Para comenzar la presentación mantenga presionado Ctrl y marque L Factorización de Polinomios con Coeficientes Enteros Mate 141: Álgebra y Trigonometría I Preparado por: Departamento de Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Puerto Rico Colegio de Ciencias Programa Título V - TSI 2011 Página anterior próxima página Página 1
Instrucciones para utilizar el módulo Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba 1 Marque Ctrl+l para comenzar la presentación en formato de pantalla completa. 2 Marque Esc para salir del formato en pantalla completa. 3 Hacer la Pre-prueba. 4 Estudiar el contenido del módulo: Definiciones, fórmulas y hacer lo problemas de práctica. 5 Hacer la Post-prueba Página anterior próxima página Página 2
Tabla Contenido Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba 1 Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba 2 Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 +bx+c Forma x 2 +bx+c Forma x 2 +bx c Forma x 2 bx+c Forma x 2 bx c 3 Forma ax 2 bx+c, (a > 0) 4 Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba 5 Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Página anterior próxima página Página 3
Objetivos Instruccionales Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba Objetivo general El objetivo de este módulo es presentar los conceptos y las destrezas que se requieren para factorizar un polinomio con coeficientes enteros utilizando la técnica de tanteo. Objetivos específicos Al finalizar el estudio de este módulo las personas usuarias podrán: Definir y dar ejemplos de polinomios mónicos y no mónicos. Factorizar polinomios mónicos de la forma: x 2 +bx+c, x 2 +bx c, x 2 bx+c y x 2 bx c donde b y c son números enteros positivos. Factorizar un polinomio de la forma: ax 2 +bx+c donde a, b, c son números reales con a 0. Identificar cuando un trinomio de grado 2, factoriza tanteando. Página anterior próxima página Página 4
Pre-prueba Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1 x 2 +3x+2 2 x 2 10x+16 3 x 2 +9x 36 4 x 2 2x 8 5 x 2 +3x+2 6 2y 3 +12y 2 +18y 7 10x 2 +11x+3 8 7w 2 +20w 3 9 6 x 15x 2 10 33x 2 39xy +6y 2 11 24t 4 246t 3 63t 2 12 (x+3) 2 +3(x+3) 4 Solución de la Pre-prueba Página anterior próxima página Página 5
Pre-prueba Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1 x 2 +3x+2 2 x 2 10x+16 3 x 2 +9x 36 4 x 2 2x 8 5 x 2 +3x+2 6 2y 3 +12y 2 +18y 7 10x 2 +11x+3 8 7w 2 +20w 3 9 6 x 15x 2 10 33x 2 39xy +6y 2 11 24t 4 246t 3 63t 2 12 (x+3) 2 +3(x+3) 4 Solución de la Pre-prueba Página anterior próxima página Página 6
Factorización de polinomios de la forma ax 2 +bx+c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c En este módulo se presentará la técnica de tanteo para factorizar polinomios de la forma ax 2 +bx+c donde a, b y c son números enteros diferentes de cero. A este trinomio se le da el nombre de trinomio cuadrático. Cuando a = 1, se le llama Mónico y cuando a 1 se le llama No Mónico. Un polinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a, b y c son números reales diferentes de cero factoriza como un producto de dos polinomios lineales con coeficientes reales si y solo si b 2 4ac es un número real. De lo contrario decimos que es irreducible sobre el conjunto de los números reales. La factorización tiene la forma: ax 2 +bx+c = (mx+t)(nx+w) para m,n,t,w números reales Fórmula para factorizar un polinomio de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Si b 2 4ac es un número real, entonces ( )( ) ax 2 +bx+c = a x b+ b 2 4ac x b b 2 4ac 2a 2a Página anterior próxima página Página 7
Factorización de polinomios de la forma ax 2 +bx+c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Ejemplo: Factorice el polinomio 15x 2 17x 4 Note que 15 x }{{} 2 17x 4. Al sustituir a = 15, b = 17 y c = 4 en la fórmula de la página }{{} }{{} a b c anterior obtenemos: 15x 2 17x 4 = 15 ( 17)+ ( 17) x 2 4(15)( 4) ( 17) ( 17) 2(15) x 2 4(15)( 4) 2(15) } {{ } } {{ } 4/3 1/5 ( 15x 2 17x 4 = 15 x 4 )( x 1 ) 3 5 ( = (3)(5) x 4 )( x+ 1 ) 3 5 ( = (3) x 4 ) ( (5) x+ 1 ) 3 5 = (3x 4)(5x+1) Página anterior próxima página Página 8
Factorización de polinomios de la forma ax 2 +bx+c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c La fórmula de factorización utilizada en el ejemplo anterior se puede evitar y utilizar lo que conocemos como el. Cuándo puedo utilizar el? Un polinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a, b y c son enteros factoriza utilizando el método de tanteo si y solo si b 2 4ac es un número racional. En forma general el tanteo se efectuaría de la siguiente manera: ax 2 +bx+c = (mx+t)(nx+w) donde a = mn, c = tw y b = mw +tn. Además, m, n, t y w tienen que ser números enteros. Para facilitar este tipo de factorización dividimos el estudio en polinomios Mónicos y No Mónicos, es decir, en polinomios de la forma x 2 +bx+c o ax 2 +bx+c donde a 0, b y c números enteros. Antes de comenzar con los diferentes casos, veamos un ejemplo donde apliquemos la técnica de tanteo. Página anterior próxima página Página 9
Ejemplo: Factorice el polinomio 6x 2 19x 7 Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Solución: Note que ( 19) 2 4(6)( 7) = 23, esto implica que el polinomio factoriza tanteando como un producto de dos factores lineales, es decir, donde 6 = mn, 7 = tw y 19 = mw +tn. 6x 2 19x 7 = (mx+t)(nx+w) En otras palabras necesitamos encontrar dos enteros m, n que su producto sea 6 y dos enteros t y w que su producto sea -7 de tal manera que 19 = mw +tn. Esta es la razón por la cuál le llamamos el método de tanteo, ya que se requiere probar con diferentes valores. Utilizando m = 3, t = 1, n = 2 y w = 7, note que 6 x }{{} 2 19 x 7 = ( 3 }{{} }{{} }{{} mn mw+nt tw m x+ 1 }{{} t )( 2 Por lo tanto, la factorización es: 6x 2 19x 7 = (3x+1)(2x 7) x 7) }{{} }{{} n w Página anterior próxima página Página 10
Polinomio de la Forma x 2 +bx+c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Como factorizar un polinomio de la forma x 2 + bx + c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x 2 +bx+c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n tal que su producto sea c y la suma de ellos dos sea igual a b. Luego la factorización tendría la forma x 2 +bx+c = (x+m)(x+n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio m n mn m + n Factorización x 2 +8x+15 5 3 15 8 (x+5)(x+3) x 2 +13x+12 12 1 12 13 (x+12)(x+1) t 2 +9t+18 6 3 18 9 (t+6)(t+3) y 2 +36y +288 24 12 288 36 (y +24)(y +12) Página anterior próxima página Página 11
Polinomio de la Forma x 2 +bx c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Como factorizar un polinomio de la forma x 2 + bx c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x 2 +bx c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n con m > n tal que su producto sea c y la diferencia (m n) de ellos dos sea igual a b. Luego la factorización tendría la forma x 2 +bx c = (x+m)(x n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio m n mn m n Factorización x 2 +10x 24 12 2 24 10 (x+12)(x 2) x 2 +17x 60 20 3 60 17 (x+20)(x 3) t 2 +4t 21 7 3 21 4 (x+7)(x 3) y 2 +13y 30 15 2 30 13 (y +15)(y 2) Página anterior próxima página Página 12
Polinomio de la Forma x 2 bx+c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Como factorizar un polinomio de la forma x 2 bx + c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x 2 bx+c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n tal que su producto sea c y la suma de ellos dos sea igual a b. Luego la factorización tendría la forma x 2 bx+c = (x m)(x n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio m n mn m + n Factorización x 2 8x+15 5 3 15 8 (x 5)(x 3) x 2 13x+12 12 1 12 13 (x 12)(x 1) t 2 9t+18 6 3 18 9 (t 6)(t 3) y 2 36y +288 24 12 288 36 (y 24)(y 12) Página anterior próxima página Página 13
Polinomio de la Forma x 2 bx c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Como factorizar un polinomio de la forma x 2 bx c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x 2 bx c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n con m > n tal que su producto sea c y la diferencia (m n) de ellos dos sea igual a b. Luego la factorización tendría la forma x 2 bx c = (x m)(x+n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio m n mn m n Factorización x 2 10x 24 12 2 24 10 (x 12)(x+2) x 2 17x 60 20 3 60 17 (x 20)(x+3) t 2 4t 21 7 3 21 4 (x 7)(x+3) y 2 13y 30 15 2 30 13 (y 15)(y +2) Página anterior próxima página Página 14
Forma ax 2 bx + c, (a > 0) Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax 2 + bx + c Ejemplos Polinomio de la Forma ax 2 bx+c donde a,b,c son números enteros Cómo factorizar un polinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a,b,c son números enteros? El factorizar un polinomio No Mónico de la forma ax 2 +bx+c requiere un poco más de trabajo, especialmente, cuando los valores de a, b, c son números enteros grandes. Tenemos dos opciones para factorizar un polinomio cuadrático No Mónico. Opción 1: Utilizar la fórmula: ax 2 +bx+c = a ( x b+ b 2 4ac 2a )( x b b 2 4ac 2a ) Opción 2: : Encontrar enteros m,n,t,w tal que mn = a, tw = c y mt+nw = b. Luego la factorización tiene la forma: ax 2 +bx+c = (mx+t)(nx+w) Veamos algunos ejemplos utilizando la opción 2:. Página anterior próxima página Página 15
Forma ax 2 bx + c, (a > 0) Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax 2 + bx + c Ejemplos Ejemplos: Factorización de polinomios de la forma ax 2 +bx+c Antes de presentar los ejemplos recordemos los pasos para factorizar un polinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a,b,c son números enteros. Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a,b,c son números enteros Pasos 1: Verificar si el polinomio tiene una constante como factor común. De ser asi, se factoriza y se le aplica el paso dos al polinomio cradrático que obtenemos de la factorización. Pasos 2: Verificar que b 2 4ac sea un número racional. De no serlo se concluye que no se puede factorizar utilizando coeficientes enteros, o sea, es irreducible sobre los números enteros. Pasos 3: Encontrar enteros m,n,t,w tal que mn = a, tw = c y mw +nt = b. Luego la factorización tiene la forma: a x }{{} 2 + b x+ c = (mx+t)(nx+w) }{{} }{{} mn mw+nt tw Página anterior próxima página Página 16
Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Forma ax 2 bx + c, (a > 0) Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax 2 + bx + c Ejemplos Factorice los siguientes polinomios de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Polinomio m n t w mn tw mw + tn (mx + t)(nx + w) 14x 2 +23x+3 2 7 3 1 14 3 23 (2x+3)(7x+1) 8x 2 23x 36 1 8-4 9 8-36 -23 (x 4)(8x+9) 48x 2 136x 65 12 4 5-13 48-65 -136 (12x+5)(4x 13) 42x 2 +187x 30-6 7 1-30 -42-30 187 ( 6x+1)(7x 30) 9x 2 +6x+1 3 3 1 1 9 1 6 (3x+1)(3x+1) 22x 2 +37x 6-11 2 2-3 -22-6 37 ( 11x+2)(2x 3) 16x 2 72x+17 4 4-1 -17 16 17-72 (4x 1)(4x 17) 5x 2 +28x 15-1 5 5-3 -5-15 28 ( x+5)(5x 3) Página anterior próxima página Página 17
Ejercicios de Práctica Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Factorice los siguientes polinomios Mónicos Polinomio m n Factorización x 2 +7x+6 x 2 +2x 15 t 2 7t+12 y 2 8y 33 x 2 +25x+100 x 2 +2x 35 t 2 22t+21 y 2 70y 144 Solución de los problemas Página anterior próxima página Página 18
Ejercicios de Práctica Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Factorice los siguientes polinomios Mónicos Polinomio m n Factorización x 2 +7x+6 x 2 +2x 15 t 2 7t+12 y 2 8y 33 x 2 +25x+100 x 2 +2x 35 t 2 22t+21 y 2 70y 144 Solución de los problemas Página anterior próxima página Página 19
Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Factorice los siguientes polinomios de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Polinomio m n t w mn tw mw + tn (mx + t)(nx + w) 8x 2 53x 21 7x 2 +10x 8 3x 2 4x+2 6x 2 +7x 20 12x 2 x 6 12x 2 29x+15 21x 2 +41x+10 4x 2 20x+25 Respuestas a los problemas Página anterior próxima página Página 20
Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Factorice los siguientes polinomios de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Polinomio m n t w mn tw mw + tn (mx + t)(nx + w) 8x 2 53x 21 7x 2 +10x 8 3x 2 4x+2 6x 2 +7x 20 12x 2 x 6 12x 2 29x+15 21x 2 +41x+10 4x 2 20x+25 Respuestas a los problemas Página anterior próxima página Página 21
Post-prueba Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1 x 2 +3x+2 2 x 2 10x+16 3 x 2 +9x 36 4 x 2 2x 8 5 x 2 +3x+2 6 2y 3 +12y 2 +18y 7 10x 2 +11x+3 8 7w 2 +20w 3 9 6 x 15x 2 10 33x 2 39xy +6y 2 11 24t 4 246t 3 63t 2 12 (x+3) 2 +3(x+3) 4 Solución de la Post-prueba Página anterior próxima página Página 22
Post-prueba Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1 x 2 +3x+2 2 x 2 10x+16 3 x 2 +9x 36 4 x 2 2x 8 5 x 2 +3x+2 6 2y 3 +12y 2 +18y 7 10x 2 +11x+3 8 7w 2 +20w 3 9 6 x 15x 2 10 33x 2 39xy +6y 2 11 24t 4 246t 3 63t 2 12 (x+3) 2 +3(x+3) 4 Solución de la Post-prueba Página anterior próxima página Página 23
Solución de la Pre-prueba Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) x 2 +3x+2 = (x+2)(x+1) (2) x 2 10x+16 = (x 8)(x 2) (3) x 2 +9x 36 = (x+12)(x 3) (4) x 2 2x 8 = (x 4)(x+2) (5) x 2 20x+100 = (x 10)(x 10) = (x 10) 2 (6) 2y 3 +12y 2 +18y = 2y(y +3)(y +3) = 2y(y +3) 2 (7) 10x 2 +11x+3 = (2x+1)(5x+3) (8) 7w 2 +20w 3 = (w +3)(7w 1) (9) 6 x 15x 2 = (3 5x)(2+3x) (10) 33x 2 39xy +6y 2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y) (11) 24t 4 246t 3 63t 2 = 3t 2 (4t+1)(2t 21) (12) (x+3) 2 +3(x+3) 4 = ((x+3)+4)((x+3) 1) = (x+7)(x+2) Regresar a la Pre-prueba Página anterior próxima página Página 24
Solución de la Pre-prueba Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) x 2 +3x+2 = (x+2)(x+1) (2) x 2 10x+16 = (x 8)(x 2) (3) x 2 +9x 36 = (x+12)(x 3) (4) x 2 2x 8 = (x 4)(x+2) (5) x 2 20x+100 = (x 10)(x 10) = (x 10) 2 (6) 2y 3 +12y 2 +18y = 2y(y +3)(y +3) = 2y(y +3) 2 (7) 10x 2 +11x+3 = (2x+1)(5x+3) (8) 7w 2 +20w 3 = (w +3)(7w 1) (9) 6 x 15x 2 = (3 5x)(2+3x) (10) 33x 2 39xy +6y 2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y) (11) 24t 4 246t 3 63t 2 = 3t 2 (4t+1)(2t 21) (12) (x+3) 2 +3(x+3) 4 = ((x+3)+4)((x+3) 1) = (x+7)(x+2) Regresar a la Pre-prueba Página anterior próxima página Página 25
Solución Ejercicios de Práctica Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice los siguientes polinomios Mónicos Polinomio m n Factorización x 2 +7x+6 6 1 (x+6)(x+1) x 2 +2x 15 5 3 (x+5)(x 3) t 2 7t+12 4 3 (t 4)(t 3) y 2 8y 33 11 3 (y 11)(y +3) x 2 +25x+100 20 5 (x+20)(x+5) x 2 +2x 35 7 5 (x+7)(x 5) t 2 22t+21 21 1 (t 21)(t 1) y 2 70y 144 72 2 (y 72)(y +2) Regresar a los problemas de práctica Página anterior próxima página Página 26
Solución Ejercicios de Práctica Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice los siguientes polinomios Mónicos Polinomio m n Factorización x 2 +7x+6 6 1 (x+6)(x+1) x 2 +2x 15 5 3 (x+5)(x 3) t 2 7t+12 4 3 (t 4)(t 3) y 2 8y 33 11 3 (y 11)(y +3) x 2 +25x+100 20 5 (x+20)(x+5) x 2 +2x 35 7 5 (x+7)(x 5) t 2 22t+21 21 1 (t 21)(t 1) y 2 70y 144 72 2 (y 72)(y +2) Regresar a los problemas de práctica Página anterior próxima página Página 27
Solución de los ejercicios de práctica Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice los siguientes polinomios de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Polinomio m n t w mn tw mt + nw (mx + t)(nx + w) 8x 2 53x 21 8 1 3-7 8-21 -53 (8x+3)(x 7) 7x 2 +10x 8 7 1-4 2 7-8 10 (7x 4)(x+2) 3x 2 4x+2 Irreducible 6x 2 +7x 20 3 2-4 5 6-20 7 (3x 4)(2x+5) 12x 2 x 6 3 4 2-3 12-6 -1 (3x+2)(4x 3) 12x 2 29x+15 3 4-5 -3 12 15-29 (3x 5)(4x 3) 21x 2 +41x+10 3 7 5 2 21 10 41 (3x+5)(7x+2) 4x 2 20x+25 2 2-5 -5 4 25-20 (2x 5)(2x 5) Regresar a los problemas Página anterior próxima página Página 28
Solución de los ejercicios de práctica Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice los siguientes polinomios de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Polinomio m n t w mn tw mt + nw (mx + t)(nx + w) 8x 2 53x 21 8 1 3-7 8-21 -53 (8x+3)(x 7) 7x 2 +10x 8 7 1-4 2 7-8 10 (7x 4)(x+2) 3x 2 4x+2 Irreducible 6x 2 +7x 20 3 2-4 5 6-20 7 (3x 4)(2x+5) 12x 2 x 6 3 4 2-3 12-6 -1 (3x+2)(4x 3) 12x 2 29x+15 3 4-5 -3 12 15-29 (3x 5)(4x 3) 21x 2 +41x+10 3 7 5 2 21 10 41 (3x+5)(7x+2) 4x 2 20x+25 2 2-5 -5 4 25-20 (2x 5)(2x 5) Regresar a los problemas Página anterior próxima página Página 29
Solución de la Post-Prueba Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) x 2 +3x+2 = (x+2)(x+1) (2) x 2 10x+16 = (x 8)(x 2) (3) x 2 +9x 36 = (x+12)(x 3) (4) x 2 2x 8 = (x 4)(x+2) (5) x 2 20x+100 = (x 10)(x 10) = (x 10) 2 (6) 2y 3 +12y 2 +18y = 2y(y +3)(y +3) = 2y(y +3) 2 (7) 10x 2 +11x+3 = (2x+1)(5x+3) (8) 7w 2 +20w 3 = (w +3)(7w 1) (9) 6 x 15x 2 = (3 5x)(2+3x) (10) 33x 2 39xy +6y 2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y) (11) 24t 4 246t 3 63t 2 = 3t 2 (4t+1)(2t 21) (12) (x+3) 2 +3(x+3) 4 = ((x+3)+4)((x+3) 1) = (x+7)(x+2) Regresar a la Post-prueba Página anterior próxima página Página 30
Solución de la Post-Prueba Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) x 2 +3x+2 = (x+2)(x+1) (2) x 2 10x+16 = (x 8)(x 2) (3) x 2 +9x 36 = (x+12)(x 3) (4) x 2 2x 8 = (x 4)(x+2) (5) x 2 20x+100 = (x 10)(x 10) = (x 10) 2 (6) 2y 3 +12y 2 +18y = 2y(y +3)(y +3) = 2y(y +3) 2 (7) 10x 2 +11x+3 = (2x+1)(5x+3) (8) 7w 2 +20w 3 = (w +3)(7w 1) (9) 6 x 15x 2 = (3 5x)(2+3x) (10) 33x 2 39xy +6y 2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y) (11) 24t 4 246t 3 63t 2 = 3t 2 (4t+1)(2t 21) (12) (x+3) 2 +3(x+3) 4 = ((x+3)+4)((x+3) 1) = (x+7)(x+2) Regresar a la Post-prueba Página anterior próxima página Página 31