Capítulo 1 Conceptos básicos

Capítulo 1 Conceptos básicos Introducción Las matemáticas financieras son una rama de las matemáticas aplicadas cuyo objetivo es estudiar el valor del dinero en el tiempo, para lo cual emplea técnicas, métodos y modelos a fin de adoptar la mejor decisión financiera, ya sea en la valuación de empresas, en los proyec tos de inversión, en los mercados de deuda y en general en la planeación financiera. El objetivo de este capítulo es conocer y definir los términos, variables y herramientas que permitirán comprender y aplicar las técnicas, métodos y modelos que se presentan a partir del capítulo 2. Se presentarán los supuestos básicos bajo los cuales se acumula el dinero y se mostrará la representación gráfica de las obligaciones del acreedor y del deudor. Con esta representación, conocida como diagrama de tiempo y valor, se logran identificar tales obligaciones y medir el tiempo en el que se vuelven exigibles para aplicar la fuerza que hace que el dinero crezca : la tasa efectiva de interés. 1.1 Supuestos utilizados en las matemáticas financieras La teoría del interés se refiere a los diversos métodos para el cálculo del interés y la forma en que tanto el capital como el interés se devuelven al prestamista. El interés es la cantidad que se paga por el uso, durante cierto tiempo, de un capital ajeno; para calcularlo se considera el capital objeto de la inversión financiera y la longitud de tiempo que corresponde desde el inicio de la transacción hasta el momento en que se devuelve el capital junto con los intereses. A esta longitud de tiempo se le llama también plazo o término de la operación. La acumulación del capital, derivada del pago de interés, se realiza por medio de funciones llamadas de acumulación; en este texto se verán dos de las que se emplean en la práctica. 15

M a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s Supuestos de la teoría del interés: a) El capital (C) y el interés (I) se expresan en términos monetarios. b) El capital siempre está productivo, es decir, el dinero siempre se incrementa en términos absolutos a través del tiempo (t). El valor cronológico del dinero implica que para t2 > t1, el capital C2 en el momento t2 es mayor que el capital C1 en el momento t1 para t2 > t1 C2 > C1. Esto implica que no se consideran los efectos de la inflación: C2 siempre es mejor que C1. c) Existe una fuerza que hace que el dinero crezca a través del tiempo; a esta fuerza se le conoce como tasa de interés. d) El tiempo durante el cual se pagan efectivamente los intereses (o periodo en el que se paga la tasa de interés). Este tiempo se refiere a la unidad de tiempo con la cual se paga la tasa de interés realmente, que puede o no coincidir con el plazo de la operación. Entre las unidades de tiempo más frecuentes se mencionan las de 7, 14, 28, 91, 182 y 360 días; así, una tasa de interés se acompaña de la unidad de tiempo con la cual se paga. Es importante señalar que para efectos de cálculo conviene expresar el plazo en unidades de tiempo, es decir, el tiempo que se considere como plazo debe referirse al número de unidades o fracciones de unidad; si bien esto facilita los cálculos, no tiene carácter obligatorio. 1.2 Diagrama de tiempo. Concepto y representación En toda transacción financiera se identifica a la parte dueña de los recursos quien los presta y a la parte que solicita en calidad de préstamo tales recursos; ambas partes tienen derechos y obligaciones (A le presta a B un cierto capital C durante un determinado tiempo y le cobra una cantidad por ello; B se obliga a devolver ese capital C, junto con una cantidad adicional). Para representar gráficamente esta operación de préstamo se emplea una recta sobre la cual se construye una escala que muestra los egresos o gastos y los ingresos obtenidos durante los periodos de tiempo que comprenden una operación; se representan sólo obligaciones de A y B porque el derecho de una de ellas es la obligación de la otra; así, se habla únicamente de obligaciones y no de derechos y obligaciones. La escala se inicia en el momento cero, el momento en que se efectúa la operación financiera. En esta escala, las unidades de tiempo (t) son periodos de interés, por ejemplo, si el interés que se paga por una inversión es semestral, entonces la longitud de los intervalos es semestral. Si los intereses se pagan trimestralmente entonces la longitud corresponde a tres meses y la unidad de tiempo es el trimestre. En una escala de tiempo se usan las siguientes convenciones: 16

C o n c e p t o s b á s i c o s a) El número de periodos de interés o la fecha, si se prefiere utilizar fechas, se escriben bajo la escala de tiempo. b) El número 0 en la escala indica siempre la fecha de inicio de la operación. c) El final de un periodo marca el inicio del siguiente periodo. d) Los ingresos o cantidades de dinero que una inversión produce en un periodo determinado (derechos) se indican sobre la escala. e) Los egresos, gastos o salidas de dinero que una inversión requiere en cada periodo (obligaciones) se indican en la parte inferior de la escala. f) El periodo de pago de la tasa de interés y el último periodo en la escala indican al inversionista la unidad de tiempo empleada (meses, trimestres, semestres, años) y la duración de la inversión. g) En una escala de tiempo, las cantidades de dinero que se indican en cada periodo (ingresos o desembolsos del inversionista) pueden ubicarse al inicio o al final de cada periodo; en el primer caso se habla de pagos anticipados y en el segundo de pagos vencidos. Para mostrar el uso de estas convenciones en la elaboración de un diagrama de tiempo, considere el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 Se solicita un préstamo de $2 000 que conviene liquidar mediante una serie de pagos mensuales de $100 que incluyen una parte del capital prestado y los intereses respectivos. La duración de la serie de pagos será hasta el fin de la deuda. 1 Identifique las obligaciones del deudor y del acreedor en un diagrama de tiempo. La unidad de tiempo, o longitud de cada intervalo, es el mes, pues corresponde a la frecuencia del pago de interés. En toda transacción financiera se identifican, más que derechos, obligaciones; en este caso, la obligación del inversionista o prestamista es el desembolso de manera inmediata de $2 000, mientras que la del prestatario es la de pagar $100 al final de cada mes hasta la extinción total de la deuda. La escala de tiempo en que se ubican las obligaciones del prestatario (Obligación A) y del inversionista (Obligación B) es la siguiente: 100 100... 100 Obligación A 0 1 2... n meses Obligación B $2 000 1 En este momento es irrelevante expresar la composición del pago mensual de $100 en capital e intereses. 17

M a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s En el documento se hablará de pagos o flujos de efectivo para denotar depósitos o retiros, indistintamente: los primeros se consideran como pagos positivos y los segundos negativos si no hay lugar a confusión; no obstante, el signo negativo de los egresos no aparece en el planteamiento porque al identificar las obligaciones de las partes se vinculan con una ecuación, es decir, sólo se relacionan pagos propiamente dichos. 2 De manera general, si se deposita una cantidad C en el momento presente para tener derecho a percibir una serie de pagos o flujos de efectivo F al final de cada periodo durante t periodos, se pueden ubicar tales obligaciones en la escala de tiempo siguiente: F f 1 F 2... f t Obligaciones: efectuar t flujos F 0 1 2... t (periodos) C Obligaciones: Depositar en el momento presente el capital C Si los flujos de efectivo F se realizan al principio de cada periodo: F 0 F 1 F 2... F t 1 obligaciones: efectuar t flujos F 0 1 2... t 1 t C Obligaciones: Depositar en el momento presente el capital C Debe observarse que en este caso se termina la obligación de pagar (los flujos F) un periodo antes del último; sin embargo, siguen siendo t flujos de efectivo porque se inició el pago un periodo antes (al inicio del primer periodo). En general, en toda transacción financiera se identifican los siguientes elementos: 1. El capital objeto de la transacción. 2. El tiempo durante el cual se usa el capital hasta que se devuelve junto con su interés. También se le conoce como plazo o término de la operación. 3. El tiempo durante el cual se paga interés. 4. El interés que se paga periódicamente. 2 El término flujos de efectivo se empleará como entradas y salidas de dinero sin anteponer ningún signo algebraico. 18

C o n c e p t o s b á s i c o s 5. La fuerza que hace que el dinero aumente, es decir, la tasa de interés. Se expresa como razón de un tanto de cada unidad de capital prestado, por ejemplo: $10 por cada $100 prestado, es decir = 0.10 o tasa del 10%, indica que por cada $100 prestados se devolverán $10 de interés en el lapso de una unidad de tiempo. La definición formal de tasa efectiva de interés se hará en la sección 1.4 de este capítulo. 1.3 Cómo se acumula el capital La función de acumulación del capital se define con base en una progresión aritmética (crecimiento lineal o simple) o geométrica (crecimiento exponencial o compuesto). El crecimiento del capital se debe al efecto de una tasa de interés y al transcurso del tiempo. En términos prácticos, la acumulación de un capital se efectúa bajo un régimen de interés simple (los intereses son generados sólo y únicamente por el capital original, llamado también principal) o bajo un régimen de capitalización (los intereses generados se reincorporan al capital para producir a su vez nuevos intereses). El régimen de capitalización es el que predomina en el mercado financiero, y su sustento es una función de crecimiento exponencial, de tal forma que la variable independiente es el tiempo. El capital crece en intervalos finitos, de tal manera que durante todo el intervalo se posee el mismo capital que al principio y sólo aumenta al final del intervalo; véase en la gráfica 1.1 la acumulación discreta del capital, que es la que se registra para efectos prácticos. Gráfica 1.1 Acumulación discreta de capital Valor acumualdo (S ) Capital inicial t 0 t 1 t 2... t n 1 t n 19

M a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s Obsérvese en la gráfica que si un capital C se acumula en el intervalo [t j, t j + 1 ] (para j = 0, 1, 2,..., n 1) a una cierta tasa de interés, habrá la misma cantidad C a lo largo del intervalo [t j, t j + 1 ] y sólo se habrá incrementado el capital C (por acumulación de intereses) en el tiempo t = t j + 1. Para ilustrar lo anterior, en la gráfica se utilizó el círculo negro para denotar el valor del capital al inicio del intervalo y el círculo blanco para indicar que al final del intervalo se acreditan los intereses y la nueva cantidad ya aparece registrada al inicio del siguiente. Lo anterior significa que las entidades financieras acreditan el interés sólo en el aniversario del contrato. En teoría, tal incremento no se da en forma escalonada; puede intuirse que existe una fuerza que hace que el capital se incremente continuamente en el intervalo referido, a saber: 3 Gráfica 1.2 Valor acumulado (S) del capital Capital Capital Función lineal del valor acumulado del capital (régimen de interés simple) (a) t Función exponencial del valor acumulado del capital (régimen de interés compuesto) (b) t Obsérvese que ambas líneas son suaves, es decir, son continuas en el tiempo. Aunque existen otras funciones de acumulación, no son de relevancia para efectos prácticos. De las dos funciones, (a) y (b), la exponencial es la que representa el proceso de reincorporación continua del interés al capital para generar nuevos intereses. En este proceso de acumulación opera una tasa de interés continua. 3 La acumulación del capital se origina de la incorporación de intereses al capital; la distinción entre interés simple y compuesto obedece al hecho de que se calcula el nuevo interés en cada periodo a partir del capital original o del acumulado, respectivamente. 20

C o n c e p t o s b á s i c o s En este libro se estudiarán sólo dos funciones de acumulación del capital: la del interés simple (o crecimiento aritmético) y la del interés compuesto (o crecimiento geométrico). En el capítulo 1 se verá el régimen de interés simple y a partir del capítulo 2 el de capitalización. 1.4 La medida del interés Para medir el interés se consideran los tres elementos que se mencionaron en la sección 1.1: capital, interés y tiempo. Sin embargo, la medida fundamental del interés es la tasa efectiva de interés. La tasa efectiva de interés Supóngase que una unidad monetaria se invierte durante una unidad de tiempo (por ejemplo, un día, mes, año, etc.) a una tasa de interés i pagadera precisamente durante esa misma unidad de tiempo. El siguiente diagrama ilustra la operación del interés generado y su incorporación al capital original. Valor acumulado del capital C capital + Interés $1 $1 + $1 i 1 = $1 (1 + i) 0 t = 1 (una unidad de tiempo) Momento en que se Momento en que se paga realiza la operación la tasa de interés Se observa así que el interés se paga atendiendo al capital objeto de la transacción y al tiempo durante el cual la tasa de interés se paga 4 efectivamente. 4 Se dice que una tasa de interés es pagadera o que se paga al final del periodo unitario de tiempo, cuando el prestamista o inversionista recibe una cantidad fija de dinero, el interés pactado en la transacción financiera, por el uso del capital durante ese periodo. 21

M a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s El interés que se pagó por unidad de capital prestado y por unidad de tiempo es: Interés ganado i = (capital prestado) (unidad de tiempo) i = Valor acumulado del capital Capital prestado (capital prestado) (unidad de tiempo) Con base en esta relación, las definiciones de tasa efectiva de interés son las siguientes: El cociente que resulta de dividir la cantidad del interés ganado durante un periodo por el capital invertido al inicio del periodo. La cantidad que se paga al final de un intervalo unitario de tiempo por cada unidad de capital prestado (o invertido) al inicio del mismo. La tasa efectiva de interés se puede calcular para cualquier unidad de tiempo: día, semana, mes, semestre, entre otros. Sea: C el capital objeto de la transacción financiera. I el interés ganado en la operación. i la tasa de interés efectiva pagadera por unidad de tiempo. t el plazo expresado en unidades de tiempo. La unidad de tiempo. corresponde al periodo con el cual se paga la tasa de interés. S el valor acumulado (valor futuro o monto) del capital. La tasa efectiva de interés, i, por unidad de tiempo se obtiene de acuerdo con la definición arriba señalada: I i = C t [1.1] Así, se puede definir a la tasa efectiva de interés como: La medida del interés pagado al final del periodo. La cantidad de dinero que una unidad monetaria invertida al inicio de un periodo de tiempo ganaría durante el periodo. El cociente que resulta de dividir la cantidad de dinero ganada durante el periodo por la cantidad invertida al inicio del periodo. El incremento por unidad de capital bajo el efecto de una fuerza de interés durante un periodo de tiempo. La cantidad que se paga en un intervalo de tiempo por cada unidad de capital invertido. 22

C o n c e p t o s b á s i c o s La relación [1.1] se emplea para calcular el interés (I) ganado De las definiciones [1.1] y [1.2] debe observarse que: I = C i t [1.2] El interés ganado en una operación es una cantidad en dinero, mientras que la tasa de interés es un cociente expresado por regla general como porcentaje. Esta definición implica que el interés se paga al final del periodo de inversión y sólo una vez durante el mismo; la tasa efectiva se refiere al pago de interés por periodo de inversión; a este periodo se le conoce como periodo unitario de tiempo y durante él la tasa efectiva y el capital permanecen constantes. Definición de interés: Cantidad de dinero que se paga por usar el dinero ajeno. Ejemplos que muestran cómo influye la unidad de tiempo en el cálculo de la tasa efectiva Ejemplo 2 Si por una inversión de $10 000 durante seis meses se pagan intereses de $800, cuál es la tasa de interés efectiva a)...anual? b)...semestral? c)...mensual? a) Conviene tomar como unidad de tiempo 5 al año; así el plazo se expresa como ½ de la unidad de tiempo: Capital + Interés = Valor acumulado 10 000 + 800 = Valor acumulado C + I = va 0 t = ½ año $10 000 5 La unidad de tiempo corresponde al periodo en el que se paga la tasa de interés. 23

M a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s Valor acumulado Capital i = = Capital t I C t 800 i = 10 000 (½) la tasa de interés efectiva anual es de 16%. b) Tómese como unidad de tiempo el semestre; el plazo representa entonces una unidad, 1, de tiempo: 10000 + 800 0 t = 1 semestre $10 000 800 i = 10000 (1) la tasa de interés efectiva semestral es de 8%. c) Considérese como unidad de tiempo el mes, el plazo representa entonces 6 unidades de tiempo: 10000 + 800 0 t = 6 meses $10 000 800 i = 10000 (6) la tasa de interés efectiva semestral es de aproximadamente 1.33%. El cuadro 1.1 resume lo anterior: Cuadro 1.1 La unidad de tiempo y la tasa de interés Plazo Capital Intereses Valor acumulado Tasa % Tasa efectiva 6 meses $10 000 $800 $10 800 16.0% anual 6 meses $10 000 $800 $10 800 8.0% semestral 6 meses $10 000 $800 $10 800 1.333% mensual 24

C o n c e p t o s b á s i c o s Aun cuando el plazo sigue siendo el mismo, el periodo o frecuencia del pago de la tasa puede variar, sin embargo debe observarse que en todos los casos produce el mismo interés sobre el mismo capital; a las tasas de interés que poseen esta característica se les conoce como tasas equivalentes. Así, la penúltima columna del cuadro corresponde a tasas efectivas equivalentes. Lo anterior se puede verificar mediante un cálculo directo del valor acumulado (S) utilizando la expresión [1.2] para calcular los intereses y después incorporarlos al capital. a) S = 10 000 + 10 000(0.16)( ) = $10 800 b) S = 10 000 + 10 000(0.08)(1) = $10 800 c) S = 10 000 + 10 000(0.0133)(6) = $10 800 S = C + I [1.3] Del presente ejemplo se desprende que una tasa efectiva de interés debe acompañarse de la indicación del periodo de su pago (como en la última columna del cuadro 1.1). Ejemplo 3 Una deuda de $9 000 vence dentro de dos meses y el importe de los intereses es de $165. Cuál es la tasa de interés que se paga por el préstamo? Supóngase que la operación se pactó el 6 de mayo. Como la tasa de interés solicitada no expresa la frecuencia con la cual se paga, aquí se tomaría como unidad de tiempo el año. $9 000 + $165 0 t = 60 días $9 000 F fecha de vencimiento La longitud del año en días puede ser de 360 o de 365 días; si se considera como de 360 y meses de 30 días, se dice que el interés es ordinario; si es de 365 (y por lo tanto número exacto de días del mes referido), se dice que el interés es exacto. 25

M a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s a) Si se emplea el interés ordinario: Se sabe de la expresión [1.3] que: S = C + I Y a partir de la expresión [1.2]: S = C + Cit S = C (1 + it) [1.4] Como esta expresión ya involucra a la variable I, se puede emplear para responder: $9 165 = $9 000 + $9 000 (i) 60 360 $9 165 = $9 000 (1 + (i) 60 ) 360 0.11 = i la tasa efectiva anual del préstamo es de 11% si se considera el interés ordinario. b) Si se emplea el interés exacto: $9 165 = $9 000 + $9 000 (i) 61 360 $9 165 = $9 000 (1 + (i) 61 ) 360 0.109699 = i la tasa efectiva anual del préstamo es de 10.97% si se considera el interés exacto (año de 365 días y número exacto de días del mes). En ambos casos, la fecha de vencimiento es el 6 de julio. Reglas para medir el tiempo que hay entre dos fechas Tiempo exacto: Tiempo ordinario Regla comercial Se considera al año de 365 días y el número exacto de días del mes o meses referidos; el tipo de interés es exacto. Se considera el año de 360 días y cualquier mes como de 30 días; se dice que el tipo de interés es ordinario o simple. Se considera el año de 360 días y el número exacto de días del mes o meses referidos; se dice que el tipo de interés es comercial o bancario. 26

C o n c e p t o s b á s i c o s Ejemplo 4 Del ejercicio anterior cuál es la tasa de interés efectiva pagadera cada 60 días? Considérese como unidad de tiempo el periodo de 60 días, es decir, la frecuencia del pago de la tasa. Así, el plazo representa una unidad de tiempo. $9 000 + $165 0 t = 1 $9 000 De la expresión [2] se despeja la tasa efectiva de interés. i = I $165 = C t 9000 (1) la tasa efectiva bimestral es de 1.833%. El lector puede verificar que esta tasa es equivalente a 11% anual. Los siguientes ejercicios se realizan bajo la suposición de que el año es de 360 días. Cuando no se especifica si el interés es ordinario o exacto debe entenderse que se refiere al primero: año de 360 días y meses de 30 días. Ejemplo 5 Del ejemplo 3, cuál es la tasa de interés efectiva semestral? i = 0.0183 Considérese como unidad de tiempo el periodo del pago de la tasa, 6 meses, el plazo será unidades de tiempo. $9 000 + $165 0 t = 60 Unidades $9 000 180 de tiempo Si se emplea la expresión: S = C + Cit $9 165 = $9 000 + $9 000 (i) i = 0.055 60 180 27

M a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s la tasa efectiva semestral es de 5.5%. El lector puede verificar que es equivalente a 11% anual y a 1.833% mensual. Ejemplo 6 Se solicita un préstamo de $530 por el cual se cobra un interés de $26. Si la tasa de interés es de 9%, cuál fue la duración del préstamo? Como no se especifica la frecuencia del pago de la tasa de interés, se da por sentado que es anual. Conviene tomar como unidad de tiempo el año. El diagrama es el siguiente: $530 + $26 0 t =? $530 Si despeja a la variable t de la expresión [1.4] la duración del préstamo es de 6 meses con 16 días, aproximadamente. Ejemplo 7 S = C (1 + it) $556 = 530 [1+ 0.09 (t)] t = 0.545073 A qué tasa debería invertirse un capital para triplicar su valor en 18 meses? Si se toma como unidad de tiempo al año de 360 días: 3C 0 t = 540 Unidades C 360 de tiempo S = C (1 + it) 3C = 530 [ 1+ i ( 540 )] 360 3 = [ 1 + i ( 540 )] 360 una tasa de interés efectiva anual de 133.33% permite triplicar cualquier capital si se invierte durante 18 meses. 28

C o n c e p t o s b á s i c o s Ejemplo 8 Hallar el valor acumulado de: a) $1 500 pagaderos en 10 años a 5% efectivo anual. b) $5 000 pagaderos en 6 meses a 4.8% efectivo trimestral. c) $4 000 pagaderos en 5 años 6 meses a 6% efectivo semestral. a) La unidad de tiempo es el año y las obligaciones se ubican en el siguiente diagrama de tiempo. $1 500 0 1 2... 10 años S =? El valor acumulado del capital es: b) La unidad de tiempo es el trimestre S = C + I S = C + Cit S = $1 500 + $1 500 (0.05) (10) S = $2 250 0 1 2 $5 000 t = 2 trimestres S =? El valor acumulado del capital es: c) La unidad de tiempo es el semestre. S = C + I S = C + Cit S = $5 000 + $5 000 (0.048) (2) S = $5 480 0 1 2 3... 11 $4 000 t = 11 semestres S =? 29

M a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s El valor acumulado es: S = C + I S = C + Cit S = $4 000 + $4 000 (0.06) (11) S = $6 640 Ejemplo 9 Un empleado solicitó un préstamo de $150 a liquidar en dos meses y pagó $9 por concepto de interés. Cuál fue la tasa de interés anual? Si la unidad de tiempo seleccionada es el año: la tasa de interés anual es de 36%. I = Cit $9 000 = $150 (i) ( 2 ) 12 i = 0.36 Ejemplo 10 Se solicita un préstamo de $125 y un mes después se liquida mediante el pago de $128.75. Qué tasa de interés anual se pagó? Se considera como unidad de tiempo el año. $128.75 0 1 2... t = 12 meses $125 S = C (1 + it) 128.75 = 125 [ 1+ i ( 1 )] 12 i = 0.36 la tasa de interés pagada fue de 36 % anual. Ejemplo 11 Si una persona presta $3 000 a 10%, cuánto tiempo necesitará para obtener $75 de interés? 30

C o n c e p t o s b á s i c o s Tómese como unidad de tiempo el año. $3 000 + $75 0 1 2 3... t = año o fracción de año $3 000 Si la unidad de tiempo es el año, el cálculo de los intereses es el siguiente: I = C it $75 = $3 000 (0.10) t t = 0.25 años Para ganar $75 por intereses con un capital de $3 000 a 10%, se necesita invertirlo durante tres meses. Obsérvese que también puede emplearse la expresión [1.4]. Conclusiones importantes de los ejemplos resueltos El ejemplo 2 nos permite observar que los resultados varían según se emplee determinada regla para medir el tiempo. Interés ordinario y regla bancaria Si el año se considera de 360 días y los meses de 30, se dice que los intereses se han calculado con el tipo de interés ordinario. Si el año se considera de 360 días y los meses según el número exacto de días que corresponda al mes referido, se dice que los intereses se han calculado mediante la regla bancaria. El ejemplo 3 nos permitió concluir que aun cuando la tasa de interés estaba referida a diferentes periodos de pago (diferentes unidades de tiempo), producía los mismos intereses sobre el mismo capital durante el mismo plazo (véase cuadro 1.1), es decir, se proporcionaron tasas de interés equivalentes. Se dice que dos tasas son equivalentes si producen los mismos intereses sobre el mismo capital durante el mismo plazo. 31

M a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s Presentamos a continuación un ejemplo en el que se emplea el modelo de acumulación del capital S = C (1 + it) para calcular tasas de variación, específicamente tasas de crecimiento; el modelo funciona para aumento o disminución. Ejemplo 12 Cálculo de tasas de crecimiento Las utilidades anuales por ventas de cierta empresa son: Año 2004 2005 2006 2007 Ventas (miles de pesos) 350 410 560 730 a) Cuál es la tasa anual de crecimiento de las utilidades por ventas? b) Cuál es la tasa de crecimiento global de las utilidades por ventas en el periodo de referencia? Aunque este ejemplo no se refiere a inversiones, puede responderse a partir del cálculo de la tasa de interés antes vista, es decir, del modelo de acumulación S = C (1 + it), el cual puede convertirse en un modelo donde las utilidades del año actual se obtienen a partir de las utilidades del año anterior. Si i es la tasa de incremento de las utilidades por ventas: Utilidad t = Utilidad t 1 (1 + i) Utilidad t 1 = i Utilidad t 1 Así, para la información proporcionada se puede graficar el diagrama de tiempo: $350 $410 $560 $730 0 1 2 3 2004 2005 2006 2007 a) La tasa anual de crecimiento de las utilidades se obtiene para el primer año (de 2004 a 2005) 410 = 350 (1 + i) 410 1 = i 350 32

C o n c e p t o s b á s i c o s i = 17.14% Tasa anual de crecimiento de las utilidades por ventas del 2004. Al efectuar los dos cálculos siguientes se obtienen las tasas anuales de crecimiento de las utilidades por ventas para el periodo (2005-2007): Año Tasa anual de crecimiento de utilidades 2005 17.14% 2006 36.59% 2007 30.36% b) La tasa de crecimiento global es el cambio porcentual de dos cantidades en un periodo (en este caso de 2004 a 2007); así, de acuerdo a lo visto sobre tasa de interés, la unidad de tiempo representa tres años: $350 $730 0 1 2004 2007 730 = 350 (1 + i) 730 1 = i 350 De donde la tasa global de crecimiento de las utilidades por ventas en el periodo 2004-2007 es de 108.57%. Debe observarse que las tasas anuales reflejan mejor el comportamiento de las utilidades que la tasa global. 33

M a t e m á t i c a s f i n a n c i e r a s Ejercicios propuestos 1. Calcular el interés ganado por una inversión de $100 000 a una tasa de interés simple de 50% anual durante los primeros tres meses y 6% anual durante los siguientes dos meses. Sol.: $2 250. 2. Por un préstamo otorgado el día de hoy por $12 500, un mes después se pagará $128.71 por concepto de interés, qué tasa de interés se pagará? Sol.: 12.36%. 3. Una persona obtuvo un préstamo de $95, seis meses después liquidó tanto el capital como el interés con un pago de $100. Qué tasa de interés pagó? Sol.: 10.53%. 4. Calcular el interés que gana una inversión de $8 888 a una tasa anual de 54% durante 23 días. Sol.: $306.64. 5. A qué tasa cuatrimestral equivale una tasa semestral de 23%? Sol.: 15.33%. 6. Verifique que en el ejercicio anterior ambas tasas son equivalentes al suponer que invierte $50 000 a un plazo de cinco meses. Encuentre los rendimientos ganados al aplicar cada una de las tasas. Sol.: $9 583.3 en cada caso. 7. Si la tasa trimestral es de 55%, en cuántas quincenas se duplica el capital? Ayuda: Suponga un capital cualquiera; puede ser de $1. Sol.: 10.91 quincenas. 8. En cuántos días se cuadruplica un capital si la tasa de interés anual es de 227%? Sol.: 475.77 días. 9. En cuánto tiempo un capital de $50 000 produce interés de $2 000, si se paga una tasa de interés de 15% anual? Sol.: 96 días. 10. Si un capital de $5 000 se invierte durante tres meses, qué importe tendrán los intereses ganados por el capital si se paga a una tasa efectiva de: a) 12% trimestral; b) 12% anual; c) 12% semestral? Sol.: a) $600, b) $150, c) $300. 34

C o n c e p t o s b á s i c o s Conviene recordar 1. El capital se expresa en términos monetarios. 2. El capital aumenta de valor (sin considerar la inflación) en el tiempo: se debe preferir la cantidad de dinero del día de hoy a la cantidad de dinero del día de ayer sin importar cuál sea esa cantidad. 3. Para efectos teóricos, el capital crece continuamente; sin embargo, en la práctica crece escalonadamente. 4. Una tasa de interés se expresa en porcentaje y se emplea por cálculos aritméticos en decimales. 5. El interés es una cantidad de dinero; no confundir la tasa de interés con el interés. 6. La unidad de tiempo corresponde al periodo en el cual se paga la tasa de interés. Fórmulas financieras Valor futuro (valor acumulado) o monto Fórmula básica S = C + I Valor futuro cuando se involucran el tiempo y la tasa de interés S = C + C i t Fórmula básica S = C (1 + it ) de donde se tiene: Capital C = I i t Tasa de interés i = I C t Plazo t = I C t Nota: se sugiere recordar sólo las expresiones de los recuadros blancos; son básicas porque las variables se obtienen mediante sencillos pasos algebraicos. 35