Movimiento armónico conceptos básicos Llamamos movimiento oscilatorio cuando un móvil realiza un recorrido que se repite periódicamente, y que tiene un máximo y un mínimo respecto a un punto. Por ejemplo, un péndulo que oscila a izquierda y derecha respecto a la posición vertical. El movimiento armónico es un caso particular del movimiento oscilatorio. Al igual que el movimiento rectilíneo y circular, tiene sus propias ecuaciones de posición, velocidad y aceleración, y del mismo modo que en aquellos movimientos, estas ecuaciones se sacan derivando sucesivamente. Sin embargo, tienen algo de particular: en estas ecuaciones aparecen senos y cosenos (que son los que se encargan de que los valores se repitan periódicamente). Ecuación de posición o bien y = A(senωt + φ 0 ) x = A(cosωt + φ 0 ) dependiendo de si el movimiento lo medimos desde el eje vertical o el eje horizontal. Qué es cada cosa? A es la amplitud, la distancia máxima que el móvil llega a alcanzar respecto a la posición de equilibrio. También se denomina elongación máxima (elongación es la distancia del móvil respecto del punto de equilibrio en cualquier momento). La amplitud es una distancia, y por lo tanto se mide en metros. ω es la velocidad angular, equivalente a la del movimiento circular. También se mide en radianes por segundo. φ 0 es la fase inicial, equivalente a la posición inicial de los otros movimientos (por ejemplo, si el péndulo empieza un poco inclinado a la izquierda). Se mide en radianes.
Ecuación de velocidad La ecuación de velocidad, en realidad, son dos. Depende de si medimos la velocidad en vertical o en horizontal. Vamos a hacer un pequeño paréntesis para aclarar que es todo esto de una ecuación para la vertical y otra para la horizontal. Imagina un péndulo oscilando. Lo más seguro es que te lo estés imaginando con este aspecto: Si miramos el péndulo así, la trayectoria que describe sería una parábola, una especie de u abierta. Ahora, en vez de mirar el péndulo desde esa posición, lo vamos a mirar desde la izquierda, poniéndonos justo enfrente de él. Veríamos esto: Esto es medir la posición, la velocidad y la aceleración en vertical. Ahora imagina que vemos el péndulo colocándonos justo debajo de él. Veríamos esto: Esto es medir la posición, la velocidad y la aceleración en horizontal. Cuándo usamos cada uno? Pues depende de lo que nos pida el enunciado, aunque cuando se trata de péndulos se suele utilizar más la medida de las verticales (aunque ojo, hay más cosas que oscilan, aparte de los péndulos).
Bueno, después de esta pequeña aclaración, sigamos con lo nuestro. Decíamos que había dos fórmulas para la velocidad, que se obtienen de derivar las respectivas ecuaciones de posición 1 : y = A(senωt + φ 0 ) v y = Aω(cosωt + φ 0 ) x = A(cosωt + φ 0 ) v x = - Aω(senωt + φ 0 ) Ecuación de aceleración No hay mucho que explicar sobre ellas, si recuerdas que la aceleración se obtiene de derivar la velocidad respecto al tiempo, y que tendremos una aceleración en vertical y otra en horizontal. v y = Aω(cosωt + φ 0 ) a y = -Aω 2 (senωt + φ 0 ) v x = - Aω(senωt + φ 0 ) ax = - Aω 2 (cosωt + φ 0 ) Algunas conclusiones interesantes Vamos a reunir en un solo vistazo las tres ecuaciones y ver unas cuantas cosas que se pueden deducir de ellas. Para mayor claridad, nos vamos a quedar sólo con las que se refieren al movimiento en vertical, pero se podría aplicar exactamente lo mismo al resto. Posición y = A(senωt + φ 0 ) Velocidad v y = Aω(cosωt + φ 0 ) Aceleración a y = -Aω 2 (senωt + φ 0 ) Cuándo la posición del objeto que oscila alcanza su elongación máxima? (O dicho de otra manera, cuándo su posición coincide con la amplitud?) Cuando lo que hay dentro del paŕentesis vale 1. Si, como suele ser el caso, la fase inicial vale cero, esto quiere decir que ωt tiene que valer π/2. Por qué? Porque es el único ángulo para el cual el seno vale 1 (recuerda que medimos en radianes). En cualquier caso, si nos piden el tiempo para el cual el objeto se encuentra en su punto de elongación máxima, tienes que calcular cuándo senωt + φ 0 = 1 Siguiendo el mismo razonamiento, el objeto se encuentra en el punto de equilibrio cuando senωt + φ 0 = 0 1 Si no te acuerdas cómo se deriva, refresca tu memoria en nuestra sección de matemáticas. Si compruebas personalmente que sale exactamente lo que se indica, no sólo repasarás derivadas, sino que verás que las cosas encajan y que la física y las mates son ciencias hermanas.
Para la velocidad ocurre algo parecido, sólo que a la inversa porque hay un coseno en lugar de un seno. La velocidad máxima será cuando Y la velocidad mínima cuando cosωt + φ 0 = 1 cosωt + φ 0 = 0 Supón que la fase inicial vale cero. Fíjate lo que pasa: Elongación máxima cuando ωt = π/2 y 3π/2 2 Punto de equilibrio cuando ωt = 0 y π Velocidad máxima cuando ωt = 0 y π Velocidad mínima cuando ωt = π/2 y 3π/2 En resumen, en los extremos de su movimiento, el objeto tiene velocidad cero, y velocidad máxima en el punto de equilibrio. Cuando la elongación es máxima, la velocidad es mínima y viceversa. 2 Para el valor de y 3π/2 el seno vale -1. El objeto tendría su elongación máxima, aunque con signo negativo. En otras palabras, estaría en el otro extremo de su oscilación.
Otras relaciones importantes Estas fórmulas te pueden servir para relacionar entre sí distintos parámetros. Puede ocurrir que en lugar de darte uno de los valores (por ejemplo, la velocidad angular) te proporcionen otros datos para calcularlo. ω = 2πf f es la frecuencia del movimiento, es decir, el número de ciclos (u oscilaciones) por unidad de tiempo. T = 1/f El periodo (T) es la inversa de la frecuencia (f). Se define como el tiempo que tarda el objeto en realizar un ciclo completo. T = 2π/ k k es una constante propia de cada movimiento, y que puede calcularse también como k = ω 2 Como ves, el movimiento armónico tiene unas cuantas fórmulas, algunas de ellas no muy grandes, pero un poco parecidas entre sí. Es necesario trabajar con ellas y hacer bastantes ejercicios para fijarlas bien en la memoria.