CARACTERIZACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES DIAMÉTRICAS DE MASAS MONOESPECÍFICAS, APLICACIÓN A LOS HAYEDOS NA V ARROS. SONIA CONDÉS y JAVIER MARTÍNEZ-MILLÁN E.T.S.I. MONTES. CIUDAD UNIVERSITARIA. 28040 MADRID. e-mail: scondes.montes.upm.es RESUMEN Se presenta una metodología que permite obtener a partir de los datos tomados en las parcelas de campo del 2 Inventario Forestal Nacional, ajustes de las distribuciones diamétricas mediante la función de Weibull de 3 parámetros: a - origen, b - escala y c - forma. El ajuste de estos tres parámetros en función de variables descriptoras de las masas forestales (tales como el número de pies por hectárea, la altura dominante, el área basimétrica por hectárea o el diámetro medio cuadrático) permite obtener la distribución de cualquier masa monoespecífica de la que se conozcan las citadas variables. La aplicación de estos ajustes a las tablas de producción del haya en Navarra permite obtener, para cada clase de edad de las tablas, una curva teórica de densidad de frecuencias y deducir una curva de equilibrio para hayedos tratados por entresaca por bosquetes, para masas irregulares en equilibrio. P.e.: Distribución diamétrica, Weibull, Fagus sylvatica, Curva de equilibrio. SUMMARY A methodology, that allows fitting a three parameters Weibull function to the diameter data taken into the sampling plots of the 2 nd N ational Forest Inventory of Spain, is presented. The three parameters (a - origin, b - scale, and c - shape) are adjusted in function of stand's variables (number of trees, basal area, mean diameter and dominant height), so it is possible to get the diameter distribution of any monoespecific stand. The application of these methods to the yield tables of Fagus sylvatica in Navarra (Spain), allows to get for the age classes of these tables, one theoretical curve of diameter distribution and to present a derived equilibrium curve for stands treated by shelter wood cuts. K.W.: Diameter distribution, Weibull, Fagus sylvatica, Equilibrium curve. INTRODUCCIÓN Los hayedos en Navarra ocupan unas 123.000 ha. (IFN-I1), siendo los montes más representativos de esta Comunidad. Muchos de estos hayedos, además de su valiosa producción maderable, deben cumplir funciones de protección del suelo. En este caso uno de los métodos de ordenación más recomendable sería el de entresaca pie a pie o por pequeños bosquetes. N o existe demasiada información publicada referente a las curvas de distribución de diámetros que expresen la curva de equilibrio de hayedos puros a ordenar por entresaca. Zimmerle (ASSMANN, E., 1970) propone la obtención de estas curvas a partir de la suma 179
por clases diamétricas de los números de pies de las distintas clases de edad de una tabla de producción. Para obtener el número de pies por clase diamétrica para las distintas clases de edad se han utilizado funciones Weibull cuyos parámetros se han calculado en función de la variables descriptoras de la masa forestal. Las distribuciones diamétricas correspondientes a las distintas clases de edad pueden ser, además, interesantes para derivar de ellas tablas con clasificación de productos. Además en el IFN -II se han medido un gran número de parcelas de muestreo repartidas por toda el área forestal. Los datos medidos en las mismas van a facilitar esta investigación que se podría extender a otros ámbitos y especies. MATERIAL Y MÉTODOS Las parcelas del IFN-2 contienen datos de "pies mayores" medidos, dependiendo de su diámetro, en 4 círculos de radio variable, según la siguiente norma: árboles entre 7.5 y 12.5 cm. en un círculo de 5 m de radio. árboles entre 12.5 y 22.5 cm. en un círculo de 10m. de radio. árboles entre 22.5 y 42.5 cm. en un círculo de 15 m. de radio. árboles mayores de 42.5 cm., en un círculo de 25 m. de radio. Además en el círculo de radio 5 metros se ha contado el número de "pies menores", con diámetro comprendido entre 2.5 y 7.5 cm. Se ha desarrollado el programa SPIN, escrito en Visual Basic, que permite calcular la distribución diamétrica de cada una de las parcelas, en clases diaiuétricas de 5 centímetros. A partir de esta distribución se pueden calcular los datos de diámetro medio cuadrático - dg (cm.), altura dominante - Ha (m.), área basimétrica - AB (m 2 /ha), y número de pies por hectárea - N. También mediante este programa se puede ajustar a cada distribución diamétrica una función Weibull de 3 parámetros, BAILEY, R.L. Y DELL, T.R. (1973): f(x) ~ ~ ( x ~ a r J x~' r Se ha estimado el parámetro a de la función de Weibull como el valor mínimo del rango de diámetros, es decir como el límite inferior de la clase diamétrica más pequeña. Los parámetros b y e se han estimado utilizando el método de máxima verosimilitud recomendado por ZARNOCH, S. y DELL, T.R. (1985): El parámetro e se obtiene por aproximaciones sucesivas de la siguiente ecuación: n L (x - a) C ln(x - a) 1 1 n =l n --=-Lln(x -a) L(x -a)c c n =l =l conocido el valor de e, se obtiene b como: 1 b= ( - In L(x _a)c : C n =1 De todas las parcelas de la provincia de Navarra se han seleccionado aquellas que contenían como única especie el haya (Fagus sylvatica L.), resultando un total de 286 parcelas, y se han obtenido para cada una de ellas los parámetros a, b y e de la función Weibull, y las variables descriptoras de la masa forestal: dg, Ha, AB y N. 180
RESULTADOS Se ha utilizado el programa STATGRAFICS para establecer relaciones entre los parámetros a, h y e y las variables descriptoras de la masa forestal. Se ha permitido que intervengan en el modelo las variables ya descrüas: N, AB, dg y Ho, así como algunas otras, derivadas de las anteriores, tales como el Índice de Hart-Becking: Ih. Para la selección de las variables regresaras se ha utilizado el sistema de regresión "paso a paso" obteniéndose los siguientes resultados: a = -5.28309 + 0.00075 N - 0.09467 AB + 0.51129 dg + 7.36519 Ih + 0.00199 dg 2 H b = 6.88587-0.00041 N + 0.11433 AB + 0.35696 dg -7.54153 Ih - 2.37971- dg 0 c = 1.25248 + 0.00004 N - 0.090895 dg - 0.00898 H o - 0.00034 dg 2 + 0.11589 a + 0.12696 b Los coeficientes de determinación múltiple de los 3 ajustes son respectivamente R 2 (a)=0.8134, R 2 (b)=0.7218 y R 2 (c)=0.6527. Estas tres ecuaciones han sido calculadas con datos de parcelas de haya, que abarcan una amplia gama de situaciones diferentes. Así podemos encontrar entre los datos una parcela con 25 pies/ha y dg=66 cm. y otras de unos 1200 pies/ha con diámetros próximos a 6 cm. Esto permite su utilización para determinar los coeficientes a, h y e de una distribución teórica de Weibull a cualquier masa monoespecífica, de haya en Navarra, de la que se conozcan las variables descriptoras N, AB, Ho y dg. Lógicamente un inventario que permita calcular las citadas variables sirve a la vez para el cálculo de las distribuciones diamétricas, pero una aplicación interesante puede ser la descripción, para cada clase de edad, de las masas ideales coetáneas que aparecen en las tablas de producción. Como ejemplo se han aplicado estos modelos a la tabla de la calidad JII de selvicultura de referencia de las "Tablas de producción de haya en Navarra" (MADRIGAL, A., PUERTAS, F. y MARTÍNEZ-MILLÁN, J. 1992). En la tabla 1 se presentan las variables descriptoras de las masas y los parámetros a, h y e de las funciones Weibull correspondientes a cada una de las clases de edad de 10 años de la citada tabla de producción. En la figura 1 se puede observar como evolucionan las curvas de densidad de frecuencias de las masas normales para las edades de loen 10 años de dicha tabla. Mediante las curvas de densidad de frecuencias definidas se ha obtenido el número de pies por hectárea de cada clase diamétrica para las distintas edades (para la edad de 20 años, con un diámetro medio cuadrático de 2 cm. no se han calculado los parámetros a, h y e, por lo que se ha hecho la hipótesis de que todos los árboles de dicha edad tienen un diámetro inferior a 2.5 cm). Los resultados por edades del número de pies por hectárea se presentan en la tabla 2. Dado que en los hayedos navarros pirenaicos una de las funciones prevalentes es la de protección, puede ser de interés el estudio de un modelo de equilibrio para masas irregulares, tratadas por entresaca, que se puede derivar del estado anterior. En la fila "media" de la tabla 2 aparecen los valores del número de pies por hectárea, por clases diamétricas de 5 cm, resultantes de sumar para cada una de ellas las frecuencias de todas las clases de edad, y dividir esta suma por el número de clases de edad. La distribución de frecuencias resultante, que se puede observar en la figura 2, representa una posible curva de equilibrio de una masa ideal de haya, compuesta en cada hectárea por los números de árboles por clases diamétricas expresados en la fila titulada "Media". 181
Se han probado diferentes modelos teóricos de equilibrio (Liocourt, Beranger) y al no adaptarse correctamente a la distribución del haya se han ajustado los datos a una función de Weibull con el resultado siguiente: -0.110 1 ( x JÜ.88Y96 y = 0.1069 ( x) e -l8.3281 8.3281 En la figura 2 se puede observar la curva resultante de densidad de frecuencias, en J invertida que expresaría el equilibrio dinámico de una masa pura de haya tratada por entresaca. CONCLUSIONES La metodología que se ha presentado puede ser de utilidad si se desean obtener, a partir de las ya existentes, tablas de producción que incluyan distribuciones de diámetros. De ellas se pueden derivar tablas de producción por productos. El programa SPIN, permite aprovechar la gran cantidad de datos procedentes de las parcelas del 2 Inventario Forestal Nacional, y aplicar esta metodología de forma semiautomática a los datos de cualquier especie, dentro de una provincia o una zona determinada. Es posible, a través de los resultados parciales, llegar a una curva teórica que sirva como indicativa para una selvicultura de tratamiento de masas irregulares en equilibrio. BIBLIOGRAFÍA ASSMANN, E. 1970. The principies of Forest Yield Study. Pergamon Press Ltd. BAILEY, R. L. Y DELL, T. R. 1973. Quantifying diameter distributions with the Weibull function. Forest Science 19(2):97-104. BURK, T. E. Y NEWBERRY, J. D. 1984. A simple algorithmfor moment based recovery ofweibull distribution parameters. Forest Science 30(2):329-332. COHEN, A. C. 1965. Maximum likelihood estimation in the Weibull distribution based on complete and on censored samples. Technometrics 7(4):579-643. COHEN, A. C. y WHITTEN, B. J. 1983. Modified maximum likelihood and modified moment estimators for the three parameter Weibull distribution. Common Statistics. Theory andmethods 11:2631-2656. EK, A. R.; ISSOS, J. N. Y BAILEY, R. L. 1975. Solving for Weibull diameter distribution parameters to obtain specified mean diameters.. Forest Science 21 :290-292. GARCIA, o. 1981. Simplified method-of-moments for the Weibull distribution. New Zealand Journal of Forest Science 11 :304-306 KRUG, A. G.; NORDHEIM, E. V. y GIESE, R. L. 1984. Determining initial values for parameters of a Weibull Model. A case study. Forest Science 30:573-581. MADRIGAL, A.; PUERTAS, F. y MARTÍNEZ-MILLÁN, J. 1992. Tablas de producción para "Fagus sylvatica L." en Navarra. Serie Agraria número 3. NEWBY, M.J 1980. The properties of moment estimators for the Weibull distribution based on the sample coefficient ofvariation. Technometrics 22:187-194. RENNOLS, K.; GEARY, D.N. y ROLLINSON, T.J. 1985. Characterizing diameter distributions by the use ofweibull distribution. Forestry 58:57-66. S HIFLEY, S. y LENTZ, E. 1985. Quick estimation of the three parameter Weibull to describe tree size distributions. Forest Ecology and Management 14(1985):195-203. SHIVER, B. D. 1988. Sample sizes and estimation methods for the Weibull distribution for unthinned Slash Pine plantation diameter distributions. Forest Science 34(3):809-814. 182
ZANAKIS, S.H. 1979. A simulation study of some simple estimators for the threeparameter Weibull distribution. J. Stat. Comput. Simulation 9:101-116. ZARNOCH, S.J. y DELL, T.R. 1985. An evaluation of percentile and maximum likelihood estimators ofweibull parameters. Forest Science 31(1):260-268. Edad ho N d~ AB a b 30 8,90 4210 5,7 10,9 1.14 3.48 40 11,20 2752 9,1 17,8 1.16 6.82 50 13,20 1647 13,1 22,2 2.27 9.63 60 15,10 1186 16,4 25,1 3.58 11.50 70 16,70 906 19,4 26,9 5.01 12.99 80 18,30 741 22,1 28,5 6.34 14.26 90 19,70 617 24,6 29,4 7.70 15.34 100 21,00 532 26,9 30,3 8.98 16.33 110 22,20 468 29,0 30,9 10.17 17.18 120 23,40 419 31,0 31,6 11.33 18.02 130 24,50 377 32,9 32,0 12.47 18.77 140 25,60 344 34,7 32,5 13.57 19.50 150 26,60 315 36,4 32,8 14.66 20.17 e 1.39 1.42 1.44 1.46 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.52 1.53 1.53 1.53 Tabla 1: Resultado de los parámetro a, b y c. 300 T 250 I 200 150 100 50 "<t o \O N...... \O \O d (cm.) Figura 1: Curvas de distribución de frecuencias para las distintas edades de la tabla de producción. 183
\ \ \ Edad O 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 >70 Total 20 7510,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7510 30 999,09 2793,90 393,27 22,96 0,76 0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4210 40 259,90 1374,96 765,90 264,58 69,06 14,57 2,58 0,39 0,05 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2752 50 7,59 552,01 534,17 315,35 148,35 59,44 20,94 6,61 1,89 0,50 0,12 0,03 0,01 0,00 0,00 1647 60 0,00 222,50 368,69 278,49 166,46 85,46 39,00 16,13 6,12 2,15 0,70 0,22 0,06 0,02 0,00 1186 70 0,00 75,28 248,79 229,28 160,94 96,52 51,53 25,01 11,18 4,65 1,81 0,66 0,23 0,07 0,03 906 80 0,00 17,42 167,07 186,34 148,07 99,67 59,73 32,64 16,49 7,78 3,44 1,44 0,57 0,22 0,12 741 90 0,00 0,00 99,07 147,65 131,10 96,81 63,39 37,83 20,90 10,80 5,25 2,42 1,06 0,44 0,28 617 100 0,00 0,00 49,93 116,22 115,03 92,07 64,90 41,63 24,72 13,74 7,20 3,57 1,69 0,76 0,55 532 110 0,00 0,00 21,93 90,23 100,02 85,93 64,38 43,75 27,50 16,17 8,97 4,72 2,36 1,13 0,91 468 120 0,00 0,00 6,51 68,10 85,99 78,98 62,62 44,94 29,85 18,57 '10,92 6,10 3,25 1,66 1,47 419 130 0,00 0,00 0,02 47,05 72,98 71,93 60,09 45,17 31,34 20,35 12,48 7,27 4,04 2,15 2,07 377 140 0,00 0,00 0,00 28,42 61,43 64,92 56,93 44,69 32,34 21,91 14,04 8,55 4,98 2,78 2,93 344 150 0,00 0,00 0,00 15,31 50,80 58,04 53,33 43,55 32,71 23,00 15,30 9,68 5,86 3,41 3,88 315 Total 8776,6 5036,1 2655,4 1810,0 1311,0 904,4 599,4 382,3 235,1 139,6 80,2 44,7 24,1 12,6 12,2 22024 Media 626,90 359,72 189,67 129,28 93,64 64,60 42,82 27,31 16,79 9,97 5,73 3,19 1,72 0,90 0,87 1573,1 Tabla 2: Número de pies por hectárea por clases diamétricas, para la tabla de producción de selvicultura de referencia de Fagus sylvatica en Navarra, calidad III. \ 640 Pies/ha \. '. Figura 2: Ajuste de una función Weibull a la distribución del número de pies. 184