LOS NÚMEROS NATURALES

LOS NÚMEROS NATURALES OPERACIONES Y PROPIEDADES DE LOS NATURALES MÚLTIPLOS Y DIVISORES JERARQUÍA NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS DIVISIBILIDAD DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS M.C.D. Y M.C.M. Los números naturales 1

2 1. En un bosque hay tres millares de tilos, el doble de hayas y cinco decenas de mil de robles. a) Cuántos árboles hay en total? b) Hay más hayas que robles? Cuántos? 2. Un camión transporta diez paquetes con diez cajas cada uno y en cada caja hay media docena de ordenadores. a) Cuántos ordenadores transporta el camión? b) Cuánto vale la mercancía, si cada ordenador se ha comprado a 735? 3. En qué cantidad hay que disminuir 2549 kg para que la diferencia sea de 987 kg? 4. En un almacén de golosinas tienen 1250 kg de gominolas y 2487 kg de regalices. Si quieren meter las gominolas en bolsas de 8 kg y los regalices en bolsas de 3 kg, a) Cuántas bolsas necesitarán? b) Cuántos kilogramos de cada producto queda sin embolsar? 5. Cuántas bolsas de 12 magdalenas podemos llenar con una bandeja que contiene 250 unidades? 6. Iker trabaja en una oficina que está a 15 km de su casa. Cuántos kilómetros recorre a la semana sabiendo que los sábados y los domingos no trabaja? - 2-2 Los números naturales - 2

3 Propiedades de las operaciones con naturales Operaciones Suma y resta Multiplicación y división Conmutativa 3+ { 2 = 2 { + 3 Asociativa 5 5 ( 2 + 7) 14 243 1 + 4 ( 2 7 43 ) { 9 3 6 Elemento neutro 6 + 0 = 6 Conmutativa 5{ 3 = 3 { 5 Asociativa 15 15 ( 2 3) 4 { 6 4 24 { 2+4 6 ( ) = 2 3 14 24 3 14 24 3 2 12 { 24 Elemento neutro 5 1 = 5 Distributiva respecto de la suma 3 ( 2 + 5)= 3 2 + 3 5 7. Escribe la propiedad que se ha empleado en las siguientes igualdades: a) 3 21 = 21+ 3 + b) 3 + ( 425 + 13) = ( 3 + 425) + 13 8. Realiza las siguientes sumas agrupando los sumandos de la manera que resulte más sencillo buscando 10 ó múltiplos de 10: a) 15 + 3 + 5 = b) 13 + 4 + 6 + 7 = c) 25 + 18 + 5 + 12 = d) 75 + 17 + 25 + 3 = 9. Qué propiedad se ha aplicado en cada una de las igualdades siguientes? a) 4 6 = 6 4 5 3 + 7 = 5 3 + 5 b) ( ) 7 c) 8 ( 9 7) = ( 8 9) 7 d) 34 ( 15 4) = 34 15 34 4 10. Calcula agrupando los factores de la forma que resulte más fácil: a) 3 5 2 = b) 6 7 5 10 c) 4 7 5 5 d) 8 7 5-3 - 3 Los números naturales - 3

11. Calcula el resultado de las siguientes operaciones y compara los resultados: a) b) ( 3 + 4) 8 = ( 3 8) + ( 4 8) = ( 21+ 25) 65 = ( 21 65) + ( 25 65) = c) ( 47 + 193) 125 = ( 47 125) + ( 193 125) = 4 Cómo se llama esta propiedad? 12. Realiza las siguientes multiplicaciones de una forma más sencilla ayudándote para ello del ejemplo: a) 31 13 = ( 30+1) 13=130+13=143 b) 52 14 = c) 39 12 = d) 29 21 = e) 39 21 = f) 41 18 = Para realizar una serie de operaciones indicadas: Primero se resuelven las operaciones de los paréntesis. Después, las multiplicaciones y las divisiones (siguiendo el orden de aparición). Finalmente, las sumas y restas (siguiendo el orden de aparición). Ejemplo: ( 5 + 7) ( 8 + 6) : 2 = 3 12 14 : 2 = 36 7 29 3 =? 13. Calcula: a) 9 + 4 7 2 = b) ( 9 + 4) 7 2 = c) 9 + 4 ( 7 2)= d) ( 9 + 4) ( 7 2)= 14. Calcula: a) 3 5 4 = b) 17 3 5 = - 4-4 Los números naturales - 4

c) ( 6 + 15) 3 = 5 d) 17 4 ( 12 8)= e) 3 + 53 5 ( 14 9) 2 = f) ( 16 3 4) 32 ( 7 5) 12 = g) 37 2 4 + 2 15 7 ( 9 7)= 15. Calcula: a) ( 23 + 35) : 2 + ( 124 89) 3 = b) ( 215 + 35) : 5 ( 75 + 19) : 47 + ( 25 + 13) 6 = c) 143 ( 9 11) + 54 ( 12 4) 16 = d) 89 32 + 5 9 21 4 + 25 = e) 23 ( 18 + 4) 8 129 118 = f) 45 8 ( 22 + 8) : 6 98 = g) 346 : 2 + 27 : 3 31 4 = h) 43 5 120 : 6 115 : 5 = Múltiplos: Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales: Ejemplo: 3 & = 3, 6, 9,12,15,... Divisores: Un número es divisor de otro cuando la división del segundo por el primero es exacta. Ejemplo: D(45) = 1, 3, 5, 9, 15, 45. Ejemplo: Vamos a calcular todos los divisores de 18: 18 = 1 18 18 = 2 9 Los divisores son :1, 2, 3, 6, 9 y 18. 18 = 3 6 18 = 6 3 (Se vuelven a repetir los factores.) D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18. - 5-5 Los números naturales - 5

6 16. Escribe los cuatro primeros múltiplos de 9. 20. Halla todos los divisores de cada uno de los siguientes números: a) 35 17. Comprueba si 448 es múltiplo de 7. b) 42 18. Halla los múltiplos de 3 comprendidos entre 50 y 70. c) 81 d) 66 19. Escribe tres números mayores que 50 que tengan a 8 por divisor. e) 100 f) 121 Número primo: Es aquel que sólo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. En caso contrario lo llamamos compuesto. El número 1 no es ni primo ni compuesto. Ejemplo: El número 5 es un número primo o compuesto? 5 1 0 5 5 2 1 2 5 3 2 1 5 4 1 1 5 5 0 1 Sólo tiene dos divisores: el 1 y el 5, entonces 5 es un número primo. Y el número 39, es primo o compuesto? 39 1 0 39 39 2 19 19 1 39 3 09 13 0 El número 39 tiene cuatro divisores: 1, 3, 13 y 39, entonces es compuesto. 39 4... 3 9 39 39 0 1-6 - 6 Los números naturales - 6

? 7 21. Averigua si el número 63 es primo o compuesto. 22. El número 37 es primo o compuesto? 23. Escribe los números primos comprendidos entre 1 y 10. Criterios de divisibilidad Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer, sin hacer la división, si un número es o no divisible por otro número dado. Criterio de divisibilidad por... Enunciado 2 Un número es divisible por 2 si la cifra de las unidades es 0 ó un número par. 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. 5 Un número es divisible por 5 si la cifra de sus unidades es 0 ó 5. 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9. Ejemplo 356 es divisible por 2 porque 6 es par. 1524 es divisible por 3 porque 1 + 5 + 2 + 4 = 12 que es divisible por 3. 465 y 670 son divisibles por 5 porque terminan en 5 y 0 respectivamente. 765 es divisible por 9 porque 7 + 6 + 5 = 18 que es divisible por 9. 10 100 1000... Un número es divisible por 10 si la cifra de sus unidades es 0. Un número es divisible por 100 si las cifras de sus decenas y unidades son 0. Un número es divisible por 1000 si las cifras de sus centenas, decenas y unidades son 0. 120 es divisible por 10 porque termina en 10. 1200 es divisible por 100 porque termina en 00. 12000 es divisible por 1000 porque termina en 000. 11 Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y las que ocupan lugar impar en el número dado, es 0 o un múltiplo de 11. 817091 es divisible por 11 porque: 8 + 7 + 9 1+ 0 + 1 = ( ) ( ) 24 2 = 22 que es divisible por 11-7 - 7 Los números naturales - 7

8 24. Escribe la cifra que falta para que estos números sean divisibles por 3: a) 3_54 b) 49_3 c) 98_75 d) 49_ e) 36_1 f) 9_00 25. Cuáles de los siguientes números son divisibles por 2 y por 5? a) 238 b) 275 c) 990 d) 727 e) 2500 f) 37229 26. Qué números son divisibles entre 3? a) 311 b) 102 c) 328 d) 1350 e) 2628 f) 103 g) 12000 h) 32528 27. Qué números son divisibles por 3? Y por 9? a) 303 c) 9872 e) 14202 b) 15354 d) 34740 f) 24562 28. Averigua cuáles de los siguientes números son divisibles entre 11: a) 2827 d) 9999 b) 3233 e) 528726 c) 5005 f) 91729 29. Completa la siguiente tabla: Número Divisible por 2 1524 3510 4972 12540 Divisible por 3 Divisible por 5 Divisible por 11-8 - 8 Los números naturales - 8

30. Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. Razona tu respuesta: 9 a) Todos los números de dos cifras que tengan las dos cifras iguales son divisibles por 11. c) Todos los números capicúas son divisibles por 11. b) Un número de tres cifras que tenga todas las cifras iguales es múltiplo de 11. d) Si un número es divisible a la vez por 2 y por 3, entonces también es divisible por 6. e) Si un número es divisible por 4 y por 6, entonces tiene que ser divisible por 24. 31. La criba de ERATÓSTENES: Eratóstenes, un sabio griego (200 a. C.), se propuso hallar la tabla de números primos menores que 100. Serías capaz de obtener tu mismo esa tabla? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Descomposición de un número en factores primos Descomponer un número en factores primos es escribirlo como el producto de números primos. Ejemplo: Vamos a descomponer 132 en factores primos: Se divide el número por el divisor primo más pequeño, que en este caso es 2, por ser par: 132 2 132 2 12 66 66 cociente 0 disposición práctica divisor - 9-9 Los números naturales - 9

10 Se divide el cociente que hemos obtenido en el paso anterior por el menor divisor primo posible, que vuelve a ser 2: 66 2 132 2 06 33 cocientes 66 2 0 33 divisores disposición práctica El cociente que hemos obtenido (33) ya no es par, así que probamos a ver si es divisible por el siguiente número primo: 3 33 3 132 2 03 11 cocientes 66 2 0 33 3 11 divisores disposición práctica 11 es un número primo, luego su divisor primo es 11 11 11 132 2 0 1 cocientes 66 2 33 3 11 11 1 disposición práctica Luego la descomposición en factores primos de 132 es: divisores Cuando el último cociente es 1, se termina. 132 = 2 2 3 11 = 2 2 3 11? 32. Descompón como producto de factores: a) 1024 d) 144 b) 2000 e) 350 c) 3960 f) 2160-10 - 10 Los números naturales - 10

11 El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Abreviadamente se indica así: m.c.d. Se calcula multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente. Ejemplo: m.c.d. (30,12) =? 30 2 12 2 Descomposición: 15 3 6 2 30 = 2 3 5 y 12 = 2 3 5 5 3 3 1 1 m.c.d. (30,12) = 2 3 = 6? 33. Calcula el m.c.d. de los siguientes números: a) 20 y 15 c) 27 y 64 b) 45 y 38 d) 121 y 39 El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos. Abreviadamente se indica así: m.c.m. Se calcula multiplicando los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Ejemplo: m.c.m. (60,36) =? 60 2 36 2 Descomposición: 30 2 18 2 60 = 2 2 3 5 y 36 = 2 2 3 2 15 3 9 3 5 5 3 3 2 2 m.c.m. (30,12) = 2 3 5 = 180 1 1-11 - 11 Los números naturales - 11

? 12 34. Calcula el m.c.m. de: a) 63 y 48 c) 45 y 75 b) 48 y 60 d) 36 y 45 PROBLEMA 1: El número de canicas de Ana es muy curioso. Si lo dividimos entre 9 el resto es 1. Y si lo dividimos entre 12 el resto es 1. Cuántas canicas tiene como mínimo Ana? Vamos a tantear el problema: Podrían ser 100? 100 : 9 =11 y de resto da 1 100 : 12 = 8 y de resto da 4. Luego no nos vale. Probemos con otro número: serán 150? 154 : 9 = 17 y da de resto 1 154 : 12 = 12 y da de resto 10. Luego no nos vale Parece que es complicado resolver el problema. Probemos a resolver un problema más sencillo: Supongamos que el número de canicas diera de resto 0 al dividirlo entre 9 y 12. Entonces es muy fácil!, como me piden el menor número posible de canicas, basta con calcular el m.c.m. de 9 y 12. m.c.m. (9, 12) = m.c.m. (3 2, 2 2 3) = 2 2 3 2 = 36 Y ahora como quiero que el resto me dé 1, tendré que sumarle 1 a 36. Entonces Ana tiene 37 canicas. Vamos a comprobar el resultado: 37 : 9 = 4 y resto 1. 37 : 12 = 3 y resto 1. - 12-12 Los números naturales - 12

13 PROBLEMA 2: Dos corredores de atletismo salen a la vez de la línea de salida. El primero tarda 30 segundos en dar una vuelta completa al circuito y el segundo tarda 35 segundos. Cuánto tiempo transcurrirá hasta que vuelvan a coincidir en la línea de salida? Tantear el problema A partir del pistoletazo de salida pasarán por la línea de salida: El primer corredor al cabo de: 3 & 0 = 30, 60, 90,120,150,... segundos. El segundo corredor al cabo de: 3 & 5 = 35, 70,105,140,175,... segundos. Tener una idea Para que coincidan otra vez en la línea de salida tendrá que transcurrir un número de segundos que sea múltiplo a la vez de 30 y 35. Y además, ese número deberá ser el menor posible, es decir, el m.c.m. de 30 y 35. m.c.m. (60,36) =? 30 2 35 5 Descomposición: 15 3 7 7 30 = 2 3 5 y 35 = 5 7 5 5 1 1 m.c.m. (30,12) = 2 3 5 7 = 210 Coinciden al cabo de 210 segundos. Comprobar el resultado 210 30 0 7 El primer corredor coincide en la línea de salida después de dar 7 vueltas al circuito. 210 35 0 6 El segundo corredor coincide en la línea de salida después de dar 6 vueltas al circuito. - 13-13 Los números naturales - 13

14 35. Los alumnos de una clase se pueden colocar en grupos de 2, 3, 5 y 6 personas sin que sobre ninguno. Cuántos alumnos hay como mínimo? 37. Dos autobuses urbanos hacen recorridos distintos partiendo de la misma plaza. El primero realiza 15 viajes diarios y el segundo, 20. Si salen los dos a la vez en el primer viaje y finalizan a la misma hora el último viaje, cuándo volverán a coincidir en la plaza? 36. Podemos llenar un recipiente con botellas de 2, 3, 4 y 6 litros, vaciando siempre un número exacto de botellas llenas. Cuántos litros contendrá el recipiente como mínimo? 38. Tres barcos realizan sus recorridos en 6, 9 y 12 días, respectivamente. El 5 de mayo coincidieron en el puerto. Cuándo volverán a coincidir? 39. Cuál es el menor número de tres cifras que al dividirlo por 6, 12 o 15 da siempre de resto 3? Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir el producto de varios factores iguales. El número que se repite se llama base. El número de veces que se repite la base se llama exponente. exponente 3 2 = 3 3 = 9 base potencia - 14-14 Los números naturales - 14

15 Propiedades de las potencias Casos particulares Operaciones con potencias Potencia de exponente 0 a 0 = 1 ; 3 0 = 1; 8 0 = 1 Potencia de exponente la unidad 5 1 = 5 Potencia de la unidad n 1 = 1; 1 7 = 1 2 10 = 10 10 = 100 Potencias de base 10 3 10 = 10 10 10 = 1000 4 10 = 10 10 10 10 = 10000... Potencia de un producto 5 4 3 4 = (5 3) 4 = 15 4 mismo exponente y se multiplican las bases Potencia de un cociente 8 2 :2 2 = (8 : 2) 2 = 4 2 mismo exponente y se dividen las bases Producto de potencias de igual base 2 3 5 7 7 = 7 misma base y se suman los exponentes Cociente de potencias de igual base 5 2 3 3 : 3 = 3 misma base y se restan los exponentes Potencia de una potencia ( 3 2 ) 5 = 3 10 misma base y se multiplican los exponentes 40. Calcula: 3 2 4 a) 5 5 5 = b) ( 3 5 7) 3 = 6 3 c) 7 : 7 = 9 2 d) 7 : 7 = 8 5 e) 6 : 6 = f) ( 4 5 ) 3 = 7 g) 11 :11 2 = 7 4 6 h) 5 5 5 = 5 4 7 i) 3 : 3 3 = 2 3 4 j) 2 2 2 = 2 3 k) 3 3 : 3 = l) ( 7 2 ) 5 = 2 4 m) 4 4 4 = 10 8 n) 7 : 7 = 12 9 o) 8 : 8 = 15 13 p) 9 : 9 = - 15-15 Los números naturales - 15

16 41. Cuáles de los siguientes números son múltiplos de 4 o de 25? a) 39620 b) 13484 c) 495 d) 342 e) 360 f) 990 42. Calcula el m.c.d. de: a) 75, 36 y 18? 44. Halla el valor de las expresiones: a) 3 2 ( ) 3 = b) ( 4 3 2 ) = 3 2 c) 3 4 = 5 2 d) 3 3 = e) ( 3 5) = + 2 2 f) 3 2 + 8 = g) 3 2 + 2 2 = h) 3 3 2 3 = b) 42, 14 y 56 c) 63, 27 y 36 45. Fíjate en el ejemplo y escribe cada suma como multiplicación de dos números: a) 36 + 24 = 4 9 + 4 6 = 4 (9 + 6) = 4 15 b) 56 + 21 = c) 48 + 16 + 120 = d) 96 + 60 + 36 = 43. Calcula el m.c.m. de : a) 72 y 108 b) 270 y 234 c) 560 y 588 d) 315 y 420 46. Realiza las siguientes operaciones: a) 21 31 = b) 21 43 = c) 21 54 = d) 21 72 = e) 101 42 = f) 101 53 = g) 98 22 = h) 81 33 = - 16-16 Los números naturales - 16

47. Calcula: 9 64 20 + 39 + 25 : 16 a) ( ) ( ) = b) 600 : 20 3 8 + 12 9 = 17 53. * En una mina trabajan 748 mineros que extraen diariamente 15 carretillas de carbón. Todas las carretillas llenas pesan 90621 kg, y cada una de ellas, vacía, 250 kg. Cuánto carbón extrae, por término medio, cada minero? c) 5 ( 153 + 47) 20 ( 19 14)= d) 510 27 3 + 54 : 6 = 48. Jone tiene 25 cartas menos que Guillermo y éste 7 más que Borja, que tiene 60. Cuántas? cartas tienen cada uno? 49. Averigua tres números cuya suma es 8742, si el mayor es 3845 y tiene 2150 unidades más que el menor. 54. Esther se ha comprado un álbum de fotos en el que si pone cuatro fotos en cada página, el la última página queda sólo una foto. Si pone 5 en cada página, le queda también una en la última página y si pone 6 en cada página le pasa lo mismo. Cuál es el menor número de fotos que puede colocar en el álbum? 50. Elena tiene 16 años, y Javier, 24. Qué edad tendrá Elena cuando Javier tenga 50 años?? 55. Los 36 alumnos y alumnas de una clase quieren agruparse en equipos con el mismo número de jugadores. De cuántas maneras posibles se podrían agrupar y que número de jugadores habría en cada equipo? 51. De cuantas maneras podemos agrupar 47 botones en montones del mismo número sin que sobre ninguno? 52. Tamara le dice a Jon que el número 51876 es divisible por 99. Contesta sin hacer la división: es esto posible? Es divisible por 33? 56. Un pasillo de 860 cm de largo y 240 cm de ancho está embaldosado con un número entero de baldosas cuadradas del mayor tamaño posible. Cuánto mide el lado de cada baldosa? Cuántas baldosas cubren el suelo? - 17-17 Los números naturales - 17

18 57. Escribe dos números de cinco cifras que sean divisibles por 2 y por 25 y que no lo sean por 100. 58. Indica cuáles de los siguientes números son divisibles entre 3 y entre 9: 4158, 2428, 5341,? 1530, 4920, 1575, 14727, 132322. 64. Escribe como una sola potencia:? a) ( 8 3 8 0 ) 8 4 = b) ( 7 0 7 5 ) ( 7 7 2 ) = c) ( 5 3 5 4 ) 5 2 = d) ( 2 6 : 2 4 ) 2 2 = 59. Cuáles de estos números son divisibles entre 11? 847, 396, 367, 3894, 5078, 7898, 2323,? 92807, 109508 e) ( 6 8 : 6 4 ) 6 2 = f) ( 9 6 : 9 4 ) 9 2 = g) ( 10 7 ) 2 = 60. Escribe los números primos comprendidos entre 50 y 70.? h) 3 3 2 3 = i) 20 2 : 4 2 = j) ( 12 2 ) 3 = 61. Calcula el m.c.m. y m.c.d. de los siguientes? números: a) 38, 25 y 54 b) 75, 50 y 15 c) 32, 24 y 17 65. Itxaso tiene doble número de caramelos que Dani y éste el triple que Ane. Si Ane tiene 18 caramelos, cuántos tienen Itxaso y Dani? 62. Calcula:? a) ( 2 3 3 5 2 ):2 ( 2 3 5)= b) ( 3 2 7 13):3 ( 7)= c) ( 7 2 2 3 5 2 ):2 5 ( 2 )= 63. Realiza las siguientes multiplicaciones de una forma más sencilla: a) 49 9 = b) 32 14 = c) 99 12 = d) 102 13 = 66. Busca tres números naturales consecutivos cuya suma sea 42. 67. Sabrías encontrar tres números pares consecutivos que sumen 60? 68. * En el mercado del trueque se cambia: Una sandia y un melón por un queso. Un queso por tres panes. Dos melones por tres panes. Cuántas sandias te darán por un queso? e) 61 13 = f) 69 22 = - 18-18 Los números naturales - 18

19 69. * Idoia y Mikel quedan para ir al cine a las ocho de la tarde. El reloj de Idoia está atrasado 10 minutos, pero ella cree que está 5 minutos adelantado. El reloj de Mikel está adelantado 5 minutos, pero él cree que está atrasado 10. Quién llegará antes a la cita? 74. En el árbol de Navidad hemos puesto bombillas azules que se apagan cada 12 segundos, verdes que lo hacen cada 10 segundos y amarillas que se apagan cada 5 segundos. Cada cuánto tiempo coinciden apagadas? 70. En un colegio se gastan cada día 2500 folios, Cuál ha sido el gasto en las cuatro semanas de noviembre, si el paquete de 500 folios cuesta 4? 75. * Maria le hace estas dos propuestas a su hijo para que se esfuerce en matemáticas: Por el primer problema que haga bien le da un céntimo de euro, por el segundo 2, por el tercero 4, por el cuarto 8, por el quinto 16 céntimos y así sucesivamente. Por cada problema bien hecho le da 1 euro Al final ha resuelto bien 10 problemas. Qué opción debe elegir? 71. Dos amigos se reparten 474 cromos, de forma que uno recibe el doble que el otro. Cuántos cromos recibirá cada uno? 72. Tres mercancías salen de un puerto: el primero, cada dos días; el segundo, cada 6; y el tercero, cada 8. Si salieron todos juntos del puerto el día 1 de junio, qué día volverán ha coincidir otra vez en el puerto? 73. Imanol tiene un número de canicas mayor de 100 y menor de 150. Al contarlas de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6 en 6, se ha dado cuenta de que siempre le sobran 2. Cuántas canicas tiene Imanol? 76. Escribe estos números como suma de dos números primos:? a) 12 b) 34 c) 8 d) 104 e) 100 77. Averigua qué cifras se le pueden añadir a la? derecha del número 187 para obtener un número de cuatro cifras que sea divisible a) Por 9 b) Por 5 c) Por 2 78. Averigua que cifra hay que añadir a la derecha de 148 para que sea un número de cuatro cifras tal que: a) Sea divisible por 5 pero no por 3. b) Sea divisible por 3 pero no por 5. c) Sea divisible por 3, por 5 y por 11 a la vez. - 19-19 Los números naturales - 19

20 79. Halla el m.c.m. y m.c.d. de: 80. Realiza las siguientes operaciones: a) 630 y 48?? 2 3 2 2 a) 3 + 7 : 7 + 5 = 2 2 0 3 b) 2 + 4 : 4 2 = b) 48 y 60 5 3 2 c) 2 + 3 3 3 = 2 3 2 2 d) 8 : 2 + 4 : 2 = c) 45 y 75 e) 40 + 8 ( 48 12)+144 : ( 11+13)= d) 36 y 45 f) 54 + 60 : ( 4 + 24 : 3)+ 30 ( 6 25 : 5)= e) 54 y 72 g) 12 : ( 15 81: 9)+ 30 8 ( 12 18 : 2)= h) 18 : 3+ 4 ( 3 3 20) 30 = f) 32 y 48 i) 4 3 :8+ 2 ( 3 3 5 2 ) 7 = g) 630, 460 y 980 j) 5 + 5 2 :2 ( 3 3)= h) 105, 135 y 175 k) 3 3 :2 ( 2 1)+ 2 5 = - 20-20 Los números naturales - 20

81. * JAMES BOND, en una de sus aventuras, tiene que desactivar una bomba que está dentro de una maleta. Para ello tiene que colocar sobre ella un peso equivalente a un litro de agua y sólo dispone de una jarra sin graduar cuya capacidad es de 5 litros y de otra de 3 litros. Suponiendo que el peso de la jarra es despreciable, sabrías ayudarle a desactivar el explosivo? 21 86. * Un granjero, tras recoger en una cesta su cosecha de huevos, piensa: Si los envaso por docenas, me sobran 5. Si tuviera uno más podría envasarlos, exactamente, en cajas de 10. Casi he cogido 100. Cuántos huevos recogió? 82. Se han roto diez huevos de un lote de ocho docenas de huevos. Cuántos huevos quedan? 87. Tenemos 30 chicles, 45 caramelos y 60 bombones. Queremos repartirlos en el mayor número posible de bolsas de forma que sean todas iguales. Cuántas bolsas llenaremos? Qué habrá en cada una? 83. Un grifo vierte 28 litros de agua por minuto en un depósito de 1000 litros de capacidad. Si ha estado abierto durante tres cuartos de hora, se ha llenado el depósito? Cuántos litros le faltan o le sobran? 88. Queremos adornar el borde de una tarta de tres pisos con guindas manteniendo la misma distancia entre guinda y guinda. Los pisos tienen perímetros de 20, 24 y 32 cm, respectivamente. A qué distancia colocaremos las guindas para poner el menor número posible de ellas? Cuántas guindas necesitaremos? 84. Un librero ha vendido 30 libros de matemáticas a 9 cada uno, y 25 de ciencias a 12 la unidad. Si tiene que pagar 3 de impuestos por cada libro, cuántos euros ganó por la venta de esos libros? 85. Mario ha programado la alarma de su reloj para que suene cada 20 minutos y Ana para que lo haga cada 50 minutos. Si la alarma de los dos suene a las 12, a qué hora volverán a sonar las dos juntas? 89. Tenemos dos tabletas de chocolate que tienen señaladas 18 y 60 porciones, respectivamente. Queremos dividirlas en trozos los más grandes posibles con el mismo número de porciones. Cuántas porciones tendrá cada trozo? Cuántos trozos obtendremos de cada tableta? 90. *Serías capaz de dividir la esfera del reloj en 6 partes de forma que los números que entran en cada parte sumen lo mismo. - 21-21 Los números naturales - 21

22 91. En una parada de autobús coinciden dos líneas de transporte. Los vehículos de una pasan cada 15 minutos y los de la otra cada 20 minutos. Si los vehículos de las dos líneas salen de la parada a las ocho y veinte de la mañana, a qué hora volverán a coincidir en la parada? 96. Un taxista cambia el aceite de su coche cada 3500 km y hace una revisión general cada 8000 km. Cada cuántos kilómetros coinciden ambas operaciones de mantenimiento? 92. Dos docenas de cajas contienen 12 rodamientos cada una, formados por 12 bolas cada uno. Expresa en forma de potencia el número de bolas que hay en total. 97. Una pajarería envía 18 loros y 24 periquitos en jaulas iguales, sin mezclarlos, de modo que en todas las cajas hay el mismo número de animales. Cuántos animales pueden ir como máximo en cada caja? 93. En una mesa hay 60 libros de 60 páginas cada uno; cada página tiene 60 líneas escritas, y cada línea mide 60 mm. Cuántos metros medirían todas las líneas de todos los libros si las pusiéramos una a continuación de la otra? 94. En cada una de las tres sillas del comedor hay tres libros. Dentro de cada libro hay tres cromos. Cuántos cromos habrá? 98. Aitor y Yolanda tienen dos listones de madera de 2 4 m y 3 m de longitud y con ellos quieren construir marcos cuadrados de madera. Cuántos centímetros debe tener cada lado de un marco para que no se desperdicie ningún trozo de madera? 95. * Josune ha invitado a diez amigos a su fiesta de cumpleaños. Después de merendar, propone un acertijo con premio: Se llevará la caja de bombones quien averigüe, sin abrirla, cuántos bombones contiene. Os doy pistas. Hay menos de cinco docenas. Están ordenados en filas de nueve. Si se repartiera entre todos los presentes, sobraría uno. Cuántos bombones tiene la caja? 99. En una peluquería se utilizan tres tipos de champú. Disponen de 150 litros de champú para cabello graso, 175 para cabello seco y 250 para cabello normal. Se quiere envasar en frascos de la mayor capacidad posible y todos iguales. Cuál será la capacidad de los frascos? - 22-22 Los números naturales - 22

100. Halla el menor número que al dividirlo entre 2, 3, 5 y 7 de siempre resto 1. d) 32 100 = e) 64 9 = 23 101. Para un trabajo que se le encargó a un carpintero, se compraron listones de madera de 20, 24, 30, 60 y 150 cm de largo que se podían cortar en trozos iguales. Qué longitud mínima tenían los listones de madera? f) 6 4 3 16 = g) 3 10 5 16 = h) 4 + 3 5 3 100 = i) 64 : 2 2 2 25 = 102. Tres corredores se entrenan en una pista circular de atletismo. El primero tarda 60 segundos en dar una vuelta; el segundo, 84 segundos; y el tercero, 65 segundos. Si salen a la vez de la meta, al cabo de cuanto tiempo volverán a coincidir en la meta? j) 5 + 2 5 2 3 25 = k) 6 4 3 16 + 2 = l) 4 16 + 32 : 2 3 = m) 4 2 ( 4 + 36) = 103. Mi primo Ander viene a verme cada 15 días, y mi prima Ainhoa cada 20. Si la última vez que estuvimos todos juntos fue el 13 de abril, qué día volveremos a juntarnos? n) 144 : 9+ 3 ( 2 2 +1)= o) 6 7 2 2 ( 1+ 49) 2 = p) 5 ( 10 7):5+ 5 100 = 104. Realiza las operaciones siguientes: a) 7 + 4 4 = q) 10 + 2 ( 72 : 24) 3 3 81= b) 2 3 + 3 2 = c) 5 10 5 10 3 = r) ( 64 4) 3 2 ( 6 2 :3 2 ) 2 5 3 = - 23-23 Los números naturales - 23

105. Calcula: 24 a) 3 ( 2 + 3) 2 122 : 5 = b) 3 ( 20 + 7):3 2 5 + 2 4 3 = c) 2 4 + 2 3 = d) 3 2 3 4 + 3 5 :3 3 = e) 30 2 3 3+ 5 2 = f) 4 ( 5 2) 3 14 : 2 + 8 2 = 106. Realiza las siguientes operaciones: a) ( 49) 2 2 5 = b) 289 ( 1+ 2 3)= c) 3 3 + 3 16 2 = d) ( 4 + 5 2 2 9) 2 = e) 5 2 10 2 3 2 10 = f) 16 5 + ( 2 3) 2 = g) 9 25 5 2 + 2 7 = h) 64 :4+1 2 ( 5 + 2)= i) 4 + 3 2 36 + 5 2 = j) 5 3 36 16 5 = 107. Expresa como una única potencia. a) 5 3 4 3 :2 3 = b) ( 4 3 4 5 ):4 ( 4 4 2 )= g) 5 9 :5 2 = h) 12 8 :12 5 = c) 2 4 2 5 :2 9 = d) 2 3 2 2 2 4 = e) 2 3 5 3 7 3 = f) 9 6 :9 3 = - 24-24 i) ( 7 3 ) 5 = j) 3 7 :3 2 = k) 5 4 5 6 5 7 = Los números naturales - 24

l) 4 5 :4 4 4 5 = m) 8 2 8 3 8 4 = n) 9 4 9:9 5 = o) ( 7 2 ) 0 = 25 108. Realiza las siguientes operaciones combinadas. a) 49 + 3 ( 12 7)= b) 7 + 9 18 : 3 = c) 8 ( 12 5)+ 25 = d) 3+ 4 ( 36 4) = e) 5 2 ( 3+ 28 : 4)= f) 3 4 : 9 2 2 = g) 2 4 ( 5 + 36 :3) = h) 4 2 :2 3 + 64 :2= i) ( 81 :3) 23 ( 4 2 + 3)= j) 2 4 2 3 + 2 2 2 = k) 100 :5+ 3 3 :3= l) 7 ( 5 + 3) 5 2 4 = m) 12 18 : 2 + 4 121 = n) 7 2 :( 36+1) 22 = o) ( 3 2 25) ( :42 12)= p) 2 5 :[( 81 3 2 ) + 4 ] 2 = q) 5 4 3 ( 10 2 :5 2 )+ 100 = r) 3 2 + ( 5 1) 2 = s) ( 3+1) 2 :2 3 = t) 6 + 2 3 3 2 2 = u) 2 3 :2 2 + 8 2 :2 3 = - 25-25 Los números naturales - 25

26 v) 38 3 2 2 2 + 2 3 2 = w) 5 0 +18 : 3 2 5 = x) 3 3 ( 3 2 2 3)= y) ( 3 2 2 3 ) 5 ( 3 1) 3 = z) ( 2 2 +1) 2 :3 ( 2 2 2 )= 109. Expresa en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) x 4 x 5 = b) x 7 :x 3 = c) ( x 3 ) 4 = d) x 3 x 4 :x 6 = 110. Calcula: a) 10 25 = b) 3 9 + 4 = c) 3+ 2 9 = d) 10 : 25 2 = e) 6 2 3 81 = f) 2 4 + 3 3 + 5 2 = g) 2 ( 16 2 49) = h) 9 ( 6 4) + 2 32 = i) 3 25 + 4 ( 2 2 + 5)= j) 2 3 +12 : 16 ( 2 +1) 2 = k) 3 2 ( 2 4 3 2 ) 100 = l) 4 25 3 2 2 = m) 10 + 2 9 2 4 = n) 2 ( 9 1) + 3 22 = o) 3+1 + ( 2 2 1) 2 = - 26-26 Los números naturales - 26

27 p) 25 16 + 9 = q) 4 9 + 64 = r) 36 : 9 49 = s) ( 81 25) : 16 = t) ( 9 2 + 5 3 2 5 ) 64 = u) 81 :6 ( 2 3 3 )= v) 25 + 81 9 = w) ( 49 + 25) : 16 = - 27-27 Los números naturales - 27

28 Vocabulario Múltiplos: Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales: Divisores: Un número es divisor de otro cuando la división del segundo por el primero es exacta. Número primo: Es aquel que sólo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. En caso contrario lo llamamos compuesto. El número 1 no es ni primo ni compuesto. Criterio de divisibilidad: Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer, sin hacer la división, si un número es o no divisible por otro número dado. Descomponer en factores primos: Descomponer un número en factores primos es escribirlo como el producto de números primos. Máximo común divisor: El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Abreviadamente se indica así: m.c.d. Se calcula multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente. Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos. Abreviadamente se indica así: m.c.m. Se calcula multiplicando los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Potencia: Una potencia es una forma abreviada de escribir el producto de varios factores iguales. El número que se repite se llama base. El número de veces que se repite la base se llama exponente. exponente 3 2 = 3 3 = 9 base potencia - 28-28 Los números naturales - 28