VECTORES 1. Cálculo de un vector conocidos sus extremos. Módulo de un vector 2. Operaciones con vectores 3. Base: combinación lineal, linealmente independientes.coordenadas de un vector en función de una base de vectores 4. Hallar un vector unitario de igual dirección y sentido. 5. Producto escalar: conociendo el ángulo que forman, a partir de su expresión analítica. Hallar el ángulo que forman dos vectores. Proyección de un vector sobre otro 6. Hallar un vector ortogonal a uno dado 7. Hallar parámetros imponiendo condiciones GEOMETRÍA DE LA RECTA 1. Ecuaciones de la recta conociendo un punto y un vector, conociendo dos puntos. Obtener la pendiente y la ordenada en el origen. Representarlas. Obtener puntos y un vector a partirde una recta. Comprobar si un punto pasa por una recta 2. Ecuación de la recta paralela a una dada: a partir de su expresión explícita o general 3. Ecuación de la recta perpendicular a una dada que pase por un punto: a partir de su expresión explícita o general 4. Posición relativa de dos rectas: a partir de los coeficientes, a partir de los vectores directores. Interpretación geométrica de un sistema. Representar un sistema 5. Angulo que determinan dos rectas. 6. Tres puntos alineados. 7. Area de triángulos. 8. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre dos rectas 9. Punto medio. Punto simétrico. 10. Mediana. Altura. Recta mediatriz. Recta bisectriz.
VECTORES 1) Dados los puntos A(1,-1) B(2,1) C(3,1) halla los vectores AB, BC, CA y AC. Calcula sus módulos 2) Dado B(1,3) y AB(5,1) cuál es el punto A? 3) Dados los vectores u(1,-2) y v(3,5) calcula: a)-u+4v b)u-2v 4) Escribe el vector (3,-2) como combinación lineal de (1,-1) y (2,5) 5) Estudia si {( 1, 1),(1,2)} son base 6) Dados u(3,a) y v(5,12) halla a para que los vectores: a) Tengan la misma dirección b) Sean ortogonales c) Formen un ángulo de 60º d) El módulo de u sea 5 e) Halla el vector unitario que tenga misma dirección que v 7) Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(3,4) y B(0,-2) en dos partes tales que BP=2PA 8) Qué coordenadas debe tener el punto P para que se verifique que 3PQ-2QR=0 siendo Q(3,2) y R(-1,5) EXAMEN 9) Dados los vectores ( 4, u 5) y v (k,2) : a) Calcula el valor de k para que los vectores sean perpendiculares b) Calcula el valor de k para que los vectores sean paralelos 10) Dados los vectores a (3,2) y b( 4,5) calcula su producto escalar y el ángulo que forman 11) Comprueba si los vectores u ( 1, 1) yw(0,1) son base y calcula las coordenadas del punto P(6,2) en función de los vectores de la base 12) Qué es una base ortogonal?, y una base ortonormal? 1 13) Halla el punto M(m 1,m 2 ) tal que cumpla AM = 3 AB siendo A(-1,2) Y B(5,11) 14) Hallar b para que el triángulo de vértices A(2,11) B(5,2) y C(11,b) sea rectángulo 15) Dado u ( 1, 3) encuentra un vector de módulo 1 (unitario) u en la dirección de, otro de módulo 1 ortogonal a u 16) Dados A(2,5) B(5,2) C(8,3). Halla un punto D para que formen un paralelogramo.
GEOMETRÍA DE LA RECTA 1) Calcula todas las ecuaciones de la recta: a) que pasan por los puntos A(1,-3) y B(3,2) b) que pasa por el punto P(4,2) y tiene vector v(3,1) c) que pasa por P(4,2) y tiene vector director v(3,0) = 1 t d) que pasa por A(5,-2)y es paralela a = 2t e) que pasa por A(1,3)y es perpendicular a 2x-3y+6=0 f) sea perpendicular a PQ en su punto medio, siendo P(0,4) y Q(-6,0) 2) Escribe las ecuaciones explícita, punto pendiente, implícita de la recta que tiene pendiente m=1/5 y que pasa por el punto P(5,2) 3) Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas: a) 2x-y=0 b)x-7=0 c)3y-6=0 d)x+3y=0 = 1+ 6t 4) Comprueba que las rectas r:2x-3y+6=0 y s: son = 2 + 4t paralelas = 1+ t = 3 t 5) Son paralelas las rectas r: y s:? = 2 3t = 1 6) Halla la ecuación de la recta paralela a 2y-6=0 y que contiene al punto P(3,-1). 7) Determina k para que los puntos A(3,-5) B(2,1) y C(6,k) estén alineados 8) Considera las rectas de ecuaciones r:y=3x-3, q:5x+y+3=0 p: = 2 + 3t = 4 + 2t a) Pasa la recta r por el punto A(2,2)? Y la recta p por el punto B(½,3)? b) Encuentra los puntos en los que la recta corta a ambos ejes coordenados? c) Existe algún punto en la recta r que tenga las dos coordenadas iguales? y que la abcisa igual al doble de la ordenada? d) Determinar los vértices del triángulo que forman las rectas PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 9) Calcula a y b de modo que las rectas r:ax-2y+3=0 y s:bx+8y-5=0 sean perpendiculares y la segunda pase por (-1,1) 10) Halla la ecuación de la recta paralela a 2x-3y=0 cuya ordenada en el origen es 2 11) Calcula m y n en las rectas de ecuaciones: r:mx-2y+5=0 y s:nx+6y-8=0 sabiendo que son perpendiculres y r pasa por P(1,4) 12) Dada la recta 4x+3y-6=0, escribe la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas 13) Escribe las ecuaciones implícitas de los ejes de coordenadas.
14) Halla los valores de k para que las rectas r: kx+(k- 1)y+4=0 y s:2kx-(2k+1)y-3=0 : a) sean paralelas b) sean perpendiculares 15) Escribir la ecuación de la recta que: a) Pasa por el origen y es paralela a 2x+3y+1=0 b) Pasa por A(3,1) y es perpendicular a 8x-5y=0 c) Pasa por B(3,-2) y es paralela al eje de abcisas d) Pasa por C(1,5) y es paralela al eje de ordenadas = 2 + 5t 16) Dadas las rectas r: s:x+ay=0 t: y=bx+3 = 2t encuentra el valor de a y b para que r sea perpendicular a s y a t. Represéntalas gráficamente ANGULOS Y POSICIÓN RELATIVA 17) Halla el ángulo que forman las rectas: a) x+2y-4=0 y 3x-4y-6=0 y = 2x + 5 b) = 3x + 1 18) Qué ángulo forma la recta 3x-2y+6=0 con el eje de abcisas? 19) Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1,2) y forma con la recta y=5x-3 un ángulo de 45º 20) Calcula el valor de a para que la recta 2x+ay+1=0 forme un ángulo de 60º con el eje OX 21) Determina el valor de a para que las rectas r y s formen = 2 t = 1+ 2t un ángulo de 45º r: y s: = 2t = 2 + at 22) Qué pendiente debe tener una recta para formar 60º con x+5y+1=0? DISTANCIAS 23) Escribe la ecuación de la recta mediatriz del segmento PQ donde P(4,0) y Q(-1,2) 24) Determina los puntos que dividen al segmento AB, en tres partes iguales A(-2,1), B(5,4) 25) Halla un punto C de la recta 2x+y+2=0 que junto con A(3,9) y B(1,3) forme un triángulo rectángulo en A 26) Calcula la distancia del punto A(0,3) a cada una de las = 1 6t rectas r: s:y=-2x = 8t 27) Calcula la distancia entre r:x+2y+3=0 y s: 2x+4y-1=0 28) Qué valor hay que dar a b para que la recta 3x-4y+b=0 pase a una distancia d=3 del punto A(5,2)? 29) Calcula c para que la distancia entre las dos rectas sea 3 4x+3y-6=0 y 4x+3y+c=0 30) Ecuación de las bisectrices de: a) r:3x+4y+2=0 y s:x-2y=0 b) r:5x+2y+1=0 y el eje de ordenadas 31) Qué puntos del eje OX equidistan de r:x+y+1=0 y s:4x- 3y=0?
32) Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1,2) y forma con la recta y=5x-3 un ángulo de 45º(hay dos soluciones) 33) Halla el punto de la recta 3x-4y+8=0 que equidista de A(-6,0) y B(0,-6) 34) La recta 2x+y-4=0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el punto(0,0) Halla las coordenadas del otro extremo. GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO 35) En el triángulo de vértices A(-2,3) B(5,1) C(3,-4) halla las ecuaciones de: a) La altura que parte de B b) La mediana que parte de B c) La mediatriz del lado CA 36) Halla el área del cuadrilátero de vértices A(-4,3),B(0,5),C(4,-2) y D(-3,-2) 37) Traza por el punto B(0,5) una recta de pendiente 1/3. Por el punto C(5,0), traza una recta perpendicular a la anterior. Se cortan en un punto A. Halla el área del triángulo ABC 38) En un triángulo de vértices A(-3,2) b(1,3) y C(4,1) halla el punto donde se cortan las alturas y donde se cortan las mediatrices. EXAMEN 1) Halla todas las ecuaciones de la recta determinada por los siguientes datos = 1 t Pasa por A(5,-2) y es paralela a = 2t 2) Halla las ecuaciones vectorial, general o implícita y explícita de la recta que pasa por A(1,3) y es perpendicular a 2x-3y+6=0. 3) Escribe la ecuación de la recta que es perpendicular al segmento PQ y que además pasa por su punto medio, siendo P(4,0) y Q(-1,2) 4) Determinar el valor de a y b para que las rectas r:6x-ay+1=0 y s:2x+3y-b=0 sean perpendiculares y la recta s pase por el punto P(2,-1) 5) Hallar las coordenadas de los puntos situados en la recta x+2y-3=0 que distan dos unidades de 4x-3y+9=0 3 1 6) Halla la posición relativa de las rectas: r: y = x y s: 10 x 8y 4 2 7) Halla los valores de k para que las rectas r: kx+(k-1)y+4=0 y s:2kx-(2k+1)y- 3=0 sean perpendiculares 8) Dadas las rectas r: 2x-5y-17=0 y s:3x-ky-8=0 calcula el valor de k para que r y s formen un ángulo de 60 º SUBIR NOTA 9) En el triángulo de vértices A(-2,3) B(5,1) y C(3,-4) a) Halla el área del triángulo
b) Halla la ecuación de las alturas de los vértices A y B y calcula su punto de intersección (recuerda que la altura de un triángulo pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto)