CAPIULO V ERMODINAMICA - 5 -
5. EL GAS IDEAL Es el conjunto de un gran número de partículas diminutas o puntuales, de simetría esférica, del mismo tamaño y de igual volumen, todas del mismo material. Por tanto son partículas indistinguibles, todas contenidas en un recipiente de gran dimensión comparación con el tamaño de las partículas. 5. ECUACIÓN DE ESADO El estado de las partículas en conjunto, contenidas en un recipiente se describe muy bien por medio de la ecuación de estado del gas ideal:. (5,) En la ecuación: P : es la presión en Pa N-m - ó en atm 0,3kPa 4,7lb-in - V : es el volumen en m 3 0 6 cm 3 0 3 Lit 35,3ft -3 6,04 0 3 in 3 n R : es la temperatura en (elvin) : es el numero de moles en mol : es la constante universal de los gases, su valor es: R 8,34 J-(mol-) -,986 cal-(mol-) - 8,07 0-3 Lit-atm N k : es el número de partículas que conforman el gas : es la constante de Stefan-Boltzmann, su valor es: Siempre que el gas este contenido en un recipiente hermético y pase del estado al estado, la ecuación () se puede reescribir como:. (5,) - 6 -
EJERCICIO: Un volumen de l de oxígeno gaseoso a 40 º C y a la presión de 76 cm Hg se dilata hasta que su volumen es de. 5 l y su presión es de 80 cm Hg. Encontrar el número de moles de oxígeno en el sistema y su temperatura final. SOLUCIÓN: del problema se tiene p 76 cm Hg, V l, 40 º C 33, p 80 cm Hg, V.5 l, n : Aplicando la ecuación de los gases ideales, se tiene: p V n R pv n R atm l n atm. l 0.08 33 mol. n 0.039 moles de O Como no cambia la cantidad de moles entonces la ecuación que dá lugar para determinar es: p V p V p V p V 80 cm Hg.5 l 76 cm Hg l 33 494 EJERCICIO: Un cilindro de m de altura con diámetro interior de 0. m contiene gas propano M 44. g / mol que se usará en una varillada. Inicialmente el tanque se 6 llena hasta que la presión manométrica es de.3x0 Pa y la temperatura es º C. La - 7 -
temperatura del gas se mantiene constante mientras el se vacía parcialmente 5 hasta que la presión manométrica es de.5x0 Pa. Calcule la masa de propano que se gastó. SOLUCIÓN: Del problema se tiene M 44.x0 3 g / mol, h m, d 0. m, p.3x0 6 Pa, º C 95, p.5x0 5 Pa, m propano : Aplicando la ecuación de los gases ideales: p V n R p V m M R m pv M R Ahora la masa de propano que se gastó será: m propano M V R M V p R p M V R ( p p ) M R p d 4 h ( p p ) Reemplazando valores, m propano 3 kg 44.x0 mol p 0. m m 6 5.3x0 Pa.5x0 Pa J 8.34 95 4 mol m propano 0.3 g - 8 -
5.3 ENERGÍA CINÉICA MOLECULAR Po otro lado, del modelo cinético molecular del gas ideal, la energía cinética molecular ( cm ) del gas ideal a una temperatura es: (5,3) En la ecuación: N A 6,0 0 3 moleculas/mol, es el numero de Avogadro. k,3806 0-3 J-(molécula-) -, es la constante de Stefan-Boltzmann Como el número de moléculas o de partículas es, entonces la energía cinética molecular cp de cada partícula de masa m, es igual a: (5,4) 5.4 ENERGÍA INERNA DEL GAS IDEAL Dado que las partículas del gas ideal solo tienen energía cinética, entonces la energía interna (U) del gas ideal es igual a la energía cinética molecular de todas las partículas del gas ideal, esto es: (5,5) EJERCICIO: Determine el volumen que ocupa mol de gas ideal a la temperatura de 0ºC y a la presión P 0,3kPa. SOLUCIÓN: Para usar la ecuación de estado del gas ideal debemos expresar la temperatura en kelvin y dado que Pa J/m 3, se tiene: - 9 -
Por tanto el volumen de mol de gas ideal en estas condiciones es: EJERCICIO: Determine la energía cinética molecular de mol de gas ideal a la temperatura de 0ºC. Cuál es la energía cinética molecular de una partícula en este mol de gas ideal? SOLUCIÓN: La energía cinética molecular para mol se puede calcular a partir de la ecuación: La energía cinética de una sola partícula, se puede hallar dividiendo la energía cinética molecular cm entre el número de partículas en mol de gas ideal. Esto es: ambién se puede hallar el mismo resultado, usando la ecuación (4), esto es: EJERCICIO: En un día de verano, si la temperatura del aire cambia de 7ºC (en la mañana) a 7ºC (al medio día) Cuál es el cambio de energía interna que experimenta mol de aire, suponiendo que se puede considerar como gas ideal? - 0 -
SOLUCIÓN: del problema el cambio de temperatura resulta de: Por tanto la variación de energía interna del gas es: EJERCICIO: Supongamos que el aire de masa molecular M 8.8x0-3 kg/mol, es un gas ideal, cuya temperatura de 0ºC es aproximadamente constante desde la costa hasta la sierra en el Perú. Determine la presión atmosférica en el cruce de ticlio (punto más alto de la carretera central) que se encuentra a 4880m sobre el nivel de mar. SOLUCIÓN: La presión del aire (atmosfera) disminuye con la altura, por tanto, si consideramos la ecuación diferencial de la hidrostática para el aire cuya densidad es? se puede escribir: Considerando que para el aire vale la ecuación de estado del gas ideal, se tiene: Se tiene la densidad? como función de la presión, reemplazamos en la ecuación anterior y se tiene: - -
En la que es la presión atmosférica a nivel del mar. Resolviendo la integral se obtiene la presión P como función de la altura H, esto es: Por tanto la presión atmosférica en ticlio es: EJERCICIO: Un matraz contiene g de oxigeno a la presión absoluta de 0 atm y a la temperatura de 47 º C. Al cabo de cierto tiempo se encuentra que, a causa de un escape, la presión ha descendido a 5/ 8 de su valor inicial y la temperatura ha bajado a 7º C. (a) Cuál es el volumen del matraz? (b) Qué peso de oxigeno se ha escapado entre las dos observaciones? SOLUCIÓN: (a) Si V : volumen del matraz y dado que: m O p g, p 0 atm, 47 º C, 5 ( 0 atm) 6.5 atm, 8 7 º C De la ecuación de estado del gas ideal despejamos el volumen: V n R p atm 0.08 l g mol 30 3g / mol 0 atm V 0.08 l ' (b) m : peso de oxígeno que se ha escapado, Calculando el número de moles de O, O V cte. se tiene: a n O p V ( 6.5 atm)( 0.08 l) amt ( 0.08 )( 300 ) R l mol 0.008 mol de O - -
m O n O M 0.008 mol 3 g mol 0.666 g m O 0.334 g EJERCICIO: El vapor de benceno C6 H 6 tiene una masa molecular de.9x0 5 g. Calcúlese la energía cinética media de traslación de u molécula de vapor de benceno a 00 º C y la velocidad cuadrática media de las moléculas a la misma temperatura. SOLUCIÓN: La energía cinética media de traslación de una molécula está dado por: t m v m 3 B t t 3 B 7.7 x0 3 (.38x0 ) J molecula 3 J molecula 373 Despejando la rapidez y evaluando: v m 3 J 3.38x0 molecula 5 3 B m.9x0 g 373 v m 346. m/ s 5.5 RABAJO DEL GAS IDEAL Cuando el volumen del recipiente que contiene a un gas ideal se expande y cambia desde un valor inicial V i hasta otro valor final V f entonces el gas ideal dentro del recipiente ha efectuado un trabajo que se define por: (5,6) En la ecuación: - 3 -
P : es la presión del gas, expresado en Pa N/m J/m 3 dv : es el cambio diferencial de volumen, expresado en m 3 : es el trabajo, expresado en J (Joule) 5.6 RABAJO ISOBARICO EJERCICIO: Determine el trabajo efectuado por un gas ideal contenido en un recipiente hermético cuando pasa de un estado inicial a otro estado final en una expansión isobárica. SOLUCIÓN: En una expansión isobárica el gas ideal se expande a presión constante por lo que trabajo efectuado por el gas es: (5,7) Note: El trabajo isobárico es positivo si hay un aumento de volumen (V f > V i ) y el trabajo isobárico es negativo si hay una disminución de volumen (V f < V i ) EJERCICIO: Una muestra de gas se expande de V 3. 0 m y p 40 Pa a V 3. 0 m 4 y p 0 Pa a lo largo de la trayectoria B en el diagrama pv de la figura que se muestra. Luego se comprime de nuevo a V a lo largo ya sea de la trayectoria A o la C. Calcule el trabajo neto realizado por el gas para el c lo completo a lo largo de (a) la trayectoria BA y (b) la trayectoria BC. - 4 -
SOLUCIÓN: V 3 3 m, p 40 Pa, V 4 m, p 0 Pa (a) (b) neto neto : rayectoria BA neto : rayectoria BC neto 3 3 ( 40 + 0) 3+ 40( 4) 45 J ( 0) neto + 4 4 3 ( 40 + 0) 3+ 0( 4) 45 J ( 0) neto + + + 4 5.7 RABAJO ISOERMICO EJERCICIO: Determine el trabajo efectuado por un gas ideal contenido en un recipiente hermético cuando pasa de un estado inicial a un estado final en una expansión isotérmica. SOLUCIÓN: En una expansión isotérmica el gas ideal se de a temperatura constante por lo que trabajo efectuado por el gas es: (5,8) - 5 -
Note: El trabajo isotérmico es positivo si hay un aumento de volumen (Vf > Vi ) y el trabajo isotérmico es negativo si hay una disminución de volumen (Vf < Vi ) EJERCICIO: 0.5 mol de un gas monoatómico ideal a -3ºC se expande isotérmicamente hasta triplicar su volumen. Halle el trabajo efectuado por el gas. SOLUCIÓN: Del problema -3ºC 50, por tanto el trabajo es: 5.8 RABAJO ADIABAICO EJERCICIO: Determine el trabajo efectuado por un gas diatomico ideal contenido en un recipiente hermético cuando pasa de un estado inicial a un estado final en una expansión adiabática. SOLUCIÓN: En una expansión adiabática el gas ideal se expande de modo que la presión y el volumen están relacionados por la ecuación: De este modo el trabajo efectuado por el gas es: - 6 -
(5,8) EJERCICIO: Un mol de un gas ideal diatomico se deja expandir a lo largo de la recta que va de a en el diagrama pv de la figura que se muestra. A continuación se comprime isotérmicamente desde hasta. Calcular el trabajo total realizado sobre el gas durante este ciclo. SOLUCIÓN: El trabajo total realizado sobre el gas durante este ciclo, será: total + ( a ) ( + )( 3.5) 7.5 atml. ( b ) Calculando la temperatura : pv n R pv n R atm 3l ( mol) 0.08 atml. / mol. 80.5 Q n R V f ln (Proceso isotérmico) V 0.5 l ( mol)( 0.08 mol ) atm l 80.5 ln 3 l 5.94 atm. l ( g ) - 7 -
Reemplazando ( b ) y ( g ) en ( a ): total 7.5 atm. l 5.94 atm. l total 3.74 J 0.35 J.3 atm. l atm. l EJERCICIO: El diagrama pv de la figura que se muestra representa procesos realizados por 3 moles de un gas ideal monoatómico. El gas está inicialmente el punto A. Las trayectorias AD y BC representan procesos isotérmicos. Si el sistema evoluciona hasta el punto C a lo largo de la trayectoria AEC. Determinar: (a) Las temperaturas inicial y final. (b) El trabajo realizado por el gas. (c) El calor absorbido por el gas. SOLUCIÓN: (a) Aplicando la ecuación de los gases ideales: pv n R A pv n R A A 4 atm 4.0 l 3 moles 0.08 atm. l / mol. 65. (emperatura inicial) Además, pv n R C C pv n R atm 0 l 3 moles 0.08 atm. l / mol. C 8.3 (emperatura final) - 8 -
(b) El trabajo realizado por el gas, será: AEC AEC AEC AE 0 + + EC p V atm( 0 l 4.0 l) 0.35 J 5.99 atm. l atm. l AEC.6 J ( a ) (c) Aplicando la primera ley de la termodinámica: Q U + AEC AEC ( b ) Calculando U : U U U AEC AEC AEC 3 3 Reemplazando ( a ) y ( g ) en ( b ): U AEC n R ( ) C atm. l ( 3moles) 0.08 ( 8.3 65.) mol. 0.35 J 5.94 atm. l atm. l A 60.97 J 60.97 J ( g ) Q AEC 60.97 J +.6x0 3 J Q AEC. J (Calor absorbido por el gas) 5.9 PRIMERA LEY DE LA ERMODINAMICA Es consecuencia de la ley de la conservación de la energía en un proceso de expansión de un gas. Establece lo siguiente: En todo proceso termodinámico de expansión o contracción el calor? Q absorbido o cedido siempre es igual al trabajo? mas el cambio de la energía interna? U que experimenta la sustancia de trabajo. Esto es: (5,9) - 9 -
En la ecuación:?q : es el calor absorbido o cedido, expresado en Joule (J)? : es el trabajo efectuado, expresado en Joule (J)?U : es la energía interna, expresada en Joule (J) EJERCICIO.- El gas se expansiona isotérmicamente hasta que su volumen es de su presión y Se calienta entonces a volumen constante hasta que su presión es de (a) Representar este proceso en un diagrama y calcular el trabajo realizado por el gas. (b) Determinar el calor absorbido durante este proceso. SOLUCIÓN: (a) Del diagrama se observa que el trabajo realizado por el gas es igual al área bajo la curva: (b) Aplicando la primera ley de la termodinámica: - 30 -
EJERCICIO: Una mol de gas ideal mono-atómico se calienta de modo que la temperatura varía con la presión según la ley: temperatura cambia de a donde es una constante. Si la determinar el trabajo realizado por el gas. SOLUCIÓN: Aplicando la ecuación del gas ideal tenemos, Además, El diagrama para este proceso será: El trabajo realizado por el gas es igual al área bajo la curva: EJERCICIO.- Un mol de aire está encerrado a la presión atmosférica en un cilindro mediante un pistón a la temperatura de el gas es Determinar el volumen de gas El volumen inicial ocupado por después de suministrarle el calor equivalente a - 3 -
SOLUCIÓN: De la ecuación del gas ideal, se tiene: Además, Reemplazando esta ecuación en la del volumen : EJERCICIO.- Dos moles de un gas ideal inicialmente a una temperatura de una presión de ya se comprime en forma isotérmica a una presión de Determinar: (a) El volumen final del gas. (b) El trabajo realizado por el gas. (c) El calor transferido. SOLUCIÓN: (a) eniendo en cuenta la ecuación, - 3 -
Reemplazando valores se tiene, (b) El trabajo realizado por el gas, (c) Por la primera ley de la termodinámica, EJERCICIO.- En una expansión isoterma, un gas ideal a una presión expansiona hasta duplicar su volumen inicial. (a) Hall ial se su presión después de la expansión. (b) Luego el gas se comprime adiabática y cuasi estáticamente hasta su volumen original, en cuyo momento su presión vale El gas, es monoatómico, diatomico o poli-atómico? SOLUCIÓN: (a) El diagrama será: eniendo en cuenta la ecuación, - 33 -
(b) Por definición: (Proceso adiabática) (Gas diatómico) EJERCICIO.- La eficiencia de una máquina de Carnot es de de calor por ciclo de una fuente caliente a La máquina absorbe Determine: (a) El calor liberado por ciclo. (b) La temperatura de la fuente fría. SOLUCIÓN: (a) Por definición, Reemplazando valores, (b) Por definición, Reemplazando valores, - 34 -
EJERCICIO.- Dos moles de un gas monoatómico ideal experimenta una expansión isotérmica desde a una temperatura de a Cuál es la variación de entropía del gas? SOLUCIÓN: Para una expansión isotérmica reversible de un gas ideal tenemos, ( Entonces, Donde, EJERCICIO.- Si la capacidad calorífica del gas nitrógeno a presión constante varia con la temperatura de acuerdo a Determine el cambio de entropía de un mol de nitrógeno al calentarlo de a a presión de SOLUCIÓN: eniendo en cuenta, la ecuación, Entonces, - 35 -
EJERCICIOS DE ERMODINAMICA. Un tanque de litro de volumen contiene g de gas nitrógeno a 90. Otro tanque de igual volumen a igual temperatura contiene g de gas oxígeno. (a) Cuál es la presión en cada tanque? (b) Si se bombea el gas oxígeno en el tanque de nitrógeno, Cuál es la presión producida por la mezcla de los dos gases? Suponga que la temperatura permanece constante a 90.. res vasijas aisladas de volúmenes iguales V, se conectan mediante tubos delgados que pueden transferir gas, pero no calor. Inicialmente todas las vasijas se llenan con el mismo tipo de gas a una temperatura y presión. 0 p0 Entonces la temperatura de la primera vasija se duplica y la temperatura de la segunda vasija se triplica. La temperatura de la tercera vasija permanece invariable. Determinar la presión sistema en función de la presión inicial p. 0 p del 3. Dos moles de un gas ideal monoatómico tienen una presión inicial p atm y un volumen inicial V L. Se obliga al gas a realizar el siguiente proceso cíclico: Se expansiona isotérmicamente hasta que tiene un volumen de V 4 L. Luego se calienta a volumen constante hasta que su presión vale p3 atm. Finalmente se enfría a presión constante hasta que vuelve a su estado inicial. (a) Dibujar este ciclo en un diagrama pv. (b) Calcular el calor absorbido o cedido por el gas durante este ciclo en atm. L 3R 5 R Joules. Considere: R 0.08, CV, C p y atm. L 0.35 Joules. mol. - 36 -
4. El diagrama pv de la figura, muestra dos trayectorias a lo largo de las cuales una muestra de gas se puede llevar del estado a al estado b, donde 3.0 V. La trayectoria V b requiere que energía igual a 5.0 p V se transfiera al gas como calor. La trayectoria requiere que energía igual a 5.5 p V sea transferida al gas como calor. Cuál es la razón p p? 5.- Un matraz contiene g de oxigeno a la presión absoluta de 8atm y a la temperatura de 47 º C. Al cabo de cierto tiempo se encuentra que a causa de un escape, la presión ha descendido a 5/ 8 de su valor inicial y la temperatura ha bajado a 7 º C. (a) Cuál es el volumen del matraz? (b) Qué peso de oxigeno se ha escapado entre las dos observaciones? 6.- Sobre un mol de gas ideal se realiza un ciclo cerrado, como se muestra en el diagrama pv. Las temperaturas en los estados y 3 son y 3 respectivamente. Encontrar el trabajo que realiza el gas durante el ciclo, sabiendo los estados y 4 se encuentran en una isoterma. 7. - Un volumen de l de oxígeno gaseoso a 40 º C y a la presión de 76 cm Hg se dilata hasta que su volumen es de. 5 l y su presión es de 80 cm Hg. Encontrar el número de moles de oxígeno en el sistema y su temperatura final. - 37 -
8. - Un cilindro de m de altura con diámetro interior de 0. m contiene gas propano M 44. g / mol que se usará en una varillada. Inicialmente el tanque llena hasta que la presión manométrica es de 6.3x0 Pa y la temperatura es º C. La temperatura del gas se mantiene constante mientras el tanque se vacía parcialmente 5 hasta que la presión manométrica es de.5x0 Pa. Calcule la masa de propano que se gastó. 9.- Un mol de un gas ideal diatomico se deja expandir a lo largo de la recta que va de a en el diagrama pv de la figura que se muestra. A continuación se comprime isotérmicamente desde hasta. Calcular el trabajo total realizado sobre el gas durante este ciclo. 0.- El diagrama pv de la figura que se muestra representa procesos realizados por 3 moles de un gas ideal monoatómico. El gas está inicialmente en el punto A. Las trayectorias AD y BC representan procesos isotérmicos. Si el sistema evoluciona hasta el punto C a lo largo de la trayectoria AEC. Determinar: (a) Las temperaturas inicial y final. (b) El trabajo realizado por el gas. (c) El calor absorbido por el gas. - 38 -
.- Un gas ideal inicialmente a la presión p0 experimenta una expansión libre (adiabática, sin trabajo externo) hasta que su volumen final sea el triple de su volumen inicial. (a) Calcular la presión del gas después de la expansión libre. (b) El gas es luego comprimido lento y adiabáticamente hasta su volumen original, la presión después de la 3 0 compresión es 3 p. Determinar si el gas es monoatómico, diatomico o poli-atómico. (c) Como se compara la energía cinética media por molécula en los estados inicial y final..- Cuatro moles de argón se encuentra inicialmente a la temperatura de 7 º C y ocupan un volumen de 40 l. El gas se expande primero a presión constante hasta duplicar el volumen y después adiabáticamente hasta que la temperatura vuelve a su valor inicial. (a) Dibuje un diagrama pv para este proceso termodinámico. (b) Cuál es el calor total suministrado durante el mismo? (c) Cuál es la variación total de la energía interna del argón? (d) Cuál es el trabajo total realizado por el gas? (e) Cuál es el volumen final? 3.- Durante cada ciclo, una máquina de Carnot extrae 00 J de energía de un foco a 400, realiza un trabajo y elimina calor en otro foco a 300. Calcular la variación de entropía de cada foco en cada ciclo y demostrar que la variación de entropía del universo es cero en el caso de este proceso reversible. - 39 -