LOGARITMOS Y APLICACIONES.- LOGARITMOS El logaritmo en base a > 0 y ( ) de un número N es el exponente al que hay que elevar la base para que dé dicho número: log a N = x a x = N Los logaritmos de base 0 se llaman decimales y se representaban por log, y los logaritmos de base el número e se llaman naturales o neperianos y se representaban por ln o L. Propiedades elementales: ) log a a = y log a = 0 ) log a a x = x Otras propiedades: ) log a MN ( )= log a M + log a N M ˆ 4) log a N = log M - log N siempre que N 0 a a 5) log a N m = mlog a N "m ŒR Transformación de logaritmos: 6) log a N = ln N ln a o mas generalmente log a N = log b N log b a Otras propiedades: 7) Los logaritmos de un número en dos bases inversas a y son opuestos. a 8) Conocidos los logaritmos en una base mayor que se pueden hallar fácilmente en cualquier otra base.. ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente. Vamos a resolver los siguientes tipos de ecuaciones exponenciales: ) Reducibles a una igualdad de potencias de la misma base ) Resolubles por cambio de variable.. Reducibles a una igualdad de potencias de la misma base Para resolverlas, generalmente se descomponen en factores primos las bases, y se realizan las operaciones necesarias hasta conseguir una igualdad de potencias con la misma base. Actualmente esta notación está en desuso y se utiliza la notación log para representar el logaritmo neperiano.
Ejemplo : Resolver la ecuación 4 - x = x- ( ) - x = x- Descomponemos en factores la base 4 -x ( ) = x- Potencia de una potencia: se deja la base y se multiplican los exponentes -x ( )= x - Igualamos los exponentes (ya que las potencias tienen la misma base) - 6x = x - Quitamos paréntesis -6x - x = - - Agrupamos: las x a un miembro y los números al otro -7x = -4 Operamos x = -4-7 = 4 7 Resolvemos: el coeficiente de x, pasa al otro miembro diviendo, pero con su signo. Ejemplo : Resolver la ecuación 4 x = 768 4 x = 768 El que está muliplicando, pasa dividiendo. 4 x = 56 Efectuamos la división ( ) x = 8 Descomponemos en factores primos las bases. 6 x = 8 Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes. 6x = 8 Igualamos los exponentes. x = 8 6 = 4 Resolvemos... Resolubles por cambio de variable Para resolver este tipo de ecuaciones, tenemos que conseguir (factorizando las bases, aplicando las propiedades de las potencias ) que todas las exponenciales que aparezcan sean la misma. Dicha exponencial nos da el cambio de variable que hay que hacer. Al realizar dicho cambio queda una ecuación de las que ya sabemos resolver (de primer grado, de segundo, bicuadradas...). Ejemplo : x x Resolver la ecuación 9-8 - 59 = 0 ( ) x - 8 x - 59 = 0 Descomponemos 9 en factores primos. ( x ) - 8 x - 59 = 0 Intercambiamos los exponentes. y - 8y - 59 = 0 Hacemos el cambio de variable x = y. y = 8 ± 8-4 ( -59) = Ï8 + 54 = 8 8-54 =-7 Ó Resolvemos la ecuación cuadrática. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
Ï x = 8Æ x = 4 Æ x = Ó-7 Æ No tiene solución Deshacemos el cambio de variable y resolvemos la ecuación original.. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Un sistema de ecuaciones es exponencial cuando al menos una de sus ecuaciones lo es. Para resolver dichos sistemas utilizaremos las técnicas vistas en el apartado anterior, y los transformaremos en sistemas lineales, que resolveremos por método que consideremos más adecuado. Ejemplo 4: Resolver el sistema exponencial Ï x y = 56 x y = 8 Factorizamos 56 en la primera ecuación. x+ y = 8 Multiplicamos potencias que tienen la misma base. x + y = 8 Igualamos los exponentes, ya que tienen la misma base. Ïx + y = 8 Este es el sistema lineal que tenemos que resolver. Ïx + y = 8 x = Æ x = Lo hemos resuelto por el método de reducción. = 6 Æ y = 8-6 = ( x,y)= ( 6,) Es la solución del sistema. Ejemplo 5: Resolver el sistema exponencial Ï x + 5 y = 9 x + 5 5 y = 9 Ó u = x v = 5 x Cambio de variable Ïu+ v = 9 despejamos u = 9-v uuuuuuuuuuuuuuuuur ] ( 9 - v) + 5 v= 9 Resolvemos el correspondiente sistema u+ 5v= 9 lineal. Ó ( u,v)= ( 8,) Solución del sistema lineal. x = 8 Æ x = 5 y = Æ y = 0 Sustituimos en el cambio de variable y resolvemos el sistema original.
4. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Son ecuaciones en las que la incógnita viene afectada por el logaritmo. No existe un procedimiento general para resolver todas las ecuaciones logarítmicas, por lo que en cada caso concreto habrá que utilizar lo que sabemos: ) Definición de logaritmo ) Propiedades de los logaritmos ) Igualdad de logaritmos Ejemplo 6: Resolver la siguiente ecuación: log+log - x ( )= log 5-x ( ) ( ) logè Î - x = log ( 5-x ) Aplicamos las propiedades de los logaritmos. ( - x )= ( 5 - x) Igualamos las expresiones que hay dentro de los Ï x -0x + = 0 Æ x = Ó - > 0 y 5 - > 0 - ˆ logaritmos. Resolvemos la ecuación de segundo grado correspondiente. > 0 y 5 - > 0 Hay que comprobar que las soluciones cumplen la ecuación logarítmica, es decir, que - x > 0 y 5 - x > 0, para las x obtenidas. x = y x = Soluciones de la ecución. 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos, una de las ecuaciones que lo forman lo es. Para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas se aplicarán los procedimientos vistos en el apartado anterior, para transformarlo en un sistema lineal o no lineal, que resolveremos por el método que consideremos más adecuado. Ejemplo 7: Resolver el siguiente sistema: Ïx - y = Ólog x - log y = log x y = = log0 Æ x = 0 Æ x = 0y y Transformamos la segunda ecuación. ( 0y) - y = Sustituimos en la primera ecuación. 99y = Æ y =± =± x =±0 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I Resolvemos la correspondiente ecuación de segundo grado. Hallamos los valores de x. 4
( x, y)= 0, ˆ Solución. Los valores negativos no valen. 6. APLICACIONES Se utilizan para resolver las ecuaciones en que la incógnita está en el exponente. Por ejemplo, si nos piden el número de períodos T que hay que tener cierto capital C, para que el montante (capital existente en cada momento) M, sea el que nosotros queramos, hay de despejar T de la siguiente ecuación, aplicando logaritmos: M = C + r T ˆ log M - logc n Æ T = log + r ˆ n donde M = montante, C = capital, r = R = tanto por uno (R = rédito), n = número de 00 períodos por año y T = número de períodos total. Para medir la sensibilidad de una película. Para calcular números grandes. Escala Richter para los terremotos. 5