Tema 1. SISTEMAS DE NUMERACION
SISTEMAS DE NUMERACION Sistemas de numeración Sistema decimal Sistema binario Sistema hexadecimal Sistema octal. Conversión entre sistemas Códigos binarios
SISTEMAS DE NUMERACION (I) Un número está constituido por una serie de dígitos situados ordenadamente a izquierda y derecha de una coma de referencia. Responde al siguiente polinomio: base b dígito d b d b d b d b d d b b d b d b d b d n n n n = = + + + + + + + + + +...... 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4
SISTEMAS DE NUMERACION (II) Se denomina base de un sistema, al número de posibles dígitos que se utilizan en dicho sistema de numeración. Los dígitos tienen un valor de carácter posicional. El valor del dígito depende del lugar que ocupe en la cifra. Los valores posicionales se representan en potencias de la base.
SISTEMAS DE NUMERACION (III) Ejemplo del sistema decimal: Centenas 5 Decenas 5 Unidades 5 500 50 5
SISTEMA DECIMAL El sistema decimal o base 10, emplea para su representación los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Los valores posicionales son: 10 n 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10000 1000 100 10 1
SISTEMA BINARIO (I) El sistema binario o base dos, solo emplea dos dígitos, el 0 y el 1. Es el sistema más usado en los sistemas digitales. Sus valores posicionales son: 2 n 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 16 8 4 2 1
SISTEMA BINARIO (II) Cada uno de los dígitos que componen un número binario se le denomina bit. Al bit situado más a la derecha en el número se le conoce como bit menos significativo (LSB). Al que está situado más a la izquierda, recibe el nombre de bit más significativo (MSB).
SISTEMA BINARIO (III) En el sistema binario encontramos las siguientes agrupaciones básicas de bits. NIBBLE Formado por 4 bits BYTE Formado por 8 bits WORD Formado por 16 bits DOUBLE WORD Formado por 32 bits QUADRUPLE WORD Formado por 64 bits
SISTEMA HEXADECIMAL (I) El sistema hexadecimal o base dieciséis, utiliza 16 dígitos para su representación. Los 10 primeros son los dígitos del 0 al 9. Para los restantes se completan las letras de la A a la F. La A tiene el valor 10, la B el 11, la C el 12 y así sucesivamente.
SISTEMA HEXADECIMAL (II) Sus valores posicionales son: 16 n 16 4 16 3 16 2 16 1 16 0 65536 4096 256 16 1
SISTEMA OCTAL El sistema octal o base ocho, utiliza 8 dígitos para su representación, del 0 al 7. Sus valores posicionales son: 8 n 8 4 8 3 8 2 8 1 8 0 4096 512 64 8 1
CONVERSION ENTRE SISTEMAS
CONVERSION DECIMAL A OTRO SISTEMA (I) Un procedimiento muy empleado para la conversión es el de las divisiones sucesivas. Se divide el número entre el valor de la base, sin obtener decimales. Los cocientes resultantes se dividen nuevamente hasta que sea menor que la base. Se obtiene el número en el nuevo sistema, colocando el último cociente como dígito más significativo y los restos de forma ascendente de izquierda a derecha.
CONVERSION DECIMAL BINARIO Ejemplo: Convertir el número 43 a binario 43 2 03 21 2 1 01 10 2 1 0 5 2 1 2 2 0 1 Número binario: 1 1 0 1 0 1
CONVERSION DECIMAL A HEXADECIMAL Ejemplo: Convertir el número 543 a hexadecimal. 543 16 63 33 15 01 1 16 2 Número hexadecimal: 2 1 F
CONVERSION DECIMAL A OCTAL Ejemplo: Convertir el número 209 a octal. 209 8 49 26 1 2 8 3 Número octal: 3 2 1
CONVERSION DE UN SISTEMA A DECIMAL Para convertir un número en cualquier sistema a decimal: Se multiplica cada dígito por su valor posicional. Se suman todos los resultados obtenidos.
CONVERSION DE BINARIO A DECIMAL Ejemplo: Convertir el número 101101 a decimal. 2 1 20 1 0 1 1 01 2 5 2 4 2 3 2 2 (1 x 32) (0 x 16) (1 x 8) (1 x 4) (0 x 2) (1 x 1) 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45
CONVERSION DE HEXADECIMAL A DECIMAL Ejemplo: Convertir el número 3C05 HEX a decimal. 16 3 16 2 16 1 3 C 05 160 (0 x 16) (3 x 4096) (12 x 256) (5 x 1) 12288 +3072+ 0 + 5 15365 =
CONVERSION DE OCTAL A DECIMAL Ejemplo: Convierte el número 742 en octal a decimal. 8 2 8 1 80 7 42 (4 x 8) (7 x 64) (2 x 1) 448 + 32 + 2 = 482
CONVERSION DE BINARIO A HEXADECIMAL (I) Para convertir un número binario natural a hexadecimal. Agrupamos los bits de 4 en 4 empezando por la derecha. Si el último grupo tiene menos de 4 dígitos, puede completarse con ceros ( 0 ). Se obtiene el número hexadecimal, indicando el dígito equivalente en hexadecimal de cada grupo binario.
CONVERSION DE BINARIO A HEXADECIMAL (II) Ejemplo: Convertir el número binario 1110110101 a hexadecimal. 001110110101 3 3B5 B = 5
CONVERSION HEXADECIMAL A BINARIO (I) Para convertir un número hexadecimal a binario natural. Sustituimos cada dígito hexadecimal, por un bloque binario de cuatro bits cuyo valor sea equivalente al dígito. Podemos eliminar los ceros que se encuentren a la izquierda.
CONVERSION DE HEXADECIMAL A BINARIO (II) Ejemplo. Determinar el número binario correspondiente al número 3F6A hexadecimal. 3 F 6 A 0011111101101010
CONVERSION DE BINARIO A OCTAL (I) Para convertir un número binario natural a octal. Agrupamos los bits de 3 en 3 empezando por la derecha. Si el último grupo tiene menos de 3 dígitos, puede completarse con ceros ( 0 ). Se obtiene el número octal, indicando el dígito equivalente en octal de cada grupo binario.
CONVERSION DE BINARIO A OCTAL (II) Ejemplo: Determinar el número octal correspondiente al número binario 10111101 010111101 2 7 5 = 275
CONVERSION DE OCTAL A BINARIO (I) Para convertir un número octal a binario natural. Sustituimos cada dígito octal, por un bloque binario de tres bits cuyo valor sea equivalente al dígito. Podemos eliminar los ceros que se encuentren a la izquierda.
CONVERSION DE OCTAL A BINARIO (II) Ejemplo. Determinar el número binario correspondiente al número 1064 en octal. 1 0 6 4 001000110100
CODIGOS BINARIOS
CODIGO CONTINUOS Y CICLICOS Un código binario es continuo, si las combinaciones correspondientes a números decimales consecutivos son adyacentes, es decir, aquellas que varían solo en un bit. Un código binario es cíclico cuando además la última combinación es adyacente a la primera. Códigos binarios continuos y cíclicos son: Gray y progresivo Johnson.
CODIGOS PONDERADOS Son aquellos códigos en los que a cada dígito binario se le asigna un peso. Cada palabra de código es la suma de los pesos cuyos dígitos son 1. Ejemplo de código ponderado: BCD Natural Ejemplo de código no ponderado: Código Gray
CODIGO GRAY O CODIGO REFLEJADO (I) La formación se realiza por reflexión del código n-1 bits (menos significativos), repitiendo simétricamente las combinaciones de éste. Se añade a la izquierda un bit. 0 en la mitad superior de la tabla. 1 en la reflejada.
CODIGO GRAY O CODIGO REFLEJADO (II) Código Gray con 2 bits Decimal 0 1 2 3 Código Gray 0 0 0 1 1 1 1 0
CODIGO GRAY O CODIGO REFLEJADO (III) Código Gray con 3 bits Decimal Código Gray 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 3 0 1 0 4 1 1 0 5 1 1 1 6 1 0 1 7 1 0 0
CONVERSION DE BINARIO NATURAL A GRAY (I) Hay que tener en cuenta las siguiente consideraciones: El bit más significativo (MSB) del código Gray y del binario natural, son iguales El resto de bits se obtienen comparando cada par de adyacentes. Sigue la siguiente norma: Si son iguales el bit es 0. Si son distintos el bit es 1.
CONVERSION DE BINARIO NATURAL A GRAY (II) Ejemplo: Convertir a código Gray el número binario 1011101 1 0 1 1 1 0 1 C C C C C C 1 1 1 0 0 1 1
CONVERSION DE GRAY A BINARIO NATURAL (I) Hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones. El bit más significativo del número en binario natural y del código Gray, son iguales. El resto de bits se obtiene comparando el bit en binario natural generado, con el siguiente bit en código Gray adyacente. La comparación sigue la misma norma anterior.
CONVERSION DE GRAY A BINARIO NATURAL (II) Ejemplo: Convertir el número en código Gray 1100110, a binario natural. 1 1 0 0 1 1 0 C C C C C C 1 0 0 0 1 0 0
CODIGO JOHNSON (I) Es un código binario cíclico, continuo y progresivo. El número de valores que se pueden representar es: 2n. n es el número de bits. Un código de 4 bits permite obtener un total de 8 valores. El número de unos aumenta y disminuye progresivamente, de una combinación a la siguiente.
CODIGO JOHNSON (II) Código Johnson de 2 bits Código Johnson con 2 bits Decimal Código Johnson 0 0 0 1 0 1 2 1 1 3 1 0
CODIGO JOHNSON (III) Código Johnson de 3 bits Código Johnson con 3 bits Decimal Código Johnson 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 3 1 1 1 4 1 1 0 5 1 0 0
CODIGO BCD NATURAL o BCD 8421 (I) Se representan los diez dígitos 0 a 9 del sistema decimal, mediante un bloque de 4 bits en binario, cuyo valor sea igual al número que representa. Es sabido que con 4 bits es posible elaborar 16 combinaciones. Solo se emplean 10 de ellas
CODIGO BCD NATURAL o BCD 8421 (II) DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BCD Natural 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1
CONVERSION DECIMAL A BCD Para convertir un número decimal a cualquier sistema de codificación en BCD: Se sustituye cada dígito por un bloque de cuatro bits en binario, cuyo valor sea igual al dígito representado.
CONVERSION DECIMAL A BCD NATURAL (8421) Ejemplo: Determinar el código BCD correspondiente al número 306. 3 0 6 001100000110
CONVERSION DE NUMERO EN BASE N A BCD (I) Para convertir un número en una base distinta a la decimal: Convertir el número en la base indicada a decimal. Convertir el resultado a BCD por el procedimiento explicado anteriormente.
CONVERSION DE NUMERO EN BASE N A BCD (II) Ejemplo: Convertir el número 526 en base octal a BCD Convertimos el número 526 octal a decimal. 526 8 = 342 10 Convertimos el número decimal obtenido a BCD. 342 10 = 0011 0100 0010 (BCD)
CONVERSION DE BCD NATURAL A DECIMAL (I) Para convertir un número codificado en BCD natural a decimal: Agrupar los dígitos binarios de 4 en 4. Sustituir cada bloque de cuatro bits por su valor decimal correspondiente.
CONVERSION DE BCD NATURAL A DECIMAL (II) Ejemplo: Convertir el número BCD natural 001110000101 a decimal: 001110000101 3 385 8 = 5
CODIGO BCD AIKEN (I) Existen dos tipos de código Aiken: Código Aiken 2421 Código Aiken 5421 Para codificar un número decimal en código Aiken, tenemos en cuenta que: Se asigna un 0 al MSB de los números 0 a 4 y un 1 al MSB de los números 5 a 9. El resto de los bits toman el valor adecuado para que la suma sea el número decimal.
CODIGO AIKEN (II) DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AIKEN 2421 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 AIKEN 5421 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0
CONVERSION DECIMAL A BCD (2421) Ejemplo: Determinar el número BCD 2421 o código Aiken del número 306: 3 0 6 001100001100
CONVERSION DECIMAL A BCD (5421) Ejemplo: Determinar el número BCD 5421 o código Aiken 5421 del número 306: 3 0 6 001100001001
CODIGO BCD EXCESO 3 (I) El código BCD exceso 3, se forma sumando 3 al código BCD natural. Es un código no ponderado.
CODIGO BCD EXCESO 3 (II) DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BCD Natural 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 BCD Exceso 3 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0