FRACCIONES TEMA 2 INTRODUCCIÓN Para aplicar esta unidad didáctica es conveniente que ya se hayan estudiado las fracciones en clase de forma tradicional, es decir, empleando la pizarra, el papel y el lápiz. Estas actividades pueden servir como complemento para afianzarlas y comprenderlas mejor. En esta unidad didáctica se da un repaso teórico general y se realizan una serie de actividades sencillas de aplicación. El profesor o profesora apenas necesitará intervenir ya que las actividades son muy fáciles y no requieren muchas explicaciones; además se emplean en ellas números muy simples. Cada página está centrada en torno a la escena interactiva, en la que se interviene mediante el ratón o el teclado; al realizar la actividad se sabrá que ha acertado porque aparecerá el mensaje "correcto". OBJETIVOS Comprender los conceptos de: - Fracción. - Valor de una fracción. - Fracciones equivalentes. - Fracción irreducible. - Número racional. Saber realizar ejercicios de: - Simplificar una fracción. - Sumar fracciones. - Restar fracciones. - Multiplicar fracciones. - Dividir fracciones.
1. Definición de fracción. Así como los números naturales surgen para expresar cantidades que se refieren a objetos enteros, las fracciones son consecuencia de expresar cantidades en las que los objetos están partidos en partes iguales. Una fracción es el cociente de dos números. Es decir, es una división sin realizar. Una fracción representa el valor o número que resulta al realizar esa división. Los elementos que forman la fracción son: El numerador. Es el número de arriba, indica las partes que tenemos. El denominador. Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a cada unidad. La raya de fracción. Es una raya horizontal que los separa. Actuando sobre los controles de debajo de la escena puedes cambiar el valor del numerador y del denominador y verás la representación gráfica de la fracción mediante sectores circulares. En esta escena se representa la fracción mediante rectángulos. Hay que tener en cuenta que el valor unidad es la superficie de un cuadrado. Las fracciones que sobrepasan un cuadrado valen más de 1, y las que no llegan a cubrirlo valen menos de 1. 1.2Marca la fracción representada. Marca el numerador y denominador de la fracción que representa los trozos que aparecen en la imagen. Tras marcar cada número debes pulsar intro. O puedes actuar sobre los triángulos para aumentar o disminuir su valor de uno en uno. Cuando tu respuesta sea acertada aparecerá el mensaje CORRECTO. Al picar sobre inicio aparecerá aleatoriamente otra cantidad. Prueba resolverlo varias veces. En la segunda escena la unidad es un cuadrado, si en vez de ello hubiéramos tomado como unidad un segmento representaríamos las fracciones o números racionales en una recta, igual que se ha estudiado con los números naturales, enteros y decimales.
2. El valor de una fracción. Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una fracción deberíamos realizar esa división, no obstante podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denominador. Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador. Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1. Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1. Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción vale más de 1. Coloca cada fracción en el rectángulo que le corresponda según su valor. Al picar sobre inicio aparecerán otras fracciones. Prueba resolverlo varias veces. 3. Fracciones equivalentes, número racional. Fracciones equivalentes son las que representan el mismo valor. Sabemos que hay diversas divisiones que dan el mismo resultado. Las fracciones equivalentes tienen distinto numerador y denominador, pero valen lo mismo. Cada fracción tiene infinitas otras fracciones equivalentes a ella. Número racional es todo valor que puede ser expresado mediante una fracción. Todas las fracciones equivalentes entre sí expresan el mismo número racional. PARA OBTENER OTRA FRACCIÓN EQUIVALENTE A UNA DADA NOS BASTA CON MULTIPLICAR O DIVIDIR SUS TÉRMINOS POR EL MISMO NÚMERO. En esta escena aparece una fracción y su representación gráfica mediante sectores circulares. - Marca el numerador y denominador de otra fracción equivalente a ella. - Cuando tu respuesta sea correcta verás que sus representaciones gráficas se corresponden. - Al picar sobre inicio aparecerá otra fracción diferente. Realiza esta actividad varias veces.
3.1. Comprobación de dos fracciones si son equivalentes o no. Para comprobar si dos fracciones son equivalentes o no, el método más fácil es el de los productos cruzados. Multiplicamos sus términos en aspa. El producto del numerador de una fracción por el denominador de la otra ha de dar lo mismo en ambos casos. En esta escena aparece aleatoriamente una fracción, pon tú otra y después pulsa sobre el triángulo azul para ver paso a paso la comprobación. 3.2. Junta las fracciones equivalentes Cada fracción de abajo es equivalente a otra de arriba. Colócala junto a ella. Para ello puedes buscar la fracción irreducible de cada una, o comprobar los productos cruzados de ambas. Al picar sobre inicio aparecerán otras fracciones, prueba a realizar esta actividad varias veces. 3.3. Coloca en cada rectángulo todas las fracciones equivalentes. En esta escena aparecen seis fracciones de tres valores diferentes como máximo, coloca en cada rectángulo todas las que tengan el mismo valor. Al picar sobre inicio aparecerán otras fracciones. Realiza este ejercicio varias veces. Para simplificar una fracción debemos buscar un número que sea divisor del numerador y del denominador para dividirlos por él. Nos interesa dividirlos por el número mayor posible, ese número es el máximo común divisor de ambos, así, de una sola vez habremos llegado a la fracción irreducible. 4. Simplificación de una fracción Todas las fracciones equivalentes entre sí representan el mismo número racional. Por tanto, para expresar un mismo valor nos interesa emplear la fracción más simple, ésa será la que tenga el numerador y denominador más pequeños. A esa fracción se la llama fracción irreducible porque ya no se la puede simplificar más. Nos valemos de la propiedad fundamental de la división. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador por el mismo número obtenemos otra fracción equivalente.
En esta escena aparece aleatoriamente una fracción, además se indican los divisores comunes del numerador y del denominador. - Abajo debes marcar el número por el que dividirías al numerador y denominador 4.1. Marca el número por el que simplificarías esta fracción. Esta actividad es semejante a la anterior, pero en ésta no se da ayuda. - Busca un número por el que puedes simplificar esta fracción, márcalo abajo y pulsa intro. Te indicará si con ello has llagado a la fracción irreducible o si todavía puedes seguir simplificando. En ese caso marca otro número. Tienes tres intentos para llegar a la fracción irreducible, pero no puedes rectificar, por eso no utilices los triángulos para cambiar los números marcados. - Si la primera fracción es ya irreducible, marca el 1. - Al pulsar sobre inicio aparecerá otra nueva fracción. Realiza esta actividad varias veces. 4.2. Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible Las seis fracciones de abajo son las irreducibles de las fracciones de arriba. Colócalas juntas. Al picar sobre inicio aparecerán otras fracciones, prueba a realizarlo varias veces. 4.3. Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible Esta actividad es semejante a la anterior, empleando números de dos cifras. Las seis fracciones de abajo son las irreducibles de las fracciones de arriba, colócalas juntas. Al picar sobre inicio aparecerán otras fracciones, prueba a realizarlo varias veces. 4.4 Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible. Esta actividad es semejante a las dos anteriores, empleando números de tres cifras. Las seis fracciones de abajo son las irreducibles de las fracciones de arriba, colócalas juntas. Al picar sobre inicio aparecerán otras fracciones, prueba a realizarlo varias veces
5. Paso de fracciones a común denominador Observamos el nombre de las partes de una fracción: Numerador significa que numera, es decir, nos indica el número de cosas que tenemos. Denominador significa que denomina, es decir, nos indica qué cosas son las que tenemos. No es lo mismo tener mitades que tener tercios. Cuando sumamos lo hacemos de elementos homogéneos, tienen que ser cantidades de la misma cosa. Por tanto, para sumar fracciones es necesario que sean de la misma cosa, que tengan todas el mismo denominador. Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas. 5.1.Suma de fracciones. Como se indicó en la anterior actividad, para sumar fracciones es necesario que tengan todas el mismo denominador. Si las fracciones tienes distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas. Para ello se siguen estos pasos: - Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone de denominador de cada una. - Para hallar cada uno de los nuevos numeradores se divide ese número por el denominador de una fracción y se multiplica por el numerador. - Finalmente se suman los numeradores y se pone el mismo denominador. - Si se puede se simplifica. En esta escena puedes ver el proceso paso a paso, pulsando sobre el triángulo azul. Al picar sobre inicio aparecerán otras fracciones, prueba a realizarlo varias veces. 5.2. Sumas y resta de fracciones. Cuando tenemos juntas sumas y restas seguimos el mismo proceso que si tuviéramos solamente sumas:
Para sumar y restar fracciones es necesario que tengan todas el mismo denominador. Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas. Para ello se siguen estos pasos: - Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone de denominador de cada una. - Para hallar cada uno de los nuevos numeradores se divide ese número por el denominador de una fracción y se multiplica por el numerador. - Finalmente se suman y restan los numeradores y se pone el mismo denominador. - Si se puede se simplifica. En esta escena puedes ver el proceso paso a paso, pulsando sobre el triángulo azul. Al picar sobre inicio aparecerán otras fracciones prueba a realizarlo varia s veces. 5.3. Suma directamente estas fracciones Estas fracciones tienen el mismo denominador, te será fácil hallar su suma. - Marca primero su numerador, pulsa intro, luego marca su denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR. Esta actividad no permite rectificaciones, por eso no emplees los triángulos para variar el número marcado. - Al picar sobre inicio y aparecerán otras nuevas fracciones para sumar. Realiza esta actividad varias veces. 5.4. Halla el resultado de estas sumas y restas de fracciones Realiza en papel aparte estas operaciones y luego marca aquí su resultado. - Marca primero su numerador, pulsa intro, luego marca su denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR. Esta actividad no permite rectificaciones, por eso no emplees los triángulos para variar el número marcado. - Al picar sobre inicio y aparecerán otras nuevas fracciones. Realiza esta actividad varias veces.
6. Gráfica de la multiplicación de fracciones. Si representamos sobre el eje horizontal una fracción y sobre el eje vertical la otra fracción, la superficie del rectángulo resultante nos indicará el valor del producto de esas fracciones. Marca arriba el numerador y denominador de una fracción y abajo los de la otra fracción. Utiliza números pequeños para que se pueda observar mejor. - Cuenta las partes resultantes, eso será el numerador del producto. - Cuenta las partes que forman un cuadrado unidad, eso será el denominador del producto. - Qué relación tiene el numerador del producto y los numeradores de las fracciones factores? - Qué relación tiene el denominador del producto y los denominadores de las fracciones factores? De esta manera se puede deducir el método que hemos de seguir para obtener numéricamente el producto de dos fracciones. 6.2. Multiplicación numérica de fracciones. Para multiplicar fracciones no hace falta pasarlas a común denominador, se multiplican directamente. - Multiplicamos sus numeradores y lo ponemos de numerador, multiplicamos sus denominadores y lo ponemos de denominador -En esta escena puedes ver paso a paso el proceso para multiplicar dos fracciones 6.3. Multiplica directamente estas fracciones Marca primero su numerador, pulsa intro, luego marca su denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR. Esta actividad no permite rectificaciones, por eso no emplees los triángulos para variar el número marcado. - Al picar sobre inicio y aparecerán otras nuevas fracciones. Realiza esta actividad varias veces. 6.4. Fracción inversa de una fracción La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la fracción unidad. La fracción que tiene el numerador y denominador intercambiados respecto de
ella, es su fracción inversa. Lógicamente, si una fracción es inversa de otra, también son sus inversas todas las equivalentes a esa. La fracción de valormarca la fracción inversa, para ello debes marcar primero el numerador, pulsar intro, después el denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR. Esta actividad no admite rectificaciones, por eso no puedes utilizar los triángulos para variar los números marcados. Al picar sobre inicio aparecerá otra fracción. Resuelve varias veces esta actividad. 0 es la única que no tiene inversa. 7. División de fracciones. - Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. - Una fracción se puede dividir por cualquier otra, menos por la fracción 0. En esta escena puedes ver paso a paso el proceso para dividir dos fracciones