍNDCE. LSTA DE FGURAS. LSTA DE TABLAS. SMBOLOGÍA. Pagina i ii iii vii xiii xiv ntroducción. Generalidade.. Antecedente... Trabajo relacionado con el modelado de la línea de tranmiión... Trabajo relacionado con el fenómeno de la línea iluminada y 4 no uniformidade...3 Trabajo relacionado con el modelado del tranformador para 7 alta frecuencia...4 Trabajo relacionado con el modelado del conjunto línea - 9 tranformador para análii de decarga atmoférica..3 Objetivo..4 Jutificación..5 Aportacione..6 Limitacione y Alcance..7 Etructura de la tei. 3 Modelado de la línea de tranmiión 5. Generalidade. 5 iii
. Solución de la ecuacione del telegrafita y obtención del Modelo de 6 do puerto Nodal o Ybu para una línea monofáica... Solución de la ecuacione del telegrafita en el dominio de la 6 frecuencia... Admitancia e impedancia caracterítica. 7..3 Obtención de la Matri de Tranferencia y Matri cadena. 8..4 Obtención del Modelo de Do Puerto Nodal o Ybu. 8.3 Modelado de la Línea de Tranmiión no uniforme. 9.4 Aplicacione..4. Energiación en vacío..4. Propagación de impulo de decarga..4.3 Línea no uniforme catenaria..5 Concluione. 4 3 Modelado de la Línea luminada 5 3. ntroducción. 5 3. Decripción del modelo de la línea iluminada. 6 3.. Repreentación de campo incidente. 6 3.. Modelo de puerto de la línea iluminada. 9 3.3 Cálculo del campo electromagnético. 3 3.4 Modelo dearrollado en el ATP/EMTP de la línea iluminada. 34 3.5 Aplicacione. 35 3.5. Comportamiento de la línea iluminada con campo 36 electromagnético incidente definido a partir de una función dada doble rampa lineal. 3.5. Comportamiento de la línea iluminada con campo 38 electromagnético definido a partir del método de Mater y Uman. 3.6 Concluione. 48 4 Modelo del tranformador para alta frecuencia 5 iv
4. ntroducción. 5 4. Modelado de la línea de tranmiión multiconductora. 5 4.. Solución de la ecuacione del telegrafita. 5 4.. Obtención del Modelo de Do Puerto. 55 4.3 Modelo del Tranformador. 56 4.3. Definición del modelo. 57 4.3. Cálculo de parámetro eléctrico. 6 4.4 Ditribución de potencial en el tranformador. 63 4.5 Modelo de parámetro concentrado del tranformador dearrollado en 67 el ATP/EMTP. 4.6 Aplicacione. 67 4.6. Comportamiento del devanado del tranformador coniderando 68 parámetro contante. 4.6. Comportamiento del devanado del tranformador coniderando 7 parámetro calculado de la geometría del tranformador y dependiente de la frecuencia. 4.7 Concluione. 76 5 Tranferencia de obretenione inducida por decarga atmoférica 78 5. ntroducción. 78 5. Decripción del modelo completo línea iluminada - tranformador. 79 5.3 Circuito para comparación dearrollado en el ATP/EMTP. 8 5.4 Diagrama a bloque del modelo completo. 8 5.5 Aplicacione. 8 5.5. Tranferencia de la obretenión producida por una decarga 8 atmoférica directa obre la línea. 5.5. Análii de la tranferencia de obretenione inducida por 85 decarga atmoférica indirecta coniderando campo electromagnético uniforme. 5.5.3 Análii de la tranferencia de obretenione inducida por 87 decarga atmoférica indirecta coniderando campo v
electromagnético no uniforme. 5.6 Concluione. 95 6 Concluione y recomendacione para trabajo futuro 97 6. Concluione generale. 97 6. Aportacione. 99 6.3 Recomendacione para trabajo futuro. 99 REFERENCAS. Apéndice A. Tranformada Numérica de Laplace 7 A. ntroducción. 7 A. Tranformada de Laplace. 7 A.3 Errore que e preentan por la inverión de la tranformada numérica de Laplace. 9 Apéndice B. Cálculo de parámetro de la línea de tranmiión monofáico por unidad de longitud B. nductancia geométrica. B. nductancia debida al retorno por tierra. B.3 nductancia interna del conductor. 3 B.4 Capacitancia. 4 B.5 mpedancia y Capacitancia erie generaliada. 5 Apéndice C. Dimenione del tranformador monofáico 6 Apéndice D. Publicacione 8 vi
LSTA DE FGURAS Pagina Figura. Circuito equivalente de la línea de tranmiión por unidad de 6 longitud. Figura. Condicione de frontera. 8 Figura.3 Modelo de do puerto forma nodal. 9 Figura.4 Obtención de la matri cadena de cada egmento de una línea no uniforme. Figura.5 Sobretenión tranitoria en el extremo receptor de una línea monofáica energiada en vacío. Figura.6 Diviión de la línea monofáica para el ejemplo de aplicación. Figura.7 Propagación de la obretenión tranitoria para una línea monofáica uniforme. Figura.8 Configuración de línea monofáica no uniforme. 3 Figura.9 Sobretenión tranitoria para una línea monofáica no 3 uniforme. Figura 3. Configuración de una línea iluminada monofáica. 8 Figura 3. Repreentación de la matri cadena de un egmento de línea 9 iluminada empleando fuente ditribuida. Figura 3.3 Configuración de una línea iluminada utiliando fuente 9 concentrada. Figura 3.4 Modelo de la línea iluminada mediante fuente de inyección de 3 corriente en u extremo. Figura 3.5 Repreentación del campo electromagnético producido por un 3 canal vertical. Figura 3.6 Forma de onda de la corriente en la bae del canal. 34 Figura 3.7 Circuito dearrollado en el ATP/EMTP de la línea iluminada. 35 Figura 3.8 Tenión tranitoria preente en ambo extremo de la línea. 37 Figura 3.9 Configuración de línea monofáica no uniforme. 37 Figura 3. Tenión tranitoria preente en ambo extremo de la línea no uniforme. 37 vii
Figura 3. Repretación del campo electromagnético incidente obre la línea. Figura 3. Ditancia ma corta entre la línea y el canal de decarga para el cao A. Figura 3.3 Ditancia ma corta entre la línea y el canal de decarga para el cao B. Figura 3.4 Ditancia ma corta entre la línea y el canal de decarga para el cao C. Figura 3.5 Componente mayore del campo eléctrico vertical para el cao A con x p = 3 m. Figura 3.6 Componente mayore del campo eléctrico horiontal para el cao A con x p = 3 m. Figura 3.7 Componente mayore del campo magnético para el cao A con x p = 3 m. Figura 3.8 Componente mayore de campo eléctrico vertical para el cao A ante la variación de x p. Figura 3.9 Componente mayore de campo eléctrico horiontal para el cao A ante la variación de x p. Figura 3. Componente mayore de campo magnético para el cao A ante la variación de x p. Figura 3. Tenione tranitoria preente en el extremo iquierdo de la línea para el cao A. Figura 3. Tenione tranitoria preente en el extremo derecho de la línea para el cao A. Figura 3.3 Componente mayore de campo eléctrico vertical para el cao B ante la variación de x p. Figura 3.4 Componente mayore de campo eléctrico horiontal para el cao B ante la variación de x p. Figura 3.5 Componente mayore de campo magnético para el cao B ante la variación de x p. Figura 3.6 Tenione tranitoria preente en el extremo iquierdo de la línea para el cao B. 38 39 39 4 4 4 4 4 4 4 43 43 44 44 44 45 viii
Figura 3.7 Tenione tranitoria preente en el extremo derecho de la 45 línea para el cao B. Figura 3.8 Componente mayore de campo eléctrico vertical para el cao 46 C ante la variación de x p. Figura 3.9 Componente mayore de campo eléctrico horiontal para el 46 cao C ante la variación de x p. Figura 3.3 Componente mayore de campo magnético para el cao B 47 ante la variación de x p. Figura 3.3 Tenione tranitoria preente en el extremo iquierdo de la 47 línea para el cao C. Figura 3.3 Tenione tranitoria preente en el extremo derecho de la 47 línea para el cao C. Figura 4. Condicione de frontera para una línea multiconductora. 56 Figura 4. Repreentación gráfica del modelo de do puerto 56 multiconductor. Figura 4.3 Repreentación para un diferencial de longitud del 57 tranformador. Figura 4.4 Repreentación del k-éimo devanado y u capacitancia con 6 repecto a tierra. Figura 4.5 Repreentación de la capacitancia mutua entre devanado. 6 Figura 4.6 Repreentación del devanado de un tranformador para un 64 diferencial de longitud. Figura 4.7 Repreentación del devanado para determinar la ditribución 64 inicial de potencial. Figura 4.8 Comportamiento de la ditribución inicial de potencial con 65 diferente valore de α. Figura 4.9 Repreentación del devanado para determinar la ditribución 66 tranitoria de potencial. Figura 4. Repueta del circuito para la ditribución final de potencial. 66 Figura 4. Ditribución de potencial en lo devanado del traformador. 66 Figura 4. Circuito dearrollado en el ATP/EMTP. 67 Figura 4.3 Diagrama para el ejemplo de aplicación. 69 ix
Figura 4.4 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para 69 α =. Figura 4.5 Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para 69 α =. Figura 4.6 Tenión tranitoria en el punto B a lo largo del devanado 7 primario y ecundario. Figura 4.7 Ditribución de Potencial para α =. 7 Figura 4.8 Ditribución de potencial máximo con diferente valore de 7 α. Figura 4.9 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para 7 α =. Figura 4. Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para 73 α =. Figura 4. Tenión tranitoria en el punto B a lo largo del devanado 73 primario. Figura 4. Tenión tranitoria en el punto B a lo largo del devanado 73 ecundario. Figura 4.3 Ditribución de Potencial en el devanado primario para α =. 74 Figura 4.4 Ditribución de Potencial en el devanado ecundario para 74 α =. Figura 4.5 Ditribución de potencial en el devanado primario máximo 75 con diferente valore de α. Figura 4.6 Ditribución de potencial en el devanado ecundario máximo 76 con diferente valore de α. Figura 5. Configuración del modelo completo. 8 Figura 5. Circuito dearrollado en el ATP/EMTP. 8 Figura 5.3 Diagrama a bloque del algoritmo del modelo completo. 8 Figura 5.4 Configuración del modelo completo para una decarga 83 atmoférica directa. Figura 5.5 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario. 83 Figura 5.6 Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario. 84 Figura 5.7 Tenión tranitoria en el punto C a lo largo del devanado primario. 84 x
Figura 5.8 Tenión tranitoria en el punto C a lo largo del devanado 84 ecundario. Figura 5.9 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario. 86 Figura 5. Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario. 86 Figura 5. Tenión tranitoria en el punto C a lo largo del devanado 86 primario. Figura 5. Tenión tranitoria en el punto C a lo largo del devanado 87 ecundario. Figura 5.3 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para el 88 cao con x p = 3 m. Figura 5.4 Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para el 88 cao con x p = 3 m. Figura 5.5 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para el 89 cao con x p = 5 m. Figura 5.6 Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para el 89 cao con x p = 5 m. Figura 5.7 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para el 89 cao con x p = m. Figura 5.8 Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para el 9 cao con x p = m. Figura 5.9 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para el 9 cao con x p = 3 m. Figura 5. Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para el 9 cao con x p = 3 m. Figura 5. Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para el 9 cao con x p = 5 m. Figura 5. Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para el 9 cao con x p = 5 m. Figura 5.3 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para el 9 cao con x p = m. Figura 5.4 Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para el cao con x p = m. 9 xi
Figura 5.5 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para el 9 cao 3 con x p = 3 m. Figura 5.6 Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para el 9 cao 3 con x p = 3 m. Figura 5.7 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para el 93 cao 3 con x p = 5 m. Figura 5.8 Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para el 93 cao 3 con x p = 5 m. Figura 5.9 Tenión tranitoria a lo largo del devanado primario para el 93 cao 3 con x p = m. Figura 5.3 Tenión tranitoria a lo largo del devanado ecundario para el 94 cao 3 con x p = m. B. a Método de la imágene b Método de la imágene 3 compleja. B. Repreentación del efecto uperficial y la profundidad de 4 penetración compleja en el conductor. C. Dimenione del devanado de alta tenión con repecto al 6 tanque. C. Dimenione del devanado de baja tenión con al repecto 6 núcleo. C.3 Repreentación de la altura del devanado. 7 xii
LSTA DE TABLAS Tabla. Claificación de evento tranitorio. Tabla. Dato de una línea de tranmiión in catenaria. Tabla. Dato de una línea de tranmiión con catenaria. 3 Tabla 3. Parámetro de la forma de onda en la bae del canal. 34 Tabla 3. Dato de la línea de ditribución. 37 Tabla 3.3 Dato de la egunda línea de ditribución. 38 Tabla 3.4 Magnitud de la máxima tenión preente en lo tre cao. 48 Tabla 4. Dato del tranformador. 68 Tabla 5. Magnitud de la máxima tenión preente en lo tre cao. 95 xiii
SMBOLOGÍA a A k Radio medio de la vuelta. Área del k-éimo devanado. B x Campo magnético incidente en la dirección x. c c ep C c C gk C m C k c w d d Velocidad de la lu en el vacío. Epeor del conductor. Capacitancia en un conductor. Capacitancia a tierra del k-éimo devanado. Capacitancia mutua entre devanado. Capacitancia propia del k-éimo devanado. Contante de amortiguamiento. Ditancia entre el k-éimo devanado y la pared del tanque. Ditancia entre devanado. E x Campo eléctrico incidente en la dirección x. E y Campo eléctrico incidente en la dirección y. h H n it Altura del conductor. Altura de la nube. Corriente del canal de decarga. Î Corriente fluyendo en Z. Î Corriente fluyendo en Z. i t b F k L Corriente total del devanado primario. Corriente total del devanado ecundario. Corriente en el dominio de Laplace. Vectore de corriente en el dominio de Laplace. Corriente en el dominio del tiempo. Corriente en el extremo emior de la línea. Matrice de Corriente en el extremo emior de la línea. Amplitud de la corriente en la bae del canal. Fuente de Corriente ditribuida a la largo de la línea. Corriente del k-éimo devanado. Corriente en el extremo receptor de la línea. xiv
L c K l l L c L g L gt L m L k L t M N P P c P tr q q c R c R c R CD r cond r dev k r dev ec R k R t r tanque t V V v t Matrice de Corriente en el extremo receptor de la línea. Fuente de corriente nodale inyectada en lo extremo de la línea. Coeficiente de acoplamiento. Longitud de la línea. Longitud del devanado. nductancia del conductor. nductancia geométrica. nductancia de retorno por tierra y geométrica. nductancia mutua entre devanado. nductancia erie del k-éimo devanado. nductancia de retorno por tierra. Matri de vectore propio. Número de muetra de matri cadena. Coordenada de la decarga atmoférica. Profundidad de penetración compleja. Perímetro de la ección tranveral del devanado. Relación de tranformación. Carga del conductor. Reitencia del conductor. Perdida en el núcleo. Reitencia de corriente directa. Radio del conductor. Radio del k-éimo devanado. Radio de cualquier extremo del devanado primario y ecundario repectivamente. Perdida erie cobre del k-éimo devanado por unidad de longitud. Reitencia aparente del uelo. Radio del tanque. Variable de Laplace. Tiempo Tenión en el dominio de Laplace. Vectore de tenione en el dominio de Laplace. Tenión en el dominio de tiempo. xv
V V υ v c V F V k V L V L V m V mi X x k Tenión en el extremo emior de la línea. Matrice de tenione en el extremo emior de la línea. Velocidad de la corriente de retorno. Voltaje en el conductor. Fuente de tenión ditribuida a la largo de la línea. Tenión del k-éimo devanado. Tenión en el extremo receptor de la línea. Matrice de tenione en el extremo receptor de la línea. Tenión en el dominio modal. Tenión modal del i-éimo modo. Ditancia entre el canal de decarga y la línea. Ditancia del canal de decarga entre lo extremo de la línea. x p Ditancia entre el canal de decarga y la línea en la dirección del eje x. Y Admitancia de la línea. Y Matrice de admitancia. Y Y Y Y Y g Y g Y m Z Z Z Z Z Z Z c Z g Z hf Z m Admitancia caracterítica. Matri de admitancia caracterítica. Admitancia propia del devanado primario. Admitancia propia del devanado ecundario. Admitancia a tierra del devanado primario. Admitancia a tierra del devanado ecundario. Admitancia mutua entre devanado. Eje en dirección de la línea. mpedancia de la línea. Matrice de impedancia. mpedancia caracterítica. Matri de impedancia caracterítica. mpedancia propia del devanado primario. mpedancia propia del devanado ecundario. mpedancia del conductor. mpedancia de geométrica. mpedancia para alta frecuencia. mpedancia mutua entre devanado. xvi
Z t α α i β i γ γ i Γ δ ε ε r η λ mpedancia de retorno por tierra. Contante de atenuación. Contante de atenuación del i-éimo modo. Contante de fae del i-éimo modo. Contante de propagación. Contante de propagación. Matri de la contante de propagación. Profundidad de penetración compleja en el conductor. Permitividad del vacío. Permitividad relativa del material dieléctrico. Factor de corrección de la amplitud. Matri de valore propio. μ Cu μ μ c μ ρ c ρ ρ t τ τ Permeabilidad del cobre. Permeabilidad del vacío. Permeabilidad del conductor. Permitividad del terreno. Reitividad del conductor. Reitividad del uelo. Reitividad del terreno. Contante de tiempo de frente de onda. Contante de tiempo de cola de la onda. σ ω Ventana de Hanning. Φ Ψ Ψ ω Δ Δt Δω Matri cadena Matri de propagación de tenione. Flujo magnético. Frecuencial angular. Segmento de longitud de la línea o devanado. Dicretiación del vector de tiempo. Dicretiación del epectro de frecuencia. xvii
CAPTULO NTRODUCCÓN. Generalidade A partir del uo de la energía eléctrica lo diferente itema como on la generación la tranmiión y la ditribución en general e han vito ometido a perturbacione que cambian u etado normal de funcionamiento. Eta perturbacione provocan en el itema valore fuera de lo normal tale como obretenione obrecorriente o variacione de potencia. Un tranitorio electromagnético e preenta cuando exite un cambio úbito de energía en un itema de potencia. Ete cambio puede er ocaionado por el impacto directo o indirecto de una decarga atmoférica maniobra de interruptore condicione de falla en el equipo o en lo itema de tranmiión variacione en la demanda de energía etc. []. De acuerdo con la caua que originan el tranitorio éte e claifica como de origen interno por maniobra de interruptore y de origen externo por decarga atmoférica. En el cao de la falla éta pueden tener ambo orígene. La Tabla. muetra una claificación en grupo de rango de frecuencia. Tabla. Claificación de evento tranitorio. Grupo Rango de frecuencia Caracterítica del Tipo de tranitorio fenómeno. H a 3 kh Ocilación de baja frecuencia Sobretenione temporale 5/6 H a kh Frente de onda lento Sobretenione por maniobra kh a 3MH Fuente de onda rápido Sobretenione por decarga atmoférica V kh a 5 MH Frente de onda muy rápido Sobretenione por reencendido y falla en ubetacione ailada en ga SF 6 Lo tranitorio electromagnético producen tenione y corriente anormale en el itema eléctrico de potencia. La obretenione pueden ocaionar un daño evero a lo
dipoitivo del itema y ponen en riego la confiabilidad del mimo. Por otro lado la obrecorriente producen un calentamiento exceivo en el equipo deteriorando el ailamiento que lo protege. Por ello e neceario hacer un análii de la magnitude y caracterítica de eta variable para aber de que manera podrían afectar a lo ditinto equipo y al itema en general. Cuando ocurre una decarga atmoférica directa en la línea de tranmiión e producen corriente con amplitude en el orden de decena de kiloamper lo que provoca que la proteccione operen de acuerdo a u protocolo de eguridad confiabilidad electividad y velocidad de operación para el itema dejando fuera de ervicio a lo uuario y liberando la falla. Por otro lado al preentare una decarga atmoférica cercana a la línea e inducen campo electromagnético lo cuale e comportan como onda viajera de tenión y de corriente la cuale en ocaione on imperceptible por el itema de protección y por tanto e tranfieren al lado ecundario del tranformador. Eta onda producen etré en lo devanado del tranformador degradando u vida útil ademá del poible daño al equipo que eté conectado en el lado de baja tenión el cual pone en riego la continuidad del ervicio. El dejar in uminitro de energía eléctrica a lo uuario e ólo uno de lo problema que ocaionan lo diturbio que e preentan en la línea. La obrecorriente y la obretenione que e preentan al tranferire al lado de baja tenión provoca que e opere con magnitude mayore a la nominale con la conecuencia de daño potenciale al equipo enible ademá de poner en riego la eguridad de lo conumidore.. Antecedente.. Trabajo relacionado con el modelado de la línea de tranmiión Exiten método y modelo en el dominio del tiempo y de la frecuencia para el análii de la obretenione tranitoria que e preentan en la línea de tranmiión. En un
principio la técnica utiliada para ete análii fueron gráfica; do de la má conocida on el método de Bergeron y el de Bewley []. Eto método no conideran directamente la perdida ni la dependencia frecuencial en lo parámetro de la línea. Con bae en el método de Bergeron H. W. Dommel dearrolló en 968 un programa en el dominio del tiempo conocido como Electromagnetic Tranient Program EMTP [3] el cual incluye modelo de parámetro concentrado y ditribuido de lo diferente elemento que conforman el itema eléctrico ete programa en la actualidad permite incluir particularmente en la línea de tranmiión la perdida la dependencia frecuencial y la naturalea ditribuida de u parámetro. Poteriormente urgieron verione alterna como on el ElectroMagnetic Tranient for Direct Current EMTDC y el Alternative Tranient Program ATP dearrollado por D. Woodford en 975 y S. Meyer en 974 repectivamente. A principio de lo 7 urgieron lo primero modelo de línea monofáica en donde e incluye la dependencia frecuencial en u parámetro dearrollado por Budner y Snelon en 97 y 97 repectivamente. En 975 H. W. Dommel y Meyer aplicaron la técnica dearrollada por Snelon en el EMTP para coniderar la dependencia frecuencial en lo parámetro de la línea de tranmiión reolviendo la convolucione mediante el uo de la regla de integración trapeoidal [4]. También en 975 A. Dabuleanu y A. Semlyen propuieron la olución recuriva de la convolucione; con ete planteamiento y haciendo uo del análii modal e extendió el análii al cao multiconductor [5]. En 98 J. Martí dearrolló un modelo en el cual la función de propagación y la impedancia caracterítica e conideran para un rango de frecuencia. La impedancia caracterítica e obtiene por medio de una aproximación racional a partir de la repreentación de Foter mientra que lo polo y cero e obtienen a partir del método de Bode. Ete modelo conidera matrice de tranformación reale y contante [6]; in embargo en un trabajo ubecuente de L. Martí obtuvo un método para coniderar la dependencia frecuencial de dicha matrice [7]. En 998 Gutaven y Semlyen propuieron un método en el dominio de fae de la admitancia caracterítica y la función de propagación utiliando el método de ajute vectorial Vector Fitting en donde todo lo elemento de cada columna de la matri de tranformación e ajutan uando lo mimo polo [8]. Otro modelo en el dominio de fae e el propueto por Morched Gutaven y Tartibi en 999 el cual urge por la 3
neceidad de imular itema con alta dependencia frecuencial. Lo má importante del modelo e el ajute adecuado de la admitancia caracterítica y la función de propagación por medio de una aproximación racional [9]. Ete modelo e conidera hata la actualidad el má avanado y precio en el dominio del tiempo. En general para poder hacer uo de lo modelo en el dominio del tiempo e neceario hacer aproximacione y ajute en el cálculo de lo parámetro de la línea cuando e conidera el efecto uperficial. Mucha de eta conideracione ademá de er propena a errore pueden er difícile de definir. En [] e muetra que aún con modelo avanado de línea pueden tenere errore en itema con alta dependencia frecuencial. Con la técnica en el dominio de la frecuencia no e tiene ete tipo de problema ya que no e neceario hacer aproximacione y ajute para coniderar la dependencia frecuencial de lo parámetro eléctrico. Ademá con el dearrollo de técnica de tranformación numérica e poible obtener reultado en el dominio del tiempo de manera eficiente. Sin embargo la limitante e preenta cuando e analian itema con elemento no lineale debido a que lo método en el dominio de la frecuencia requieren que el itema ea lineal e invariante en el tiempo []. Ete problema e ha reuelto con éxito empleando el método de uperpoición [] el cual fue preentado inicialmente por S. J. Day et al. en 965 []... Trabajo relacionado con el fenómeno de la línea iluminada y no uniformidade. A continuación e preentan alguno de lo trabajo má importante relacionado con lo modelo que permiten la incluión de campo incidente en línea de tranmiión aí como no uniformidade en lo parámetro eléctrico. En 978 C. D. Taylor et al. preentaron una formulación en donde la ecuacione de propagación de la línea etán en función de la tenione y la corriente totale de tal forma que lo campo incidente e repreentan por fuente de tenión y de corriente ditribuida a lo largo de la línea [3]. 4
En 994 V. Cooray hio referencia a lo modelo de Ruck y el modelo de Agrawal lo cuale on frecuentemente uado para etimar la obretenione inducida por una decarga atmoférica cercana a la línea. En el primer modelo la función de excitación de la línea conidera la componente vertical del campo eléctrico generado por la decarga a diferencia del egundo modelo que conidera la componente horiontal de dicho campo. El modelo de Ruck puede dar bueno reultado únicamente cuando la localiación epacial de la fuente que genera el campo electromagnético e tal que la contribución del vector de potencial para el campo horiontal e cero [4]. En 994 y 995 C. Paul decribió un modelo dearrollado en el programa de imulación en el dominio del tiempo PSpice que puede er uado para el análii de la incluión de campo incidente en circuito electrónico. Lo campo incidente e repreentan por medio de fuente de corriente y de tenión conectada en paralelo y en erie repectivamente al final de la línea [5 6]. En 995 C. A. Nucci et al. hicieron la comparación entre el método de Chowdhuri Gro y el de Agrawal Price y Gurbaxani. El primero conidera que la función que repreenta lo campo incidente en la línea e debida únicamente al campo eléctrico que incide verticalmente en ella; eta función e repreenta por fuente de corriente conectada en paralelo ditribuida a lo largo de la línea. A partir del circuito que e obtiene con dicha fuente e puede llegar a un equivalente de Norton. El egundo modelo conidera que dicha función repreenta la componente horiontal del campo eléctrico y e repreentada por fuente de corriente ditribuida a lo largo de la línea y la componente vertical e define por medio de fuente de tenión conectada en lo extremo de la línea [7]. En 997 M. Omid et al. etudiaron la repueta en el tiempo y en la frecuencia de la línea de tranmiión uniforme y no uniforme excitada por campo electromagnético incidente obteniendo la olución de la ecuacione de la línea en el dominio de la frecuencia. Con eta técnica e coniguió llegar a una olución de la corriente totale en lo extremo de la línea en función de u parámetro y de la tenione totale en lo extremo; la incluión de lo campo incidente e conideran como fuente ditribuida a lo largo de la línea. El modelado de la no uniformidad e realia por medio de la 5
conexión cacada de matrice cadena y para obtener reultado en el dominio del tiempo e utilia la Tranformada Rápida de Fourier [8]. En 998 J. O. S. Paulino et al. decribieron la implementación de la teoría de Ruck para el análii de la obretenione inducida en la línea de tranmiión debida a una decarga atmoférica por medio del programa de imulación EMTP. Lo campo incidente que Ruck definió on repreentado por medio de fuente de corriente en erie con una reitencia conectada en paralelo para cada egmento de línea [9]. En 998 V. Cooray y V. Scuka analiaron la diferente aproximacione que e realian en el cálculo de la obretenione inducida en la línea de tranmiión tale como: la componente horiontal del campo eléctrico e calcula por medio de una aproximación de la inclinación de la onda de dicho campo hacia la línea la conductividad perfecta y la impedancia cuando e aume como un reitencia contante []. En el. Erdin. et al. implementaron un modelo para el análii de campo incidente en la línea de tranmiión en el dominio del tiempo. El modelo e baa en la aproximación racional de la matri exponencial decrita por la ecuacione del telegrafita y en la aproximación racional emi-analítica de la funcione de convolución []. En el M. S. Mami y M. Kökal decribieron el modelado de torre de tranmiión la cuale on comúnmente imulada por medio de la teoría de la línea de tranmiión no uniforme. Ete análii e dearrolló en el dominio de la frecuencia; la torre e dividió en un número adecuado de eccione aumiendo cada ección como uniforme []. En el 5 P. Góme et al. preentaron do método en el dominio de la frecuencia para el análii de línea de tranmiión no uniforme excitada por campo electromagnético incidente. El primero e baa en la conexión cacada de matrice cadena de eccione de línea uniforme mientra que en el egundo método e reuelve un itema lineal que varia en el epacio. Lo campo electromagnético incidente e repreentan por fuente de corriente y de tenión conectada en el extremo receptor de la línea y para obtener la olución en el dominio del tiempo e utilia la tranformada numérica de Laplace [3]. 6
En el 5 y 6 G. S. Shinh et al. preentaron un algoritmo que utilia la teoría de la línea de tranmiión multiconductora con parámetro dependiente de la frecuencia para el análii de circuito electrónico. Se dearrolló el modelo en el programa de imulación PSpice para el análii de la obretenione inducida en lo circuito. Lo campo incidente e repreentan por medio de fuente de corriente y de tenión en lo extremo de la línea [4 5]...3 Trabajo relacionado con el modelado del tranformador para alta frecuencia. Alguno trabajo relevante relacionado con el modelado del tranformador que permiten el análii de la obretenione tranitoria preente en lo devanado y u tranferencia al lado ecundario on lo iguiente: En 994 M. M. Saied preentó un modelo de parámetro ditribuido en el dominio de la frecuencia para el análii de la tenione tranitoria en lo devanado de do tranformadore conectado en paralelo. La técnica decrita utilia la teoría de la línea de tranmiión para el análii [6]. En 996 Y. Shibuya et al. decribieron una técnica para el análii de la repueta del devanado de un tranformador en el dominio del tiempo y de la frecuencia; el modelo utilia la teoría de la línea monofáica para analiar la primera vuelta del devanado y la teoría de la línea multiconductora para la demá vuelta. Para obtener lo reultado en el dominio del tiempo e utilia la Tranformada Dicreta de Fourier [7]. En 999 H. Rodrigo y H. Q. S. Dang preentaron un método en el dominio del tiempo para el análii del comportamiento del devanado del tranformador bajo tenione tranitoria. La técnica conite en obtener un itema de ecuacione diferenciale ordinaria a partir del circuito que repreenta lo devanado del tranformador y la olución e obtiene con el método de Runge Kutta [8]. En 999 y A. S. Alfuhaid preentó un método para el análii de la repueta a la frecuencia de lo parámetro eléctrico del tranformador. La ecuacione que definen 7
lo parámetro e obtienen a partir de un circuito equivalente por unidad de longitud del devanado del tranformador. La olución e obtiene en el dominio modal a partir de la teoría de la línea multiconductora. Lo reultado e comparan con el programa de imulación PSpice [9 3]. En el D. Juáre preentó un modelo para el etudio de la ditribución de la tenión de impulo en lo devanado de un tranformador tipo columna. Para analiar la ditribución de tenión inicial en el devanado éte e repreenta con un circuito de capacitancia utiliando el método de diferencia finita para obtener lo reultado de eta etapa. En cuanto al análii de la ditribución de tenión tranitoria en el devanado éte e repreenta mediante un circuito de elemento capacitivo inductivo y reitivo y para obtener lo reultado de eta etapa e utilia el método de Runge Kutta de cuarto orden. Lo parámetro eléctrico e obtienen a partir de la geometría del tranformador [3]. En el 3 F. Quiñóne preentó un método de parámetro ditribuido que parte de la ecuacione del telegrafita para el análii de obretenione tranitoria en el devanado primario del tranformador. Cada bobina del devanado e repreenta como una línea monofáica de tal modo que el extremo final de la línea bobina e conecta con el extremo inicial de la otra línea bobina; finalmente el devanado e repreenta como una línea multiconductora método de ig-ag. La olución de la ecuacione e obtiene en el dominio del tiempo y de la frecuencia utiliando el método de la caracterítica y la tranformada numérica de Laplace repectivamente [3]. En el 4 L. Guihu et al. utiliaron la teoría de la línea de tranmiión multiconductora para el análii de la tenione tranitoria que e preentan en lo devanado del tranformador. Cada vuelta del devanado e imula como una línea de tranmiión y lo parámetro eléctrico on calculado por medio del método de elemento finito. La olución e obtiene por medio del método diferencial de cuadratura [33]. En el 6 M. Popov et al. decribieron un método en el dominio de la frecuencia para el análii de la tenión tranitoria que puede preentare en lo devanado baado también en la teoría de la línea de tranmiión multiconductora. La técnica conite en 8
que cada bobina e imula como una fae de línea de tranmiión y la conexión e hace del extremo final de la bobina con el extremo inicial de la otra bobina método de igag. Lo parámetro eléctrico e obtienen a partir de la geometría del tranformador. Para obtener lo reultado en el dominio del tiempo e utilia la Tranformada Rápida de Fourier [34]. En el 5 K. Ragavan y L. Satih preentaron un modelo en el cual e puede incluir el acoplamiento inductivo entre devanado y entre vuelta del tranformador. Se obtiene un itema en variable de etado a partir del circuito equivalente y e realio un análii de lo polo y cero del itema en el dominio de la frecuencia. El dearrollo de la técnica e hace en el dominio de la frecuencia [35]...4 Trabajo relacionado con el modelado del conjunto línea-tranformador para análii de decarga atmoférica En 985 M. Saied y A. Alfuhaid preentaron un método en el dominio de la frecuencia para el análii de la obretenione tranitoria por decarga directa que e preentan en la conexión cacada de una línea de tranmiión y un tranformador. Se utilia la teoría de la línea multiconductora para el análii del itema y para obtener lo reultado en el dominio del tiempo e emplea un algoritmo de tranformación numérica [36]. En el 3 J. G. Herrera et al. evaluaron la obretenione ocaionada por una decarga atmoférica cercana a la línea y u tranferencia al ecundario del tranformador a partir de un modelo implementado en el ATP/EMTP. Lo campo incidente a la línea e imulan de acuerdo al criterio de Agrawal. Finalmente e hio un análii etadítico de la obretenione con repecto a la variación de la magnitud de lo parámetro baado en el Método de Monte Carlo [37]. A. Borghetti et al. decribieron en el 5 un método para el análii de la obretenione tranitoria ocaionada por una decarga indirecta en una línea de mediana tenión y u poterior tranferencia al lado de baja tenión a travé de un tranformador. Para el análii utiliaron un modelo de tranformador repreentado por un circuito Π de capacitancia y el modelo dearrollado por Morched et al. el cual fue 9
adaptado para uarlo en el EMTP. Ademá lo reultado fueron comparado por medio de prueba de laboratorio [38]..3 Objetivo mplementar un modelo de la línea de tranmiión uniforme y no uniforme en el dominio de la frecuencia que permita la incluión de campo electromagnético incidente. Dearrollar una técnica para el cálculo de lo campo electromagnético que e generan a partir de una decarga atmoférica indirecta. mplementar un modelo del tranformador para alta frecuencia que incluya la dependencia frecuencial en u parámetro y permita analiar la ditribución de la obretenione en u devanado aí como u tranferencia al lado ecundario. Mediante lo modelo dearrollado analiar la obretenione tranitoria inducida en una línea de tranmiión de mediana tenión por el impacto de una decarga atmoférica directa e indirecta y u poterior tranferencia al lado ecundario a travé del tranformador aí como u ditribución a lo largo de ambo devanado..4 Jutificación En la actualidad exiten mucho equipo electrónico que operan con magnitude de corriente y de tenión muy bajo y generalmente on muy enible a u variacione. Si eta variacione tienen magnitude muy grande como la provocada por la tranferencia de obretenione debido a decarga atmoférica pueden hacer que lo equipo trabajen de manera inadecuada e incluo pueden llegar a dañarlo.
Lo programa de imulación que exiten actualmente como on ATP/EMTP y el PSCAD/EMTDC no cuentan con modelo de la línea de tranmiión que contemplen la incluión directa de campo electromagnético debido a decarga atmoférica indirecta; ademá lo modelo del tranformador que preentan on en etado etable o para tranitorio de baja frecuencia y no permiten analiar la tranferencia de la obretenione tranitoria y u propagación en lo devanado durante evento de alta frecuencia. Lo modelo de la línea en el dominio del tiempo preentan aproximacione y ajute que pueden degradar la preciión de lo reultado ademá de la complicacione relacionada con la incluión de la dependencia frecuencial aí como poible no uniformidade de lo parámetro eléctrico. Debido a lo anterior e neceario implementar modelo de parámetro ditribuido del tranformador y de la línea excitada por campo electromagnético incidente en el dominio de la frecuencia que conideren la dependencia frecuencial en lo parámetro aí como la naturalea ditribuida del fenómeno de manera eficiente..5 Aportacione El modelo preentado del tranformador baado en la teoría de la línea de tranmiión conidera tanto la naturalea ditribuida de u parámetro eléctrico como la tranferencia entre lo devanado primario y ecundario. Ete modelo ha ido empleado previamente para el análii de repueta en frecuencia por otro autore; in embargo en ete trabajo e emplea para análii tranitorio con muy bueno reultado. El algoritmo implementado para el cálculo de lo campo electromagnético debido a una decarga atmoférica indirecta e dearrolla en el dominio de la frecuencia a diferencia de trabajo anteriore lo cual vuelve la olución má encilla al obtenere ecuacione algebraica en lugar de ecuacione integrodiferenciale. Se preenta un modelo completo en el dominio de la frecuencia de un itema línea de tranmiión uniforme y no uniforme tranformador para analiar decarga atmoférica directa e indirecta y u tranferencia al lado de baja tenión. En el modelo obtenido e mucho má encillo coniderar diferente
cao de aplicación que en programa comerciale de tipo EMTP en lo cuale la modificación de un cao requeriría definir nuevamente tanto el modelo de la línea para el cao de decarga indirecta como el modelo del tranformador..6 Limitacione y alcance Limitacione Lo modelo dearrollado tanto de línea iluminada como de tranformador on monofáico. Sin embargo para itema de ditribución lo reultado obtenido mediante modelo monofáico pueden aproximar uficientemente lo fenómeno involucrado. El modelo del tranformador no conidera el acoplamiento inductivo entre vuelta de lo devanado. Lo parámetro eléctrico del tranformador e calcularon a partir de ecuacione implificada. Un cálculo de mayor preciión requeriría del empleo de un método baado en la geometría real del tranformador como el método de elemento finito en o 3 dimenione. Se empleó la regla trapeoidal imple para la integración numérica requerida en el cálculo de lo campo electromagnético incidente lo cual aunque proporcionó reultado uficientemente precio e poco efectivo dede el punto de vita de tiempo de cómputo. Alcance Se preenta un modelo de parámetro ditribuido de la línea de tranmiión uniforme y no uniforme que conidera la dependencia frecuencial y la naturalea ditribuida de u parámetro en el dominio de la frecuencia. Lo reultado en el dominio del tiempo e obtienen por medio de la tranformada numérica de Laplace. Se preenta una técnica que permite el análii de la tenione tranitoria que e generan por la incluión de campo electromagnético incidente en la línea de tranmiión monofáica uniforme y no uniforme aí como una técnica para el cálculo de lo campo que e generan a partir de una decarga atmoférica en el dominio de la frecuencia.
Se implementa un modelo del tranformador monofáico para alta frecuencia que permite el análii de la ditribución de tenión tranitoria en lo devanado y u tranferencia al lado de baja tenión en el dominio de la frecuencia. Se dearrolla un modelo completo que permite el análii de la tranferencia de obretenione inducida por decarga atmoférica en itema de ditribución. Se obtienen modelo implementado en el ATP/EMTP para la comprobación de lo reultado obtenido con cada uno de lo modelo anteriore..7 Etructura de la tei El Capitulo eta conformado por la preente introducción. El Capitulo preenta la olución de la ecuacione del telegrafita en el dominio de la frecuencia obteniendo un modelo de do puerto de la línea de tranmiión monofáica uniforme y no uniforme. En el Capitulo 3 e preenta un modelo en el dominio de la frecuencia que permite la incluión de campo incidente en la línea de tranmiión uniforme y no uniforme. Se decribe también una técnica que permite el cálculo del campo electromagnético que e genera debido a una decarga atmoférica cercana a la línea. En el Capitulo 4 e decribe un modelo del tranformador para alta frecuencia el cual parte de la olución de la ecuacione del telegrafita en el dominio de la frecuencia obteniendo finalmente un modelo de do puerto del tranformador. Se preentan ecuacione para el cálculo de lo parámetro eléctrico de un tranformador monofáico tipo columna. El Capitulo 5 preenta la decripción del modelo completo línea iluminadatranformador. Se decribe también la implementación de un modelo en el ATP/EMTP con el propóito de validar lo reultado. En el Capítulo 6 e detallan la concluione del trabajo de tei aí como la aportacione y recomendacione para trabajo futuro. 3
En el Apéndice A e dearrolla el algoritmo de la tranformada numérica de Laplace. En el Apéndice B e decribe el cálculo de parámetro de la línea de tranmiión. En el Apéndice C e muetran la dimenione de un tranformador de ditribución monofáico tipo columna. En el Apéndice D e litan la publicacione obtenida a partir de de ete trabajo. 4
CAPTULO Modelado de la línea de tranmiión. Generalidade La línea de tranmiión on lo elemento má comune que conforman la rede eléctrica. En conjunto eto elemento contituyen la arteria a travé de la cuale fluye la energía eléctrica dede lo centro de generación hata lo centro de conumo [38]. La tranmiión de dicha energía puede realiare por corriente alterna c.a. o directa c.d. y de acuerdo al dieño de la línea éta puede er aérea o ubterránea. Dependiendo del nivel de tenión e tienen claificada a la rede en tre categoría: tranmiión ubtranmiión y ditribución. Debido a la importancia de la línea de tranmiión ha ido neceario dearrollar modelo matemático que repreenten el comportamiento de la mima. Eto modelo e caracterian por cuatro parámetro principale: Reitencia R nductancia L Capacitancia C Conductancia G Repreenta la perdida erie a lo largo del conductor. Simbolia el flujo magnético debido a la corriente que circula a travé del conductor. Repreenta la corriente de deplaamiento que fluye entre do conductore en el plano tranveral. Simbolia la corriente de conducción tranveral fluyendo entre do conductore. El modelo de la línea de tranmiión utiliado para etudio de tranitorio electromagnético puede er de parámetro concentrado o de parámetro ditribuido; in embargo e prefiere en general el egundo debido a que toma en cuenta el fenómeno de propagación de onda viajera a lo largo de la línea fundamental para reproducir de manera adecuada el comportamiento tranitorio de elemento eléctricamente largo. El circuito equivalente por unidad de longitud de la línea de tranmiión bae del modelado de parámetro ditribuido e muetra en la Fig... 5
i t RΔ L Δ i + Δ t + V t - i GΔ i CΔ + V + Δ t - Δ Figura. Circuito equivalente de la línea de tranmiión por unidad de longitud. En ete Capítulo e dearrollan la ecuacione del telegrafita en el dominio de la frecuencia la cuale rigen la propagación de onda de tenión y corriente a lo largo de la línea. A partir de éta e obtiene un modelo de do puerto conocido también como modelo nodal o de matri de admitancia []. Finalmente e preentan cao de aplicación coniderando ditinta configuracione de línea. Dado que el modelado e realia en u totalidad en el dominio de la frecuencia para obtener la forma de onda en el tiempo e hace uo del algoritmo de la tranformada numérica de Laplace TNL decrito en el Apéndice A. En el Apéndice B e decribe el cálculo de parámetro de la línea de tranmiión.. Solución de la ecuacione del telegrafita y obtención del modelo de do puerto Nodal o Ybu para una línea monofáica.. Solución de la ecuacione del telegrafita en el dominio de la frecuencia La ecuacione del telegrafita parten del modelo de parámetro ditribuido y rigen el comportamiento de la línea tranmiión en etado tranitorio. Eta ecuacione en el dominio de la frecuencia etán dada por: dv = Z. d d = YV d. donde V e on la tenione y corriente en el dominio de Laplace en el punto de la línea mientra que Z y Y repreentan la impedancia erie y la admitancia en derivación por unidad de longitud repectivamente y etán definida por B.9 y 6