ELEMENTOS ALMACENADORES DE

Capítulo ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA ELÉCTRICA Portada del Capítulo 5

2CAPÍTULO. ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA ELÉCTRICA. INTRODUCCIÓN Hasta este capitulo solo se han tratado circuitos resistivos, que solo contienen resistencias y fuentes, a continuación trataremos sobre otros dos elementos adicionales denominados Capacitor e Inductor, los cuales son diferentes del resistor en su construcción, funcionamiento y finalidad. A diferencia de las resistencias estos elementos solo presentan sus características, cuando varía el voltaje o la corriente del circuito al que se encuentran conectados, además estos dos elementos almacenan energía en una forma que pueda ser regresada al circuito cuando lo requiera el diseño de este. Lo anterior indica que junto con las fuentes, estos elementos ocasionan voltajes y corrientes dentro de un circuito. Este almacenamiento de energía provee de una mayor cantidad de aplicaciones y presenta una etapa en el desarrollo de los circuitos, haciéndolos mas adaptables y útiles. La energía almacenada en un capacitor o en un inductor es siempre igual o mayor que cero, y ambos se clasifican como elementos pasivos puesto que no generan energía, solo la almacenan.

.2. BIOGRAFÍA 3.2 BIOGRAFÍA Michael Faraday (79-867): Físico y químico británico. Nació el 22 de septiembre de 79 en Newington (Surrey). Su padre fue un herrero. Trabajando de aprendiz con un encuadernador de Londres, leyó libros de temas científicos. lo que le animó a realizar experimentos en el campo de la electricidad. En el año 82 asistió a una serie de conferencias impartidas por el químico sir Humphry Davy y le solicitó empleo. Davy le contrató como ayudante en su laboratorio químico de la Institución Real. Faraday entró en la Sociedad Real en 824 y al año siguiente fue nombrado director del laboratorio de la Institución Real. En 833 fue profesor de química en la institución. Dos años después le fue concedida una pensión vitalicia de 300 libras anuales. Realizó sus primeras investigaciones bajo la dirección de Davy. Descubrió dos nuevos cloruros de carbono además del benceno. Investigó

4CAPÍTULO. ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA ELÉCTRICA nuevas variedades de vidrio óptico y llevó a cabo con éxito una serie de experimentos de licuefacción de gases comunes. Sin embargo, las investigaciones más importantes las realizó en los campos de la electricidad y el magnetismo. En el año 82 trazó el campo magnético alrededor de un conductor por el que circula una corriente eléctrica. En 83 descubrió la inducción electromagnética y demostró la inducción de una corriente eléctrica por otra. Investigó los fenómenos de la electrólisis y descubrió dos leyes fundamentales: que la masa de una sustancia depositada por una corriente eléctrica en una electrólisis es proporcional a la cantidad de electricidad que pasa por el electrólito, y que las cantidades de sustancias electrolíticas depositadas por la acción de una misma cantidad de electricidad, son proporcionales a las masas equivalentes de las sustancias. En magnetismo, descubrió la existencia del diamagnetismo y comprobó que un campo magnético tiene fuerza para girar el plano de luz polarizada que pasa a través de ciertos tipos de cristal. Escribió Manipulación química (827), Investigaciones experimentales en electricidad (844-855) e Investigaciones experimentales en física y química (859). Falleció el 25 de agosto de 867. Joseph Henry (797-878): Nació el 7 de diciembre de 797 en Albany, estado de Nueva York. Estudió en la academia de su ciudad natal. En 826 comenzó a ejercer como profesor de matemáticas, física y profesor de filosofía natural en

.3. EL CAPACITOR 5 la Universidad de Princeton. Fue el descubridor del principio de la inducción electromagnética, pero se le anticipó el físico británico Michael Faraday. Sin embargo, sí se le reconoció el descubrimiento del fenómeno de la autoinductancia, que anunció en 832. A la unidad de inductancia se la denomina henrio en su honor. Henry experimentó y perfeccionó el electroimán, inventado en 823 por el británico William Sturgeon. Hacia 829 había desarrollado electroimanes con gran fuerza de sustentación y eficacia, esencialmente iguales que los utilizados más tarde en dinamos y motores. Ya en 83 construyó el primer telégrafo electromagnético, además de idear y construir uno de los primeros motores eléctricos. En 842 reconoció la naturaleza oscilante de una descarga eléctrica. Le nombraron en 846, secretario y director de la recién formada Institución Smithsonian y desempeñó estos cargos hasta su muerte. Bajo su dirección, la institución fomentó la actividad en muchos campos científicos. Organizó estudios meteorológicos y fue el primero en utilizar el telégrafo para transmitir informes climatológicos, indicar las condiciones atmosféricas diarias en un mapa y hacer predicciones del tiempo. El trabajo meteorológico de la institución le llevó a crear el Departamento Meteorológico de Estados Unidos..3 El CAPACITOR El primer dispositivo utilizado para almacenar energía, en forma de carga eléctrica, fue la botella de Leyden, que consistía en una botella de vidrio con agua, que liberaba la carga almacenada mediante una descarga; más adelante se creó un capacitor de placas paralelas, con laminas metálicas y como material aislante el aire. Debido al material aislante las cargas no se pueden desplazar de un material conductor a otro, es así que se almacenan en las partes conductoras del capacitor y al ser conectado el dispositivo, se descargan por sus terminales. El tipo de capacitor más sencillo es el conformado por dos placas paralelas, como se observa en la figura.; La capacitancia es la propiedad de

6CAPÍTULO. ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA ELÉCTRICA almacenar energía en forma de carga o campo eléctrico, es proporcional a la constante dieléctrica del material entre las placas y al área transversal del material conductor que conforman el capacitor, e inversamente proporcional a la distancia que separa las partes conductoras. Para esta configuración la capacitancia se puede definir como: C = ε A d (.) donde e es la constante dieléctrica, también conocida como permitividad del material, A es el área transversal del material conductor y d la distancia que separa las partes conductoras; según su definición se establece, que la capacitancia depende de aspectos físicos del elemento. Figura.: Elemento Almacenador de Energía, El Capacitor La batería le entrega la energía al capacitor, mediante la aplicación de un voltaje en sus terminales, está energía se almacena en forma de carga y por lo tanto existe una carga positiva por cada carga negativa, así la carga almacenada es directamente proporcional al voltaje aplicado, dando como resultado la siguiente relación: q = C v (.2)

.3. EL CAPACITOR 7 donde C es la capacitancia, expresada en coulomb por voltios y se conoce como Faradio (F ). Derivando la anterior ecuación con respecto al tiempo se obtiene: q = C v dq = C dv ; i = dq i = C dv. (.3) De donde queda como conclusión la relación que define la corriente para un capacitor. El símbolo de este elemento se puede observar en la figura.2 y utilizando la convención pasiva de signos también se observa su polaridad. Figura.2: Símbolo del Capacitor De las anteriores expresiones se deduce que la corriente en un capacitor depende de la variación del voltaje que se aplique en sus terminales, por lo tanto, con un voltaje constante la corriente es cero, y actúa como circuito abierto. Para observar el hecho de variación de voltaje, si v es igual a 5 sin (t), la corriente que atraviesa el capacitor será: i = C dv Sí C es igual a 20 picofaradios. = c 5 cos (t)

8CAPÍTULO. ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA ELÉCTRICA i = C dv = 20 0 6 5 cos (t) = 0.0003 cos (t) A. Ahora si v = 0 ó a una constante con relación al tiempo dv lo tanto i = 0. es igual cero, por Para entender mejor este aspecto se puede utilizar una señal como se muestra en la siguiente figura.3,aplicada a un capacitor de 0.5 mf: Figura.3: Símbolo del Capacitor El voltaje en los intervalos de tiempos que se muestran, se define de la siguiente manera: v = 0 t v = 8(t ) < t 2 v = 0 2 < t 3 v = 6 4t 3 < t 4 v = 0 t > 4 Ahora C = 0.5 mf, se obtiene: i = 0 t i = 0.004 < t 2 i = 0 2 < t 3 i = 0.002 3 < t 4 i = 0 t > 4

.3. EL CAPACITOR 9 Que es un impulso cuadrado de 4 ma y otro de 2 ma, como se observan en la figura.4. Figura.4: Impulso de respuesta del ejemplo Como la corriente en un capacitor es: i = C dv Al despejar dv e integrar a ambos lados de la ecuación, se tiene el siguiente resultado: v(t) = C t 0 i + v 0 (t) (.4) Normalmente v(t 0 ) es cero, si se asume que en to=0, la carga almacenada es cero. El principio de conservación de la carga establece que no existe un cambio instantáneo, y que es continua en el tiempo, en consecuencia el voltaje en el capacitor tampoco presenta cambios instantáneos, por otra parte para que esto sea posible, se necesita que la potencia aplicada a las terminales del capacitor sea infinita, es decir, la corriente tenga un valor infinito, y esto es imposible físicamente.

0CAPÍTULO. ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA ELÉCTRICA El voltaje en un capacitor no varia de forma instantánea. La potencia entregada por un capacitor se puede encontrar partiendo de: p = v i = C v dv (.5) Al integrar a ambos lados de la ecuación se obtiene: t 0 p = C t 0 v dv ω c(t) ω c (t 0 ) = C ω c (t) ω c (t 0 ) = 2 Cv2 (t) Cv 2 (t 0 ) t 0 v dv = 2 C[( v(t) ) 2 ( v(t0 ) ) 2] Donde se asume que W c (t 0 ) es la energía almacenada en t=0, que es igual a cero, porque el voltaje en este instante es cero, se tiene: ω c = 2 C v2 (.6) Con unidades en Jouls J, como q=cv, la anterior ecuación queda: ω c = 2 C q2 (.7).4 ARREGLO DE CAPACITORES EN SE- RIE Como en las resistencias, existen los mismos arreglos de conexiones para los capacitores.

.4. ARREGLO DE CAPACITORES EN SERIE Obsérvese la siguiente figura de un grupo de capaciotres conectados en serie y su circuito equivalente. Figura.5: Capacitores en Serie En el primer circuito al aplicar LVK se tiene. v = v + v 2 + v 3 + v 4 +... + v n Para un capacitor cualquiera. v n = C n t 0 i + v n (t 0 ) Como la corriente es común se deduce. v = i + v (t 0 ) +... + i + v n (t 0 ) C t 0 C n t 0 v = ( + +... + ) t i + v k (t 0 ) C C 2 C n t 0 t v = i + v k (t 0 ) C k t 0

2CAPÍTULO. ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA ELÉCTRICA De la ecuación resultante al aplicar LVK: v(t 0 ) = v (t 0 ) + v 2 (t 0 ) + v 3 (t 0 ) + v 4 (t 0 ) +... + v n (t 0 ) v(t 0 ) = v k (t 0 ) Al reemplazar esto en la ecuación anterior: [ t ] v = i + v(t 0 ) C k t 0 La ecuación del circuito equivalente es: [ v = C s ] i + v(t 0 ) t 0 Comparando estás dos últimas ecuaciones se obtiene. C s = C k = C + C 2 +... + C n (.8) Para el caso particular de dos capacitores en serie, da como resultado: = + C s C C 2 = C (.9) C 2 C s C + C 2.5 CAPACITORES EN PARALELO En este caso se tiene la siguiente figura:

.5. CAPACITORES EN PARALELO 3 Figura.6: Símbolo de la Inductancia Para el arreglo de capacitores se aplica la LKC, de donde se obtiene: i = i + i 2 + i 3 + i 4 +... + i n (.0) Para cada capacitor se tiene que: i n = C n dv (.) Reemplazando: dv i = C + C dv + C dv 2 + C dv 3 + C dv 4 +... + C dv n i = ( ) C + C 2 + C 3 + C 4 +... + C n dv i = C k (.2) Para el circuito equivalente: i = C p dv (.3)

4CAPÍTULO. ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA ELÉCTRICA Por comparación entre las dos últimas ecuaciones: ( ) C p C + C 2 + C 3 + C 4 +... + C n (.4) C p = C k.6 EL INDUCTOR Junto al capacitor, otro elemento que almacena energía es el Inductor, que es básicamente un alambre enrollado sobre sí mismo, donde el material de su centro, es de aire y en otras ocasiones es de un material diferente, que posee un grado de permeabilidad. Como en el capacitor las cualidades de este elemento, dependen de su forma geométrica y física, y presenta la propiedad de la inductancia, que es la característica de un material de almacenar energía, en el campo magnético generado por la variación de corriente que lo atraviesa. En la bobina, se concentrara todo el campo magnético en su núcleo, debido a su alta permeabilidad, por lo tanto el voltaje se define: v = N dφ (.5) Pero si se tiene en cuenta que el flujo total Nφ es directamente proporcional a la corriente, se observa: Nφ = Li (.6) Donde la constante de proporcionalidad es la inductancia, al derivar y susti-

.6. EL INDUCTOR 5 tuir esta ecuación en la anterior se obtiene: v = L di (.7) El símbolo del inductor se muestra a continuación, cumpliendo con la ley pasiva de signos. La unidad de medida para este elemento es el Henrio (H). Figura.7: Símbolo de la Inductancia Al ser físicamente imposible (en este elemento), los cambios instantáneos de voltaje a través del tiempo, por requerir potencias infinitas; en una inductancia, la corriente no puede cambiar instantáneamente. La corriente en una inductancia no varia de forma instantánea. Si se toma, la ecuación de definición de voltaje para un inductor, e integrando a ambos lados se obtiene: v = L di, desde t 0 hasta t di = v, Integrando L i L t 0 v + i(t 0 ) (.8) Usualmente, se designa t 0 = 0. La potencia, dentro de un inductor, se puede deducir por: p = vi = ( L di ) i (.9)

6CAPÍTULO. ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA ELÉCTRICA La energía almacenada en un inductor es: W = t 0 p = L i(t) i(t 0 ) idi (.20) Al desarrollar la integral: W = L 2 [ i 2 (t) ] i(t) i(t 0 ) W = L 2 i2 (t) L 2 i2 (t 0 ) (.2) Por lo general t 0 = y entonces la corriente i( ) = 0, quedando: W = L 2 i2 (t) (.22).7 ARREGLOS DE INDUCTORES SERIE Basándose en la siguiente figura : Figura.8: Inductores en serie

.8. ARREGLOS DE INDUCTORES PARALELO 7 Al aplicar la LVK para el primer circuito se tiene: v = v + v 2 + v 3 + v 4 +... + v n (.23) Donde aplicando la definición de voltaje, para cada elemento, se concluye: di v = L + L di + L di 2 + L di 3 + L di 4 +... + L di n di v = L k (.24) Para el circuito equivalente: v = L s di (.25) Por comparación de estas dos últimas ecuaciones se concluye: L s = L k (.26).8 ARREGLOS DE INDUCTORES PAR- ALELO Basándose en la siguiente figura: La corriente total es igual a la suma de las corrientes parciales, aplicando LCK

8CAPÍTULO. ELEMENTOS ALMACENADORES DE ENERGÍA ELÉCTRICA Figura.9: Inductores en paralelo al primer circuito y utilizando la definición de corriente para cada elemento: i = i k ; i n = v + i n (t 0 ); L n i = L k 0 v + 0 i k (t 0 ) (.27) Para el circuito equivalente la corriente es: igualando estas dos últimas ecuaciones: i = v + i(t 0 ) (.28) L p 0 L p = i(t 0 ) = L k i k (t 0 ) (.29)

.8. ARREGLOS DE INDUCTORES PARALELO 9 Para el caso particular de dos inductores en paralelo: L p = L + L 2 L p = L L 2 L + L 2 (.30)