INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 55 4 LA CIRCUNFERENCIA 4.1 INTRODUCCIÓN Aunque no requiere ser presentada por conocida que es, la circunferencia es el lugar geoétrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo, llaado centro. A partir de este oento, las cónicas que restan por analizar tienen por lo enos "un cuadrado". Para todas ellas eiste, coo un prier paso, el iso procediiento para transforar su ecuación de la fora general a la fora particular, el cual consiste en dividir toda la ecuación general entre el núero, o núeros, que dejen con coeficiente 1 a todas las variables "al cuadrado". En el caso de la circunferencia, su ecuación en fora general es A + By + D + Ey + F = 0 pero coo se encionó en las páginas 17 y 18 al hablar del análisis de la ecuación general, para que sea circunferencia se requiere que "los cuadrados sean iguales", es decir, que A = B. Por lo tanto, cuando se trata de una circunferencia, su ecuación general puede escribirse coo A + Ay + D + Ey + F = 0 Si se le aplica el prier paso general señalado en el prier párrafo de este nuevo tea, esta ecuación queda dividida entre A, de la siguiente fora: A A D E F + y + + y + = A A A A A 0 que siplificada resulta
Página 56 LA CIRCUNFERENCIA D E F + y + + y + = A A A 0 D E F Al final de cuentas, los coeficientes,, y son núeros tabién, por lo que, A A A para siplificar la escritura, se renobran de la siguiente anera: D A E A F A se renobra coo D ; se renobra coo E ; se renobra coo F ; por lo que la ecuación en fora general de la circunferencia se acostubra escribir de la siguiente anera: La ecuación general de la circunferencia es + y + D + Ey + F = 0 (3.1) Recordando lo que ya se dijo, la ecuación general proporciona una inforación bastante liitada acerca de las características de la figura; en cabio, con la ecuación particular se obtienen los datos necesarios para identificar plenaente a la cónica respectiva. En el caso de la circunferencia, sus características principales son la ubicación del centro y la edida del radio. La ecuación en fora particular proporciona esa inforación. La ecuación particular de la circunferencia es En donde: ( - h) + (y - k) = r (3.) (h, k ) indican las coordenadas del centro; r indica el valor del radio.
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 57 En esta ecuación, h indica el valor de la abscisa del centro, es decir, el valor en del desplazaiento del centro, ientras que k indica el valor de la ordenada del centro, es decir, el valor en y del desplazaiento del centro. Ver figura 4.1. y h Debe tenerse ucho cuidado en que los valores de las coordenadas del desplazaiento del centro, ya que cabian de signo al oento de reeplazarse en la ecuación particular debido al signo negativo que tiene su ecuación particular. k (h, k) Por ejeplo, si una circunferencia tiene radio 4 y su centro en C, 3, le corres- r = ponden en este caso los valores de h = y de k = 3 ; sin ebargo, en la ecuación particular, por el signo enos que ésta tiene, los hace cabiar de signos, quedando ( ) ( y ) + + 3 = 16 figura 4.1 4. TRANSFORMACIONES Debe quedar claro que tanto la ecuación general coo la particular son realente la isa ecuación, solaente que escritas de diferente anera, por lo que es posible hacer transforaciones de una fora a la otra. Para transforar la ecuación de una circunferencia de su fora general a la particular es conveniente practicar antes un proceso algebraico consistente en que teniendo el polinoio cuadrático + D + G, en donde D y G son núeros cualesquiera, pasarlo a la fora ( + ) + k, en donde tabién y k son núeros cualesquiera. A éste últio se le llaa- rá binoio al cuadrado ás un residuo, en el que es el segundo térino del binoio y k es el residuo. Para coprender el proceso perfectaente conviene analizar priero el procediiento inverso, es decir, pasar de un binoio al cuadrado ás un residuo a un polinoio cuadrático. Por ejeplo, si se tiene el polinoio ( + 7) + 3 para convertirlo en un polinoio cuadráti- co es suficiente elevar al cuadrado el binoio y luego suar térinos seejantes. Recordar que un binoio al cuadrado es igual al cuadrado del prier térino, ás el doble producto del priero por el segundo, ás el cuadrado del segundo térino.
Página 58 LA CIRCUNFERENCIA De anera que + 7 + 3 = + 14 + 49 + 3 cuadrado doble cuadrado del priero producto del segundo del priero por el segundo y suando 49 + 3 se llega a que + 7 + 3 = + 14 + 5 El proceso inverso consiste en que dado el trinoio cuadrático arlo en el binoio al cuadrado ás su residuo hecho renglones arriba, se deduce que: + 14 + 5, transfor- + 7 + 3. Analizando el procediiento a) es el cuadrado del prier térino del binoio buscado. Por lo tanto, dicho prier térino es su raíz cuadrada, es decir. b) 14 es el doble producto del prier térino por el segundo, del binoio buscado. Por lo tanto, si 14 se divide entre se le quita lo doble y así se obtiene el segundo térino del binoio. En este ejeplo, es 7 dicho segundo térino del binoio buscado. Hasta este oento se podría escribir que + 14 + 5 = + 7 lo cual no es cierto porque lo escrito del lado izquierdo no es igual a lo escrito del lado derecho, debido a que el proceso no está copleto todavía. Hace falta verificar que lo que está escrito del lado izquierdo realente sea igual a lo que está escrito del lado derecho: + 14 + 5 = + 7 lado izquierdo lado derecho? En el lado derecho eiste un térino de ás y otro de enos respecto de lo que está escrito en el lado izquierdo para que abos lados realente sean iguales. Si se desarrolla entalente el binoio al cuadrado que está indicado en el lado derecho, lo que se tiene allí es:
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 59 a) : que es el cuadrado del prier térino del binoio. Esto está tabién en el lado izquierdo. b) 14 : que es el doble producto del prier térino por el segundo del binoio. Obsérvese que tabién está en el lado izquierdo. c) + 49 : que es el cuadrado del segundo térino del binoio. Pero este + 49 no aparece en el lado izquierdo, por lo tanto está de ás en el lado derecho y debe quitarse restándolo. Ahora bien, el 5 que aparece en lado izquierdo no eiste en el lado derecho, por lo tanto, para que abos lados sean realente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 5 que le falta y quitarse el 49 que le sobra, de la siguiente anera: + 14 + 5 = + 7 49 + 5 Finalente, suando 49 + 5 se llega a que + 14 + 5 = + 7 + 3 Ejeplo 1: Transforar a un binoio al cuadrado ás un residuo el siguiente trinoio cuadrático: 8 9 Solución: Se sabe que del trinoio cuadrático 8 9, es el cuadrado del prier térino del binoio buscado y 8 es el doble producto del prier térino por el segundo del iso binoio. Por lo tanto, el prier térino de ese binoio buscado es ientras que el segundo térino es 4 (se obtiene de dividir 8 ). Provisionalente se coienza escribiendo que? 8 9 = 4 en donde falta todavía investigar si realente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito del lado derecho. Desarrollando entalente el binoio al cuadrado del lado derecho, se ve que allí hay lo siguiente: a) : que es el cuadrado del 1 er térino del binoio. Esto está tabién en el lado izquierdo. b) : que es el doble producto del prier térino del binoio por el segundo. Obsérvese 8 que tabién está en el lado izquierdo.
Página 60 LA CIRCUNFERENCIA c) + 16 : que es el cuadrado del segundo térino del binoio. Pero este + 16 no aparece en el lado izquierdo, por lo tanto está de ás en el lado derecho y debe quitarse restándolo. Ahora bien, el 9 que aparece en lado izquierdo no eiste en el lado derecho, por lo tanto, para que abos lados sean realente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 9 que le falta y quitarse el 16 que le sobra, de la siguiente anera: 8 9 = 4 16 9 8 9 = 4 5 Ejeplo : Transforar a un binoio al cuadrado ás un residuo el siguiente trinoio cuadrático: + 5 1. Solución: Se sabe que del trinoio cuadrático + 5 1, es el cuadrado del prier térino del binoio buscado y 5 es el doble producto del prier térino por el segundo del iso binoio. Por lo tanto, el prier térino de ese binoio buscado es ientras que el se- 5 gundo térino es (se obtiene de dividir 5 ). Provisionalente se coienza escri- biendo que? 5 + = + 5 1 en donde falta todavía investigar si realente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito del lado derecho. Desarrollando entalente el binoio al cuadrado del lado derecho, se ve que allí hay lo siguiente: a) : que es el cuadrado del 1 er térino del binoio. Esto está tabién en el lado izquierdo. b) +5 : que es el doble producto del prier térino del binoio por el segundo. Obsérvese que tabién está en el lado izquierdo. 5 5 c) + : que es el cuadrado del segundo térino del binoio. Pero este + no aparece 4 4 en el lado izquierdo, por lo tanto está de ás en el lado derecho y debe quitarse restándolo. Ahora bien, el 1 que aparece en lado izquierdo no eiste en el lado derecho, por lo tanto, para que abos lados sean realente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 1
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 61 que le falta y quitarse el 5 4 que le sobra, de la siguiente anera: 5 5 + 5 1= + 1 4 5 5 4 + 5 1= + + 4 5 9 + 5 1= + 4 EJERCICIO ADICIONAL Convertir a un binoio al cuadrado ás un residuo los siguientes trinoios cuadráticos: 1) + 1 + 3 ) 3) 1 4) 5) + + 8 6) 7) + + 11 8) 9) 9 10) + 10 7 14 + 11 16 3 3 + 13 + 7
Página 6 LA CIRCUNFERENCIA 4.3 REGLAS PARA LAS TRANSFORMACIONES 1) Para transforar la ecuación de una circunferencia de la fora general a la fora particular: * Se divide toda la ecuación entre el coeficiente de. * Con los térinos + D se obtiene un binoio al cuadrado ás su residuo. * Con los térinos y + Ey se obtiene un binoio al cuadrado ás su residuo. * Se escriben en el lado derecho todas las constantes y se suan. Nota: No olvidar que inicialente la ecuación original estaba igualada a cero. ) Para transforar la ecuación de una circunferencia de la fora particular a la fora general: * Se desarrollan los dos binoios: ( - h) y (y - k). * Se escriben todos los térinos en el lado izquierdo para que quede igualado a cero. * Se suan los térinos seejantes, si resultan algunos y se ordenan. Ejeplo 1: Transforar a la fora particular la ecuación y y + 6 + 4 1 = 0 Solución: Se juntan, en prier lugar, los térinos con las isas variables, es decir, por un lado los que contienen a la variable y por otro a los que contienen a la y. Esto pueden hacerse entalente o en caso necesario escribirlo de la fora 6 + y + 4y 1 = 0 Con los térinos en, es decir, con 6 se obtiene un binoio al cuadrado ás su
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 63 residuo; luego, con los térinos en y, es decir, con y + 4y se obtiene tabién un bino- io al cuadrado ás su residuo: 6 + y + 4y 1 = ( 3) 9 + ( y + ) 4 1 Coo lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialente igualado a cero, significa que todo el lado derecho tabién es igual a cero, por lo que se puede escribir que ( ) ( y ) 3 9+ + 4 1 = 0 Al suar las constantes reduce a 9 4 1 = 5 se ( ) ( y ) 3 + + 5 = 0 1 3 5 7 Y finalente escribiendo esa constante en el lado derecho, la ecuación particular buscada es ( ) ( y ) 3 + + = 5 - -4-6 -8 C Se trata de una circunferencia que tiene por centro, y cuyo radio es r = 5. Su gráfica C( 3 ) está ostrada en la figura 4.. figura 4. Ejeplo : Transforar a la fora particular la ecuación + y + 35 = 0. Solución: Obsérvese, confore se estudió en el análisis de la ecuación general de las cónicas, que se trata de una circunferencia por tener los dos térinos cuadráticos; que está desplazado el centro sobre el eje por eistir térino lineal en ; y que no está desplazado el centro sobre el eje y por no eistir térino lineal en y. Se juntan, en prier lugar, los térinos con las isas variables, es decir, por un lado los
Página 64 LA CIRCUNFERENCIA que contienen a la variable y por otro a los que contienen a la y. Esto pueden hacerse entalente o en caso necesario escribirlo de la fora + + y 35 = 0 Con los térinos en, es decir, con + se obtiene un binoio al cuadrado ás su residuo; luego, con los térinos en y, en este caso solaente con y se obtiene tabién un binoio al cuadrado ás su residuo: + + y 35 = ( + 1) 1 + ( y + 0) 35 Coo lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialente igualado a cero, significa que todo el lado derecho tabién es igual a cero, por lo que se puede escribir que ( ) ( y ) + 1 1+ + 0 35 = 0 Al suar las constantes 1 35 = 36 se reduce a ( ) ( y ) + 1 + + 0 36 = 0 Y finalente escribiendo esa constante en el lado derecho, la ecuación particular buscada es ( ) ( y ) + 1 + + 0 = 36 que tabién puede escribirse, si se desea, coo y + 1 + = 36 figura 4.3
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 65 Se trata de una circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas por radio r = 6. Su gráfica corresponde a la figura 4.3. (, ) C 1 0 y que tiene Ejeplo 5: Transforar a la fora general la ecuación 1 + y = 16. Solución: Se trata de la circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas C1, y radio r = 4, ostrada en la figura 4.4. Elevando al cuadrado abos binoios, se obtiene: y y + 1+ 4 + 4 = 16 igualando a cero: 1 + 1+ 4 + 4 16 = 0 y y suando los térinos seejantes 1+ 4 16 = 11 y ordenando confore a la ecuación general de las cónicas, se reduce a: figura 4.4 y y + 4 + 11= 0 Ejeplo 6: Encontrar las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia cuya ecuación es + y 0 19 = 0. Solución: En este caso se tiene que A = ; B = ; D = 0 ; E = 0; F = 19. El análisis de la ecuación general lleva a que se trata de una circunferencia por ser A = B; que está desplazado el centro sobre el eje por eistir térino lineal en ; y que no está desplazado el centro sobre el eje y por no eistir térino lineal en y. Lo priero que debe hacerse en toda cónica que tenga térinos al cuadrado, es "quitarles el nuerito a los cuadrados", o sea dividir toda la ecuación entre los coeficientes de y de y. En este caso, dividir entre a toda la ecuación. Haciéndolo se obtiene: y + 10 96 = 0
Página 66 LA CIRCUNFERENCIA Después debe pasarse la ecuación a la fora particular: 10 + y 96 = ( 5) 5 + ( y + 0) 96 Coo lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialente igualado a cero, significa que todo el lado derecho tabién es igual a cero, por lo que se puede escribir que ( ) ( y ) 5 5+ + 0 96 = 0 Al suar las constantes 5 96 = 11 se reduce a ( ) ( y ) 5 + + 0 11 = 0 Y finalente escribiendo esa constante en el lado derecho, la ecuación particular buscada es ( ) ( y ) 5 + + 0 = 11 que tabién puede escribirse, si se desea, coo y 5 + = 11 figura 4.5 de donde se deduce que h = 5 y 0,por lo que las coordenadas del centro son k = C( 5, 0) y el radio es r = 11 (figura 4.5). Coo k = 0, el centro no está desplazado sobre el eje y tal coo se había previsto al analizar la ecuación general.
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 67 EJERCICIO 6 Transforar a la fora particular las siguientes ecuaciones y deducir las coordenadas del centro y el radio de cada circunferencia: 1) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) y y + + + 4 + 1= 0 y y + + + 10 + 17 = 0 y y + 4 4 1= 0 y y + + + 1= 0 y y + 10 6 = 0 y y + 6 + 4 36 = 0 4 + 4y 56 + 8y + 196 = 0 3 + 3y + 60 30y + 300 = 0 y y + 16 48 = 0 y + + 18 + 65 = 0 Transforar a la fora general las siguientes ecuaciones de circunferencias: 11) ( + 1) + (y + 9) = 9 1) ( + 7) + (y - ) = 49 13) ( - 3) + (y + 1) = 169 14) ( + 10) + (y + 9) = 81 15) ( + 11) + (y - 1) = 5 16) ( + 13) + (y - 8) = 4 17) ( - 4) + (y + 3) = 1 18) ( - ) + (y - 9) = 36 19) + (y - 5) = 16 0) ( + 6) + y = 400 Hallar los valores de las constantes D, E y F de las circunferencias que se describen: 1) las coordenadas del centro son C(, 0) y su radio es r = 3. ) las coordenadas del centro son C(5, - 1) y su radio es r =. 3) las coordenadas del centro son C(- 6, 10) y su radio es r = 7. 4) las coordenadas del centro son C(0, - 7) y su radio es r = 1. 5) las coordenadas del centro son C(3, - 4) y su radio es r = 4. 6) las coordenadas del centro son C(- 8, - 3) y su radio es r = 9. 7) las coordenadas del centro son C(- 9, 1) y su radio es r = 14. 8) las coordenadas del centro son C(0, 0) y su radio es r = 8. 9) las coordenadas del centro son C(11, 4) y su radio es r = 13. 30) las coordenadas del centro son C(7, 7) y su radio es r = 7.
Página 68 LA CIRCUNFERENCIA 4.4 CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS CONOCIDOS Para que una circunferencia quede bien definida deben conocerse ínio tres puntos por los que pasa. Con dos puntos nada ás no queda bien definida, pues por allí pueden pasar un sinnúero de circunferencias. La figura 4.6 uestra tres circunferencias que pasan por los puntos P y Q. Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos por los que pasa una circunferencia, para hallar su ecuación eisten tres opciones: Priera opción: se sustituyen los valores de y de y de cada punto en la ecuación general de la circunferencia, con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres incógnitas D, E y F, sistea que se resuelve por cualquiera de los étodos conocidos. Una vez encontrados los valores de esas constantes D, E y F, se reeplazan en la ecuación general. P figura 4.6 Q Segunda opción: se sustituyen los valores de y de y de cada punto en la ecuación particular de la circunferencia, con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres incógnitas h, k y r, sistea que se resuelve por cualquiera de los étodos conocidos. Una vez encontrados los valores de esas constantes h, k y r, se reeplazan en la ecuación particular. Tercera opción: Se trazan dos cuerdas uniendo los puntos conocidos; luego se calculan las ecuaciones de sus ediatrices y se obtienen las coordenadas del punto de intersección de dichas ediatrices. Coo éstas pasan por el centro (ver propiedad de la circunferencia, página 9), ese punto es el centro de la circunferencia. Finalente se calcula distancia entre el centro y cualquiera de los puntos conocidos, obteniéndose así el radio. En general, cualquier razonaiento, ientras no sea falso, es válido. Sipleente hay que tener presente la regla del Álgebra que dice que se deben tener igual núero de ecuaciones coo de incógnitas, para poder resolver el sistea. O sea que si se tienen dos incógnitas, deben tenerse dos ecuaciones; si se tienen tres incógnitas, deben tenerse tres ecuaciones. De otra fora no se puede solucionar el sistea. Ejeplo 1: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 8) ; Q(5, 1) y R(-, 0). Hallar su ecuación epleando la priera opción. NOTA: La C no se eplea para nobrar a algún punto, ya que esta letra se reserva ejor para denoinar así al centro. Solución: La ecuación general de la circunferencia es
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 69 y y + + D + E + F = 0 (A) Para el punto P se tiene que = 4 y y = 8. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) se obtiene la priera ecuación con tres incógnitas: 4 + 8 + D 4 + E 8 + F = 0 Haciendo las operaciones indicadas y ordenando se obtiene que 16 + 64 + 4D + 8E + F = 0 4D + 8E + F = 80 (1) Para el punto Q se tiene que = 5 y y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) se obtiene la segunda ecuación con tres incógnitas: 5 + 1 + D 5 + E 1 + F = 0 Efectuando las operaciones indicadas y ordenando se llega a 5 + 1+ 5D + E + F = 0 5D + E + F = 6 () Para el punto R se tiene que = - y y = 0. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) se obtiene la tercera ecuación con tres incógnitas: + 0 + D + E 0 + F = 0 Realizando las operaciones indicadas y ordenando se obtiene 4+ 0 D + 0E + F = 0 D + F = 4 (3) Juntando y resolviendo el sistea de tres ecuaciones con tres incógnitas que resultó: 4D + 8E + F = 80 1 5D + E + F = 6 D + F = 4 3 Este sistea se puede resolver directaente con la calculadora, o bien cabiándole de signo a toda la priera ecuación y luego suándola con la ecuación () y con la (3), para eliinar la variable F, se obtiene un sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas:
Página 70 LA CIRCUNFERENCIA 4D 8E F = 80 5D + E + F = 6 D 7E = 54 ( 4) 4D 8E F = 80 D + F = 4 6D 8E = 76 ( 5) Debe ahora resolverse este nuevo sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5), ya sea por el étodo de sua y resta, por igualación, por sustitución o por deterinantes, aunque se aconseja que se haga ejor con la calculadora: D 7E = 54 4 6D 8E = 76 5 Con la calculadora se obtiene que D = E = 8 F = 8 Teniendo ya los valores de las tres variables D, E y F, se reeplazan en la ecuación general de la circunferencia (A), para obtener finalente la ecuación de la circunferencia pedida: y y + 8 8 = 0 Ejeplo : Una circunferencia pasa por los puntos P(, 4) ; Q(1, - 3) y R(- 7, 1). Hallar su ecuación epleando la segunda opción. Solución: La ecuación particular de la circunferencia es h + y k = r (B) Para el punto P se tiene que = y y = 4. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se obtiene la priera ecuación con tres incógnitas:
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 71 ( ) ( 4 ) h + k = r (6) Para el punto Q se tiene que = 1 y y = - 3. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se obtiene la segunda ecuación con tres incógnitas: ( 1 ) ( 3 ) h + k = r (7) Para el punto R se tiene que = - 7 y y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se obtiene la tercera ecuación con tres incógnitas: ( 7 ) ( 1 ) h + k = r (8) Juntando las tres ecuaciones y resolviendo el sistea de tres ecuaciones con tres incógnitas que resultó: ( ) ( 4 ) h + k = r ( 1 ) ( 3 ) h + k = r ( 7 ) ( 1 ) h + k = r (6) (7) (8) Coo todas están igualadas a r, significa que todos los lados izquierdos son iguales entre sí. De anera que igualando la ecuación (6) con la (7) y luego la (6) con la (8), se reduce el sistea a dos ecuaciones con dos incógnitas. Igualando entonces la ecuación (6) con la (7) : ( - h) + (4 - k) = (1 - h) + (- 3 - k) desarrollando los binoios al cuadrado y escribiendo todos los térinos en el lado izquierdo y eliinando térinos seejantes, se obtiene que: 4-4h + h + 16-8k + k = 1 - h + h + 9 + 6k + k 4-4h + h + 16-8k + k - 1 + h - h - 9-6k - k = 0 Igualando ahora la ecuación (6) con la (8) : - h - 14k + 10 = 0 (9) ( - h) + (4 - k) = (- 7 - h) + (1 - k) desarrollando los binoios al cuadrado y escribiendo todos los térinos en el lado izquierdo y eliinando térinos seejantes: 4-4h + h + 16-8k + k = 49 + 14h + h + 1 - k + k 4-4h + h + 16-8k + k - 49-14h - h - 1 + k - k = 0
Página 7 LA CIRCUNFERENCIA - 18h - 6k - 30 = 0 (10) Juntando la ecuación (9) y la (10) se tiene ahora el siguiente nuevo sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas: - h - 14k + 10 = 0 (9) - 18h - 6k - 30 = 0 (10) Resolviendo el sistea con la calculadora se llega a que h = k = 1 sustituyendo estos valores en la ecuación (6) : + 4 1 = r + + 3 = r 16 + 9 = r r = 5 Teniendo ya los valores de las tres variables h, k y r, se reeplazan en la ecuación particular (3.) de la circunferencia (página 56), para obtener finalente la ecuación de la circunferencia pedida: ( ) ( y ) + + 1 = 5 Ejeplo 3: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 7) ; Q(6, - 7) y R(- 10, 5). Hallar su ecuación epleando la tercera opción. Solución: Se trazan las cuerdas RP y PQ uniendo los puntos conocidos (paso 1, figura 4.7). Sobre estas cuerdas se trazan las ediatrices (paso, figura 4.7) y su intersección es el centro de la circunferencia buscada. finalente, la distancia del centro a cualquiera de los puntos dados es el radio de la circunferencia (paso 3, figura 4.7).
radio INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 73 R cuerda P R s P R s P cuerda ediatriz centro n n Q Q Q Paso 1: Se trazan dos cuerdas uniendo los puntos dados.. Paso : Se trazan las ediatrices a las cuerdas anteriores: El punto de intersección entre ellas es el centro de la circunferencia. figura 4.7 Paso 3: La distancia del punto de intersección de las ediatrices con cualquiera de los puntos dados es el radio.. El procediiento analítico es: a) Calcular la pendiente de la cuerda RP: = y y 1 1 RP = 7 5 4 10 1 RP = = 14 7 b) Obtener la pendiente de la ediatriz a RP. Por el resultado anterior, significa que la pendiente de la ediatriz a RP, por la condición de perpendicularidad, es - 7. c) Calcular las coordenadas del punto edio s de la cuerda RP : = + 1 ; y = y + y 1 = 4 10 ; y = 7 + 5 6 = = 3 ; 1 y = = 6
Página 74 LA CIRCUNFERENCIA Las coordenadas de ese punto edio son: s(- 3, 6). d) Coo se conoce ya un punto por el que pasa la ediatriz a RP y su pendiente, su ecuación (de la ediatriz) es, utilizando la fórula de punto y pendiente de la página 41: y y = 1 1 que en este caso se tienen los valores: sustituyendo valores: 1 = 3 y 1 = 6 = 7 y 6 = 7 3 ( ) y 6 = 7 + 3 y 6 = 7 1 y = 7 1+ 6 y = 7 15 7 + y + 15 = 0 (11) e) Se repiten todos los pasos anteriores ahora con la cuerda PQ. La pendiente de la cuerda PQ es: = PQ = y y 1 1 7 7 4 6 14 PQ = = 7 f) Obtener la pendiente de la ediatriz a PQ. Por el resultado anterior, significa que la 1 pendiente de la ediatriz a PQ, por la condición de perpendicularidad, es. 7 g) Calcular las coordenadas del punto edio n de la cuerda PQ :
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 75 = = + 1 4+ 6 10 = = 5 ; ; ; y y = = y + y 1 7 7 0 y = = 0 Las coordenadas de ese punto edio son: n(5, 0). h) Coo se conoce ya un punto por el que pasa la ediatriz a PQ y su pendiente, su ecuación (de la ediatriz) es, utilizando la fórula de punto y pendiente de la página 41: y y = 1 1 que en este caso se tienen los valores: y 1 1 = 5 coordenadas del punto edio n. = 0 = 1 7 sustituyendo valores: 1 y 0 = 5 7 ( ) 7y = 5 7y 5 = 0 (1) i) Obtener el punto de intersección de las dos ediatrices. Recordar que dicho punto se obtiene resolviendo por siultáneas las ecuaciones que se intersecan. En este caso el sistea de ecuaciones que debe resolverse es la (11) y (1), o sea 7 + y + 15 = 0 7y 5 = 0 Con la calculadora se llega a que = y = 1
Página 76 LA CIRCUNFERENCIA de anera que las coordenadas del punto donde se cortan estas dos ediatrices son C, 1, que son las coordenadas del centro de la circunferencia. j) Calcular el valor del radio, que es la distancia entre el centro y cualquiera de los puntos conocidos, por ejeplo P, utilizando la fórula de distancia entre dos puntos de la página 3: 1 1 d = + y y r = 4 + 7 1 ( 4 ) ( 7 1) r = + + + r = 6 + 8 r = 36 + 64 r = 100 = 10 k) Teniendo las coordenadas del centro y el valor del radio, se sustituyen en la ecuación particular de la circunferencia, para llegar a: h + y k = r ( ) ( y ) + + + 1 = 100 Ejeplo 4: Las coordenadas de un robo son P(- 5, ); Q(3, 8), R(11, ) y S(3, - 4). Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita a dicho robo. Solución: La figura 4.8 uestra gráficaente lo que pide el enunciado de este problea. Para que la circunferencia sea inscrita al robo debe tocar en un solo punto a cada uno de sus lados, es decir, cada lado del robo es tangente a la circunferencia. P Q C R Por lo tanto, la clave para solucionar este problea será recordar la propiedad 1 de la circunferencia vista en la página 9: Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado desde el punto de tangencia. S F figura 4.8
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 77 En la figura 4.8, el punto C representa el centro de la circunferencia (que lo es tabién del robo) y el punto F representa el punto de tangencia entre la circunferencia y el lado RS, por lo que el radio CF y el lado RS son perpendiculares. En este caso, las coordenadas del centro C se pueden deducir a siple vista, lo cual es válido ya que se tiene la seguridad de que los puntos P y R están a la isa altura horizontal ientras que los puntos Q y S están alineados verticalente. Por lo tanto, las coordenadas del centro son C( 3, ). De tal anera que para encontrar la ecuación de la circunferencia ya solaente hace falta saber la edida del radio y para poder calcular la edida del radio hace falta conocer las coordenadas del punto de tangencia F. Todo el proceso siguiente estará encainado a obtener dicha edida. Cuando un problea coo el actual requiere de ás de dos cálculos previos para llegar al resultado pedido, es coún que al estudiante novato se le dificulte encontrar la secuencia que debe seguir. Entonces el anejo de un cuadro de procediiento resulta una herraienta uy eficaz. Para elaborar y anejar un cuadro de procediiento se fora una tabla con cuatro colunas encabezadas con los títulos: CALCULAR, DATOS, FÓRMULA y RESULTADO. En el prier renglón de la tabla y en la coluna correspondiente a CALCULAR se anota lo que se pide en el problea; en la coluna DATOS se ponen los datos requeridos para el cálculo anterior; en la coluna FÓRMULA se escribe la fórula que debe eplearse y finalente en la coluna RESULTADO se anota el resultado obtenido. Para el problea de este ejeplo, el cuadro de procediiento iniciaría así: CALCULAR DATOS FÓRMULA RESULTADO ecuación de la circunferencia. coordenadas del centro (h, k) y longitud r del radio. h + y k = r A continuación, se analiza en la coluna de DATOS cuáles ya se conocen y cuáles no. Es obvio que si ya se conocen todos, ya se puede utilizar la fórula y ya se está en condiciones de llegar al resultado buscado. Pero si se desconoce alguno de los datos, significa que debe calcularse. Entonces se agrega un segundo renglón a la tabla en donde se anota en la coluna CALCULAR ese dato desconocido en el renglón anterior y se llenan las deás colunas con lo que le corresponde. Para el ejeplo presente, ya se conocen las coordenadas del centro que son C( 3, ), es de- cir que h = 3 y k =, ientras que se desconoce la agnitud del radio. Se analiza qué se requiere para poder calcular tal agnitud y se llega a que conociendo las coordenadas del centro de la circunferencia (ya se conocen) y las coordenadas del punto de tangencia, con la fórula de distancia entre dos puntos se obtiene el valor del radio. Agregándolo a la tabla, queda de la siguiente anera:
Página 78 LA CIRCUNFERENCIA CALCULAR DATOS FÓRMULA RESULTADO ecuación de la circunferencia. radio coordenadas del centro (h, k) y longitud r del radio. coordenadas del centro (h, k) y coordenadas del punto de tangencia F. h + y k = r 1 1 d = + y y Se repite el procediiento: Al analizar la coluna DATOS se ve que se desconocen las coordenadas del punto de tangencia F, lo que indica que deben calcularse. Éstas se obtienen resolviendo por ecuaciones siultáneas la ecuación del radio CF con la ecuación del lado RS. Lo anterior se agrega en una nueva fila de la tabla: CALCULAR DATOS FÓRMULA RESULTADO ecuación de la circunferencia. radio coordenadas del punto de tangencia F. coordenadas del centro (h, k) y longitud r del radio. coordenadas del centro (h, k) y coordenadas del punto de tangencia F. ecuación de RS y ecuación de CF. h + y k = r 1 1 d = + y y Por ecuaciones siultáneas. Repitiendo el procediiento, analizando la coluna DATOS se ve que se desconocen las dos ecuaciones allí anotadas. Entonces deben agregarse una fila ás para cada una: (La tabla se inserta en la página siguiente para que no aparezca cortada)
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 79 CALCULAR DATOS FÓRMULA RESULTADO ecuación de la circunferencia. radio coordenadas del punto de tangencia F. ecuación de CF. coordenadas del centro (h, k) y longitud r del radio. coordenadas del centro (h, k) y coordenadas del punto de tangencia F. ecuación de RS y ecuación de CF. coordenadas de un punto por el que pasa y su pendiente r. h + y k = r 1 1 d = + y y Por ecuaciones siultáneas. y y = 1 1 pendiente de CF. pendiente de RS. 1 = 1 ecuación de RS. coordenadas de dos puntos por los que pasa (ya se conocen). y y y y = 1 1 1 1 La ecuación de RS ya se puede calcular porque se tienen todos los datos. Esto quiere decir que el cuadro de procediiento está concluido y que debe procederse a realizar los cálculos de abajo hacia arriba de la tabla. Coenzando con la ecuación de RS: R( 11 ) S( 3 4), ; o sea que 1 = 11 ; y1 =, ; o sea que = 3 ; y = 4 y y y y = 1 1 1 1 ( ) 4 y = 11 11 3 6 y = 11 8 ( )
Página 80 LA CIRCUNFERENCIA 3 y = 11 4 ( ) ( y ) = ( ) 4 3 11 4y 8 = 3 33 3 4y = 5 Nótese que la pendiente de RS es ecuación de RS. RS = 3 4 A partir de la pendiente de RS que resultó RS = tre dos rectas, se deduce que la pendiente del radio CF es 3 4, por la regla de perpendicularidad en- CF = 4 3. Conociendo ya las coordenadas de un punto por el que pasa el radio CF y su pendiente, se calcula su ecuación (ver tabla, renglón 4): C( 3 ), ; o sea que 1 = 3; y1 = CF = 4 3 y y = 1 1 4 y = 3 3 ( ) ( y ) = ( ) 3 4 3 3y 6 = 4 + 1 4 + 3y = 18 ecuación de CF. Con este resultado se puede ya calcular lo establecido en el renglón 3 de la tabla, esto es, resolver por siultáneas las ecuaciones de RS y de CF, o sea el sistea 3 4y = 5 4 + 3y = 18 que haciéndolo con la calculadora se llega a que = 588. y = 184. La tabla del cuadro de procediiento en este oento debe estar llena así:
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 81 CALCULAR DATOS FÓRMULA RESULTADO ecuación de la circunferencia. radio coordenadas del punto de tangencia F. ecuación de CF. coordenadas del centro (h, k) y longitud r del radio. coordenadas del centro (h, k) y coordenadas del punto de tangencia F. ecuación de RS y ecuación de CF. coordenadas de un punto por el que pasa y su pendiente r. h + y k = r 1 1 d = + y y Por ecuaciones siultáneas. 1 1 = 588. y = 184. y y = 4 + 3y = 18 pendiente de CF. pendiente de RS. 1 = 1 CF = 4 3 ecuación de RS. coordenadas de dos puntos por los que pasa (ya se conocen). y y y y = 1 1 1 1 3 4y = 5 Con esto se puede pasar al renglón a calcular la longitud del radio con la fórula de distancia entre dos puntos, ya que se tiene que C( 3 ),, o sea que 1 = 3; y1 = F 5. 88 ; 1. 84, o sea que = 588;. y = 184. 1 1 d = + y y (. ) (. ) CF = 3 5 88 + 1 84.. CF = 88 + 3 84 CF = 8. 944 + 14. 7456 CF = 3. 04
Página 8 LA CIRCUNFERENCIA CF = 4. 8 La tabla del cuadro de procediiento en este oento debe estar llena así: CALCULAR DATOS FÓRMULA RESULTADO ecuación de la circunferencia. radio coordenadas del punto de tangencia F. ecuación de CF. coordenadas del centro (h, k) y longitud r del radio. coordenadas del centro (h, k) y coordenadas del punto de tangencia F. ecuación de RS y ecuación de CF. coordenadas de un punto por el que pasa y su pendiente r. h + y k = r 1 1 d = + y y CF = 4.8 Por ecuaciones siultáneas. 1 1 = 588. y = 184. y y = 4 + 3y = 18 pendiente de CF. pendiente de RS. 1 = 1 CF = 4 3 ecuación de RS. coordenadas de dos puntos por los que pasa (ya se conocen). y y y y = 1 1 1 1 3 4y = 5 Finalente se tiene toda la inforación para proceder a efectuar el prier renglón de la tabla del cuadro de procediiento. Teniendo las coordenadas del centro de la circunferencia C( 3 ), y la agnitud del radio r = 48., con la ecuación particular de la circunferencia se llega a que h + y k = r 3 + y = 4. 8 3 + y = 3. 04
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 83 Este problea tabién se pudo haber resuelto calculando la longitud del radio por edio de la fórula de distancia entre un punto y una recta. Ejeplo 5: Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo radio es r = 8, que adeás pasa por el pun- to P 7, 1 y que tiene su centro sobre la recta 5 11y + 4 = 0 (ver figura 4.9). Solución: Sabiendo las coordenadas del centro y la longitud del radio, con la ecuación particular se obtiene la ecuación de cualquier circunferencia. En este caso ya se sabe la longitud del radio, pero no las coordenadas del centro. Por lo tanto, todos los cálculos deben enfocarse a encontrar tales coordenadas. Las coordenadas del centro de la circunferencia se representan por h y por k. Son dos incógnitas a encontrar y por lo tanto deben plantearse dos ecuaciones siultáneas que tengan coo incógnitas precisaente a h y a k. 5-11y + 4 = 0 Priera ecuación: Coo la recta pasa por el centro de la circunferencia, significa que en ese punto C la de la recta es la isa que la del centro de la circunferencia (que es h ); y de anera seejante, la y de la recta es la isa que la y del centro de la circunferencia (que es k ). Por lo tanto, la ecuación de la recta 5 11y + 4 = 0 se convierte en el centro C de la circunferencia en C figura 4.9 P(7, - 1) 5h 11k + 4 = 0 (1) Segunda ecuación: La ecuación particular de la circunferencia, recordando que el radio es 8, es h + y k = 64. Coo en el punto P que pertenece a la isa circunr = ferencia, allí = 7 y y = 1, entonces la ecuación particular se convierte en ( h) ( k) 7 + 1 = 64 () De anera que el sistea de ecuaciones que debe resolverse es [juntando la ecuación (1) con la ecuación ()]: 5h 11k + 4 = 0 ( h) ( k) 7 + 1 = 64 (1) () Cuando se tienen sisteas de ecuaciones coo éste, uchas veces el étodo ás práctico es el de sustitución, que consiste en despejar una de las incógnitas en una de las dos ecuacio-
Página 84 LA CIRCUNFERENCIA nes (en la que se vea ás fácil de hacerlo) y sustituirla en la otra. En este caso, es ás fácil despejar la h de la ecuación (1). Haciéndolo resulta: 5h 11k + 4 = 0 5h 11k + 4+ 11k 4 = 0+ 11k 4 Recordar que es falso que el 11k pase al otro lado suando. Lo que realente se hace para eliinarlo del lado izquierdo es suar en abos lados de la igualdad +11k. Lo +4 iso puede decirse del. 5h = 11k 4 Ahora, para eliinar el 5 que ultiplica a la incógnita h deben dividirse abos lados de la igualdad entre 5: 5h 11k 4 = 5 5 h = 11k 4 5 Este valor se sustituye en la ecuación (), de lo que se obtiene: 11k 4 7 + ( 1 k ) = 64 5 Sacando coún denoinador en el prier paréntesis: 35 11k + 4 + = 5 ( k ) ( k ) 77 11k + = Elevando al cuadrado abos paréntesis: 5 1 64 1 64 599 1694k + 11k 5 1 64 + + k + k =
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 85 Multiplicando toda la igualdad por 5 para quitar el denoinador: 599 1694k + 11k + 5 + 50k + 5k = 1600 Reduciendo térinos seejantes e igualando a cero: 146k 1644k + 4354 = 0 De donde se obtiene, revolviendo con la calculadora, que k 1 = 7 k = 46. Coo hay dos valores de k, debe haber dos valores de h que correspondan a los prieros. Éstos se obtienen sipleente sustituyendo en la ecuación (1): 5h 11k + 4 = 0 (1) Para k = 7: 5h 11( 7) + 4 = 0 5h 35 = 0 5h = 35 h = 35 3 h = 7 Para k = 4.6: 5h 11 4. 6 + 4 = 0 5h 4. 86 = 0 5h = 4. 86 h = 486. 5 h = 097. Significa que en realidad eisten dos circunferencias que cuplen con las condiciones del enunciado: Tener radio 8, que pasan por el punto P 7, 1 y que adeás tienen su centro sobre la recta cunferencias son 1 ( 7 7) r = 5 11y + 4 = 0. Las coordenadas de los centros de estas dos cir- C, y C ( 097. ; 46. ) Por lo tanto, las ecuaciones de estas dos circunferencias son:
Página 86 LA CIRCUNFERENCIA Para C 7, 7 y r = 8 : 1 h + y k = r ( ) ( y ) 7 + 7 = 64 Para C 0. 97; 4. 6 y r = 8 : h + y k = r (. ) ( y. ) 097 + 46 = 64 La figura 4.10 uestra estas dos circunferencias que cuplen con las condiciones del enunciado de este problea de tener su centro sobre la recta y adeás pasar por el punto P( 7, 1). r C 1 r C P(7, - 1) figura 4.10 CASOS ESPECIALES 1) Si r = 0, la gráfica es un punto. Por ejeplo, + y + 4 6y + 13 = 0.
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 87 Pasándola a la fora particular se obtiene + + y 3 = 0. ) Si r < 0, no eiste gráfica. Por ejeplo, + y 6y + 14 = 0. Pasándola a la fora particular se obtiene 1 + y 3 = 4. EJERCICIO 7 1) Una circunferencia pasa por los puntos P(7, 16) ; Q(- 11, 4) y R(- 10, - 1). Por cualquiera de los tres étodos eplicados, encontrar su ecuación. ) Una circunferencia pasa por los puntos P(11, 7) ; Q(4, - 10) y R(- 6, - 10). Por cualquiera de los tres étodos eplicados, encontrar su ecuación. 3) Una circunferencia pasa por los puntos P(10, - 1) ; Q(- 14, 0) y R(- 11, 9). Por cualquiera de los tres étodos eplicados, encontrar su ecuación. 4) Una circunferencia pasa por los puntos P(- 3, - 8) ; Q(-, - 1) y R(- 9, 0). Por cualquiera de los tres étodos eplicados, encontrar su ecuación. 5) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: P( 7, 8) ; Q( 5, - 6 ) y R( - 11, ). Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Sugerencia: Ver propiedades de los triángulos, página 6. 6) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: P( 5, 1 ) ; Q( 5, - 1 ) y R( -13, 0). Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Sugerencia: Ver propiedades de los triángulos, página 6. 7) La ecuación de una circunferencia es ( - ) + ( y-6 ) =5 gente a dicha circunferencia en el punto 4.11.. Hallar la ecuación de la recta tan- P( 5, ). Ver figura C figura 4.11 P(5, )
Página 88 LA CIRCUNFERENCIA 8) La ecuación de una circunferencia es + (y + ) = 100. Encontrar la ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferencia en el punto P(- 8, 4). P(-1, 14) 9) La ecuación de una circunferencia es + y - 4-1y + 15 = 0. Encontrar la ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferencia en el punto P(-, 9). 10) La ecuación de una circunferencia es + y - - 168 = 0. Calcular la ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferencia en el punto P 11, -5. 11) Los etreos de uno de los diáetros de una circunferencia son los puntos P( -1, 14 ) y Q( 6, -10). Hallar la ecuación de dicha circunferencia (ver figura 4.1). 1) Los etreos de uno de sus diáetros de una circunferencia son los puntos P (-8, 11 ) y Q( -, -3). Hallar la ecuación de dicha circunferencia. 13) Las coordenadas de los tres vértices de un triángulo son: P(, 5 ); Q( -1, 7 ) y R( -3, -5). Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado QR (ver figura 4.13). Q(6, -10) figura 4.1 Q(-1, 7) P(, 5) R(-3, -5) figura 4.13 14) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: P( 4, 0) ; Q( -3, 17 ) y R (-13, -7). Hallar la ecuación de la circunferen- cia que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado QR. C Q(1, 1) 15) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje P( 9, -9) Y y pasa por los puntos y Q 1, 1. Ver figura 4.14. 16) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje P( 0, 3 ) X y pasa por los puntos y Q 7, -4. figura 4.14 P(9, -9) 17) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto Q 9, -5 y que es tangente a la recta 5 + 1y + 184 = 0 en el punto P(- 8, - 1) (ver figura 4.15). 18) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto Q, 7 y que es tangente a la recta 4-3y + 38 = 0 en el punto P(- 5, 6). P(-8, -1) 5 + 1y + 184 = 0 figura 4.15 Q(9, -5)
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 89 19) Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas 3-4y + 61 = 0 y 3 + 4y - 31 = 0 y tiene por radio r = 10, (ver figura 4.16). 0) Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las dos rectas 3-4y - 18 = 0 y 3 + 4y + 4 = 0 y cuyo radio es r = 5. 1) Coprobar que la circunferencia cuya ecuación es + y + 18-6y + 65 = 0 es tangente eterior con la circunferencia de ecuación + y - 30y + 15 = 0. Ver figura 4.17. ) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo radio es r = 5 y que es tangente interior en el punto P( -57, 9) ( - 3 ) + ( y - 4 ) = 45 a otra circunferencia cuya ecuación es. Ver figura 4.18. 3-4y + 61 = 0 r = 10 figura 4.16 3 + 4y - 31 = 0 3) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son P( -, - ) Q( - 5, ), y R 4, 6. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por diáetro al lado AC. 4) En el triángulo del problea anterior, hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por diáetro a la ediana al lado AC. figura 4.17 P(-57, 9) r = 5 C(3, 4) r = 65 figura 4.18