Examen de la asignatura "Estadística aplicada a las ciencias sociales" Profesor Josu Mezo. 9 de junio de 2008. Pregunta nº 1 (5 puntos). En una base de datos sobre los países del mundo se incluyen una multitud de variables. Clasifica las siguientes según sean de escala nominal, ordinal o de intervalo: a) Religión predominante Nominal b) Sistema de gobierno (monarquía o república) Nominal c) Número de coches por 1.000 habitantes Intervalo d) Posición en una escala de democracia (totalitario, autoritario, parcialmente democrático, totalmente democrático) Ordinal e) Número de partidos en el parlamento o asamblea legislativa Intervalo Pregunta nº 2 (10 puntos) El gráfico siguiente representa los coches vendidos en España, entre enero y mayo de 2008, clasificados por tipos de coches. Responde a las siguientes preguntas: a) Cómo se llama este tipo de gráfico? Es un diagrama de Pareto b) Explica el contenido del gráfico: Qué información transmite el gráfico? Qué sabes sobre el tema tras ver el gráfico que no sabías antes? El gráfico permite ver en total en España en ese periodo se han vendido casi 600.000 cochesy y que el segmento más vendido es el medio-bajo, con algo menos de 200.000 unidades vendidas en el periodo estudiado, que vendría a ser un tercio del total; la segunda categoría más popular es la de los coches pequeños (unas 150.000 unidades, una cuarta parte del total), y en tercer y cuarto lugar, con ventas muy parecidas (unos 80.000 coches), los monovolúmenes y el segmento medio-alto. Aproximadamente 40.000 unidades se han vendido de las dos siguientes categorías, todo terrenos y micros, y finalmente, hay unas categorías de coches muy caros (Deportivo, Ejecutivo) de las que se han vendido muy pocos coches. De los de lujo se ha debido de vender tan pocos que ni siquiera aparece en la gráfica. Si atendemos a las ventas acumuladas, podemos ver que los cuatro primeros grupos casi copan el mercado (500.000 de algo menos de 600.000 coches vendidos). c) Se te ocurren formas de mejorar el gráfico? Tal vez se podría mejorar utilizando frecuencias relativas en lugar de absolutas. 600.000 Coches vendidos en España, enero-mayo 08 Unidades 500.000 400.000 300.000 200.000 100.000 0 Medio-bajo Pequeño Monovol. Medio-alto Todo Terreno Categorías Micro Deportivo Ejecutivo Lujo Página 1 de 7
Pregunta nº 3 (21 puntos) La siguiente tabla presenta la distribución de los hogares de Castilla-La Mancha, en el censo de 2001, según el número de personas ocupadas en el hogar. Calcula para la variable Número de personas ocupadas en el hogar, (usando como marca de clase para la última categoría el valor 5,3), Número de personas ocupadas Porcentaje de los hogares a) La media Ninguna 33,9 b) La desviación típica 1 36,5 c) El coeficiente de variación 2 21,9 d) La mediana 3 5,5 e) El primer y tercer cuartil 4 1,7 f) El rango intercuartílico 5 ó más 0,5 g) La moda Solución calculada con Excel. Normalmente con calculadora se harán redondeos y los resultados puede diferir ligeramente Valores fi c*f (c-media)^2 *f F acumulada 0 0,339 0 1,12890625 0,38269922 0,339 Q1 1 0,365 0,365 0,00390625 0,00142578 0,704 Q2=Mediana 2 0,219 0,438 0,87890625 0,19248047 0,923 Q3 3 0,055 0,165 3,75390625 0,20646484 0,978 4 0,017 0,068 8,62890625 0,14669141 0,995 5,3 0,005 0,0265 17,9564063 0,08978203 1 Media 1,0625 Varianza 1,01954375 Desv típica 1,00972459 Coef var 0,95032903 Mediana 1 Q1 0 Q3 2 RI 1 Moda 1 a) Media: la suma de los productos de los valores por las frecuencias relativas: 1,06 b) Desviación típica: la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones de la media, multiplicados por sus frecuencias relativas: 1,01 c) Coeficiente de variación: la desviación típica dividida entre la media, es decir 0,95 d) Mediana: el valor con la frecuencia relativa acumulada 0,5, que es en este caso el valor 1 e) Q1 es el valor con la frecuencia relativa acumulada 0,25, que es en este caso el valor 0 Q3 es el valor con la frecuencia relativa acumulada 0,75, que es en este caso el valor 2 f) El rango intercuartílico (RI) es Q3-Q1, es decir, en este caso, 2 (2-0) g) La moda es el valor más frecuente, en este caso, 1 Pregunta nº 4 (4 puntos) Explica en qué consiste la regla de Chebychev y utiliza los datos del ejercicio anterior para comprobar si se cumple en este caso. Página 2 de 7
La regla de Chebychev dice que para cualquier variable, si a la media le sumamos y restamos la desviación típica un número de veces m, la proporción de valores que se encuentran entre los dos valores así hallados (media - m veces la desviación típica, media más m veces la desviación típica) es siempre, igual o mayor a 1-(1/m 2 ). Así, si m=2, la proporción de valores que se encuentran entre la media ± 2 veces la desviación tipica sería al menos 1-(1/2 2 )=1-(1/4)=3/4=0,75 Si m=3, la proporción de valores que se encuentran entre la media ± 3 veces la desviación tipica sería al menos 1-(1/3 2 )=1-(1/9)=8/9=0,889 Si m=4, la proporción de valores que se encuentran entre la media ± 4 veces la desviación tipica sería al menos 1-(1/4 2 )=1-(1/16)=15/16=0,9375 En efecto, en el ejercicio anterior, la regla se cumple perfectamente: la media menos dos veces la desviación típica es un valor menor que el más pequeño; la media más dos veces la desviación típica es más de 3. Por lo tanto, el intervalo va de 0 a 3, y el porcentaje de casos entre la media más/menos dos veces la desviación típica sería: 0,339 + 0,365 + 0,219 + 0,055, es decir 0,978, mucho más que el mínimo previsto por la regla de Chebychev. El intervalo determinado por la media más/menos 3 veces la desviación típica llegaría sumaría los casos con valor 4, y por tanto, llegaría a ser el 0,997 de los casos, de nuevo más que el mínimo previsto por la regla. Y la media más/menos 4 veces la desviación típica incluiría ya el 100% de los casos. En definitiva, en esta variable se cumple la regla de Chebychev perfectamente. Pregunta nº 5 (20 puntos) El gráfico siguiente representa la evolución de los casos de SIDA diagnosticados cada año en España desde primeros de los 80 hasta el año 2006. También se representa la tendencia lineal, acompañada de la ecuación que expresa la tendencia (y =93,271x + 1584,5). a) Explica la información que obtienes al ver el gráfico sobre la evolución del SIDA en España Lo que se ve claramente en esta gráfica es que el SIDA ha seguido una evolución con dos fases claramente diferenciadas. Entre primeros de los ochenta y primeros de los 90 el SIDA, que al principio era casi inexistente, fue creciendo de manera continuada y especialmente rápida entre 1987 y 1993, con un último salto, aún más rápido, en 1994, cuando llegó al valor más alto, de algo más de 7.000 casos. Sin embargo, a partir de 1995 los casos declarados comenzaron a descender, primero también de forma muy rápida (en cuatro años volvió a los niveles de 1989, unos 3000 casos), y luego de forma un poco más suave, a partir de finales de los 90 hasta los últimos dos años, en los que ha vuelto a descender bastante rápido (y ahora está ya sólo ligeramente por encima de los 1.000 casos). b) Teniendo en cuenta que el año 0 sería 1980: cuál sería la predicción de la línea de tendencia para el año 2008? Y para 2020? Entre 1980 y 2008 habrían transcurrido 28 años, por tanto, la fórmula predeciría el número de casos que sería y =(93,271*28) + 1584,5=4.196 casos Entre 1980 y 2020 habrían transcurrido 40 años, por tanto, la fórmula predeciría el número de casos que sería y =(93,271*40) + 1584,5=5.315 casos c) Te parece que las predicciones derivadas de la ecuación se cumplirán? Razona tu respuesta. No, casi seguro que no se cumplirán, ya que es fácil ver en la propia gráfica que la recta lineal no es una buena herramienta para analizar una variable como esta, con dos periodos tan diferenciados de tendencias opuestas. No hay prácticamente ningún momento en todo el periodo en el que la recta de una buena Página 3 de 7
estimación de los valores de un año. Los primeros años es demasiado alta, luego demasiado baja y de nuevo demasiado alta. Las predicciones de 2008 son de más de cuatro veces el número de casos de 2006. Las de 2020 son de cinco veces. A menos que haya un gran cambio, esas cifras no se darán (y en ese caso, de todos modos, no estaríamos viendo los resultados de la tendencia lineal, sino los de, precisamente, un cambio de tendencia). d) Sin dejar de utilizar como herramienta la tendencia lineal, Qué se te ocurre que se podría hacer para mejorar las predicciones para 2020? Se podría dividir la serie en dos periodos diferentes, y hacer un análisis de tendencia lineal tomando como año cero el año 1994. En ese caso obtendríamos una tendencia lineal decreciente, que seguramente daría una predicción bastante ajustada para el 2008, y quizá algo optimista para el 2020. Casos diagnosticados de SIDA en España Número de casos 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 y = 93,271x + 1584,5 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 Años Pregunta nº 6 (6 puntos) Explica qué es un muestreo sistemático y en qué circunstancias no debería utilizarse. Un muestreo sistemático es aquel en el que, teniendo una lista de todos los casos de la población, se extrae una muestra de manera sistemática, a partir de una posición inicial en la lista, sumándole a esa posición todas las veces que sea posible un mismo número, que es el llamado factor de elevación. Más concretamente, conocido el tamaño total de la población (N), para extraer una muestra de n casos, se procede de la siguiente forma: se divide N/n y se obtiene el factor de elevación (número de veces que el tamaño de la población contiene el tamaño de la muestra). Supongamos que el resultado, para simplificar es 100. Eso significa que la muestra la componen uno de cada 100 sujetos de la población. Entonces se sortea aleatoriamente un número de 1 a 100. Supongamos que el resultado es el 37. La muestra sistemática se compone entonces de los sujetos 37, 137, 237,... hasta llegar a los n miembros de la muestra. No debe utilizarse cuando el factor de elevación es múltiplo de algún número que tenga que ver con alguna regularidad en la ordenación de los casos en la lista. Por ejemplo, si los casos a Página 4 de 7
analizar son datos diarios de un fenómeno cualquiera, y el factor de elevación es múltiplo de siete, todos los casos obtenidos corresponderían al mismo día de la semana, lo cual introduciría un sesgo notable en la muestra. Pregunta nº 7 (16 puntos) Imaginemos que el tamaño medio de la vivienda construida en España en 2007 fuera de 123 metros cuadrados, con una desviación típica de 42 metros. Suponiendo que la distribución de esa variable fuera normal, y utilizando, cuando sea necesario, la tabla de probabilidades de los valores de z en una distribución normal estándar, que tienes reproducida al final del examen, calcula a) Qué proporción de las viviendas miden menos de 50 metros? Calculamos el valor z: (50-123)/42=-1,74 Tenemos que calcular la proporción de casos con valor z menor que -1,74, que es la misma que la proporción de casos con valor z>1,74 (la tabla da valores positivos). Como la tabla da los valores menores que..., para calcular la proporción de casos mayores de 1,74 calculamos primero la proporción de casos con valor z menor que 1,74 y se la restamos a 1. Casos con valor z<1,74: 0,9591 Casos con valor z>1,74: 1-0,9591=0,0419 Que es también la proporción de casos con valor z<-1,74 Por tanto, los pisos que miden menos de 50 metros serían el 0,0419 (ó el 4,19%) b) Y qué proporción miden más de 180 metros? Valor z: (180-123)/42=1,36 En la tabla vemos la proporción de casos con valor z<1,36 que es 0,9131 Por lo tanto, la proporción de pisos mayores de 180 metros será (1-0,9131)=0,869, ó el 8,7% de los pisos c) Cuál es el rango de tamaños más típico, centrado en la media, dentro del que están el 50% de las viviendas? Tendremos que buscar el valor z tal que el 75% de los casos estén por debajo de él, de manera que el 25% estará entre la media y ese valor, y otro 25% entre la media y ese valor z negativo. El valor z tal que el 75% de los casos están por debajo es, según la tabla 0,67 (aproximadamente). Por lo tanto, el 50% de los casos estará entre los valores z -0,67 y +0,67 Convertido a los valores de este caso, serían pisos entre 123-(42*0,67) y 123+(42*0,67), es decir, entre 94,5 metros y 151,1 metros d) Que porcentaje de las viviendas medirá entre 50 y 100 metros? Hay que calcular los que miden menos de 50, los que miden menos de 100, y restarles a los segundos los primeros. Los que miden menos de 50 los hemos calculado en el punto a, y son 0,0419 Los que miden menos de 100: valor z es (100-123)/42= -0,55 Proporción de z<0,55= 0,7088 (en la tabla) Proporción de z>0,55=proporción de z<-0,55= 1-0,7088=0,2912 Por tanto, los que miden entre 50 y 100 metros son 0,2912-0,0419= 0,2493 Página 5 de 7
Pregunta nº 8 (9 puntos) En la encuesta nacional de salud de 2006, en la que se entrevistó a 31.300 mayores de 16 años, la proporción que dijo su estado de salud era muy bueno fue del 17,97%. Suponiendo que la muestra fuera completamente aleatoria, calcula: a) El error típico ET: raiz(p*q/n)= raiz(0,1797*0,8203/31300)=0,00217 O, en tanto por ciento: 0,217% b) Si pudiéramos entrevistar a todos los españoles mayores de 16 años, qué porcentaje de ellos podemos decir, con un 95,5% de confianza, que nos dirían que su estado de salud es muy bueno? Con un 95,5% de confianza el parámetro se encuentra en el intervalo derivado de sumar y restar dos veces el ET al estimador. Por tanto, con un 95,5% de confianza, la población que diría que su estado de salud es muy bueno estaría entre 17,97%-(2*0,217) y 17,97%+(2*0,217), es decir, entre 17,536% y 18,404% c) Y con un 99,7% de confianza? Con un 99,7% de confianza el parámetro se encuentra en el intervalo derivado de sumar y restar tres veces el ET al estimador. Por tanto, con un 99,7% de confianza, la población que diría que su estado de salud es muy bueno estaría entre 17,97%-(3*0,217) y 17,97%+(3*0,217), es decir, entre 17,319% y 18,621% Pregunta nº 9 (9 puntos) En una encuesta a 300 empresas, escogidas aleatoriamente, sobre la marcha de la economía en el año 2008 en España, la media de la variación de las ventas en el primer trimestre del año, en comparación con el año pasado, fue de -8%, con una desviación típica muestral de 7%. Calcula: a) El error típico El ET para una media es la desviación típica muestral partida por la raiz del tamaño de la muestra, es decir, en este caso, 7/raiz(300)=0,404% b) El intervalo de confianza dentro del cual estará, con un 95,5% de seguridad, la variación media de las ventas de las empresas españolas en el primer trimestre del año Con un 95,5% de confianza el parámetro se encuentra en el intervalo derivado de sumar y restar dos veces el ET al estimador. Por tanto, con un 95,5% de confianza, la media de la variación de las ventas de las empresas españolas en el primer trimestre estaría entre -8%±(2*0,404), es decir, entre -8,808% y - 7,192% c) Modifica los cálculos anteriores para el supuesto de que las 300 empresas fueran una muestra obtenida en una ciudad en la que hay 950 empresas. El ET sería algo menor, al multiplicarlo por raiz(1-f), siendo f=n/n (n=tamaño de la muestra, N=tamaño de la población). En este caso f=300/950=0,316 El factor de corrección es RAIZ(1-0,316)=RAIZ(0,684)=0,827 Por tanto el ET sería 0,404*0,827=0,334 Y el intervalo de confianza sería entre -8±(2*0,334), es decir, entre -8,668% y -7,331%. Página 6 de 7
Áreas bajo la curva normal estándar. Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual al valor correspondiente de z Segunda cifra decimal del valor de z z 0.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 0.0.5000.5040.5080.5120.5160.5199.5239.5279.5319.5359 0.1.5398.5438.5478.5517.5557.5596.5636.5675.5714.5753 0.2.5793.5832.5871.5910.5948.5987.6026.6064.6103.6141 0.3.6179.6217.6255.6293.6331.6368.6406.6443.6480.6517 0.4.6554.6591.6628.6664.6700.6736.6772.6808.6844.6879 0.5.6915.6950.6985.7019.7054.7088.7123.7157.7190.7224 0.6.7257.7291.7324.7357.7389.7422.7454.7486.7517.7549 0.7.7580.7611.7642.7673.7704.7734.7764.7794.7823.7852 0.8.7881.7910.7939.7967.7995.8023.8051.8078.8106.8133 0.9.8159.8186.8212.8238.8264.8289.8315.8340.8365.8389 1.0.8413.8438.8461.8485.8508.8531.8554.8577.8599.8621 1.1.8643.8665.8686.8708.8729.8749.8770.8790.8810.8830 1.2.8849.8869.8888.8907.8925.8944.8962.8980.8997.9015 1.3.9032.9049.9066.9082.9099.9115.9131.9147.9162.9177 1.4.9192.9207.9222.9236.9251.9265.9279.9292.9306.9319 1.5.9332.9345.9357.9370.9382.9394.9406.9418.9429.9441 1.6.9452.9463.9474.9484.9495.9505.9515.9525.9535.9545 1.7.9554.9564.9573.9582.9591.9599.9608.9616.9625.9633 1.8.9641.9649.9656.9664.9671.9678.9686.9693.9699.9706 1.9.9713.9719.9726.9732.9738.9744.9750.9756.9761.9767 2.0.9772.9778.9783.9788.9793.9798.9803.9808.9812.9817 2.1.9821.9826.9830.9834.9838.9842.9846.9850.9854.9857 2.2.9861.9864.9868.9871.9875.4878.9881.9884.9887.9890 2.3.9893.9896.9898.9901.9904.9906.9909.9911.9913.9916 2.4.9918.9920.9922.9925.9927.9929.9931.9932.9934.9936 2.5.9938.9940.9941.9943.9945.9946.9948.9949.9951.9952 2.6.9953.9955.9956.9957.9959.9960.9961.9962.9963.9964 2.7.9965.9966.9967.9968.9969.9970.9971.9972.9973.9974 2.8.9974.9975.9976.9977.9977.9978.9979.9979.9980.9981 2.9.9981.9982.9982.9983.9984.9984.9985.9985.9986.9986 3.0.9987.9987.9987.9988.9988.9989.9989.9989.9990.9990 3.1.9990.9991.9991.9991.9992.9992.9992.9992.9993.9993 3.2.9993.9993.9994.9994.9994.9994.9994.9995.9995.9995 3.3.9995.9995.9995.9996.9996.9996.9996.9996.9996.9997 3.4.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9998 Página 7 de 7