EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIA 1. En una C(O; r) se trazan un diámetro AB y un radio OC perpendicular a AB ; se prolonga AB a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan CE y CD que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: OFC= OGC. 2. Un ABC está inscrito en una C(O; r); sus alturas se cortan en H. Demostrar que la recta que une el punto medio N de AH con el punto medio P de AB es paralela a la recta que une O con el punto medio Q de AC. Demostrar que OPNQ es un paralelogramo. 3. Desde el vértice A de un ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan DB y DC. Demostrar que la recta que une el punto medio del radio AB con el punto medio de DC es perpendicular a la recta que une el punto medio AC con el punto medio de DB. 4. En una C(O;r) un diámetro AB y una cuerda AC forman un ángulo de 30 ; se traza la tangente en el punto C que corta al diámetro prolongado en el punto D. Demostrar que el ACD es isósceles. 5. En una semicircunferencia de radio dado R inscribir una circunferencia de radio dado r. Cuál condición deben cumplir los radios R y r para que exista una única solución?, Para dos soluciones?. 6. En una C(O;r) se trazan por los extremos de un diámetro AB dos cuerdas paralelas AC y BD. Probar que ACO= BDO. 7. Por el punto medio O de un segmento AB se traza una recta cualquiera XY ; se toma B' simétrico de B con respecto a XY y se traza B'N OB' con el punto N sobre XY. Probar que NB es tangente a la circunferencia de diámetro AB. 8. Por el punto de contacto A de dos circunferencias tangentes exteriores se traza una cuerda BAC. Demostrar que las tangentes en B y en C son paralelas. 9. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una cuerda AM y en la C(O';r') la cuerda AN AM. Probar que OM O'N. 10. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son secantes en A y B; por A se trazan los diámetros AC y AD. Demostrar que C, B y D están alineados. 11. Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la mayor en C y D. Demostrar que AC =BD y AD =BC. 12. En una C(O;r) se traza una cuerda AB y se toman los puntos medios M del arco mayor AB y N del arco menor AB. Se trazan las bisectrices de los ángulos MAB y MBA que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F; se traza DF que corta a MN en H. Demostrar que: a. El punto I está sobre la recta MN. b. DH=HF. 13. En una C(O; r) se trazan dos radios OA y OB y una cuerda MN perpendicular a la bisectriz del AOB; MN corta a OA en F y a OB en G. Demostrar que: MF=NG y FA=GB.
2 EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS 14. Se trazan dos circunferencias concéntricas. Demostrar que todas las cuerdas de la mayor que son tangentes a la menor son iguales. 15. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de OO' y se traza la perpendicular a AM en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C. Demostrar que AB=AC. 16. En una C(O;r) se tienen un diámetro AB y una cuerda cualquiera CD ; De A se traza la cuerda AE perpendicular a la dirección de CD y de B se traza la cuerda BF perpendicular a CD ; AE y BF prolongados cortan a CD o a sus prolongaciones en G y H. Demostrar que: EG=BH y HC=DG. 17. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto. 18. Considerar un cuarto de circunferencia AOB. Desde los puntos A y B se trazan cuerdas iguales AM=BN; estas cuerdas se cortan en el punto C. Demostrar que OC AB. 19. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares OA y OB y en el mismo sentido con respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son perpendiculares. 20. En una C(O; r) se traza una cuerda AB sobre la que se toma un punto D que se une con un punto cualquiera C de la circunferencia. Por los puntos medios de AD y CD se levantan perpendiculares que se cortan en M. Demostrar que OM AC. 21. Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles. 22. Dados dos puntos A y B sobre una C(O; r) se trazan dos cuerdas cualesquiera AM y AN ; después las cuerdas BM' AM y BN' AN. Demostrar que MN' M'N. 23. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas CC' y DD' perpendiculares a un diámetro AB ; se trazan CD y C'D'. Probar que la recta que une los puntos medios de CD y C'D' es perpendicular al diámetro AB. 24. Se hace pasar una circunferencia por los puntos medios de los tres lados de un triángulo rectángulo. Demostrar que el arco exterior a la hipotenusa es la diferencia de los arcos exteriores a los catetos. 25. En un ABC acutángulo se traza las alturas AD y BE. Probar que la circunferencia de diámetro AB pasa por los pies D y E de las alturas. Si el BAC=64, calcular el ADE. 26. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda AC tal que el BAC=20 y se traza la tangente XDY AC Calcular el valor del ADX y el del BDY. 27. Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes BAC y B'AC'. Probar que BB' CC'. 28. Construir un triángulo rectángulo si se conocen la hipotenusa y un cateto. 29. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en alguna posición. 30. En un ABC inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F. Demostrar que DI=DB.
EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS 3 31. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un ABC, rectángulo en A. Probar que BC es el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B, I y C. 32. En un ABC inscrito en una circunferencia se trazan las alturas AD y BF que se cortan en H; se prolonga AD hasta que corte a la circunferencia en M. Demostrar que HD=DM. 33. Por un extremo A de un diámetro AB de una C(O; r) se traza una cuerda AC ; y por el extremo B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del CAB que corta a la cuerda BC en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y FH=HD. a. Inscrito. b. Circunscrito. 37. Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito ABCD, cuyos lados AB, BC, CD y DA, son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M. a. Demostrar que AD+BC=DC+AB. b. Si los arcos MN, MR miden 110 y 120 y el MIN=95, siendo I el punto donde concurren las diagonales del MNPR, calcular los ángulos de los dos cuadriláteros. 34. Sobre una circunferencia se toman consecutivos y en un mismo sentido de rotación los puntos A, B, C, D y E, tales que los arcos AB, BC, CD y DE midan respectivamente 90, 60, 45 y 105. Encontrar: a. La medida del arco EA. b. El valor de los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB. c. El valor de los ángulos que se forman en el punto H, intersección de las cuerdas EB y AD. d. El valor de los ángulos que se forman en el punto I, intersección de las cuerdas ED y BC. e. El valor de los ángulos que se forman en el punto B, al trazar la recta tangente FBT. 35. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal AC hace con los lados AB y AD ángulos de 45 y con la diagonal BD un ángulo de 70. 36. Construir un triángulo equilátero conociendo el radio del círculo:
4 EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS COMPLEMENTO A LOS EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIA (extraídos del texto geometría euclidiana de Rodolfo Londoño U. de A. por Carlos A. Ríos) Para cada uno de los gráficos siguientes encuentre los ángulos y arcos pedidos. 1. 3. 2. 4. 5.
2 EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS 6. 9. 7. 10. 8. 11.
EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS 3 12. 15. 13. 16. 14.