4 SIMETRÍA CENTRAL UNIDAD 2 CONCEPTOS REQUERIDOS -2a 4.1 DEFINICIÓN Dado un punto O, sea Ox una semirrecta cualquiera de origen O y uno de los dos semiplanos con borde en Ox; se llama simetría central de centro O ( C O ) al movimiento en el cual la imagen de O es O, la de Ox es su opuesta y la de es su opuesto. C O Ox op Ox op 4.1 PROPIEDADES 1) La Simetría central, es un movimiento directo del plano. 2) La Simetría central, es un movimiento involutivo del plano. C O o C O = I 3) La imagen de cualquier semirrecta de origen O, es su opuesta. Razonando por el método de reducción al absurdo: Si la imagen de Oa fuera Oa' distinta de la opuesta de Oa, resultarían ser correspondientes el ángulo convexo aoa' y el cóncavo a'oa, lo cual es absurdo. COROLARIO El único punto unido en una simetría central es el centro. 4) Las rectas que pasan por el centro de simetría, son dobles. 5) Dado un punto O, la condición necesaria y suficiente para que dos puntos P y Q sean simétricos respecto a él, es que O sea el punto medio del segmento PQ. 6) La imagen de una recta que no pasa por el centro, es una paralela disjunta. ( H ) O r C O (r) = r ( T ) r r = φ Razonemos por el método de reducción al absurdo suponiendo que existe un punto P tal que P r y P r'. Siendo P' = C O (P) resulta P' P puesto que P es distinto de O. P r P r P r P r De lo precedente se deduce que las rectas r y r tienen dos puntos comunes y por lo tanto coinciden r = r = PP y por la propiedad (5) resulta que O r, lo cual contradice la ( H ). Llegamos a una contradicción por suponer que r y r tienen un punto común, por lo que la tesis es verdadera.
5 TRASLACIÓN 5.1 DEFINICIÓN Dados dos puntos A y B, sea uno de los semiplanos de borde AB; se llama traslación de vector AB (T AB ) al movimiento en el cual la imagen de A es B, la de AB es la opuesta de BA y la de es. T AB AB op BA Si los puntos A y B coinciden, la Traslación tiene vector nulo y es la Identidad 5.2 PROPIEDADES 1) Cada punto con su imagen, determina un representante del vector de traslación. ( H ) A' = T OO (A) ( T ) AA' = OO' Hallemos la imagen de un punto cualquiera del plano teniendo en cuenta que A' = T OO (A) OA = c O'A'. Consideremos dos casos: 1º) A OO' Si A OO' A opo O OA y O A tienen igual dirección y sentido [ 1 ] OA = c O'A' OA y O A tienen igual módulo [ 2 ]. De [ 1 ] y [ 2 ] se deduce que OA = O A. Análogamente sucede si A op OO' 2º) A OO' A los efectos de construir A' observemos que si A pertenece al semiplano entonces A' también pertenece a dicho semiplano y que el ángulo que forman OO' y OA debe ser congruente con el que forman la op O'O y OA'. Para hallar A transportemos el ángulo. ω sobre la opuesta de la semirrecta O O en el semiplano y luego el segmento OA en el lado del ángulo ω.
Se cumple entonces que: ω = c ω OA O'A' A, A' A' OO', A OA = O'A' En T OO se corresponden O y O', A y A' OA = c O'A' En los dos casos planteados: OO = OA + AO', entonces por lo justificado anteriormente OO = O A + AO' = AO' + O A = AA' 2) Corolario. Las traslaciones de vector no nulo, no tienen puntos unidos. 3) Dado un par de puntos A y B, la condición necesaria y suficiente para que dos puntos P y Q se correspondan en la traslación de vector AB, es que PQ = AB 4) La imagen de una recta en una traslación, es una paralela a ella.
6 ROTACIÓN O GIRO 6.1 DEFINICIÓN Dado un punto O y un ángulo ϕ, sea xoy horario y congruente con ϕ, el semiplano con borde en Ox que contiene a Oy y β el de borde en Oy que no contiene a Ox; se llama rotación de centro O, ángulo j y sentido horario ( R O, ϕ ) al movimiento en el cual la imagen de O es O, la de Ox es Oy y la de es β. R O, ϕ Ox Oy β El sentido antihorario es el positivo y el horario, negativo. PROPIEDADES 1) Toda semirrecta de origen O determina con su imagen un ángulo congruente con el de rotación y de igual sentido. ( H ) Oa' = R O, ϕ (Oa) ( T ) aoa' = c ϕ Para construir la imagen de la semirrecta Oa, contenida en el semiplano debemos transportar el ángulo xoa sobre la semirrecta Oy en el semiplano β. Resulta entonces que los ángulos xoa e yoa son congruentes. Consideremos la simetría axial cuyo eje es la recta z, que contiene a la bisectriz del ángulo aoy. En ella se corresponden las semirrectas Oa y Oy, pero como los ángulos xoa e yoa son congruentes, entonces también se corresponden Ox y Oa. S z (Oa) = Oy S z (Oa ) = Ox S z (aoa ) = xoy xoy = c ϕ aoa = c ϕ
Construcción de la imagen de un punto. Para construir la imagen del punto A en R O, + ϕ, se halla la semirrecta Oa, imagen de la semirrecta OA y luego el punto A teniendo presente que d(o, A ) = d(o, A). 2) El centro de rotación, pertenece a la mediatriz del segmento determinado por pares de correspondientes. Construcción de la imagen de una recta. Para construir la imagen de la recta r y del semiplano ω en R O, ϕ, se halló la imagen de P y luego r como perpendicular a OP en P. 3) El centro de rotación, pertenece a la recta que contiene a la bisectriz del ángulo determinado por dos semiplanos correspondientes. Observando la figura anterior d(o, r) = OP = OP = d(o, r ), por lo cual la propiedad es válida. 4) El ángulo de rotación, es igual al que determinan un semiplano y el opuesto de su imagen. Si consideramos el cuadrilátero OPQP, la suma de los ángulos internos es 360º. Los ángulos P y P son rectos por lo cual los ángulos POP y PQP son suplementarios resultando entonces que: ω ω = c POP = c ϕ 5) Dado un punto O y un ángulo j, la condición necesaria y suficiente para que dos puntos P y Q sean correspondientes en la rotación de centro O, ángulo j y sentido horario, es que el triángulo OPQ sea isósceles de base PQ, ángulo opuesto j y sentido horario.