APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA Valor promedio El valor promedio de una función continua y=f(x) sobre un intervalo [a, b] es Valor promedio = Ejercicio. 1. El costo semanal C (en dólares) de producir x unidades de un producto está dada por: C (x)= 5000+16x+0.1x 2 El fabricante estima que la producción será entre 100 y 200 unidades. Halle el costo promedio semanal C (x)= 5000+16x+0.1x 2 = - = (5000x +8x² + 0.033x³) = - = (1.584.000 613000) = (971000) = 9710 Es el costo promedio semanal cuando la producción es entre 100 y 200 unidades será de 9710 dólares 2. La función demanda para cierto articulo está dada por: P= 500+, donde P: precio y q: unidades demandadas. Encuentre el precio promedio si se demanda en 50 y 100. - + ) dq 1
= = (50461.512-25393.183) = (25 068.329) = 501.3666 El precio promedio cuando se demandan entre 50 y 100 unidades será de 501.36 Unidades Monetarias. 3. El ingreso total de una maquina de videos está dada por: I=50e 0.2t Encuentre el ingreso promedio entre el intervalo de 0 y 4 horas. = dt = dt = x = - = (62.5-62.5) = (139.096 62.5) = 76.596 El ingreso promedio de la máquina de video en un intervalo de 0 y 4 horas será de 76.59 Unidades Monetarias 2
Ingreso Total Sea f(t) una tasa de flujo de ingreso anual, entonces el ingreso total para k años está dado por Ingreso total = Valor Presente de un flujo continuo de ingreso Si f(t) es la tasa del flujo continuo de ingreso que gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor presente del flujo continuo de ingreso es Valor-presente = Donde t = 0 a t = k es el intervalo del tiempo Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso Si f(t) es la tasa del flujo continuo durante k años, ganando una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor futuro del flujo continuo de ingreso es Valor-futuro = Problemas de Aplicación 1. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por f(t) = 9 000e 0.12t (miles de pesos al año). Si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años encuentre a. El Ingreso total Por definición el ingreso total esta dado por, por datos f(t) = 9 000e 0.12t y k = 10 remplazando El ingreso total del flujo continuo será de 249009 mil pesos por año b. El valor presente 3
c. El valor futuro 2. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por f(t) = 12 000e 0.04t (millones de pesos al año). Si el dinero crece a una tasa del 8% compuesta encuentre para los próximos 8 años a. El Ingreso total Por definición el ingreso total esta dado por, por datos f(t) = f(t) = 12 000e 0.04t y k = 8 remplazando El ingreso total del flujo continuo será de 113138 millones de pesos b. El valor presente Por definición el ingreso total esta dado por 4
, por datos f(t) = f(t) = 12 000e 0.04t, k = 8 y r=0.08 remplazando El valor presente del flujo continuo es de 82 155.3 millones de pesos c. El valor futuro Por definición el ingreso total esta dado por, por datos, r=0.08 y k=8, remplazando El valor futuro del flujo continuo en 8 años a una tasa del 8% será de 155 806 millones de pesos 5
Superávit de Consumidor El precio de equilibrio es aquel en que la demanda de un producto es igual a la oferta. Algunos consumidores están dispuestos a comprar x 3 unidades si el precio fuera $p 3. Los consumidores que están dispuestos a pagar más de $p 1 se benefician por el precio más bajo. La ganancia total para todos aquellos dispuestos a pagar más de $p 1 se conoce como superávit del consumidor cuya fórmula está dada por, donde f(x) es la demanda, p 1 es el precio de equilibrio y x 1 es la cantidad en equilibrio, p 1 q 1 representa el total que gastaron los consumidores y que los productores recibieron como ingreso. Ejercicio 1. La función demanda para x unidades de un producto es p = 100/(x+1) dólares. Si el precio de equilibrio es $20, cuál es el superávit del consumidor? Por datos f(x)=100/(x+1) y p 1 =20, debemos hallar q 1 Remplazando Entonces el punto de equilibrio es (4, 20), el superávit del consumidor es El superávit del consumidor es aproximadamente de 80 dólares 6
Superávit del Productor Cuando se vende un producto al precio de equilibrio, algunos productores también se benefician ya que ellos estaban dispuestos a vender el producto a un precio más bajo. El área entre la línea p=p 1 y la curva de la oferta x=0 y x=x 1 da como resultado el superávit del productor. Si la función de la oferta es p = g(x), el superávit de productor esta dado por la diferencia entre el área entre la gráfica p=g(x) y el eje de las x entre 0 a x 1., p 1 x 1 representa el ingreso total en el punto de equilibrio. 7
INTEGRACIÓN POR PARTES La integración por partes es una técnica de integración donde se usa una fórmula que se origina de la regla del producto para la derivada La integración por parte es muy útil si la integral que se trata de calcular se puede manejar como el producto de un función u y el diferencial dv, de una segunda función de modo que se pueda encontrar las dos integrales y Ejercicios. Integre 1. Hacemos u=x y dv=e x dx entonces du=1dx y v=e x fórmula remplazando en la 2. Hacemos u=ln(x) y dv=xdx entonces du= y v= remplazando en la fórmula 3. Hacemos u=ln(x 2 ) y dv=dx entonces du= fórmula y v=x remplazando en la 4. Hacemos u=x 2 fórmula y dv=e 2x dx entonces du=2xdx y v= e 2x remplazando en la 8
Para desarrollar la integral, integramos por parte, hacemos u=x y dv=e 2x dx entonces du=dx y v= e 2x remplazando 5. Hacemos u=x 2 entonces du=2xdx y dv=x dx entonces v= 1)3/2 remplazando 9