POTENCIAS Una Potencia es una expresión de la forma:, que se lee como b elevado a n o b a la n-ésima potencia. b se denomina base y n se denomina exponente. También se puede escribir como un operador en línea: b n o b^n, (así es como se escribe en muchas calculadoras y programas informáticos). Para pasar de la forma inicial a la forma en línea, en ocasiones es necesario añadir paréntesis que no están en la forma original (se altera implícitamente la prioridad de operadores): 2 2^(3 + 5) 4 4 3 3^(2/5) Uso de la calculadora: Las potencias se calculan mediante la tecla la tecla ^ entre la base y el exponente, teniendo en cuenta la necesidad de paréntesis. En otras calculadoras para introducir una potencia se utiliza la tecla, que puede aparecer como segunda función de la tecla Definición a) Exponente entero positivo Si n es un número entero positivo, la potencia indica una multiplicación repetida, es decir, se calcula multiplicando la base a por sí misma, tantas veces como indique el exponente: 2 2 2 2 8 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 81 (Cuando la base es un número negativo debe ir entre paréntesis) 0 5 0 5 0 5 0 25 2 3 2 3 2 3 2 3 8 27 La base puede ser cualquier número real. Si el exponente es un número par, el resultado siempre es positivo y si es impar, el resultado tiene el signo de la base. b) Exponente negativo Cuando el exponente es un número negativo, la potencia se calcula invirtiendo la base y cambiando de signo al exponente. 2 1 2 1 8 ( 3) 1 3 1 81 0 5 1 0 5 1 0 25 4 2 3 3 2 27 8 1 3 3 81 c) Exponente 0: Cuando el exponente es 0 la potencia es siempre 1. Excepto cuando la base vale 0, en ese caso no está definida. a 1 (a 0) (La potencia 0 no está definida) 1
d) Exponente fraccionario: Cuando el exponente es una fracción de numerador n y denominador m, la potencia representa una raíz: a o bien PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS a) Multiplicación de potencias de igual base (dado que la raíz se puede intercambiar con la potencia). El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir: b) División de potencias de igual base El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor: c) Potencia de una potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes): ( ) Observación: La potencia de una potencia se indica usando paréntesis, ya que si se escribe sin paréntesis lo que indica es que la potencia está en el exponente: ( ) Ejemplo: (2 ) 8 64 mientras que sin paréntesis 2 2 512 d) Potencia de un producto La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir: e) Potencia del opuesto: Si n es un número par, ( ) () Si n es un número impar, ( a) (a) f) Potencia de un cociente ( ) La potencia de un cociente de dos números es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente. Ejercicio: 2
Aplica las propiedades de las potencias para transformar en una única potencia las siguientes expresiones, haciendo que la base sea lo menor posible: a) b) Potencias de base 10 Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto de la potencia será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo. 10 1 10 0 000001 10 10 10 0 00001 10 100 10 0 0001 10 1000 10 0 001 10 10000 10 0 01 10 100000 10 0 1 10 1000000 3
RAÍCES La expresión se denomina raíz de orden n o raíz n-ésima de a, siendo n un número entero positivo denominado índice de la raíz y a un número real denominado radicando. Se define como el valor b que cumple la equivalencia: Es decir, el número que elevado al exponente n da como resultado el radicando a. Cuando el índice es 3 se llama raíz cúbica y cuando es 2 se llama raíz cuadrada, y normalmente se omite el índice ( ) Si a es un número real positivo, siempre tiene una raíz positiva de cualquier orden, que es la que se escribe como Pero si a es un número negativo tendrá una sola raíz real, negativa cuando el índice es impar, y no tendrá ninguna raíz real cuando el índice es par. Uso de la calculadora: Dependiendo del modelo la operación de hallar una raíz se hará de forma diferente: En este modelo se introduce el índice de la raíz, a continuación se pulsa la combinación shift + ^,y por último se introduce el radicando. Para la raíz cuadrada o cúbica se pueden utilizar teclas específicas. Ejemplo: 2 se calcula tecleando 5 SHIFT ^ 2 En este modelo se pulsa primero la combinación shift +,para que aparezca un radical con dos huecos, en el índice y en el radicando. Para colocar cada uno de ellos se utilizan las flechas de posicionamiento del cursor. Para la raíz cuadrada o cúbica se pueden utilizar teclas específicas. Ejemplo: 2 se calcula tecleando SHIFT x 2 5 En este modelo se introduce el radicando, a continuación se pulsa la combinación shift +,y por último se introduce el índice de la raíz. Para la raíz cuadrada o cúbica se pueden utilizar teclas específicas. Ejemplo: 2 se calcula tecleando 2 SHIFT 5 La denominación shift es una reminiscencia de las antiguas máquinas de escribir mecánicas, en las cuales cada martillo tenía un símbolo diferente en su parte inferior, al cual se accedía desplazando el rodillo del papel. En algunas calculadoras esa misma tecla se denomina 2nd (aludiendo a que activa una segunda función de la teclas, la cual viene rotulada encima de la misma) Redondeo: Muchas raíces son números irracionales, por lo que en los cálculos se sustituyen por una expresión decimal aproximada, ya que no tienen una expresión decimal exacta. Ejemplo: 2 1,1486983549970350067986269467779 4
No tiene una expresión decimal finita ni periódica porque es un número irracional. Siempre que se utiliza en un problema este número se aproxima por redondeo, al número de cifras que se requiera: Redondeo con 0 decimales: 2 1 Redondeo con 1 decimal: 2 1,1 Redondeo con 2 decimales: 2 1,15 Redondeo con 3 decimales: 2 1,149 Redondeo con 4 decimales: 2 1,1487 Redondeo con 5 decimales: 2 1,14870 Redondeo con 6 decimales: 2 1,148698 Redondeo con 7 decimales: 2 1,1486984 Redondeo con 8 decimales: 2 1,14869835 Etc. Potencias de exponente fraccionario: Una raíz se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario ya que, como consecuencia de ellos, se pueden derivar las propiedades de las raíces como consecuencia de las propiedades de las potencias y de las propiedades de las fracciones. 8 2 4 2 81 3 1 4 1 2 1 81 1 3 2 1 41 27 3 2 ( R) 1 8 1 2 3 1 73 1000000 100 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES a) Raíz de un producto: La raíz del producto de dos factores es igual al producto de las raíces de cada uno de los factores b) Raíz de un cociente: La raíz de un cociente de dos números es igual al cociente de las raíces de cada uno de los números c) Raíz de una raíz: La raíz de otra raíz se puede calcular multiplicando los índices. d) Potencia de una raíz: La potencia se puede intercambiar con la raíz. e) Raíces equivalentes: Dos raíces son equivalentes si se multiplican el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número: Operaciones con raíces Estas propiedades permiten ciertas transformaciones para la manipulación de expresiones radicales: Sacar factores de la raíz, meter factores dentro de la raíz, reducir raíces a común índice, convertir un producto o un cociente de raíces en una única raíz y racionalizar expresiones con raíces en su denominador. 1. Hallar usando la descomposición factorial y las raíces de las potencias La descomposición de 576 en factores primos da, por lo tanto 5
2. Reducir el producto a una raíz única: Para poder multiplicar las raíces previamente se reducen las dos raíces a un mismo índice. Para ello se expresa cada raíz como una potencia de exponente fraccionario y denominadores, se reducen a común denominador: y 3. Extraer de la raíz todos los factores posibles: y las dos fracciones que forman los Para extraer factores se descompone el radicando en factores primos, se expresa la raíz como potencia de exponente fraccionario y se simplifica la fracción separando la parte entera de la parte fraccionaria: ( ) 4. Extraer de la raíz todos los factores posibles: SUMA Y RESTA DE RADICALES: Una expresión en la que aparecen dos o más radicales unidos por un operador de suma o resta, se pueden reducir a un único radical cuando las dos raíces tienen el mismo índice y el mismo radicando, sacando factor común. Pero si las raíces no tienen el mismo radicando o el mismo índice, se dice que no son semejantes, y la expresión se deja en forma compleja. + + Antes de poder saber si dos radicales son o no semejantes, tenemos que sacar factores y simplificar los exponentes. Ejemplo: A primera vista no coinciden ni el radicando ni el índice de la raíz, por lo que no serían semejantes. Pero, si transformamos las dos raíces en otras equivalentes veremos que sí son semejantes: Por lo tanto: RACIONALIZACIÓN La racionalización consiste en transformar una expresión con raíces en su denominador, en otra expresión equivalente sin raíces en su denominador. Para ello se multiplican el numerador y el denominador por una misma expresión, que se determina según sea el denominador. Principalmente se distinguen dos tipos: Si la expresión tiene la forma:, se multiplican por Si la expresión tiene la forma: ±, se multiplican por el conjugado del denominador que es (cambiando el operador central de + a- o de a +). En el primer caso se trata de que al multiplicar las dos raíces del denominador se sumen los exponentes, con lo que desaparece la raíz. En el segundo caso se trata de aplicar la propiedad conocida como suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados y como resultado de estos cuadrados desaparecen las raíces. 1. 2. 3. 4. + 6
LOGARITMOS Dados dos números A y b, se denomina Logaritmo en base b de A y se representa con la expresión log al único número que verifica la ecuación, es decir, es el exponente al que hay que elevar la base b para que el resultado sea A. Para que esta definición sea correcta, tanto A como b deben ser números positivos y b no puede valer 1. log 16 2 (4 16) log 2 (4 ) log 1 0 (4 1) log 8 3 (2 8) El logaritmo de 1 en cualquier base vale siempre 0. log 4 2 ( 4) log 2 1 3 8 2 log 2 ( ) Logaritmo natural, es un logaritmo en el que la base es el número irracional e (de Euler). se expresa de forma abreviada como ln., es decir, ln log. Se denomina natural por sus propiedades matemáticas, aunque en la práctica utilizaremos con más frecuencia el logaritmo decimal. Se denomina logaritmo decimal al logaritmo de base 10. En la expresión de logaritmos decimales se suele omitir la base, cuando escribimos log queremos indicar log log 10 1 (10 10) log 100 2 (10 100) Propiedades: log 0 001 3 (10 0 001) log 100 Las propiedades de los logaritmos se derivan de las propiedades de las potencias: Logaritmo de un producto: log ( ) log + log Logaritmo de un cociente: log log log Logaritmo de una potencia: log ( ) log Logaritmo de una raíz: log Cambio de base: log a) log 6 log 3 + log 2 b) log 5 log 10 log 2 c) log 4 2log 2 d) log 2 e) log 2 Uso de la calculadora: (10 100) Casi todas las calculadoras incluyen una tecla para el cálculo del logaritmo decimal, rotulada log y una tecla para el logaritmo natural, rotulada ln. Cualquier otro logaritmo se calcula haciendo uso de la fórmula de cambio de base. La forma de realizar el cálculo varía según el tipo de calculadora que se utilice. 7
En las que tienen una sola línea en pantalla para presentar los resultados y no muestran la expresión que se está introduciendo, lo habitual es que los argumentos de las funciones (tales como logaritmo, seno, coseno, etc.) se escriban antes de la propia función, de este modo se ahorra el uso de paréntesis, así por ejemplo para calcular log 5, se teclea 5 log Y para calcular un logaritmo en otra base, por ejemplo, aplicando la fórmula del cambio de base, se teclea: 5 log 3 log En calculadoras que tienen dos líneas de pantalla, la superior se utiliza para mostrar la expresión introducida, y la inferior para mostrar los resultados. En este tipo de calculadora los argumentos de las funciones se introducen a continuación de la propia función, escritos entre paréntesis. Para calcular por ejemplo, se introduce la secuencia: log 5 log 3 En calculadoras con natural display se utiliza la tecla log así que no es necesario utilizar la fórmula de cambio de base, se utilizan las teclas de movimiento del cursor para escribir la base y para escribir el argumento. Observación: se obtienen los mismos resultados si se utiliza la tecla del logaritmo natural ln en lugar de la del logaritmo decimal. 8
NOTACIÓN CIENTÍFICA La notación científica es una representación de los números que sirve para trabajar con números muy grandes o muy pequeños. Consiste en expresar el número en forma de producto formado por un primer factor, que es un número decimal comprendido entre 1 y 10 (teniendo una cifra diferente de cero a la izquierda de la coma decimal y el resto de cifras a la derecha) y un segundo factor que es una potencia de 10 (con exponente positivo o negativo según sea el número muy grande o muy pequeño). En una misma expresión se pueden combinar números expresados en forma científica con otros expresados en la forma habitual. La notación científica aparece con frecuencia en fórmulas de física, química, etc. Y en los cálculos que se realizan a partir de ellas. (Constante de gravitación universal 6 67 10, Constante de Avogadro 6 022 10 23 ) OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA Normalización: Para expresar un número en notación científica, se desplaza la coma decimal hacia la derecha o hacia la izquierda hasta que queda una única cifra distinta de cero a la izquierda de la coma decimal y se suma o se resta al exponente de la potencia de 10 tantas unidades como posiciones se haya desplazado la coma decimal., a) 312 3 12 10 b) 0 7 7 10 c) 25 25 10 2 5 10 d) 32 é 32 10 3 2 10 e) 0 00021 2 1 10 Multiplicación y división: Para multiplicar o dividir dos número expresados en notación científica, se multiplican o dividen por separado los dos coeficientes y las dos potencias de 10, y se normaliza el resultado. A 3 12 10 B 7 10 A B (3 12 10 )(7 10 ) 3 12 7 10 10 21 84 10 2 184 10 A B 3 12 10 7 10 3 12 7 10 10 0 45 10 4 5 10 Potencias de exponente entero: Para elevar a un exponente un número expresado en notación científica, se elevan a ese exponente, normalizando después el resultado. A 3 10 A 3 (10 ) 27 10 2 7 10 B 2 10 A 2 (10 ) 0 0625 10 6 25 10 Raíces: Para hallar raíces de un numero expresado en notación científica, se transforma la expresión del número moviendo la coma decimal a la derecha o a la izquierda hasta que el exponente sea múltiplo del índice de la raíz. A continuación se calcula la raíz del coeficiente y de la potencia de 10 y se normaliza el resultado. A 8 1 10 A 81 10 81 10 9 10 B 1 2167 10 B 1 2167 10 12 167 10 2 3 10 Suma y resta: Para sumar o restar números expresados en notación científica, previamente se transforma la expresión de uno de ellos moviendo la coma decimal a la derecha o a la izquierda hasta que el exponente coincida con el del otro número. A continuación se suman los coeficientes (sacando factor común la potencia de 10) y se normaliza el resultado. Siendo A 2 1 10 y B 3 4 10 A + B 2 1 10 + 3 4 10 0 21 10 + 3 4 10 (0 21 + 3 4) 10 3 61 10 9
Ejercicios: 1. Calcular: a. 2. Simplificar sacando todos los factores posibles: a. 2 3 b. 2 3 5 3. Expresar en una única raíz: a. 2 5 b. 2 3 5 2 c. 2 3 25 b. c. 2 3 d. d. e. f. 4. Sumar agrupando los términos que sean semejantes: a. 3 2 8 + c. 3 50 + b. 6 24 54 + d. 2 5 96 32 + 2 3 g. 3 + 2 + 5. Racionalizar a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. c. g. 3 h. 2 e. 75 18 + 144 f. 16 + 128 l. m. n. o. 6. Sabiendo que log 3 0 48 y que log 2 0 30, halla los siguientes logaritmos basándote únicamente en las propiedades de los logaritmos: f) log 6 g) log 9 h) log 12 i) log 0 2 j) log 0 5 k) log 0 25 l) log 0 03 m) log 0 05 n) log o) log p) log 20 q) log 2 r) log 3 s) log t) log 3 u) log 10 v) log 8 w) log 8 x) log 3 7. Siendo 3 5 10, 2 1 10, 8 1 10, Calcula: a. e. b. f. + 2 c. d. g. h. i. : j. 8. Un depósito cilíndrico mide 15 metros de alto y 7 metros de diámetro. Sabiendo que en cada centímetro cúbico caben aproximadamente 60 granos de trigo, calcula el volumen de un grano de trigo en mm 3. Calcula cuántos granos caben en el depósito. 9. Cuántos litros de volumen tiene una esfera cuyo radio es de 150 años luz. (Considera que la velocidad de la luz en el vacío es de aproximadamente 300000 km / s). 10
11 10. Sabiendo que la distancia media de la Tierra al Sol es de aproximadamente 150 millones de km, Calcula cuánto tiempo tarda la luz que sale del Sol en llegar hasta la Tierra. Calcula la velocidad lineal de la tierra en su movimiento de traslación.(en km/h) 11. Sabiendo que la masa del electrón es aproximadamente 9,1 10 31 kg, la de los neutrones y los protones es 1,7 10 27 kg y que en un átomo de hierro típico hay 26 protones, 30 neutrones y 26 electrones. Halla, k. El porcentaje de la masa del hierro que constituyen los electrones. 12. El número de electrones que hay en un bloque de hierro de 3 TM. Equivalencias: Fórmulas Volumen del cilindro: h Volumen de la esfera: Sistema métrico decimal Longitud Superficie Volumen Kilómetro (km) Kilómetro cuadrado (km 2 ) Kilómetro cúbico (km 3 ) Hectómetro (hm) Hectómetro cuadrado Hectómetro cúbico (hm 3 ) (hm 2 ) o hectárea (ha) Decámetro (dam) Decámetro cuadrado Decámetro cúbico (dam 3 ) (dam 2 ) Metro (m) Metro cuadrado (m 2 ) Metro cúbico (m 3 ) Decímetro (dm) Decímetro cuadrado (dm 2 ) Decímetro cúbico (dm 3 ) o litro (l) Centímetro (cm) Centímetro cuadrado (cm 2 ) Centímetro cúbico (cm 3 ) o mililitro (ml) Milímetro (mm) Milímetro cuadrado (mm 2 ) Milímetro cúbico (mm 3 ) 1 km 10 hm 1 hm 10 dam 1 dam 10 m 1 m 10 dm 1 dm 10 cm 1 cm 10 mm 1 km 2 100 hm 2 1 hm 2 100 dam 2 1 dam 2 100 m 2 1 m 2 100 dm 2 1 dm 2 100 cm 2 1 cm 2 100 mm 2 1 km 3 1000 hm 3 1 hm 3 1000 dam 3 1 dam 3 1000 m 3 1 m 3 1000 dm 3 1 dm 3 1000 cm 3 1 cm 3 1000 mm 3 Del litro se derivan otros submúltiplos: el decilitro (dl) y el centilitro (cl). 1 l 10 dl, 1 dl 10 cl, 1 cl 10 ml Longitud de la circunferencia: 2 Área del círculo: Velocidad (las tres ecuaciones son equivalentes), Siendo e la distancia recorrida, t el tiempo empleado en recorrerla y v la velocidad promedio en el trayecto.