Inecuaciones Desigualdades Inecuaciones y Ecuación cuadrática Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, a b ó a b. Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia. Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a+c < b+c Propiedad : Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia. Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia. Si a, b, c son números reales tales que a < b y c < 0, entonces ac > bc Intervalos Intervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Se simboliza por ]a, b[ ]a,b[ = {x R / a < x < b} Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza como [a,b] [a,b] = {x R / a x b} Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. Se simboliza por [a,b[ [a,b[ = {x R / a x < b} Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. Se simboliza por ]a,b] ]a,b] = {x R / a < x b} Inecuaciones de primer grado con una incógnita Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax+b 0, ax+b 0, ax+b > 0 ó ax+b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica.
Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si S 1, S,...,S n son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del sistema, entonces: Problemas de inecuaciones S = S 1 S S 3... S n En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos <, >, ó, tales como: a lo menos ( ), cuando mucho ( ), como mínimo ( ), como máximo ( ), sobrepasa (>), no alcanza (<), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema. Ejercicios 1. Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones a) ]1,3[ b) ], 3[ ]3,+ [ c) ],1[ ]3,+ [ d) [1,3] e) ]3,+ [ { x 1 < x+1 >. Cuál es el conjunto solución de todos los números que están a una distancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 0 de 8? a) ]6,8[ b) ]6,8[ c) ] 1, 6[ ]6,8[ d) ],8[ e) ], 1[ ] 6,6[ ]8, [ 3. 3x 8 < 5x+5, cuánto vale x? a) x < 13 b) x > 13 c) x < 13 d) x > 13 e) x > 13
{ x+4 6 4. Según el siguiente sistema de inecuaciones x+1 < 4, cuál es el gráfico solución? a) b) c) d) e) 5. Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47, entonces el número debe ser menor que: a) 4 b) 49 c) 5 d) 8 7 e) 5 7 6. El gráfico que representa al conjunto solución de la inecuación 6 4x es: 7. El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones es: { 3x 6 < 3 4 x 6
8. Cuál es el conjunto de los números impares naturales, tales que su triple aumentado en seis es menor que 57? a) {1,3,5,7,9,11,13,15,17} b) {1,3,5,7,9,10,13,15} c) {1,3,5,7,9,11,13,15} d) {1,3,5,7,9,11} e) Ninguno de los anteriores 9. Si a+15 = b, entonces se puede afirmar que: a) La suma de a y b es 15 b) a es mayor que b c) a es 15 veces b d) a es menor que b e) La diferencia entre a y b, en ese orden, es 15 10. Si 3 a 0 y 3 b 0, que valor(es) puede tomar (a+b)? a) Los valores entre 3 y 3, ambos incluidos b) Solo los valores entre 3 y 0, ambos incluidos c) Solo los valores entre 0 y 3, ambos incluidos d) Solo el 0 e) Ninguno de los anteriores 11. La solución del sistema de inecuaciones { x 3 < 5 x+4 < es el intervalo: a) [,4] b) ],4[ c) ],4] d) [,4[ e) φ 1. Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones a) R b) R {1} c) φ d) ]1,+ [ e) [1,+ [ { 3x 1 > x+1 > 1?
13. Cuál de las siguientes opciones representa al conjunto solución de la inecuación 3 < x 1 < 5? 14. El intervalo que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones es: a) ], ] b) ], [ c) ],5[ d) ],5[ e) [5,+ [ 15. Si x = y e y < 0, cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)? a) Solo I { 4(x+3) < 4 15 x 5 b) Solo II c) Solo I y II d) Solo II y III I) x+y < x y II) x+y < y x III) x y < y x e) I, II y III Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática es aquella que tiene o puede llevarse a la forma: ax +bx+c = 0 a 0 Una ecuación cuadrática se puede resolver por factorización o bien recurriendo a la formula: Ejemplo: x = b± b 4ac a Resolver x 3x+ = 0 mediante factorización y la formula antes mencionada. Por factorización: x 3x+ = 0 (x )(x 1) = 0 x = 0 ó x 1 = 0 x = ó x = 1
Luego las soluciones son x = y x = 1 Por fórmula: primero se deben identificar las constantes ahora reemplazamos en la fórmula Luego: x 3x+ = 0 a = 1, b = 3 y c = b± b 4ac a ( 3)± ( 3) 4(1)() (1) x 1 = 3+1 = = 3± 9 8 = 4 = x = 3 1 = 3± 1 = = 1 Elmétodoqueseelijapararesolverlaecuacióndependedelahabilidadquesetengaparafactorizar. Discriminante de una ecuación cuadrática El que una ecuación cuadrática tenga dos raíces reales y distintas, dos raíces reales iguales, o ninguna raíz real depende del discriminante que se define como: = b 4ac y opera de la siguiente manera: > 0 dos raices reales distintas = Discriminante = b 4ac = = 0 dos raices reales iguales < 0 no existen raices reales En términos gráficos, lo anterior se interpreta como:
Ejemplo: Determinar el o los valores que debe tomar la constante k para que no tenga raíces reales la ecuación x 3x+k = 0 Para resolver el ejercicio necesitamos utilizar el concepto de discriminante y como buscamos que la ecuación no tenga raíces reales, el discriminante debe ser menor que cero: ahora debemos resolver la inecuación asociada: = b 4ac = ( 3) 4(1)(k) < 0 ( 3) 4(1)(k) < 0 9 8k < 0 8k < 9/ ( 1) (ojo cambia el sentido) 8k > 9 k > 9 8 Propiedades de las soluciones de una ecuación cuadrática Si x 1 y x son las soluciones de una ecuación cuadrática, entonces se cumple que: x 1 +x = b a y x 1 x = c a Reconstrucción de la ecuación cuadrática La propiedad anterior sirve para construir la ecuación cuadrática si se conocen las soluciones fijando que a = 1. Otra forma para conocer la ecuación cuadrática cuando se conocen las raíces es Ecuaciones bicuadráticas (x x 1 )(x x ) = 0 Ecuaciones bicuadráticas son aquellas que se reducen a cuadráticas mediante alguna sustitución adecuada. Por ejemplo mediante la sustitución u = x se transforma la ecuación ax 4 +bx +c = 0 en una cuadrática en términos de u. Una ecuación bicuadrática puede tener como máximo 4 raíces reales. Ejemplo: Resolver x 4 3x 4 = 0 Para resolver esta ecuación usamos la sustitución u = x, quedando: x 4 3x 4 = 0, hacemos u = x u 3u 4 = 0, factorizamos (u 4)(u+1) = 0 u 4 = 0 ó u+1 = 0, pero u = x x 4 = 0 ó x +1 = 0 x = 4 ó x = 1 x = ± 4 ó x = ± 1 x = ± ó x = No existe en los reales
Ejercicios, Ecuación cuadrática 1. La ecuación cuyas raíces son 1 4 y 3 es: a) 4x +11x+3 = 0 b) 4x +11x 3 = 0 c) x 11x+3 = 0 d) 4x 11x+3 = 0. Para que la ecuación 3x +4x+k +5 = 0 tenga solo una solución real, k debe ser: 44 a) 1 11 b) 3 c) 1 44 d) 11 3 e) Ninguno de los anteriores 3. Si una de las soluciones de la ecuación x 3ax+10a = 0 es 5, la otra es: a) 10 b) 5 c) 0 d) 5 e) 10 4. El conjunto solución de la ecuación x ax+a b = 0 es: a) {a,1} b) {a+b,a} c) {a b,a} d) {a+b,a b} e) Ninguna de los anteriores 5. Las soluciones de la ecuación 6x +11x 35 = 0 son: a) 5 3 y 7 b) 0 y 5 3 c) 7 y 0 d) 5 3 y 7 e) Ninguno de los anteriores
( 6. Una de las soluciones de la ecuación 5 x+ 1 ) (x ) = 0 es: 7 a) 19 35 b) 5 14 c) 5 d) 14 7. Si en la ecuación x = 6ax 11 una de las raíces es 1, entonces el valor de a es: a) b) c) 6 d) 6 e) 5 3 8. Las soluciones de la ecuación x +x 0 = 0 son: a) 5 y 4 b) 5 y 4 c) 4 y 5 d) 4 y 5 e) 10 y 9. La ecuación cuyas raíces son 0 y es: a) x = 0 b) x + = 0 c) x x = 0 d) x +4x = 0 10. Cuál de los siguientes valores satisface la ecuación x +3x = 7x? a) 3 b) 1 3 c) 3 d) e) Ninguno de los anteriores
11. Las soluciones de la ecuación 4x 0 = 8x son: a) 0 b) 0 y 8 c) 0 y y 4 d) 0, 1. El conjunto solución de la ecuación cuadrática (x+4) +(x 3) = (x 5) es: a) 0 y 8 b) 1 y 0 c) 0 y 1 d) 1 e) 0 y 8 13. La ecuación x +16x 64 = 0 tiene: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II I) Dos raíces reales y distintas II) Dos raíces reales iguales III) No tiene raíces reales 14. La suma de las raíces de la ecuación 30 = 5x+x es: a) 30 b) 5 c) 5 d) 30 e) 6 15. Si las raíces de la ecuación x +ax b = 0 son 3 y 1, entonces a vale: a) 0 b) c) 1 d) 1 e) No se puede determinar 16. Cuál de las siguientes ecuaciones cuadráticas tiene raíces reales e iguales? a) x 4x+6 = 0 b) x 1x 3 = 0 c) x x = 0 d) 3x 4x+16 = 0