Prueba de Evaluación Continua Grupo A 9-04-14 ESPACIOS VECTORIALES-DIAGONALIZACIÓN (parte sin DERIVE) 1. a) Definir sistema ligado de vectores de un espacio vectorial V. b) Demostrar que si un sistema de vectores es ligado, entonces al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás. Ver teoría.. Resolver la siguiente ecuación matricial sabiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden y que A es simétrica: AX + (BX -1 ) -1 = (X t A) t + X + C A X + ½ X B -1 = A t X + X + C = A X + X + C, por ser A simétrica. ½ X B -1 1 1 1 1 = X + C X B IC X C B I. En R se consideran los subconjuntos G= 1,1, 1,(,0,1),(1, 1,). Se pide: 1 F= α -β,α,β R tales que α, R y a) Hallar unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas, una base y la dimensión de F, G, F G y F+G. b) Son F y G subespacios suplementarios? a) Unas ecuaciones paramétricas de F son: x= y=, Rx,y,z = α -β,α,β = α,1,0 +β-1,0,1 z= B F ={(,1,0), (-1,0,1)} y dim F =, pues ambos vectores son linealmente independientes además de generadores de F. Una ecuación implícita de F es: x = y z, sin más que sustituir en la primera ecuación, y por y z por. Como 1 1 1 0 1 0 1 1, los tres vectores que generan G son linealmente independientes. Eliminamos uno de ellos y nos quedamos con dos linealmente independientes. De esta forma, una base de G es B G ={(1,1,-1), (,0,1)} y dim G =. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 1
x= x, y,zg x, y,z1,1, 1,0,1 y =, R z=- ecuaciones paramétricas de G., que son unas 1 x x, y,z G x, y,z 1,1, 1,0,1 1 0 y 0 x y z 0, que 1 1 z es la ecuación implícita o cartesiana de G. Teniendo en cuenta las ecuaciones de F y de G, se obtienen unas ecuaciones implícitas xyz0 de F G:. x y z 0 Resolvamos este sistema para obtener unas paramétricas de F G. xyz0 x y z 0 xyz. Restando ambas ecuaciones: x y z x 7 yzzzx zy7zy z, R. Por tanto, una base de F Ges B F G = -7,-,1, y dim F G= 1. dim (F + G) = dim F + dim G - dim F G = + 1 = F + G = R R no tiene ecuaciones implícitas. Unas ecuaciones paramétricas de F + G = R son: x= y=,, R. Y una base de F + G es cualquier base de R, por ejemplo, la base z= canónica: B 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 c. 4. Dada la transformación lineal f de R definida por las imágenes de los vectores de la base canónica: f(1,0)=(5,) ; f(0,1)=(-,1) a) Calcular los valores propios de f. b) Calcular los vectores propios de f. c) Es f diagonalizable? a) La matriz asociada o que define f se obtiene mediante las imágenes de los vectores de la B e,e : base 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
f e (5,) f e (,1) 1 A Mf,B Valores propios: ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía 5 1 5 1 A I 6 9 doble. b) Vectores propios: 5 x 0 AIv0. 1y 0 Para 5 x 0 1 y 0 x v 1 (1,1) y c) No, es diagonalizable, ya que no es posible encontrar una base del espacio vectorial formada por vectores propios de f. La dimensión del subespacio propio asociada al valor propio es 1 y no coincide con el orden de multiplicidad que es doble. Prueba de Evaluación Continua Grupo A 9-04-1 ESPACIOS VECTORIALES-DIAGONALIZACIÓN (parte con DERIVE) 5. Se consideran las bases de R B = u 1 =,0,1,u = 1,1,-1,u =,1,-1, se pide: B' = v 1 = 1, 1,1, v = 1,1,,v = 1,0,1 a) Calcular la ecuación matricial del cambio de la base B a la base canónica, de B a la canónica, de B a B y de B a B. b) Si x= (,0,1) respecto de la base B, cuáles son sus coordenadas respecto de B? c) Dar las coordenadas de u respecto de la base B y respecto de la base B. a) Si consideramos la base canónica B = e = (1,0,0), e = (0,1,0), e = (0,0,1) c 1 y dado que los vectores de las bases B y B vienen referidos a la base canónica, son inmediatos los cambios de la base B a B c y de la base B a B c U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
x 1 x x c c 1 1 1x' y = 0 1 1 y, y = -1 1 0 y' c c z 1-1 -1z z 1 1z' c c Igualando se obtiene: x c 1 x 1 1 1x' y = 0 1 1 y = -1 1 0 y' c z 1-1 1z 1 1z' c A partir de esta expresión, podemos obtener cualquier cambio de base entre las tres bases consideradas, a saber B, B y B c. En particular, se nos pide Cambio de base de B a B : 1 x' 1 1 1 1 x 1 4x y' -1 1 0 0 1 1 y = 1 y z' 1 1 1-1 -1z 4 6 9 z x' 1 4x x' xy4z y' 1 y y sus ecuaciones y' xyz z' 4 6 9 z z' 4x 6y 9z Cambio de base de B a B: 1 x 1 4 x' 0 1 x' x y' z' y 1 y' 7 1 y' y sus ecuaciones son y x' 7y' z' z 4 6 9 z' 6 1z' z x' 6y' z' b) El vector x= (,0,1) respecto de la base B hemos de expresarlo respecto de la base B, para ello usamos las ecuaciones de cambio de base de B a B : x' 1 4x y' 1 y y sustituimos(x,y,z) por (,0,1) quedando: z' 4 6 9 z x' 1 4 6 y' 1 0 5, z' 4 6 9 1 17 Luego (-6,-5,17) son las coordenadas del vector x respecto de la base B. u 0u 1u 0u (0,1,0) c) 1 B U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 4
Cambiamos ahora a la base B`: Luego, u (,,6) B` 1 40 1 1 4 6 9 0 6 6. Dada la transformación lineal f de R definida por la ecuación f(x,y,z)= (x+y, -x, z). Se pide: a) Hallar la matriz A asociada a f respecto la base canónica. b) Las ecuaciones cartesianas o implícitas del subespacio Im(f). c) Los valores propios de A. d) Los vectores propios de A. e) Justificar si A es diagonalizable y, en caso afirmativo, escribir una matriz diagonal D semejante a A, la matriz de paso P que permite la diagonalización y escribir la expresión que relaciona D y A. f) Indicar si existen vectores invariantes por f, y en caso afirmativo, dar unas ecuaciones paramétricas que los determinan. a) La matriz asociada o que define f se obtiene mediante las imágenes de los vectores de la base B e 1,e,e : fe 1(, 1,0) B 0 f e (,0,0) B AMf,B 1 0 0 fe (0,0,1) 0 B 0 1 f(u 1) f(u ) f(u ) b) La imagen es: Im(f ) y R / x R con f (x) y, luego y1 0x1 0 y1 0 y 1 0 0 x 1 x1 0 x 0 x y 1 0 0 y 0 0 1x 0 0 1 y 0 0 1 que son las ecuaciones paramétricas del subespacio imagen, siendo dim(im(f))=r(a)= y por tanto, no hay ecuaciones cartesianas del subespacio imagen de f, ya que coincide con R. La transformación lineal f es biyectiva. c) Valores propios: 0 A I 1 0 0 ( )( 1) 0 0 1 1 doble simple. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 5
d) 0 x 0 Vectores propios: AIv0 1 0 0 y 0. 0 0 1z 0 1 0 x 0 Para 1 se tiene que: 1 01 0 y 0 xy0 0 0 11z 0 x v 1 (1, 1, 0) y v (0, 0,1) z Para se tiene que: x y v (, 1,0) z 0 V 1,, R /, R 0 x 0 xy0 1 0 0 y 0 z 0 0 0 1 z 0 V,,0 R / R e) A es diagonalizable si todos los valores propios son números reales y cada valor propio cumple que su orden de multiplicidad coincide con la dimensión del correspondiente subespacio propio. En este caso dim V 1 coincide con el orden de multiplicidad del valor propio que es doble. La base formada por los vectores propios es: B={(1,-1,0), (0,0,1), (,-1,0)} Matriz formada por los valores propios obtenidos en la diagonal principal 1 0 0 D 0 1 0 0 0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 6
La matriz del cambio de base: 1 0 P 1 0 1 0 1 0 A y D son semejantes si y sólo si A = P -1 D P siendo P una matriz regular. f) Existen vectores invariantes por f además del vector nulo, puesto que λ=1 es un valor propio de A: x y z U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 7
Prueba de Evaluación Continua Grupo B 8-04-14 ESPACIOS VECTORIALES-DIAGONALIZACIÓN (parte sin DERIVE) 1. a) Definir coordenadas de un vector respecto de una base B de un espacio vectorial V. b) Demostrar que las coordenadas de un vector respecto de una base B son únicas. Ver teoría.. Resolver la siguiente ecuación matricial sabiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden y que A y C son simétricas: (AX) t + (X -1 B) -1 = X t A + (X t +C) t X t A+ 1/ B -1 X = X t A + X + C t = X t A + X + C, por ser A y C simétricas. 1/ B -1 X = X + C 1 1 1 B I X C X B I C 1 1. En R se consideran los subconjuntos G = 1,-1,1,(0,1,),(-1,,1). Se pide: F = x,y,z R tales que x - y - z = 0 y a) Hallar unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas, una base y la dimensión de F, G, F G y F+G. b) Son F y G subespacios suplementarios? a) La ecuación cartesiana o implícita de F es x - y - z = 0. Resolviendo esta ecuación obtendremos unas ecuaciones paramétricas: x= z = x - y y=, R z=- Por tanto, x, y,zf x, y,z = α,β,- = α1,0, + β0,1,-1. Luego, una base de F es B F ={ 1,0,, 0,1,-1 } y dim F =, pues ambos vectores son linealmente independientes además de generadores de F. Como 1 0 1 1 1 0, los tres vectores que generan G son linealmente 1 1 independientes. Eliminamos uno de ellos y nos quedamos con dos linealmente independientes. De esta forma, una base de G es B G ={(1,-1,1), (0,1,)} y dim G =. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 8
x= x, y,zg x, y, z1, 1,10,1, y = -, R z= ecuaciones paramétricas de G., que son unas 1 0 x x, y,z G x, y,z 1, 1,1 0,1, 1 1 y 0 x y z 0, 1 z que es la ecuación implícita o cartesiana de G. Teniendo en cuenta las ecuaciones de F y de G, se obtienen unas ecuaciones implícitas x - y - z = 0 de F G:. x y z 0 Resolvamos este sistema para obtener unas paramétricas de F G. x - y - z = 0 yzx. Restando ambas ecuaciones: x y z 0 y z x x y x x y z x y 7y y z 7, R. Por tanto, una base de F Ges B F G = -,1,-7, y dim F G= 1. dim (F + G) = dim F + dim G - dim F G = + 1 = F + G = R R no tiene ecuaciones implícitas. Unas ecuaciones paramétricas de F + G = R son: x= y=,, R. Y una base de F + G es cualquier base de R, por ejemplo, la base z= canónica: B 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 c. 4. Dada la transformación lineal f de R definida por las imágenes de los vectores de la base canónica: f(e 1) e1e ; f(e ) e1e. a) Calcular los valores propios de f. b) Calcular los vectores propios de f. c) Es f diagonalizable? a) La matriz asociada o que define f se obtiene mediante las imágenes de los vectores de la B e,e : base 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 9
f e e e (,1) f e e1 e ( 1,1) ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía 1 1 A Mf,B Valores propios: 1 A I 4 4 1 1 1 1 1 doble b) Vectores propios: 1 x 0 AIv0. 1 1y 0. Para 1 x 0 1 1 y 0 x v 1 (1,1) y c) No, es diagonalizable, ya que no es posible encontrar una base del espacio vectorial formada por vectores propios de f. La dimensión del subespacio propio asociada al valor propio es 1 y no coincide con el orden de multiplicidad que es doble. Prueba de Evaluación Continua Grupo B 8-04-1 ESPACIOS VECTORIALES-DIAGONALIZACIÓN (parte con DERIVE) 5. Se consideran las bases de R B= u,u,u y B' = v, v, v 1 v = u + u + u, v = u + u, v u -u -u. 1 1 1 1 tales que : a) Calcular la ecuación matricial del cambio de base de B a B y de B a B. u = 1,1,1, u = 1,0,-1, u =,1,1, hallar el cambio de base de B a la base b) Si 1 canónica y de B a la canónica. c) Si x= (,0,1) respecto de la base B, cuáles son sus coordenadas respecto de B? d) Dar las coordenadas de v respecto de la base B` y respecto de la base canónica. a) La matriz de cambio de base de B a B es: cambio de base de B a B es 0 1 1 1-1 y, por tanto, la ecuación de 1-1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 10
x 0 1 x' y = 1 1-1 y' z 1-1 z' La ecuación de cambio de la base B a la base B es: x' 0 1 y' = 1 1-1 z' 1-1 1 x x' 0-1 1 x y y' = 1 4 - y. z z' 1 - z b) Cambio de base de B a la canónica: x c 1 1 x y = 1 0 1 y c z 1-1 1z c Cambio de base de B a la canónica: x 1 1 0 1 x' x c c 7 -x' y = 1 0 1 1 1-1 y' y 4 1 0 y' c c z 1-1 1 1-1z' z 0 1 z' c c c) El vector x= (,0,1) respecto de la base B hemos de expresarlo respecto de la base B, para ello usamos las ecuaciones de cambio de base de B a B : Luego (1,-1,0) son las coordenadas del vector x respecto de la base B. v 0v 0v 1v (0,0,1) d) 1 B' x' 0-1 1 1 y' = 1 4-0 = -1 z' 1-1 0 Cambiamos ahora a la base canónica C: Luego, v (, 0,1) C 7 0 4 1 0 0 0 0 1 1 1 6. Dada la transformación lineal f de R definida por la ecuación f(x,y,z)= (x-y, x, z). Se pide: a) Escribir la matriz, A, que define f respecto la base canónica. b) Las ecuaciones cartesianas o implícitas del subespacio Im(f). c) Los valores propios de A. d) Los vectores propios de A. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 11
e) Justificar si A es diagonalizable y, en caso afirmativo, escribir una matriz diagonal D semejante a A, la matriz de paso P que permite la diagonalización y escribir la expresión que relaciona D y A. f) Indicar si existen vectores invariantes por f, y en caso afirmativo, dar unas ecuaciones paramétricas que los determinan. c) La matriz asociada o que define f se obtiene mediante las imágenes de los vectores de la base B e 1,e,e : fe 1 (,,0) B 1 0 f e ( 1,0,0) B AMf,B 0 0 fe (0,0,1) 0 B 0 1 f(u 1) f(u ) f(u ) d) La imagen es: Im(f ) y R / x R con f (x) y, luego y1 1 0x1 1 0 y1 1 0 y 0 0 x x1 0 x 0 x y 0 0 y 0 0 1x 0 0 1 y 0 0 1 que son las ecuaciones paramétricas del subespacio imagen, siendo dim(im(f))=r(a)= y por tanto, no hay ecuaciones cartesianas del subespacio imagen de f, ya que coincide con R. La transformación lineal f es biyectiva. c) Valores propios: 1 0 A I 0 0 ( )( 1) 0 0 1 1 doble simple. d) Vectores propios: 1 0 x 0 AI v0 0 0 y 0. 0 0 1z 0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 1
1 1 0 x 0 Para 1 se tiene que: 01 0 y 0 xy0 0 0 11z 0 x v 1 (1,,0) y v (0,0,1) z Para se tiene que: x y v (1,1,0) z 0 V 1,, R /, R 1 0 x 0 xy0 0 0 y 0 z 0 0 0 1 z 0 V,,0 R / R e) A es diagonalizable si todos los valores propios son números reales y cada valor propio cumple que su orden de multiplicidad coincide con la dimensión del correspondiente subespacio propio. En este caso dim V 1 coincide con el orden de multiplicidad del valor propio que es doble. La base formada por los vectores propios es: B={(1,,0), (0,0,1), (1,1,0)} Matriz formada por los valores propios obtenidos en la diagonal principal 1 0 0 D 0 1 0 0 0 La matriz del cambio de base: 1 0 1 P 0 1 0 1 0 A y D son semejantes si y sólo si A = P -1 D P siendo P una matriz regular. f) Existen vectores invariantes por f además del vector nulo, puesto que λ=1 es un valor propio de A: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 1
x y z U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Curso 01-14 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 14