Diseño del Controlador PID

Diseño del Controlador PID Teodoro Álamo Cantarero Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Universidad de Sevilla

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1 Índice 1 Introducción y motivación 1 2 Elección del tipo de controlador 3 3 Ajuste empírico del controlador PID 5 3.1 Criterios de Sintonía............................ 5 3.2 Caracterización en bucle abierto...................... 6 3.2.1 Caracterización basada en dos parámetros............ 7 3.2.2 Modelo basado en tres parámetros................. 12 3.2.3 Fórmulas de Ziegler Nichols para la caracterización en bucle abierto 13 3.3 Caracterización del sistema en bucle cerrado............... 14 3.3.1 Método de la oscilación mantenida................ 15 3.3.2 Identificación utilizando un relé.................. 17 3.3.3 Breve repaso al método de la función descriptiva......... 17 3.4 Comparación entre las reglas de Ziegler-Nichols en bucle abierto y en bucle cerrado................................ 21 3.5 Recomendaciones para la estimación................... 22 4 Implementación del controlador PID 24 4.1 Implementaciones interactiva y no interactiva.............. 24 4.2 Filtro en la acción derivativa........................ 26 4.3 Estructura de dos grados de libertad................... 27 4.4 Efectos de la saturación del actuador................... 28 4.5 Transferencia suave entre modo manual y automático.......... 29

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Implementación Práctica del Controlador PID 1 Introducción y motivación El control automático asienta sus bases esencialmente en el concepto de realimentación. Este concepto se concreta en una estructura de control en la cual el controlador se puede entender como un operador, que en función de la salida deseada de la planta, y la salida real medida, proporciona la acción de control a aplicar sobre el sistema. Si bien existen muchos tipos de control basados en este principio, el control proporcional, derivativo e integral (PID), es el que mayor implantación tiene en la industria de procesos. Dicho control consiste esencialmente en obtener la acción de control como la suma de tres términos: término proporcional, término derivativo y término integral. Se pueden obtener variaciones a este esquema consistentes en la no introducción de los términos derivativo e integral; en dicho caso el control coincide con el llamado control proporcional. Si sólamente se prescinde de la acción integral, el control se denomina control porporcional derivativo (PD). Si, por el contrario, el único término que desaparece es el derivativo, el control se denomina proporcional integral (PI). Según una estimación dada por Åmström [2]: El 95% de los bucles de control en la industria son del tipo PID, y fundamentalmente PI. La amplia implantación del control PID en la industria, se debe fundamentalmente a los siguientes factores: La actuación en función de la señal de error proporciona una estructura de realimentación negativa, que como es conocido, permite obtener en muchas ocasiones un comportamiento satisfactorio del sistema a pesar de la existencia de perturbaciones e incertidumbres sobre el modelo del sistema. El término derivativo proporciona cierta anticipación sobre la respuesta al sistema. El término integral permite eliminar el error en régimen permanente. El control PID obtiene resultados satisfactorios para una amplia gama de procesos. 1

Implementación Práctica del Controlador PID 2 Existen sencillas reglas heurísticas que permiten obtener los parámetros del controlador PID. Dichas reglas hacen posible el ajuste del controlador, sin presuponer un gran conocimiento en teoría de control automático por parte del operador. En estructuras de control más sofisticadas, donde exista cierta organización jerárquica, el controlador PID puede utilizase a un nivel bajo. El controlador PID se puede adquirir como un módulo compacto, donde los distintos parámetros del controlador se pueden ajustar manualmente. Actualmente muchos de los PIDs industriales proporcionan ciertas opciones de autosintonía. El controlador PID, si bien tiene una amplia implantación en la industria, no es utilizado convenientemente en muchas ocasiones. Esto implica que lazos de control, que en principio podrían proporcionar excelentes resultados, funcionen de una forma insatisfactoria. La mayoría de las causas de mal funcionamiento, son: Ajuste inadecuado de los parámetros del controlador: Un número elevado de los PIDs en la industria han sido sintonizados manualmente, sin la realización de un estudio previo de las características del proceso a controlar. Este tipo de sintonización manual, puede proporcionar buenos resultados en función de la experiencia del operador, sobre todo si el control es PI. En caso de requerir el ajuste de tres o más parámetros del controlador, la obtención de un ajuste manual satisfactorio puede resultar una tarea extremadamente difícil que requiere de una gran experiencia por parte del operador. En algunas ocasiones, la falta de conocimientos y experiencia sobre el control PID, se traduce en que el controlador PID se implante con los parámetros originales de fábrica. Otro motivo importante de mal funcionamiento es la inadecuada elección de los actuadores. Por ejemplo, un mal dimensionamiento, presencia de histéresis, saturaciones, fricciones, etc., pueden estar al origen del pobre comportamiento del sistema. Los sensores son otro elemento que afectan al comportamiento del sistema. En muchas ocasiones no se filtra convenientemente el ruido asociado a los mismos. En implementaciones del controlador PID a través de un computador, es importante una buena elección del tiempo de muestreo y consideración de la incorporación o no de filtros anti-aliasing. Es relativamente frecuente el diseño de un controlador PID teniendo en cuenta exclusivamente el seguimiento de la referencia. En el diseño se debe considerar no sólo el seguimiento de referencia sino también el rechazo de perturbaciones y ruidos en la medida.

Implementación Práctica del Controlador PID 3 2 Elección del tipo de controlador El controlador PID básico combina las acciones proporcional, derivativa e integral mediante el siguiente algoritmo de control: u(t) = K c e(t) + 1 T i t 0 de(t) e(τ)dτ + T d = P + I + D (1) dt Como es bien sabido, el término proporcional contribuye a la reducción del error en régimen permanente. Ahora bien, la ganancia requerida para que dicho error se reduzca hasta los niveles deseados con la aplicación de un mero control proporcional puede ser incompatible con las especificaciones de sobreoscilación y estabilidad relativa del sistema. La acción integral tiene un efecto cualitativo sobre el error en régimen permanente, ya que aumenta el tipo del sistema y garantiza la anulación de éste cuando la referencia es de tipo escalón. El término derivativo permite una cierta predicción del futuro error y por tanto juega un papel anticipativo. La primera decisión en el diseño de un sistema de control PID es la elección del controlador, posteriormente, se ajustarán los parámetros del mismo. A una buena elección de tipo de controlador a emplear (P, PI, PD o PID) ayudan las siguientes consideraciones [8, 7]: Controlador P: En ciertos tipos de procesos es posible trabajar con una ganancia elevada sin tener ningún problema de estabilidad en el controlador. Muchos procesos que poseen una constante de tiempo dominante o son integradores puros caen en esta categoría. Una alta ganancia en un controlador P significa que el error en estado estacionario será pequeño y no se necesitará incluir la acción integral. Un ejemplo característico en el que no es muy relevante el error en régimen permanente es el bucle interno de un controlador en cascada; el que la variable que se ha tomado como secundaria no alcance su valor no debe preocupar excesivamente. Controlador PD: En líneas generales, el control PD puede ser apropiado cuando el proceso a controlar incorpore ya un integrador. Por ejemplo, un proceso térmico con un buen aislamiento opera de forma análoga a un integrador. Casi toda la energía que se le suministra se emplea en elevar la temperatura del horno ya que las pérdidas son despreciables. Con esta clase de procesos es posible trabajar con ganancias elevadas en el controlador sin que sea necesario introducir la acción integral. La acción derivada es sensible al ruido ya que a altas frecuencias tiene una ganancia

Implementación Práctica del Controlador PID 4 relativamente elevada, por lo tanto, en presencia de altos niveles de ruido se debe limitar dicha ganancia, o prescindir de la acción derivativa. Asimismo, en procesos con grandes tiempos muertos la acción anticipativa del término derivativo deja de ser efectiva ya que la aproximación lineal e(t + T d ) e(t) + T d de(t) dt tan sólo tiene validez para pequeños valores de T d. Debido a los tiempos muertos hay un retardo antes de que los efectos de cualquier acción de control se puedan detectar sobre la variable de proceso. Es, por lo tanto, considerablemente mejor con esta clase de procesos intentar predecir su acción futura analizando la señal de control en combinación con un modelo del proceso. Esto es lo que hace el predictor de smith, que fue estudiado en el tema 10 de la asignatura. Controlador PI: Es la estructura más usual del controlador. La introducción de la acción integral es la forma más simple de eliminar el error en régimen permanente. Otro caso en el que es común utilizar la estructura PI es cuando el desfase que introduce el proceso es moderado (procesos con una constante de tiempo dominante o incluso integradores puros). La acción derivativa más que una mejora en esta situación es un problema ya que amplifica el ruido existente. También se recomienda la acción PI cuando hay retardos en el proceso, ya que como se ha visto en el punto anterior, la acción derivativa no resulta apropiada en este tipo de sistemas. Un tercer caso en el que se debería desconectar la acción derivativa es cuando el proceso está contaminado con niveles de ruido elevados. Como primera medida, se debería filtrar el ruido existente, pero en algunas ocasiones esto no es suficiente. Controlador PID: La acción derivativa suele mejorar el comportamiento del controlador, ya que permite aumentar las acciones proporcional e integral. Se emplea para mejorar el comportamiento de procesos que no poseen grandes retardos pero que si presentan grandes desfases. Este es el caso típico de procesos con múltiples constantes de tiempo. Se concluye pues que la primera decisión en el diseño de un sistema de control PID es la elección del controlador. A una buena elección de éste (P, PI, PD o PID), ayudan, además de las anteriores consideraciones, la experiencia que se tenga sobre el proceso a controlar.

Implementación Práctica del Controlador PID 5 3 Ajuste empírico del controlador PID Una vez que se ha determinado el tipo de controlador que se va a implementar, se debe efectuar el ajuste de los parámetros (sintonía) para que la respuesta del sistema en lazo cerrado tenga unas características determinadas (criterio de sintonía). El ajuste de parámetros se convierte así en una tarea muy frecuente en plantas industriales, no sólo en los trabajos de puesta en marcha, sino también cuando se detectan cambios sustanciales de comportamiento en el proceso controlado. En las primeras aplicaciones de control PID, el ajuste se basaba únicamente en la propia experiencia del usuario o en métodos analíticos [6]. En 1942, Ziegler y Nichols [10] propusieron técnicas empíricas que tuvieron buena aceptación, y que han servido de base a métodos más recientes. Los métodos empíricos o experimentales de ajuste de parámetros están especialmente orientados al mundo industrial, dónde existen grandes dificultades para obtener una descripción analítica de los procesos. Estos métodos constan fundamentalmente de dos pasos: 1. Estimación de ciertas características de la dinámica del proceso a controlar. La estimación se puede efectuar en lazo abierto o en lazo cerrado, como se describirá más adelante. 2. Cálculo de los parámetros del controlador. Para ello se aplican las fórmulas de sintonía, que son relaciones empíricas entre los parámetros del controlador elegido y las características del proceso estimadas en el paso anterior. El hecho de que estos métodos proporcionen sólo valores aproximados para los parámetros del controlador hace generalmente necesario un tercer paso (ajuste fino de los parámetros), mediante observación de la respuesta en lazo cerrado. Las diferencias entre los distintos métodos empíricos citados en la literatura [2] radica en la forma de combinar las técnicas de estimación y las fórmulas de sintonía. 3.1 Criterios de Sintonía La sintonia de controladores PID para procesos industriales está basada normalmente en especificaciones nominales sobre determinadas características de la respuesta del sistema en lazo cerrado a cambios bruscos en el punto de consigna o en la carga. También es usual basar el diseño en criterios de optimización sobre la señal de error, tratando de minimizar alguna de las cuatro integrales típicas de la señal de error: la integral del error (IE), la integral del cuadrado del error (ISE), la integral del valor absoluto del error (IAE) y la integral del valor absoluto del error ponderado en el tiempo (ITAE).

Implementación Práctica del Controlador PID 6 Los éxitos cosechados por las propuestas de Åström y Hägglund en 1984 han hecho que actualmente sea más habitual encontrar soluciones a la sintonía de los controladores PID para procesos industriales basadas en especificaciones de estabilidad relativa en el dominio frecuencial, es decir, en determinadas características de la respuesta en frecuencia del conjunto (controlador+proceso). Las dos especificaciones tradicionalmente utilizadas han sido el margen de fase y el margen de ganancia. El criterio de razón de amortiguamiento de 1/4 que fue utilizado por Ziegler y Nichols, previene de grandes desviaciones en el primer pico de la respuesta del sistema cuando se producen cambios en la carga o perturbaciones sobre el sistema, pero trae consigo una sobreoscilación del 50% para cambios bruscos en el punto de consigna, que puede ser excesiva en la mayoría de las aplicaciones (en secciones venideras se abordará cómo mitigar este problema). Existen fórmulas de sintonía que garantizan sobreoscilaciones menores. Tanto la máxima sobreelongación como la razón de amortiguamiento, que están directamente relacionadas, se pueden inspeccionar fácilmente, incluso de forma visual, pues basta con prestar atención a uno o dos puntos de la respuesta del sistema en lazo cerrado. Por lo tanto, es normal que los ingenieros de procesos se encuentren muy familiarizados con ellos y que manifiesten un mayor interés por fórmulas de sintonía que utilicen estos criterios. No ocurre lo mismo con las integrales de error, que no son tan fáciles de inspeccionar. En cambio, los criterios integrales tienen la ventaja de ser más precisos de cara a la sintonía del controlador, pues mientras varias combinaciones de parámetros de control pueden dar lugar a una misma razón de amortiguamiento, sólo una combinación de parámetros minimizará la correspondiente integral. 3.2 Caracterización en bucle abierto En general no es posible describir completamente un proceso industrial, de ahí que se empleen para ello técnicas de aproximación. Estas técnicas se basan en el hecho de que la mayoría de los procesos industriales son estables en lazo abierto y que la respuesta del proceso a ciertas señales de entrada puede aportar en muchos casos información suficiente para poder diseñar un controlador satisfactorio. En particular, el método de Ziegler-Nichols en bucle abierto determina un ajuste de los parámetros del controlador en función de la respuesta del sistema a un escalón en la entrada del mismo. En la figura 1 se observa la salida de un sistema dinámico frente a un incremento en la entrada del mismo aplicado en el instante t = 0. Como se puede observar, la respuesta del sistema se desvía de la situación estacionaria inicial.

Implementación Práctica del Controlador PID 7 1.64 1.62 1.6 1.58 1.56 1.54 1.52 1.5 1.48 1 0 1 2 3 4 5 Figura 1: Respuesta frente entrada escalón 3.2.1 Caracterización basada en dos parámetros En principio, caracterizar la dinámica de un sistema a través de dos únicos parámetros puede parecer demasiado restrictivo, sobre todo si se tiene en cuenta las complejas dinámicas que se pueden encontrar en un proceso industrial. Sin embargo, los métodos empíricos de Ziegler Nichols, utilizados profusamente en el entorno industrial utilizan una caracterización del sistema basada en la estimación de dos únicos parametros [10]. Aunque esto pudiese resultar contradictorio, no hay que perder de vista lo siguiente: se desea caracterizar el sistema para controlarlo, no para modelar su dinámica. Es decir, a la hora de obtener un modelo del sistema con vistas a implementar, por ejemplo, el predictor de Smith, resultaría normalmente insuficiente el concurso de únicamente dos parámetros para la modelización de la dinámica. Sin embargo, en este contexto, se está interesado exclusivamente en obtener una razonable elección de los parametros del controlador, lo cual se puede conseguir, como se mostrará a continuación, con la estimación de dos únicos parámetros. Aproximación como sistema de primer orden sin retardo Considérese que se se desea aproximar la función de transferencia de un sistema a través de dos únicos parámetros. Un elección natural sería aproximar la dinámica del sistema a través de una función de transferencia de primer orden:

Implementación Práctica del Controlador PID 8 G(s) = K T res s + 1 En dicha aproximación, K es la ganancia estática del sistema y la constante de tiempo T res proporciona una cierta medida del tiempo que tarda el sistema en alcanzar el estado estacionario. En el contexto del control PID, a esta constante de tiempo se le denomina tiempo de residencia [2]. Si se conoce la respuesta del sistema frente a una entrada en escalón unitario, resulta sencillo estimar la ganancia estática del sistema. Para ello sólo se requiere el cómputo de la relación entre el incremento en el valor estacionario final de la salida y el incremento a la entrada, supuesto éste producido en el instante t = 0. Es decir, K se puede obtener de la siguiente expresión: K = y( ) y(0) u( ) u(0) En cuanto a la determinación de T res, se puede utilizar el siguiente procedimiento: Se calcula el área A 0 comprendida entre el valor final de la salida y la respuesta temporal de la misma (véase la figura 2): A 0 = 0 (y( ) y(t))dt Una vez calculada el área A 0, T res se obtiene de la expresión: T res = A 0 K Resulta un sencillo ejercicio comprobar que la anterior relación proporciona el valor exacto de la constante de tiempo de un sistema de primer orden. En la figura 3 se proporciona una comparación entre la respuesta real del sistema y la proporcionada por el método de caracterización de la ganancia estática y tiempo de residencia. Como se comprueba en dicha figura, se recoge perfectamente el comportamiento en régimen estacionario, sin embargo, el transitorio no se consigue aproximar de forma adecuada. Aproximación como integrador más retardo puro Otra posibilidad, a la hora de aproximar la función de transferencia de un sistema a través de dos únicos parámetros, consiste en utilizar el modelo de un integrador que tenga un retardo puro: G(s) = a sl e sl

Implementación Práctica del Controlador PID 9 1.64 1.62 1.6 1.58 1.56 1.54 1.52 1.5 1.48 1 0 1 2 3 4 5 Figura 2: Obtención del tiempo de residencia del sistema 1.64 1.62 1.6 1.58 1.56 1.54 1.52 1.5 1.48 1 0 1 2 3 4 5 t Figura 3: Comparación entre la respuesta real y la aproximación dada por un sistema de primer orden (trazo discontinuo)

Implementación Práctica del Controlador PID 10 Como se comprobará a continuación, la citada aproximación no proporciona buenos resultados a bajas frecuencias, a no ser que el sistema realmente contenga un integrador. Sin embargo, las características temporales en los primeros estadios del transitorio se recogen de forma adecuada. A la hora de obtener los parámetros a y L de la respuesta temporal, se puede utilizar el hecho de que la aproximación presentada tiene una pendiente constante e igual a a/l. Dichos parametros por lo que dichos parámetros se pueden obtener gráficamente trazando la recta de mayor pendiente tangente a la respuesta temporal del sistema. En la figura 4 y se muestra el procedimiento gráfico que permite la estimación de los parámetros a y L. 1.64 1.62 1.6 1.58 1.56 1.54 1.52 1.5 1.48 a 1.46 L 1.44 1 0 1 2 3 4 5 Figura 4: Obtención gráfica de los parámetros L y a En la figuras 5 y 6 se comparan las características de las aproximaciones anteriormente detalladas. Especialmente revelador es el hecho de que el sistema constituido por integrador más retardo puro presenta un diagrama de Nyquist, representado como una línea de puntos en la figura 6, que aproxima bastante bien la respuesta frecuencial del sistema en las frecuencias intermedias, que son precisamente las que permiten realizar un diseño apropiado de un controlador.

Implementación Práctica del Controlador PID 11 1.64 1.62 1.6 1.58 1.56 1.54 1.52 1.5 1.48 1 0 1 2 3 4 5 t Figura 5: Comparación entre las dos aproximaciones. La respuesta temporal real del sistema se representa en trazo continuo. 0.02 0 Re 0.02 0.04 0.06 0.08 Im 0.1 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 Figura 6: Comparación entre las dos aproximaciones. El diagrama de nyquist del sistema real se representa en trazo continuo.

Implementación Práctica del Controlador PID 12 3.2.2 Modelo basado en tres parámetros El modelo basado en tres parámetros aproxima la función de transferencia del sistema a través de un sistema de primer orden sujeto a un tiempo muerto. En esta aproximación los tres parámetros involucrados son: la ganancia estática K del sistema, la constante τ del sistema de primer orden y el retardo puro L: G(s) = Ke Ls τs + 1 Es bien sabido por el alumno que la respuesta, a un incremento en una unidad a la entrada de dicho sistema, viene dada por la expresión: y(t) y(0) = { 0 si t < L K ( ) 1 e t L τ si t L Esta respuesta tiene, entre otras, las siguientes características, como se puede observar en la figura 7: Valor en el estado estacionario igual a K + y(0). El valor máximo de la pendiente de la respuesta vale K/τ y se alcanza en t = L. Es decir, la aplicación del proceso gráfico para la obtención del parámatro a permite afirmar que: a = KL τ Alcanza aproximadamente el 28% de su valor final en el instante t 28 = L + τ 3 Alcanza aproximadamente el 63% de su valor final en el instante t 63 = L + τ. Los diversos métodos de aproximación gráfica para un modelo de este tipo coinciden en que la ganancia K queda unívocamente determinada con el valor de salida del proceso en el instante inicial y el valor de la misma cuando se ha recuperado de nuevo la situación estacionaria. No ocurre lo mismo con los otros parámetros del modelo, la constante de tiempo τ y el retardo L lo cuales se pueden estimar utilizando distintos métodos. Obtener K como el cociente entre el cambio observado en la salida y el cambio provocado en la entrada del proceso.

Implementación Práctica del Controlador PID 13 1.64 1.62 100 % 1.6 1.58 63 % 1.56 1.54 28 % 1.52 1.5 t 28 t 63 1.48 1 0 1 2 3 4 5 Figura 7: Aproximación del tiempo muerto y de la constante de tiempo del sistema. Medir t 28 y t 63, los cuales según se comentó anteriormente, corresponden a los instantes en los que la respuesta del proceso alcanza el 28% y el 63% del valor estacionario. Obtener τ y L de las expresiones τ = L = t 63 τ ( 3 2) (t 63 t 28 ) 3.2.3 Fórmulas de Ziegler Nichols para la caracterización en bucle abierto Fueron las fórmulas pioneras [10, 11] y formaron parte de un completo procedimiento heurístico de ajuste de controladores PID, en los años 1942 y 1943, en los que los usuarios de los primeros reguladores industriales de Taylor Instrument necesitaban de alguna metodología para sacarles el máximo rendimiento a los equipos que se estaban instalando. Ziegler y Nichosls presentaron sus tan conocidas fórmulas de sintonía para controladores P, PI y PID (no interactivo), tanto para características del proceso (K u y T u ) estimadas en lazo cerrado, como en lazo abierto (L, K y τ), siguiendo como criterio de sintonía la razón de amortiguamiento 1/4 para cambios en la carga. Cuando se hace uso de las características estimadas en lazo abierto, estas fórmulas sólo se deben aplicar en el rango 0.1 < L τ < 1

Implementación Práctica del Controlador PID 14 Como los mismos autores Ziegler y Nichols publicaron con un año de posterioridad a la publicación de sus conocidas fórmulas de sintonía, el control de sistemas sujetos a grandes retardos perdía la característica de ser controlado de forma apropiada con estas fórmulas de sintonía. Según los autores, el problema no consistía en una incorrecta elección de los parámetors del PID, sino que por el contrario, el problema radicaba en el proceso en sí. Los autores concluyeron que los retardos y grandes constantes de tiempo tanto de la instrumentación, como del proceso, son factores determinantes de la potencialidad que dichos sistemas tienen de ser controlados. Como se ha estudiado en el tema 10, dedicado al control de procesos con grandes retardos, otras estructuras, como el predictor de Smith resultan más adecuadas para el control de dichos sistemas. Las fórmulas de Ziegler y Nichols poseen las siguientes características: Las constantes de tiempo integral y derivativa se fijan únicamente en función del periodo de la oscilación mantenida o del retardo observado en el proceso. La ganancia proporcional se fija en función únicamente de la ganancia última o del parámetro a. Cuando el controlador es PID siempre se emplea una constante de tiempo derivativa igual a un cuarto de la constante de tiempo integral, con independencia de las características que tenga el proceso. Tipo Control K T i T d P 1/a PD 0.9/a 3L PID 1.2/a 2L L/2 Tabla 1: Reglas de Ziegler Nichols en bucle abierto 3.3 Caracterización del sistema en bucle cerrado Ciertas características dinámicas de los procesos también se pueden determinar a partir de su respuesta en frecuencia. Existen varios métodos experimentales para la determinación indirecta de un punto de la respuesta en frecuencia, concretamente para determinar la ganancia última (K u ) y el periodo de oscilación mantenida (T u ), definidos respectivamente como: la ganancia de un controlador proporcional a partir de la cual el

Implementación Práctica del Controlador PID 15 3 2.5 2 1.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Figura 8: Seguimiento y rechazo de perturbaciones para el controlador obtenido con el método de Ziegler-Nichols en bucle abierto sistema en lazo cerrado deja de ser estable, y el periodo de la oscilación que se consigue con ese valor de ganancia. Ziegler y Nichols, en función del valor de dicho punto frecuencial, proporcionan el valor de los parámetros del controlador PID. Los métodos más conocidos para la obtención de dichas características frecuenciales son el método de la oscilación mantenida, propuesto en 1942 por Ziegler y Nichols, y el método de identificación del relé, propuesto por Åstrom y Hgglund en 1984. Ambos métodos se pasan a describir a continuación. 3.3.1 Método de la oscilación mantenida Cerrar el lazo de control con el controlador en modo proporcional únicamente. Con la ganancia proporcional K c a un valor arbitrario, provocar pequeños cambios bruscos en el punto de consigna y observar la respuesta del sistema. Aumentar o disminuir K c hasta conseguir en el paso anterior que el sistema oscile con una amplitud constante. Anotar el valor de la ganancia proporcional en ese instante como K u y medir el periodo de la oscilación mantenida T u.

Implementación Práctica del Controlador PID 16 Figura 9: Punto de corte con el semieje negativo Figura 10: Método de la oscilación mantenida

Implementación Práctica del Controlador PID 17 3.3.2 Identificación utilizando un relé El método del relé, propuesto por Åstrom y Hgglund en 1984, constituye una forma indirecta de automatizar el método de la oscilación mantenida. El método consiste en provocar un ciclo límite mediante la inclusión en el lazo de control de un elemento no lineal como es el relé, este ciclo límite tendrá aproximadamente el mismo periodo t c que la osciliación mantenida. En la figura se observa el diagrama de bloques que respresenta al método propuesto. Para muchos sistemas la inclusión del relé provoca un comportamiento oscilatorio en el que la acción de control adopta conmuta del valor máximo al mínimo de una forma periódica. La respuesta del sistema es a su vez oscilatorio con una fase opuesta a la de la señal de control. Figura 11: Método del relé En vistas a entender como funciona el método, resulta conveniente recordar el método de la función descriptiva, el cual fue estudiado por el alumno en la asignatura optativa de tercer curso Control y Simulación de Sistemas. 3.3.3 Breve repaso al método de la función descriptiva El método de la función descriptiva permite determina la existencia de una oscilación en un sistema no lineal compuesto por una de un elemento lineal y de una no linealidad. En caso de que la no linelidad sea estática, ésta puede ser aproximada por una ganancia, denominada N(a). Hay ciertas ventajas de utilizar un relé con histéresis. Con un relé sin histéresis, el sistema será muy sensible al ruido ya que un nivel de ruido reducido puede hacer

Implementación Práctica del Controlador PID 18 Método de la Función Descriptiva

Implementación Práctica del Controlador PID 19 conmutar de forma aleatoria la salida del relé. Introduciendo histéresis, el ruido debe ser mayor que la histéresis para forzar una conmutación en el relé. Si ǫ denota la banda asociada a la histéresis y d la amplitud del relé (Véase figura xxx), la inversa de la función descriptiva viene dada por la siguiente expresión: 1 N(a) = π ( ) πǫ a2 ǫ 4d 2 j 4d Nótese que al ser la no linealidad dinḿica, la función descriptiva tiene parte imaginaria. La parte imaginaria de la inversa de la función descriptiva resulta se independiente de la amplitud a: πǫ 1. De esto se deduce que la representación de en el plano complejo 4d N(a) es una semirecta paralela al eje real. Eligiendo convenientemente la realción entre la amplitud del relé y de la histéresis es posible determinar distintos puntos de corte con la función de trasferencia del sistema. De esta forma se pueden obtener puntos aproximados de la función de transferencia del sistema. La amplitud de la oscilación en la salida se puede controlar con facilidad eligiendo convenientemente la magnitud de la salida del relé. Figura 12: Relé con histéresis Para realizar el experimento, se debe operar como sigue: Llevar el proceso a un estado estacionario ya sea en modo manual o en modo automático con el controlador PID (aunque no se disponga todavía de un buen ajuste para el controlador). Anotar los valores de la señal de control y de salida del proceso en esta situación. Cerrar el lazo de control utilizando como controlador al relé y como consigna el valor del estado estacionario observado en la salida del proceso, pero sumando

Implementación Práctica del Controlador PID 20 Figura 13: Método de la Función Descriptiva para el relé con histéresis. en todo momento la acción de control (que genera el relé) con la señal de control que se utilizó para llevar al proceso a un estado estacionario. Observar la respuesta del proceso y parar la experiencia cuando se haya alcanzado el ciclo límite. Se puede considerar que éste se ha alcanzado si el máximo de la salida repite prácticamente el mismo valor en al menos dos ciclos seguidos. Anotar la amplitud (de pico a pico) del ciclo límite y medir el periodo del ciclo límite t c. Determinar la ganancia última del proceso mediante la expresión Este método, que fue propuesto por Åstrom and Hagglund (Proceedings of the 1983 IFAC Conference, San Francisco), tiene algunas ventajas en relación al método de identificación basado en la respuesta en bucle abierto: 1. No es necesario tener un conocimiento previo de las constantes de tiempo del sistema. El método propuesto automáticamente proporciona una oscilación a una frecuencia aproximadamente igual a la frecuencia última del proceso. El único parámetro que debe ser especificado el la magnitud del relé. Es usual tomar una amplitud para el relé de entre el cinco y diez por ciento del rango de variación de la variable manipulada.

Implementación Práctica del Controlador PID 21 2. La identificación se realiza en bucle cerrado, por lo que la salida del sistema no va a divergir del punto de operación deseado. Es por ello por lo que el método obtiene buenos resultados en la región de interés. Tipo Control K T i T d P 0.5K u PD 0.4K u 0.8T u PID 0.6K u 0.5T u 0.125T u Tabla 2: Reglas de Ziegler Nichols en bucle cerrado 3 2.5 2 1.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Figura 14: Seguimiento y rechazo de perturbaciones para el método de Ziegler-Nichols en bucle cerrado 3.4 Comparación entre las reglas de Ziegler-Nichols en bucle abierto y en bucle cerrado Tras la aplicación del método de Ziegler Nichols al sistema G(s) = 1 (s + 2) 3

Implementación Práctica del Controlador PID 22 se han obtenido los siguientes parámetros para el controlador. K c T i T d Bucle Abierto 5.18 1.71 0.42 Bucle Cerrado 4.8 1.81 0.45 Como puede observarse, el controlador obtenido utilizando el método basado en la realizaci on del experimento en bucle abierto resulta tener una ganancia proporcional ligeramente superior a la obtenida a través del experimento en bucle cerrado. De manera genérica, el ajuste obtenido utilizando el método de experimento en bucle abierto proporciona una mayor ganancia proporcional que se suele traducir en una mayor sobreoscilación. En la figura 15 se presenta la comparación de las respuestas tanto en seguimiento de referencia como en rechazo de perturbaciones 3 2.5 2 1.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Figura 15: Comparación entre los dos métodos de Ziegler-Nichols. El trazo discontinuo corresponde al método de bucle abierto 3.5 Recomendaciones para la estimación Los métodos de estimación de características descritos anteriormente tienen su principal fuente de información en el registro de datos. Esta forma de datos es siempre invasiva y poen al proceso en condiciones de operación poco habituales ( en lazo abierto, en control proporcional o en control por relé), por tanto es muy importante que el registro se realice en las mejores condiciones, con la menor influencia de otras partes del proceso, y que dure el menor tiempo posible para que no tenga efectos negativos en la producción.

Implementación Práctica del Controlador PID 23 La experiencia de oscilación mantenida presenta serios inconvenientes: es un método fundamentalmente de prueba y error, puede requerir excesivo tiempo y existe el peligro de inestabilizar el sistema. Por otro lado, no siempre será posible conseguir la sobreoscilación mantenida siguiendo el procedimiento propuesto por Ziegler y Nichols.Ya que este procedimiento considera implícitamente que los procesos industriales son al menos de tercer orden (debido a la constante de tiempo del actuador, del proceso, y del sensor). Mientras que sistemas estables en lazo abierto, pero de órdenes inferiores, nunca pueden llevar al límite de la estabilidad con un simple control proporcional. El método del relé, a diferencia del método de la sobreoscilación mantenida, permite conseguir el ciclo límite en un sólo experimento. No obstante, tampoco existen garantías de que el ciclo límite se vaya a presentar, ni mucho menos que la aproximación dada por el primer armónico sea lo suficientemente adecuada. Esto último dependerá de las características del relé y de las características propias del proceso. Como anchura de la histéresis se recomienda aproximadamente el doble de la amplitud del ruido observado a la salida del proceso. Sin embargo, para la amplitud del relé no existe información a priori. Se puede iniciar el experimento y disminuirla si se observa que la oscilación es muy grande, o aumentarla en caso contrario. Otro inconveniente del método del relé es que el ususario no disponga de este tipo de bloque de control en su sistema de control distribuido y tenga que programarlo para la ocasión. La experiencia en lazo abierto presenta la siguiente ventaja respecto al método de la oscilación mantenida: basta con someter el proceso a un úico cambio en su entrada, y el tiempo empleado en la estimación será generalmente menor o mucho menor. En comparación con el método del relé, la experiencia en lazo abierto es mucho más fácil de llevar a cabo y también suele requerir menos tiempo. No obstante, tambien tiene ciertas desventajas; dado el carácter no lineal de los procesos industriales no es suficiente caracterizarlo por su respuesta a un escalón, se recomienda utilizar varios escalones en distintos puntos de operación, y que en todos los registros se haya garantizado la existencia de estados estacionarios en la respuesta del proceso. También se pueden utilizar pulsos en lugar de escalones, en este caso no es necesario esperar a qeu se alcance el estado estacionario en la subida, pues existen procedimienots para determinar la reespuesta escalón a partir de un pulso y presenta la ventaja de que siembre se vuelve al punto de operación en el que se inició la experiencia. Una vez finalizada la toma de datos, el método de la socilación mantenida es el que da resultados más precisos, pues en la determinación de K u y de T u no existe ningún tipo de aproximación. En cambio el periodo del ciclo límite obtenido por el método del relé se puede apartar mucho del verdadero periodo de las oscilación mantenida, y la ecuación 3.2 no es más que una aproximación de la verdadera ganancia crítica. En el método en lazo abierto, si el registro es adecuado y garantiza la existencia del verdadero estado estacionario del proceso, la determinación de la constante de tiempo

Implementación Práctica del Controlador PID 24 y del retardo haciendo coincidir la respuesta real y la respuesta del modelo en el 28% y el 63% no siempre da buenos resultados. Existen otras formas aún más precisas aunque no tan fáciles de aplicar como ésta. De ahí que en la estimación de la constante de tiempo del sistema, así como la estimación del tiempo muerto se sacrifique precisión en beneficio de la simplicidad. 4 Implementación del controlador PID 4.1 Implementaciones interactiva y no interactiva En los reguladores industriales es frecuente encontrar distintas versiones del algoritmo de control PID. Cualquiera de ellas se puede considerar como perteneciente a uno de los tres grupos de controladores PID (no interactivos, interactivos y paralelos). No obstante, los fabricantes emplean de forma diferente estos términos, de manera que la nica forma de saber qué tipo de algoritmo incorpora un determinado regulador es analizar la función de transferencia. Se conoce con el nombre de algoritmo no interactivo de control PID al algoritmo clásico, dado por la ecuación 1. Con el calificativo de no interactivo se quiere poner de manifiesto que las acciones de control integral y derivativa son independientes, aunque exista un parámetro del controlador, la ganancia proporcional K c, que afecte a las tres acciones (proporcional, integral y derivativa). Este algoritmo está considerado como el estándard por la ISA (Instrument Society of America), es el más citado en la bibliografía y el más utilizado actualmente. El algoritmo interactivo (o algoritmo serie) fue empleado generalmente en los antiguos reguladores analógicos. Con el calificativo de iteractivo se quiere recalcar que la modificación de cualquiera de las constantes de tiempo T i o T d afecta a las tres acciones (proporcional, integral y derivativa), tal como se entienden dichas acciones en el algoritmo clásico. Este algoritmo surgió como una posibilidad de realizar control PID analógico con dos amplificadores, a diferencia del no interactivo que requiere el uso de tres amplificadores. De ahí que en la mayoría de los reguladores analógicos, buscando el ahorro económico se usara el algoritmo interactivo. En la actualidad, aunque ya no existen inconvenientes en la realización digital del control PID no interactivo, algunos fabricantes siguen ofreciéndolo. De esta forma se cubre la demanda de quienes; desean mantener la validez de las técnicas de ajuste, habituales en controladores analógicos, y sacar el máximo provecho a la experiencia anterior de los operadores de planta.

Implementación Práctica del Controlador PID 25 Figura 16: Estructura no interactiva Figura 17: Estructura interactiva

Implementación Práctica del Controlador PID 26 Figura 18: Estructura interactiva Se conoce con el nombre de algoritmo paralelo de control PID al algoritmo que permite modificar cada acción por separado. Con el calificativo de paralelo se quiere indicar que las tres acciones (proporcional, integral y derivativa) son independientes. Este tipo de algoritmo no tiene en principio ninguna ventaja respecto a los dos anteriores, salvo el poder ajustar cada acción por separado, lo cual constituye una parametrización lineal del controlador. Dicha linealidad puede ser aprovechada en algoritmos de optimización. 4.2 Filtro en la acción derivativa La inclusión del término derivativo presupone importantes problemas de implementación: Si el ruido asociado al sensor de la salida del proceso está situado, como es usual, en las altas frecuencias, entonces la acción derivativa supone una amplificación de las componentes frecuenciales del ruido proporcional al valor de la frecuencia de dichas componentes. éste El error no es derivable en el instante en el que se produce un cambio en escalón de la referencia. Si bien la función de transferencia de un PID no interactivo ideal presupone el cálculo de una derivada, en la práctica, el se sustituye por una pseudoderivada. El término derivativo se implementa a través del siguiente filtro: D = T d dd N dt K de ct d dt De esta ecuación se desprende que el termino derivativo se puede aproximar a través de la función de transferencia: D = sk ct d 1 + st d /N E(s)

Implementación Práctica del Controlador PID 27 En esta modificación se puede considerar que la derivada ideal es filtrada por un sistema de primer orden con una constante de tiempo igual a T d /N. La aproximación es muy buena para las bajas frecuencias, pero limita la ganancia asociadada a las componentes de alta frecuencia a un valor máximo de K c N. En la práctica, los valores de N están comprendidos entre 8 y 20. El controlador PID no interactivo viene descrito entonces por la siguiente función de transferencia: ( U(s) = K c 1 + T ) i/s T d s E(s) + NT d s + 1 La anterior modificación sigue sin resolver el problema de la no existencia de derivada en los instantes de cambio de la referencia en escalón. Como se verá en una sección posterior, esto se puede solventar de dos formas distintas: Se puede filtrar la referencia de forma que el error definido por la referencia filtrada y la salida del sistema sea diferenciable Otra opción es actura no en términos de la derivada del error, sino de la salida del proceso. Esta opción se basa en el hecho de que frente a entrada escalón, la derivada del error y la derivada de la salida tan sólo difieren en el instante de cambio de referencia. 4.3 Estructura de dos grados de libertad El algoritmo de control PID analizado hasta el momento proporciona la señal de control exclusivamente en términos de la discrepancia entre la referencia y la salida medida de la planta. En este sentido, se puede afirmar que la estructura de control propuesta tan sólo tiene un grado de libertad. La estructura de dos grados de libertad considera que la entrada al controlador no es simplemente el error, sino la referencia de un lado, y de otro, la salida de la planta. De esta forma, el controlador se interpreta como un bloque de dos entradas y una salida. El controlador PID en este esquema se expresa como: u(t) = u(t) = K c br(t) y(t) + 1 T i t 0 d e(τ)dτ + T d (cr(t) y(t)) dt En este esquema, b y c son dos nuevos parámetros que perminten, como se razonará a continuación, mejorar notablemente las prestaciones del controlador. Nótese que el término integral no ha sufrido ninguna variación con respecto al esquema incial. Esto se debe a la necesidad de forzar error nulo en régimen permanente.

Implementación Práctica del Controlador PID 28 Si se denomina G f (s) = K c (b + 1 st i + cst d ) G c (s) = K c (1 + 1 st i + st d ) se obtiene que la acción de control se obtiene de: U(s) = G f (s)r(s) G c (s) Y (s) La anterior descomposición se representa en la figura 19 Figura 19: Estructura de dos grados de libertad 4.4 Efectos de la saturación del actuador Todos los actuadores tienen limitaciones: un motor tiene una velocidad limitada, una válvula no puede abrirse o cerrarse más allá de ciertos límites,etc. Puede ocurrir que como consecuencia dce un cambio en la referencia o por la aparición de una perturbación al proceso, la variable de control alcance los límites del actuador. Cuando esto sucede, el control pierde le lazo de realimentación en tanto en cuanto el actuador permanece en el límite alcanzado independientemente de la salida del proceso. Esta situación se agrava cuando el controlador incorpora acción integral, ya que durante todo el periodo en el que la variable de control está superando el límite físico, dicha acción está creciendo. Como consecuencia de esto, el error tendrá que cambiar de signo y mantenerse en

Implementación Práctica del Controlador PID 29 dicha situación el tiempo suficiente para que la acción integral vuelva a los niveles apropiados. De todo esto se infiere que un controlador con acción integral puede ver degradado enormemente su caracteristica en regimen transitorio si el acutador entra en saturacion. La mayoría de los controladores comerciales actuales llevan incorporados estrategias que proporcionan una desaturación el término integral (antireset windup). Básicamente existen tres esquemas para evitar o reducir al menor tiempo la saturación del término integral. 1. Métodos de integración condicional: Puesto que el objetivo de un integrador es eliminar el error en estado estacionario de la salida del proceso, estos métodos consisten en desconectar la integración del controlador cuando la salida está lejos del estado estacionario, o en limitar la acción integral. En el primer caso hay que seleccionar una determinada banda de error, fuera de la cuál la acción integral quedará congelada, pero esto no evitará que la señal de error tome valores fuera de los límites de la acción integral, pues una elección demasiado conservadora puede provocar qeu la eñal de control no use todo el rango del actuador. 2. Método de seguimiento integral Se basa en realimentar al controlador la diferencia entre la señal de error, la que éste genera, y la señal de control saturada, la que interpreta el actuador; de forma que la diferencia entre ambas sea utilizada por el controlador para llevar la señal de control al msmo valor que la señal saturada. Este método es el más eficaz, pues permite reducir mucho el tiempo de la saturación del término integral, pero necesita conocer en todo momento los límites físicos del actuador, ya sea por medición directa o incorporando un buen modelo del actuador. 3. Métodos de limitación de la entrada En estos métodos se limita el valor de la variable controlada o el cambio en el punto de consigna, es decir, se limitan las entradas del controlador, con el objetivo de evitar un crecimiento de la acción integrl y proteger al sistema de una situación en la cual se esté en situación de lazo roto. Este procedimiento, si bien podría tener buenos resultados en cuanto seguimiento de referencia, no permite tratar con naturalidad el rechazo de perturbaciones. 4.5 Transferencia suave entre modo manual y automático La mayoría de los sistemas de control necesitan tener la posibilidad de poder opear bajo control manual. Para conseguir esto es necesario disponer de un mecanismo adecuado

Implementación Práctica del Controlador PID 30 Figura 20: Seguimiento Integral para conmutar la acción de control automático y cambiar directamente la variable manipulada del proceso. El control manual se realiza a menudo utilizando dos botones. La variable de control aumenta o disminuye según se pulse uno u otro botón y permanece constante si no se actúa sobre ninguno de ellos. Una característica de este tipo va incorporada incluso en los controladores más simples. Existe básicamente un conmutador de modo entre manual y automático y pulsadores de aumentar/disminuir. Es por supuesto también necesario tener una transición suave entre los modos manual y automático para lo cual es preciso asegurar que el estado asociado con el control manual se actualiza convenientemente cuando el regulador está operando en modo automático y viceversa. La misma estrategia de seguimiento integral, presentada en la sección anterior, puede ser utilizada para asegurar una transferencia suave en el cambio de modo manual a automático. La justificación es inmediata: cuando el lazo está en modo manual, el controlador PID está calculando e interpreta que la señal que está generando no es la que recibe el actuador, y por tanto que debe ser recalculada para seguir a la señal que el operador está enviando al actuador. De esta forma, el controlador siempre está preparado para que si se solicita el cambio de manual a automático, la señal de control que él enviará al actuador es la misma qeu estaba enviando el operador. Pero para garantizar la transferencia suave en el cambio de modo automático a manual, ha sido preciso incorporar un módulo adicional tal que la señal de control que enviaría el operador siga a la señal que el controlador está enviando al actuador durante el tiempo que el controlador está en automático. Este módulo adicional tieen la estructura de bloques mostrada en la figura xxx. La entrada SG es para recibir la señal de seguimiento y la otra (PM) para recibir un pulso, tal qeu la acción de control