Relaciones entre conjuntos

Relaciones entre conjuntos Parejas ordenadas El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo: {3, 5} = {5, 3} Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los cuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d. Producto cartesiano Considere dos conjuntos arbitrarios y. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a y b se llama producto o producto cartesiano de y. La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos. Se llama producto cartesiano de dos conjuntos y y se representa x, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir: x = {(a, b) / a, b } El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: x x. Puede ocurrir que los conjuntos y sean coincidentes. EJEMPLO Si = {a, b, c} y = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es: x = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)} Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. quí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b. esta representación se le conoce como diagrama cartesiano. 4 3 2 1 a b c Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 1

Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a y los puntos que pertenecen a. Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto y su correspondiente en el conjunto. esta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas. a 1 b c 2 3 4 Correspondencias y aplicaciones entre conjuntos 1 partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones más importantes que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados. Correspondencias Dados dos conjuntos y, se denomina correspondencia ƒ entre y a un subconjunto del producto cartesiano de por. por G. l conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representa Se definen también los siguientes conjuntos: El conjunto es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen las flechas. El conjunto es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las flechas. El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial de los que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original está incluido en el conjunto inicial. El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto final a los que llega alguna flecha. Por tanto, el conjunto imagen está incluido en el conjunto final. 1 El símbolo se lee para cada, para toda o para cualquier El símbolo se lee existe o para alguna El símbolo se lee por lo tanto igualmente que el símbolo El símbolo se lee lógicamente equivalente o sencillamente iguales Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 2

EJEMPLO Si = {a, b, c}, = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que G es un subconjunto de x, es decir, G ( x ). La correspondencia está representada gráficamente en: a) un diagrama cartesiano. 4 3 2 1 a b c b) Un diagrama de flechas. a 1 b c 2 3 4 El conjunto inicial es el conjunto. El conjunto final es el conjunto. El conjunto original es: Orig (ƒ) = {a, b, c}. El conjunto imagen es: Im (ƒ) = {2, 3, 4}. Dados dos conjuntos y, y una correspondencia ƒ entre ellos, se denomina correspondencia inversa o recíproca de ƒ, y se representa por ƒ -1, a la correspondencia que asocia a los elementos del conjunto final con los del conjunto inicial de ƒ; es decir, tiene como conjunto original el conjunto imagen de ƒ, y como conjunto imagen el conjunto original de ƒ. Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 3

EJEMPLO ƒ ƒ -1 1 2 3 a b a b 1 2 3 4 c c 4 Tipos de correspondencia 1. Correspondencia en o inyectiva: Una correspondencia ƒ es inyectiva cuando cada elemento del conjunto imagen es imagen de un solo elemento del conjunto original; es decir, a cada elemento del conjunto final puede llegarle una o ninguna flecha. ƒ inyectiva y 1, y 2, donde y 1 = ƒ(x 1 ), y 2 = ƒ(x 2 ), si y 1 = y 2 x 1 = x 2, x 1, x 2 Ejemplo: ƒ 1 2 a 3 b 4 c 2. Correspondencia sobre o suprayectiva o exhaustiva: Una correspondencia ƒ es sobre cuando el conjunto imagen coincide con el conjunto final; es decir, cuando todo elemento del conjunto final es imagen de al menos uno del inicial. 1 2 3 ƒ a b 4 c Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 4

3. Correspondencia unívoca: Una correspondencia ƒ es unívoca cuando cada elemento del conjunto original tiene como máximo una imagen; es decir, de cada elemento del conjunto inicial puede partir una o ninguna flecha al conjunto final. 1 2 ƒ a 3 b 4 c 4. Correspondencia multívoca: Una correspondencia ƒ es multívoca cuando existe algún elemento del conjunto inicial con dos o más imágenes. 1 2 3 ƒ a b 4 c 5. Correspondencia biunívoca: Una correspondencia unívoca ƒ entre dos conjunto y es biunívoca cuando su correspondencia inversa ƒ -1 también es unívoca. ƒ ƒ -1 1 2 3 a b a b 1 2 3 4 c c 4 Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 5

plicaciones Una aplicación es una correspondencia unívoca donde el conjunto original coincide con el conjunto inicial. Es decir, de cada elemento del conjunto inicial parte una y solo una imagen al final. Simbólicamente podemos expresarlo diciendo que una aplicación es una correspondencia que cumple las dos condiciones siguientes: 1. x, y / ƒ(x) = y 2. x 1, x 2, si x 1 = x 2 ƒ(x 1 ) = ƒ(x 2 ) Luego el concepto de aplicación es una condición más restrictiva que el concepto de correspondencia. Clases de aplicaciones 1. plicación inyectiva: Es aquella en la que a cada elemento del conjunto imagen le corresponde a uno y sólo a un elemento del conjunto original; es decir, cada elemento del conjunto final es imagen de al menos un elemento del conjunto original. 1 ƒ a 2 b 3 c d 2. plicación suprayectiva o exhaustiva: Es la aplicación que verifica que el conjunto final es igual a su conjunto imagen. 1 2 ƒ a 3 b 4 c Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 6

3. plicación biyectiva: Es la aplicación que a la vez es inyectiva y suprayectiva. Obsérvese que en este caso, si los dos conjuntos son finitos, deben tener el mismo cardinal. 1 2 ƒ a b 3 c Relaciones Una relación puede pensarse como una tabla que enumera la relación de algunos elementos con otros. Estudiante Guillermo Mary Guillermo eatriz eatriz David Curso Ciencias de la computación Matemáticas Historia del arte dministración Ciencias de la computación Matemáticas La tabla anterior muestra cuáles estudiantes están asistiendo a cuáles cursos. Por ejemplo, Guillermo está cursando Ciencias de la computación e Historia del arte, y Mary está cursando Matemáticas. En la terminología de las relaciones, podríamos decir que Guillermo está relacionado con Ciencias de la computación e Historia del arte, y que Mary está relacionada con Matemáticas. Por supuesto, la tabla nos muestra tan sólo un conjunto de pares ordenados. De manera abstracta, definimos una relación como un conjunto de pares ordenados. En este contexto, consideramos que el primer elemento del par ordenado se relaciona con el segundo elemento del par ordenado. Si una relación se indica mediante una tabla, el dominio está formado por los miembros de la primera columna y el rango consta de los miembros de la segunda columna. Una relación R de un conjunto X en un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X x Y. Si (x, y) R, escribimos x R y y decimos que x está relacionado con y. Si X = Y, decimos que R es una relación binaria sobre X. Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 7

Relación binaria La relación binaria definida en un conjunto es un subconjunto del producto cartesiano x. EJEMPLO Sea el conjunto = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria definida en, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de x. x z y Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, a está relacionado con b mediante la relación binaria R, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto del producto cartesiano que define la relación. Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido, escribiremos a R b o b R a o ambas cosas. Propiedades de una relación binaria Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida en un conjunto se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones. Propiedad Condición 1. Reflexiva a, a R a 2. ntireflexiva a, a R a 3. Simétrica a, b, a R b b R a 4. ntisimétrica en sentido amplio a, b, ( a R b y b R a) a = b 5. ntisimétrica en sentido estricto a, b, a R b b R a 6. Transitiva a, b, c, (a R b y b R c) a R c En un diagrama de flechas las propiedades anteriores pueden observarse fácilmente atendiendo a los siguientes criterios: Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 8

1. Reflexiva. Cada elemento tiene un bucle. Ejemplo: Si = {1, 2, 3, 4} y R es la relación ser igual que, se tiene: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 1 2 3 4 2. nterreflexiva. Ningún elemento tiene un bucle. Ejemplo: Si = {1, 2, 3, 4} y R es la relación ser menor que, se tiene: R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 1 2 3 4 3. Simétrica. Cada flecha de ida tiene otra de vuelta. Ejemplo: Si = {-1, 2, -3, 4} y R es tal que a, b, a R b a b > 0, se tiene: R = {(-1, -1), (-1, -3), (2, 2), (2, 4), (-3, -1), (-3, -3), (4, 2), (4, 4)} -1 2-3 4 Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 9

4. ntisimétrica en sentido amplio. Ninguna flecha de ida tiene otra de vuelta, salvo en el caso de los bucles, que están permitidos. Ejemplo: Si = {1, 2, 3, 4} y R es la relación ser menor o igual que, se tiene: R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 1 2 3 4 5. ntisimétrica en sentido estricto. Ninguna flecha de ida tiene otra de vuelta, y no están permitidos los bucles. Ejemplo: Si = {5, 7, 10} y R es la relación ser menor que, se tiene: R = {(5, 7), (5, 10), (7, 10)} 5 7 10 6. Transitiva. Siempre que haya dos flechas consecutivas, debe haber otra que una el primer elemento con el tercero. Ejemplo: Si = {1, 2, 3, 4} y R es la relación ser mayor que, se tiene: R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} 1 2 3 4 Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 10

Relación de equivalencia Una relación binaria R es una relación de equivalencia definida en un conjunto, si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. sí, en el plano euclídeo considerando el conjunto de todas las rectas, la relación R ser paralela a es una relación de equivalencia. Comprobémoslo: a) Reflexiva: a a, puesto que cualquier recta es paralela a sí misma. b) Simétrica: si a b, entonces b a. c) Transitiva: si a b y b c, entonces a c. Luego por cumplir las tres propiedades anteriores es una relación de equivalencia. Clases de equivalencia, conjunto cociente Dada una relación de equivalencia R definida en un conjunto, si a se llama clase de equivalencia de a y se denota por [ a ], al subconjunto formado por todos los elementos de relacionados con a por la relación de equivalencia R. Propiedades de las clases de equivalencia [ a ] = {x / x y x R a} a) Ninguna clase equivalencia es vacía. Porque a cualquier clase [ a ] pertenece al menos el elemento a. Simbólicamente: [ a ], a a [ a ] b) Las clases de equivalencias son disjuntas de dos a dos. Lo demostraremos por reducción al absurdo. Supongamos dos clases no disjuntas y diferentes [ a ] y [ b ], con lo que: x [ a ] x R a (1) a R x (2) [ a ] [ b ] x [ a ] [ b ] a R b [ a ] = [ b ] x [ b ] x R b x R b Donde en (1) hemos aplicado la propiedad simétrica y en (2) la propiedad transitiva, ya que es una relación de equivalencia. Y hemos llegado a que ambas clases son iguales, en contra de la hipótesis. Luego han de ser [ a ] y [ b ] disjuntas, con [ a ] [ b ]. c) Todo elemento de pertenece a alguna clase de equivalencia. Esto es porque todo elemento de x de pertenece al menos a su propia clase. Simbólicamente: x x [ a ] Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 11

d) La unión de todas las clases de equivalencia en un conjunto es el propio conjunto : Ejemplo clase 1 clase 2 clase n = Una relación de equivalencia clasifica al conjunto en el que está definida, en clases de equivalencia. Se llama conjunto cociente de respecto a la relación R, y se representa por / R, al conjunto formado por todas sus clases de equivalencia. Sea el conjunto = {a, b, c, d, e, f} con la relación de equivalencia R, dada en el grafo de la derecha: a c d e b F Hallamos la clase de equivalencia de cada elemento: Y las clases de equivalencia resultan: [ a ] = {a} [ d ] = {d, e, f} [ b ] = {b, c} [ e ] = {d, e, f} [ c ] = {b, c} [ f ] = {d, e, f} clase 1 = {a}, clase 2 = {b, c} y clase 3 = {d, e, f} Obsérvese que cualquier elemento de la clase puede ser elegido como representante de la misma, lo que gráficamente se puede comprobar en la figura a continuación. Clase 3 a Clase 1 d e c b F Clase 2 Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 12

Luego el cociente es: / R = {clase 1, clase 2, clase 3 } = {{a}, {b, c}, {d, e, f}} = {[ a ], [ b ], [ d ]} Relaciones de orden Una relación binaria R es una relación de orden amplio si cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica en sentido amplio y transitiva. Una relación binaria R es una relación de orden estricto si cumple las propiedades antirreflexiva, antisimétrica en sentido estricto y transitiva. Una relación binaria R es una relación de orden total si dos elementos cualesquiera están relacionados en cualquier sentido. Es decir: a, b, a R b o b R a Si una relación no es de orden total, se dice que es de orden parcial. Ejemplo1: La relación R ser menor o igual que definida en un conjunto numérico, es una relación de orden amplio, y además de orden total. Si tomamos: = {1, 3, 4, 8} La relación está formada por: R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 8), (3, 3), (3, 4), (3, 8), (4, 4), (4, 8), (8, 8)} Cuya representación en un diagrama de flechas viene dada en la siguiente figura. 1 3 4 8 Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 13

Ejemplo2: La relación R ser divisor de definida en un conjunto numérico, es una relación de orden amplio, y también de orden parcial. Si tomamos: = {1, 3, 4, 8} Como a es divisor de b, si el cociente de b/a es entero, la relación está formada por: R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 8), (3, 3), (4, 4), (4, 8), (8, 8)} Cuya representación en un diagrama de flechas viene dada en la siguiente figura. 1 3 4 8 Veamos los ejercicios siguientes: Ejercicio 1: Dados los conjuntos: = {1, 3} ; = {a, b, 3} ; C = {b} Encontrar. a) x. b) ( ) x C. c) x x C (como ejemplo de generalización del producto cartesiano que hemos definido). a) x = {(1, a), (1, b), (1, 3), (3, a), (3, b), (3, 3)}. b) ( ) x C = {1, 3, a, b} x {b}= {(1, b), (3, b), (a, b), (b, b)} c) x x C = {(1, a), (1, b), (1, 3), (3, a), (3, b), (3, 3)} x {b} = = {(1, a, b), (1, b, b), (1, 3, b), (3, a, b), (3, b, b), (3, 3, b)} Ejercicio 2: Dado C = {a, b, c} y la relación R = {(a, a), (a, b), (b, a)}, se pide: a) Dibujar su diagrama de flechas. b) Dibujar su diagrama cartesiano. c) Determinar qué propiedades cumple. d) Es una relación de equivalencia? e) Encontrar el conjunto cociente. Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 14

a) Dibujar su diagrama de flechas. a b c b) Dibujar su diagrama cartesiano. C c b a a b c C c) Determinar qué propiedades cumple. Reflexiva: No es, puesto que b R b y c R c. ntirreflexiva: No es, pues a R a. Simétrica: Sí es, pues toda flecha de ida tiene otra de vuelta. ntisimétrica: No es, ni en sentido amplio ni estricto, pues en el caso de a R b, también b R a y a b. Transitiva: No es, pues aunque a R b, y b R a implicaría a R a, y efectivamente, a está relacionado con a, sin embargo, también ocurre que b R a y a R b b R b. d) Es una relación de equivalencia? No es una relación de equivalencia, pues únicamente cumple la propiedad simétrica, pero no así la reflexiva ni la transitiva. e) Encontrar el conjunto cociente. El conjunto cociente no puede hallarse en este caso, ya que la relación no es de equivalencia y, por tanto, carece de sentido este concepto. Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 15

Ejercicio 3: Dada la relación binaria de la figura siguiente, se pide: a) Estudiar sus propiedades. b) Hallar el conjunto cociente. b c Clase 1 a d Clase 3 e Clase 2 a) Propiedades: Reflexiva: Sí es, ya que cualquier elemento está relacionado consigo mismo. ntirreflexiva: No es, puesto que a R a, por ejemplo. Simétrica: Sí es, pues toda flecha de ida tiene otra de vuelta. ntisimétrica: No es, ni en sentido amplio ni estricto, pues en el caso de b R c, también c R b y b c. Transitiva: Sí es, pues dentro del triángulo b, c, d, dos flechas consecutivas de ida tienen otra que une el punto de origen y el final. Por tanto, es relación de equivalencia. b) Puesto que es relación de equivalencia, podemos hallar su conjunto cociente. Hallando la clase de equivalencia de cada elemento tenemos: [ a ] = {a} [ d ] = {b, c, d} [ b ] = {b, c, d} [ e ] = {e} [ c ] = {b, c, d} Y las clases de equivalencia resultan ser las tres siguientes: clase 1 = {a}, clase 2 = {b, c, d} y clase 3 = {e} Luego el conjunto cociente es: / R = {clase 1, clase 2, clase 3 } = {{a}, {b, c, d}, {e}} = {[ a ], [ b ], [ e ]} Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 16

Ejercicio 4: Estudiar las propiedades de la relación R ser perpendicular a definida en el conjunto P de las rectas del plano. Reflexiva: No, cualquier recta no es perpendicular a sí misma. ntirreflexiva: Sí, puesto que ninguna recta es perpendicular a ella misma. Simétrica: Sí, pues si a b, entonces, b a. ntisimétrica: No es, ni en sentido amplio ni estricto, pues en el caso a b, también, b a (con a b). Transitiva: No, pues si (a b) y (b a), no se cumple (a c), ya que las rectas a y c serían paralelas. Obsérvese que cuando una relación binaria no cumple la propiedad antisimétrica en sentido amplio, ya no es necesario probar la antisimétrica en sentido estricto, pues si se cumpliera esta última implicaría el cumplimiento de la primera. Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 17

Ejercicios de repaso para la unidad 4 1. Sea R la siguiente relación de = {1, 2, 3} en = {a, b}. R = {(1, a), (1, b), (3, a)}; Representar R como un diagrama cartesiano, un diagrama de flechas y como una tabla binaria. 2. Sea R = {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (3,2), (3, 4), (4, 1), (4, 3)}; dibuje un grafo considerando que el conjunto = {1, 2, 3, 4}. 3. Considere las siguientes relaciones en el conjunto = {1, 2, 3} f = {(1, 3), (2, 3), (3, 1)} g = {(1, 2), (3, 1)} h = {(1, 3), (2, 1), (1, 2), (3, 1)} Indique en cada una de ellas si es una aplicación o no y porqué. 4. Sea = {1, 2, 3} y la relación R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3,2), (3,3)}; determinar si es una relación de equivalencia. 5. Dado = {1, 2, 3, 4} y = {x, y, z}. considere la siguiente relación de en. G = {(1, y), (1, z), (3, y), (4, x), (4, z)} a) Grafique G en un diagrama de coordenadas. b) Dibuje el diagrama de flechas de G. c) Encuentre la relación inversa ƒ -1 de G. 6. Sean = {1, 2, 3, 4, 6} y R la relación definida por x divide a y, indicada como: x y. ( x y si y solo si existe un entero z tal que xz = y). a) Escriba R como un conjunto de parejas ordenadas. b) Grafique R en un diagrama de flechas ( x ), y dibuje su grafo dirigido. c) Encuentre la relación inversa R -1 de R y describa R -1 en palabras. 7. Considere las siguientes cinco relaciones en el conjunto = {1, 2, 3} R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} T = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} = la relación vacía x = la relación universal Determine si es verdadero o no que cada una de las relaciones anteriores es: (a) reflexiva, (b) simétrica, (c) transitiva, (d) una relación de equivalencia. Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo 18