Código/Título de la Unidad Didáctica: CALCULOS TRIGONOMETRICOS Actividad nº/título: A2. CALCULO DE ANGULOS Introducción a la actividad Material Didáctico: Tiempo (2 hras) 1. OBJETIVO El objetivo de esta actividad es identificar las fórmulas que permiten obtener el valor de ángulos a partir de datos conocidos. Estos cálculos se obtendrán despejando los ángulos de las fórmulas trigonométricas estudiados en actividades anteriores.
2. CONCEPTOS BÁSICOS. DEFINICIONES Anteriormente, se ha estudiado que la trigonometría nos da la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. A partir de esta definición, se puede suponer que si conocemos los lados de un triángulo rectángulo, podremos obtener el valor de los ángulos del triángulo rectángulo, esto se realiza del siguiente modo: Partimos de las fórmulas trigonométricas del seno, coseno y tangente de un ángulo. memorizar.swf Si en el siguiente caso, en vez de tener como datos conocidos el ángulo y alguno de los lados, lo que se conoce es el valor de dos de los lados del triángulo formado, y se pide calcular el ángulo, se debe despejar el ángulo de las fórmulas del seno, coseno y tangente. Al despejar los ángulos de las fórmulas del seno, coseno y tangente de un ángulo, tendremos tres nuevos conceptos o términos que son: el arcoseno, el arcocoseno y la arcotangente En el siguiente ejemplo, se observa como se obtiene el arcoseno de un ángulo y cual es su utilidad.
arcos.swf Para estudiar los conceptos de arcoseno, arcocoseno y arcotangente, se va a tener en cuenta que la incógnita o valor desconocido es el ángulo, debido a que estas fórmulas nos darán información sobre el valor del ángulo desconocido. Ejemplo en las imágenes el valor desconocido es α, y en función de que datos conocemos del triángulo, se emplean fórmulas diferentes: Arcoseno: En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo, es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo cateto opuesto a α = arcseno ( ) = arceno( ) hipotenusa b Esta expresión se utiliza cuando se debe calcular el valor de un ángulo de un triángulo rectángulo y se conoce la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo que se quiere calcular. arcoseno.swf Arcocoseno: En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo, es el cociente entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa del triángulo cateto contiguo c α = arccos( ) = arccos( ) hipotenusa b Esta expresión se utiliza cuando se debe calcular el valor de un ángulo de un triángulo rectángulo y se conoce la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo que se quiere calcular.
arcococseno.swf Arcotangente: En un triángulo rectángulo, tangente de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo cateto opuesto a α = arctg ( ) = arctg( ) cateto contiguo c Esta expresión se utiliza cuando se debe calcular el valor de un ángulo de un triángulo rectángulo y se conoce el valor del cateto opuesto y el cateto contiguo del ángulo a calcular arcotangente.swf
3. EJERCICIO Por medio de este ejercicio, se van a identificar la aplicación de las fórmulas del arcoseno, arcocoseno y arcotangente y se van a realizar cálculos utilizando la calculadora. ENUNCIADO DEL EJERCICIO (CONSIDERACIONES) Se ha visto las relaciones trigonométricas de un ángulo agudo y se ha visto como en un triángulo rectángulo hay un ángulo de 90º y dos ángulos agudos. Escribe las relaciones correspondientes a cada pregunta para el ángulo β de la imagen. PREGUNTAS Pregunta1 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link) Indica en las casillas los parámetros correspondientes a la fórmula, a partir de los datos de la imagen. β = arcsen( -----------) c β = arcsen( -----------) b ejercicio.swf JUSTIFICACIÓN En un triángulo rectángulo, el valor de un ángulo agudo se puede obtener a partir del la fórmula del arcoseno teniendo en cuenta que: el ángulo es el valor correspondiente al arcoseno del cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo. En la imagen, se observa que el cateto opuesto a β es c y la hipotenusa es b luego: c β = arcsen( -----------) b ejercicio.swf Pregunta2 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link)
Indica en las casillas los parámetros correspondientes a la fórmula, a partir de los datos de la imagen. β = arccos(-----------) a β = arccos(-----------) b ejercicio.swf JUSTIFICACIÓN En un triángulo rectángulo, el valor de un ángulo agudo se puede obtener a partir del la fórmula del arcocoseno teniendo en cuenta que: el ángulo es el valor correspondiente al arcocoseno del cociente entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa del triángulo. En la imagen, se observa que el cateto contiguo a β es a y la hipotenusa es b luego: a cos β = ----------- b ejercicio.swf Pregunta3 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link) Indica en las casillas los parámetros correspondientes a la fórmula, a partir de los datos de la imagen. β = arctang(-----------) c β = arctang(-----------) a ejercicio.swf
JUSTIFICACIÓN En un triángulo rectángulo, el valor de un ángulo agudo se puede obtener a partir del la fórmula del arcotangente teniendo en cuenta que: el ángulo es el valor correspondiente al arcotangente del cociente entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo. En la imagen, se observa que el cateto opuesto a β es c y el cateto contiguo es a luego: β = arctang ----------- c a ejercicio.swf
4. EJERCICIOS Antes de realizar los ejercicios, se va a analizar una nociones sobre la verificación de piezas con relojes comparadores, debido a que en los talleres muchas veces se debe aplicar trigonometría a partir de la información que se obtiene de un útil de media, como en este caso el reloj comparador. Funcionamiento de un reloj comparador En la siguiente animación, se puede apreciar el funcionamiento básico de un reloj comparador. Pulsando en el botón Play, se aprecia como se mide la diferencia de alturas que hay en la pieza de la imagen. RELOJ.SWF Verificación de una pieza sin desnivel con el reloj comparador. Como se ha visto en el ejemplo anterior el reloj comparador da información sobre diferencia de alturas ente dos superficies, teniendo esto en cuenta, observa la siguiente animación y fíjate si la aguja y el palpador del reloj se mueven. Como se observa y se explica en la animación, el desplazamiento del palpador es nulo al igual que el del aguja, debido a que la medida de la superficie de la pieza es la misma. En este caso, no tenemos diferencia de alturas, como en el caso anterior. Pieza0.swf
Verificación de una pieza con desnivel con el reloj comparador En la siguiente animación, a diferencia de la animación anterior, se observa como la aguja del reloj comparador, al igual que el palpador, se mueven cuando el reloj recorre la superficie inclinada de la pieza. En esta caso la aguja de la esfera del reloj da dos vueltas por lo que la diferencia de alturas entre la superficie a y b de la pieza es de 2 mm. Pieza_angulo2.swf pieza1.swf Ejercicio Que respondan a las preguntas planteadas. ENUNCIADO DEL EJERCICIO (CONSIDERACIONES)
En el siguiente ejemplo, se quiere conocer el valor del ángulo de la pieza α, los datos conocidos son los siguientes: - Cada vuelta del reloj comparador, corresponde a un desplazamiento del palpador de 1 milímetro. - Las cotas conocidas de la pieza son las siguientes cotas_pieza1.swf En la siguiente animación dispones de una verificación de la pieza realizada con un reloj comparador. Pieza_angulo2.swf PREGUNTAS Pregunta1 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link) A partir de los datos de la pieza y del - Arcoseno arcoseno.swf dato obtenido de la verificación, - Arcocoseno arcococseno.swf Indica que fórmula se debe emplear para obtener el valor del ángulo : - Arcotangente arcotangente.swf - Arcoseno - Arcocoseno - Arcotangente
Justificación Para responder a esta cuestión, se debe tener en cuenta: La relación que tiene el ángulo desconocido con un triángulo rectángulo Si nos fijamos en la pieza acotada, en la zona correspondiente al ángulo α, podemos generar un triángulo rectángulo. Además si nos fijamos conocemos uno de sus catetos de valor 20. cotas_pieza1_trinagulo.swf Identificar los datos conocidos del triángulo rectángulo relacionado con el ángulo Como se ha visto, se tiene un triángulo rectángulo con un cateto de valor 20. Con el reloj comparador, podemos obtener el valor del otro cateto. Si vemos la animación, se observa como a lo largo del desplazamiento de la zona inclinada de la pieza, la aguja del reloj da dos vueltas. Como en el enunciado se dice que cada vuelta de aguja corresponde a un desplazamiento del palpador de 1 mm, tenemos que el valor del cateto opuesto a α es de 2 milímetros. cotas_pieza1_trinagulo_b.swf Pieza_angulo2.swf Recordar las fórmulas correspondientes al arcoseno, arcocoseno y arcotangente Fórmula del arcoseno : arcoseno.swf Fórmula del arcocoseno :arcococseno.swf Fórmula del arcotangente :arcotangente.swf Identificar cual es la fórmula que utiliza los datos que para nosotros son conocidos en nuestro problema Una vez identificadas las tres fórmulas anteriores, se observa que la fórmula que mejor se adapta a los datos que conocemos para calcular el ángulo α, es la fórmula del arcotangente. Luego la respuesta correcta es la fórmula del arcotangente. Pregunta2 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link)
Calcula el valor del ángulo α a partir de los datos del ejercicio a) 10º b) 5.7º c) 30º cotas_pieza1_trinagulo_b.swf Justificación Se ha visto que para calcular el ángulo la fórmula más adecuada a aplicar es la de la Fórmula del arcotangente. Sustituyendo los valores, correspondientes a los datos conocidos de la pieza en la fórmula, se tiene que: cateto opuesto 2 α = arctg( ) = arctg( ) = arctg(0.1) = 5.7º cateto contiguo 20 arcotangente.swf Pregunta3 Posibles respuestas Doc. De ayuda (link)
Cual es el valor del ángulo que debe inclinarse el cabezal, si se quiere mecanizar un agujero perpendicular a la zona inclinada de la pieza? Si sabemos que el ángulo de inclinación de la pieza es de 30 º. a) α = 60º b) α = 45º c) α = 30º d) α = 90º α = Observa en la animación, el giro que da el cabezal y la relación entre los ángulos que se forman. pieza_angulo_taladrado_b.swf Justificación Como se observa en la imagen, a partir del ángulo conocido de valor 30º, se forma un triángulo rectángulo con un ángulo de 90º y otro de 60º En el ángulo formado, se observa que las líneas que forman el ángulo desconocido α, aparecen en el triángulo rectángulo formado (línea granate y línea negra discontinúa) A partir de esta relación, se observa como la línea granate forma 90º con la línea horizontal donde se encuentra el ángulo de 60º. De aquí se deduce que: 60º + α = 90º despejando α, se obtiene que α = 90º- 60º = 30º sol_taladrado.swf
A MEMORIZAR Fórmula del ARCOseno Fórmula del ARCOcoseno Fórmula de la ARCOtangente INFORMACIÓN EN: Arcoseno.SWF Arcococseno.SWF Arcotangente.SWF