Tema 7 Probabilidad. Distribuciones binomial y normal 7.1. Introducción En este tema trataremos algunas cuestiones básicas sobre Probabilidad. Tanto la Probabilidad como la Estadística son dos campos de las Matemáticas que proporcionan útiles herramientas para el estudio de las ciencias de la vida. Muchos fenómenos de la naturaleza no son deterministas, es decir, conllevan una aleatoriedad. La teoría de la Probabilidad estudia las leyes que modelan esa aleatoriedad mientras que la teoría estadística analiza los datos concretos obtenidos de los experimentos; ambas son las caras de una misma moneda que deben conocerse para entender mejor la realidad que se estudia en su conjunto. Los primeros investigadores de la probabilidad de sucesos, sobre todo aplicada a los juegos de azar, fueron los franceses Pierre Fermat (1601-1665) y Blaise Pascal (1623-1662). El nombre de azar proviene de los juegos de dados, donde aparecía pintada la flor de azahar y estaba asociada a la buena suerte, significaba una buena partida. Incluso el nombre de suceso aleatorio, es decir, suceso del cual es imposible predecir el resultado, proviene del latín aleas que significa dado. Sin embargo, ya un siglo antes Galileo estudió problemas sencillos como porqué es mejor apostar a sacar un 10 que a sacar un 9 en una tirada de tres dados. Antes que Galileo también se dedicó al estudio de estos problemas Cardano, quien incluso escribió un libro sobre los juegos de dados en el que llega a explicar cómo hacer trampas para ganar. La introducción de Pascal y Fermat en este tema vino de la amistad de Pascal con un jugador profesional, conocido como Caballero de Meré, quien propuso a Pascal una serie de problemas sobre distintas situaciones en las apuestas de dados. Pascal enviaba los problemas a Fermat, con quien le unía una buena amistad y así mantuvieron una continua correspondencia sobre ideas y métodos. Pierre Simon Laplace (1749-1827) construyó la formulación definitiva de la teoría general de la probabilidad. Laplace definió el cálculo de probabilidades como el sentido común expresado con números. Este tema consta de las siguientes secciones: 1. Probabilidad. 89
90 TEMA 7. PROBABILIDAD. DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL 2. Distribuciones discretas. La distribución binomial. 3. Distribuciones continuas. La distribución normal. 7.2. Probabilidad Llamamos experimento a cualquier proceso que genera un conjunto de datos. Un experimento se dice aleatorio cuando se puede repetir en las mismas condiciones, sus posibles resultados son conocidos previamente y el resultado de cada prueba depende del azar. Un experimento se dice determinista cuando al repetirlo en las mismas condiciones, produce siempre el mismo resultado. Son experimentos aleatorios - -El lanzamiento de un dado. - -El lanzamiento de una moneda. - -La extracción de un naipe de la baraja. - -El tiempo de espera de una persona en la parada del autobús. - -El número de hijos de una pareja, el sexo del mayor, su estatura o el número de años que vivirá. - -El número de veces que hay que lanzar una moneda hasta que salga cara. El espacio muestral, que se denota por Ω, es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Cualquier subconjunto del espacio muestral se denomina suceso. Se llama suceso elemental al constituido por un solo punto del espacio muestral. Example En el lanzamiento del dado una vez, Ω{1,2,3,4,5,6}. Un suceso elemental es, por ejemplo, que salga el 4, es decir, A = {4}. Un suceso no elemental es que salga un número impar, que se representará como B = {1,3,5}. Un espacio muestral puede ser discreto (formado por puntos sueltos) o continuo. Los espacios discretos pueden tener un número finito o infinito de valores. Algunos ejemplos, - -Lanzamiento de un dado, Ω = {1,2,3,4,5,6}. - -Lanzamiento de una moneda, Ω = {C, X}.
7.3. DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 91 - -Número de veces que hay que lanzar una moneda hasta que salga cara, Ω = {1,2,...,n,...}. - -Tiempo de espera de una persona en la parada del autobús, Ω = [0,40] (si la frecuencia del autobús es de 40 minutos). La teoría de la probabilidad se ocupa de medir la posibilidad de que ocurra un suceso, hasta qué punto se puede esperar que ocurra un suceso. La definición de probabilidad es: Definición 7.1. Se llama probabilidad a una regla que asocia a cada suceso, A, del espacio de sucesos, un número, que representamos por P(A) y llamamos probabilidad de A y que cumple los siguientes axiomas: 1. P(A) 0 cualquiera que sea A. 2. P(Ω) = 1. 3. Si A y B son dos sucesos disjuntos (es decir, incompatibles), entonces P(A B) = P(A) + P(B). La probabilidad es un ejemplo de los que se llama una variable aleatoria. Definición 7.2. Se llama variable aleatoria a toda regla que asocia a cada elemento de un espacio muestral, Ω, un número real. Ejemplo. Al lanzar tres veces una moneda, donde Ω = {(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}, se puede considerar la variable aleatoria Z que indique el número de caras que salen. Así, por ejemplo, Z(CCC) = 3, Z(CXC) = 2, Z(XXC) = 1, Z(XXX) = 0 Las variables aleatorias pueden ser discretas y continuas. A cada una de ellas y los ejemplos más relevantes dedicamos las siguientes preguntas. 7.3. Distribuciones discretas. La distribución binomial Una variable aleatoria se llama discreta cuando sólo puede tomar ciertos valores enteros. El ejemplo más importante de este tipo de variable es el siguiente. Supongamos que un experimento aleatorio con las siguientes características. 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados a los que se suele llamar éxito y fracaso.
92 TEMA 7. PROBABILIDAD. DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL 2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores. 3. La probabilidad del éxito es constante, esto es, no varía de una prueba a otra. Se representa por p. Se dice que este experimento sigue el modelo de la distribución binomial. A la variable aleatoria que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba, se la llama variable aleatoria binomial y se la representa por B(n,p), siendo n y p los parámetros de dicha distribución. 7.4. Distribuciones continuas. La distribución normal Una variable aleatoria se llama continua cuando puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. En este caso, no tiene sentido hablar de la probabilidad de que tome un valor concreto, porque es 0; en cambio tiene interés conocer la probabilidad correspondiente a un intervalo. A una variable aleatoria continua, X, que toma los valores x, se puede asociar una función, f(x), con las siguientes propiedades: 1. f(x) 0 en todo su dominio de definición. 2. El área encerrada bajo la gráfica de f(x) es la unidad. Entonces, f(x) se llama la función de densidad de la variable X. Con esta función, se determinan las probabilidades de la manera siguiente: la probabilidad de que la variable X tome los valores comprendidos entre a y b es el área limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas verticales x = a y x = b. Si a = y/o b = +, la extensión es evidente. El ejemplo más importante de variable aleatoria continua es la llamada distribución normal, llamada así porque en un tiempo se creyó que describía el comportamiento normal de los fenómenos. En todo caso, describe multitud de fenómenos en biología, pedagogía, psicología,.., y esto es así por varios motivos: 1. En gran número de situaciones hay una fuerte influencia a eliminar por igual a lo que se desvían en análoga medida de la media, sea esta desviación por arriba o sea por debajo. 2. Se observa que muchos fenómenos son sumas de efectos parciales independientes, que estos efectos parciales pueden estar sesgados, pero que la suma sí se ajusta a una distribución simétrica que va disminuyendo de forma regular al alejarse de la normal. Por ejemplo, en el peso de las personas de una población, influye la componente genética, el clima, la alimentación,..; algunas de estas influencias puede no distribuirse normalmente, pero sí lo hace el peso. Este hecho fue justificado matemáticamente en un importante teorema llamado Teorema Central del Límite, que nos dice que si se suman un número grande de variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas con media y varianza finitas, entonces tras un cambio de variable adecuado, la distribución de la variable resultante es aproximadamente, la normal.
7.4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 93 La distribucón continua más importante es la normal, porque es la que aparece más frecuentemente. Su funcón de densidad tiene esta forma Definición 7.3. La función de densidad de una variable aleatoria, X, con distribución normal de parámetros µ y σ, que denotaremos N(µ, σ) es f(x) = 1 σ 2π e 1 2 ( x µ σ )2 < x < +. El parámetro µ es la media y el parámetro σ 2 es la varianza. Definición 7.4. Se llama función de distribución de la distribución normal N(µ,σ) a la función definida por F(x) = x f(s)ds, < x < +. Puede observarse que la función f(x) es una función de densidad, esto es, f(x) 0, 1 σ 2π + e 1 2 ( x µ σ )2 dx = 1, y que tiene además las siguientes propiedades: 1. Es simétrica respecto de la recta x = µ. 2. El máximo está en x = µ. 3. La función tiene dos puntos de inflexión en x = µ σ y x = µ + σ.
94 TEMA 7. PROBABILIDAD. DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL Por lo que se ha dicho antes P(a X b) = F(b) F(a) = 1 σ 2π b a e 1 2 ( x µ σ )2 dx, pero esta integral sólo puede aproximarse numéricamente. Existe una tabla que contiene los valores de estas integrales, de la que hablamos en la Sección siguiente, para la normal N(0,1). Para el caso general de una variable normal X de media µ y desviación típica σ, se hace el cambio de variable que es ya una variable normal estándar. Así Z = X µ, σ F(x) = P(X x) = P(σZ + µ x) = P(Z x µ σ ), que se puede obtener mediante la tabla siguiente:
7.5. CÁLCULO DE PROBABILIDADES USANDO LA TABLA 95 7.5. Cálculo de probabilidades usando la tabla Ejemplos: 1. P(Z 1,43) 2. P(Z 1,34) 3. P(1,18 Z 1,56)
96 TEMA 7. PROBABILIDAD. DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL 4. P( 1,65 Z 1,24) 5. P( 0,18 Z 1,73) 6. P(Z k) = 0,75 7. P(Z k) = 0,35