MÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA (2007 2008) LICENCIATURAS EN ECONOMÍA Y ADE - DERECHO Lista de problemas de Matemática Financiera (Temas 1 y 2) Leyes de inters y descuento 1. Se considera la ley de capitalizacin L(t) = (1 + 0, 04t) 2. Es L escindible? 2. Se prestan 80000 u. m. a un inters simple del 9%, pagaderas a los 10 meses. Despus de 6 meses se conviene en extinguir la operacin. Qu capital deber reintegrarse? 3. Calcula el valor de 1000 u.m. despus de 3 aos en los que han estado depositadas a un tanto de inters nominal capitalizable mensualmente del 24%. 4. Determina: (a) El tanto de inters anual efectivo equivalente al inters del 8% anual capitalizable trimestralmente. (b) El tanto de inters anual capitalizable semestralmente equivalente al inters del 7% anual efectivo. (c) El tanto de inters bimestral efectivo equivalente al inters del 6% anual capitalizable trimestralmente. (d) El tanto de descuento anual capitalizable trimestralmente equivalente al descuento del 12% anual capitalizable semestralmente. 5. El Banco A abona a sus impositores el 5% anual capitalizable trimestralmente; el Banco B paga el 5% anual capitalizable semestralmente. Para una inversin de un ao, qu opcin es ms ventajosa para el impositor? 6. Calcula el montante obtenido al invertir un capital de 10000 u.m. durante 10 aos, si el inters es el 6% semestral efectivo durante los 5 primeros aos y el 1% mensual efectivo durante los 5 ltimos. Calcula el tanto de inters anual efectivo que proporciona el mismo montante al cabo de los 10 aos. Rentas 7. Determina el fondo que se constituye al cabo de 20 aos si se realizan pagos semestrales de 500 u.m. a un tanto de inters anual efectivo del 4%. 8. Qu renta proporciona mayor valor final, aquella cuyas cuotas son de 1 u.m. al ao durante 10 aos o bien otra cuyos plazos son de 0,5 u.m. cada semestre durante 10 aos, si en ambos casos el inters anual efectivo es del 3%? (Se supone que ambas rentas son pospagables). 9. Una renta anual diferida pospagable de 14 aos de duracin con una anualidad de 500000 u.m., se obtuvo a cambio de una entrega de 3029880,15 u.m.. Cuntos fueron los aos de diferimiento, sabiendo que se contrat al 8%?
Métodos Matemáticos de la Economía Matemtica Financiera 2 10. Una renta de 6 aos de duracin y pagos semestrales postpagables constantes tiene un valor final de 16767 u.m. Si el tanto de inters durante los 2 primeros aos es el 10, 25% anual y en los restantes el 12% nominal pagadero semestralmente, calcula: (a) El valor actual. (b) El pago semestral. 11. El seor X est pagando, al final de cada ao, 100000 u.m. para amortizar un prstamo contratado al 17% con el banco BVB hace 5 aos y pagadero en 15 aos. El banco SB est realizando una operacin de captacin de clientes ofreciendo crditos al 11%. (a) Despus de realizar el quinto pago el seor X se plantea la posibilidad de cancelar su deuda con el BVB a travs de un crdito con el SB. Qu cantidad debe pedir prestada al banco SB para cubrir la deuda con el BVB? (b) Qu anualidad postpagable deber pagar al banco SB para amortizar el nuevo prstamo, en los mismos 10 aos restantes? 12. El Sr. X entrega en un banco, durante 6 aos, cantidades distintas. El primer ao, 200000 u.m. y los aos sucesivos aumenta su entrega anterior en un 10%. Qu capital obtendr al trmino de los 6 aos, si el inters es del 8% anual? 13. Calcula el valor actual de una renta perpetua prepagable en progresin geomtrica, tal que la primera anualidad es de un milln de u.m. y cada ao es un 10% mayor, siendo el tanto de inters del 15%. 14. Una renta proporciona unas prestaciones de 1 u.m. por ao, creciendo en el 10,25% cada 4 aos. La renta es pagadera durante 40 aos al final de cada ao. Utilizando un tanto de inters anual efectivo del 5%, determina una expresin para el valor actual de esta renta. 15. El Sr. Gutiérrez desea retirarse a vivir a una casa de campo en el momento de su jubilación. Él estima que dentro de 10 años, cuando esto ocurra, podrá adquirir la casa de sus sueños por 250.000 euros. Actualmente dispone de 100.000 euros en una cuenta bancaria que produce un tipo de interés nominal mensual del 3%, y tiene previsto el siguiente calendario de aportaciones hasta el momento de su jubilación: Durante los primeros 5 años, aportaciones al final de cada trimestre de 1.000 euros. Durante los 5 años restantes, aportaciones al final de cada mes de 1.200 euros. En los siguientes apartados se supone que el tipo de interés de la cuenta permanece siempre constante e igual al indicado. (a) Qué aportación final deberá realizar para poder adquirir la vivienda? (b) Si en el momento de su jubilación no dispusiera de dinero suficiente para realizar la aportación final, el Sr. Gutiérrez mantendría entonces dichos ahorros en la cuenta bancaria hasta conseguir el capital requerido para el pago de la casa. Cuánto tiempo adicional a los 10 años previstos tendría que esperar en tal caso? (c) De qué ahorro inicial debería haber partido para poder comprar la casa en el momento de su jubilación, sin realizar ninguna aportación final?
Métodos Matemáticos de la Economía Matemtica Financiera 3 16. Un joven que se acaba de incorporar al mercado de trabajo y no dispone de ahorros ha decidido adquirir un coche que en ese momento cuesta 22500 euros. (a) Para disponer del vehículo en el acto le proponen que su pago se realize mediante cuotas constantes al final de cada mes durante 5 años, a un tipo de interés anual efectivo del 7%. Calcula la cuantía de cada una de dichas cuotas pagaderas mensualmente. (b) El joven, consciente de la precariedad laboral, decide no endeudarse y comprar el coche al cabo de los mismos 5 años, teniendo en cuenta que su precio se incrementa en un 2% cada año. Para ello, deposita al final de cada trimestre una cantidad en una entidad financiera que le remunera al 3% nominal trimestral. i. Qué cantidad constante trimestral debería aportar para poder comprar el coche al contado con el fondo acumulado a los 5 años? ii. Transcurridos los dos primeros años, el joven pierde su empleo, por lo que suspende sus depósitos temporalmente. Al año siguiente recupera su puesto de trabajo y continúa con sus aportaciones. Qué cantidad tendría que abonar al final de cada trimestre durante los dos últimos años para compensar el año en blanco y poder comprar igualmente el coche al cabo de los 5 años? 17. Una entidad financiera ha lanzado un plan para fomentar que sus empleados dejen de fumar. ste consiste en que los fumadores que abandonan el hbito depositarn peridicamente el dinero ahorrado en una cuenta bancaria especial, a un inters anual efectivo del 10% los 5 primeros aos, 9% los 5 aos siguientes, y sucesivamente a un inters anual efectivo un 1% menor cada 5 aos. Adems, si en el momento de su jubilacin siguen sin fumar, se les devolvern sus aportaciones junto con los intereses generados, ms una bonificacin del 10% del fondo acumulado. Sin embargo, si antes de dicha fecha volvieran a fumar, en ese momento se suspenderan las aportaciones y se les devolvera el montante generado hasta entonces. (a) Qu cantidad obtendr en el momento de su jubilacin, a los 65 aos, una persona que contrat el plan a los 50 aos y ha depositado mensualmente 90 euros en la cuenta? (b) Otra persona contrat el plan a los 40 aos con aportaciones trimestrales hasta los 52 aos, en que volvi a fumar. Sabiendo que el valor actual de su plan, de 12 aos de duracin, asciende a 8000 euros, cul fu la cuanta de la cuota depositada cada trimestre? Prstamos 18. Se concede un prstamo de 700000 u.m., a pagar en 6 aos al 8% de inters anual efectivo. Calcula cunto se ha de pagar al cabo de los 6 aos, si: (a) Se amortiza el prstamo mediante reembolso nico de capital e intereses. (b) Se amortiza el prstamo mediante reembolso nico de capital y los intereses se pagan anualmente.
Métodos Matemáticos de la Economía Matemtica Financiera 4 19. Calcula los cuadros de amortizacin de un prstamo de 1000000 u.m. al 10% anual efectivo, pagadero en 5 aos, mediante cada una de las siguientes modalidades: (a) Con amortizacin uniforme. (b) Con sistema francs. 20. Una persona concert un prstamo de 200.000 u.m. al 5% abonando anualmente los intereses durante 10 aos. Con el fin de reconstruir el capital que cancela el prstamo, al final del primer ao comienza en un banco una imposicin anual de cuanta F al 4%. Calcula (a) La cuanta de la imposicin. (b) El tanto de inters anual efectivo que realmente pag el deudor. 21. De un prstamo amortizado mediante anualidad constante mediante el sistema francs durante 4 aos se conocen los siguientes datos: cuota de inters I 2 = 305804 u.m. y deuda pendiente S 2 = 7645120 u.m. Obtn el correspondiente cuadro de amortizacin consignando todos los datos relevantes (cuotas de amortizacin R k, anualidades X, cuotas de inters I k, capital amortizado E k y deuda pendiente S k ). 22. Se solicita un prstamo de 3000 euros amortizable en 3 aos, mediante mensualidades constantes pospagables (sistema francs) a un tanto de inters anual nominal capitalizable mensualmente i (12) = 20.4%. Se pide calcular: (a) Los intereses anual y mensual efectivos (i y i 12 ) equivalentes al ofertado. (b) La cuanta de cada mensualidad. (c) La cuotas de inters y de amortizacin al final del segundo ao (I 24 y R 24 ). 23. De un préstamo amortizado mediante el sistema francés durante 2 años, con pagos semestrales, se dispone de la siguiente información: Capital pendiente de amortizar al comienzo del cuarto semestre: 772,42 euros. Capital amortizado al final del primer semestre: 727,87 euros. (a) Calcula el tipo de interés nominal semestral del préstamo. (b) Obtn el cuadro de amortización, consignando todos los datos relevantes (plazos, cuotas de capital e interés, capitales pendiente de amortizar y amortizado) en cada periodo. 24. Se consideran dos posibilidades para amortizar un préstamo de 200000 euros en 5 años, a un tipo de interés nominal capitalizable mensualmente i (12) del 6%: Mediante cuotas de cancelación (o plazos) mensuales constantes durante los 5 años (sistema francés). Mediante cuotas de amortización mensuales constantes durante los 5 años (sistema de amortización uniforme).
Métodos Matemáticos de la Economía Matemtica Financiera 5 Determina: (a) Los tipos de interés mensual efectivo ( i 12 ) y anual efectivo (i) equivalentes al dado. (b) El sistema de amortización con el que se paga la mayor cuota de cancelación el primer mes de vida del préstamo (es decir, mayor primer plazo). (c) El capital pendiente de amortizar (o deuda viva) al comienzo del cuarto año con cada una de las modalidades consideradas. 25. El Sr. Martínez está pagando al final de cada mes 775,5 euros para amortizar un préstamo por el sistema francés, contratado a un tipo nominal mensual del 4,75% con el banco BGA hace 10 años y pagadero en 20 años. A su vez, ha decidido comprar un vehículo nuevo por 30000 euros, y para su financiación ha acudido al banco BGC. Este banco le ofrece amortizar dicha cuantía al final de cada mes durante 10 años por el sistema francés al 7,5% anual efectivo. Ahora bien, el Banco BGC está realizando una campaña de captación de clientes y le ofrece financiación al 5,25% nominal mensual si traslada la deuda pendiente con el BGA a su entidad y la unifica con el préstamo de su vehículo. (a) Obtn el pago mensual que debería realizar el Sr. Martínez al banco BGC para amortizar su vehículo si mantuviese su anterior préstamo con el banco BGA. (b) Si decidiera reunir sus préstamos, qué cantidad debería pedir prestada al banco BGC para cubrir la deuda con el banco BGA? (c) Calcula la cuota que tendría que pagar al final de cada mes al banco BGC si unificara sus deudas y la amortización conjunta se realizara por el sistema francés durante 10 años. (d) Resultaría beneficiosa para el Sr. Martínez la unificación de los préstamos en el BGC? Y si la financiación ofrecida por el BGC al trasladar el préstamo fuera del 6,25% nominal mensual?