La ecuación de segundo grado para resolver problemas. Como bien sabemos, una técnica potente para modelizar y resolver algebraicamente los problemas verbales es el uso de letras para expresar cantidades desconocidas variables que pueden tomar un conjunto de valores posibles dentro de ciertos intervalos. Uno de los objetivos más importantes de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, especialmente desde el comienzo de la enseñanza secundaria, es dominar dicha técnica. Aunque la modelización algebraica no es algorítmica (no existe una máquina que resuelva automáticamente los problemas verbales), sin embargo, se pueden dar los siguientes consejos o heurísticas que pueden ayudar en dicho proceso (Godino y Font, 2003): 1. Determinar lo que se pide hallar en el enunciado e introducir una variable para representar la cantidad desconocida. Algunas palabras claves como, qué, cuántos, y encontrar, señalan la cantidad desconocida. 2. Buscar relaciones matemáticas entre las cantidades conocidas y desconocidas. 3. Algunas palabras proporcionan claves lingüísticas de posibles igualdades y operaciones. 4. Escribir las relaciones mediante expresiones algebraicas. 5. Tratar de escribir alguna cantidad de dos maneras distintas, lo que producirá una ecuación. 6. Resolver la ecuación o inecuación usando las técnicas formales disponibles. 7. Traducir la solución matemática encontrada al lenguaje original del problema. 8. Evaluar la solución Has encontrado lo que se pedía? Tiene sentido la respuesta? Por ejemplo, si el problema era encontrar el área de un rectángulo, la respuesta -4 sería absurdo. Los anteriores consejos los tendremos en cuenta a la hora de presentarles un grupo de situaciones que ayudarían al tratamiento de las ecuaciones de segundo grado en secundaria y al uso práctico de las mismas en la resolución de problemas. Guardando coherencia con los planteamientos que hemos hecho para el tratamiento de las ecuaciones de primer grado, presentamos a continuación dos actividades lúdicas que podrían ayudar a trabajar las técnicas de resolución de las ecuaciones de segundo grado, en un contexto que puede ser interesante y motivador para los alumnos de secundaria. El primero que presentamos es el de los cuadrados mágicos y el segundo el de los hexágonos algebraicos. Posteriormente, presentamos como los soportes geométricos también ayudan al tratamiento de las ecuaciones de segundo grado y son útiles para demostrar fórmulas que a menudo los alumnos tienden a memorizarlas sin significado alguno.
I. Cuadrado mágico-algebraico. Siguiendo las mismas orientaciones que hicimos en el apartado 1.3., proponemos el uso de cuadrados mágicos para el tratamiento de las ecuaciones de segundo grado. A continuación presentamos un modelo que pueden implementar en el aula y reflexionar con los alumnos el proceso de resolución de las ecuaciones que aparecen implícitas. 4(x+1) x 2(x+2) 4x-1 2x+3 4x+3 (x+1) 2 (x+2) 2 x+1 Preguntas: 1. Escribe las sumas de las ocho líneas del cuadrado mágico. 2. Calcula el valor de x para que sea cuadrado mágico. Procura hacerlo con las ecuaciones más sencillas posibles. 3. Utilizando la suma de la tercera línea horizontal y otra cualquiera se puede obtener una ecuación de segundo grado. Resuélvela y comprueba que una de sus soluciones es el anterior valor de x. 4. Si el número mágico de este cuadrado es 15, halla, con el término central del cuadrado, el valor que debe tener x. 5. Halla el cuadrado numérico correspondiente. II. Hexágono algebraico. De la misma manera que hemos propuesto el uso de los hexágonos algebraicos para el tratamiento de las ecuaciones de primer grado, consideramos que pueden ser una actividad interesante y un contexto motivador para resolver ecuaciones de segundo grado. A continuación presentamos un modelo que pueden llevar al aula de secundaria: Preguntas: a. Si los tres números sobre cada lado y cada radio de la rueda suman lo mismo, arréglatelas para, una tras otra, ir calculando el valor de todas las letras.
b. Escribe la rueda numérica correspondiente.
c. d. e. f. g. h. III. Soportes geométricos para la resolución de problemas. En las actividades que proponemos a continuación (tomadas de Azarquiel, 2000) se necesita de un soporte geométrico para plantear y demostrar ecuaciones de segundo grado. Al igual que en apartadlo 1.4., presentamos unos modelos de problemas que requieren para su resolución que los alumnos recuerden y apliquen algunas propiedades geométricas sencillas para después aplicar o bien, el teorema de Pitágoras a diversos triángulos rectángulos, o bien las definiciones de áreas de las diferentes figuras geométricas para demostrar expresiones algebraicas de forma más contextualizada. 1. El primer grupo de ejercicios pretende el cálculo de los lados de las siguientes figuras geométricas, recordando a los alumnos que han de aplicar la relación que existe entre los lados en los diferentes tipos de triángulos.
a) En este triángulo rectángulo sus 2x + 3x - 3 dados vienen dados por estas 4x - 1 expresiones. Cuánto miden sus lados? Explica cómo lo has hecho. b) Este triángulo está inscrito en la semicircunferencia de radio (x+4). Utilizando las diversas expresiones, halla sus lados. Cómo lo has hecho? c) ABCD es un rombo de diagonal 4x - menor d = 3x-1 y de diagonal mayor D = 5x + 13. sabiendo que su lado se puede expresar como 4x 2, halla su lado y sus diagonales. Qué propiedad has utilizado? El segundo grupo de problemas nos muestra un método histórico para calcular las raíces positivas de la ecuación de segundo grado, que puede servir de introducción a
otros métodos. El problema que plantearemos nos lleva a ir del rectángulo al cuadrado, para ellos se ha reducido el problema a los casos en los que el coeficiente de x 2 es 1 y las raíces son enteras. La situación es: 1) Un rectángulo de 77 m 2 de área tiene un lado 4 cm mayor que el otro. Vamos a calcular la medida de sus lados. a) Si x es el lado menor, cuánto mide el otro? Escribe la ecuación que exprese el área en función de los lados. b) El rectángulo puede dibujarse así: c) Observa las siguientes transformaciones y explica qué se ha hecho en cada paso: 2 77
La solución del problema es la siguiente: a) El área del rectángulo inicial se expresa así: x (x + 4). b) En el primer paso se marca un cuadrado en el rectángulo inicial. En los pasos sucesivos se corta la mitad del rectángulo lateral, se coloca arriba y, finalmente, se añade un cuadrado de 2 cm. c) El lado nuevo del cuadrado es x + 2, y su área (x + 2) 2. d) El cuadrado que se añade en el extremo superior derecho tiene 4 cm 2 2 de área, y el resto de la figura 77 cm2, en total 81 cm 2. e) Igualando los dos valores (x + 2) 2 = 81; x + 2 = 9 (solución única positiva, pues x + 2 es una distancia), x = 7. Luego los lados son x = 7 y x + 4 = 11, que dan, efectivamente, área 7 11 = 77 cm 2. Finalmente, se pueden plantear situaciones en las que se involucren diferentes figuras geométricas como: a) Rectángulo inscrito en circunferencia: Un rectángulo de 30 cm de perímetro está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. Calcula la longitud de los lados del rectángulo. b) Triángulo y rectángulo: Un rectángulo tiene la base igual al lado de un triángulo equilátero, y la altura mide 2 cm menos que la base. Cuánto miden los lados del rectángulo si su área es 1 cm 2 mayor que la del triángulo? Toma 1,73 para 3. Redondea el resultado con dos decimales.
Después de un tratamiento geométrico de la ecuación de segundo grado se podrían plantear situaciones en la que se aplique estos contenidos y técnicas a problemas enunciados en contextos reales. Tales como: a) Un albañil quiere abrir una ventana cuadrada en la cocina de su casa. El precio del vidrio es de 12 por metro cuadrado y el precio del marco de aluminio es de 28 el metro lineal. El material en total costó 171,5. Cuánto mide el lado de la ventana?