1. Año 2011 Ejercicios para entregar

Grupos de Lie y Álgebras de Lie 1. Año 2011 Ejercicios para entregar Ejercicio 1.1. Sea ρ : R Aut(C) = C la representación dada por ρ(t)z = e it z. (a) Probar que G = C ρ R es un grupo de Lie simplemente conexo de dimensión 3, soluble. (b) Probar además que Z(G) = {0} 2πZ, de modo que Z(G) no es conexo. (c) Hallar α : R End(C) morfismo de álgebras de Lie tal que g = C α R, donde g es el álgebra de Lie de G. { (z, 0), t = 0, z C; (d) Probar que exp G (z, t) = (z eit 1 1 it, t), t 0, z C. Concluir que exp G no es suryectiva. Ejercicio 1.2. Sea g un álgebra de Lie tal que [X, [Y, Z]] = 0 para toda terna de elementos X, Y, Z g. Sea G = g, junto con la operación: : G G G, X Y := X + Y + 1 [X, Y ]. 2 (a) Probar que G es un grupo. (b) Si g es de dimensión finita, probar que G es un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo, cuya álgebra de Lie es g. Nota: Lo anterior vale para cualquier álgebra de Lie nilpotente, modificando el producto. Ejercicio 1.3. Sea G un grupo de Lie conexo simplemente conexo, y g su álgebra de Lie. Probar que el conmutador [G, G] es un subgrupo conexo cerrado, con álgebra de Lie [g, g]. Ejercicio 1.4. (a) Sean ρ : g gl(v ) una representación del álgebra de Lie g en un espacio V de dimensión finita, y n un ideal de g. Probar que V 0 (n) := {v V : ρ(x)v = 0, X n} es g-invariante. (b) Sean h 0 = 0 h 1 h k 1 h k = g una cadena maximal de ideales, y n un ideal nilpotente. Probar que, para cada i > 0, [n, h i ] h i 1. Ejercicio 1.5. Dada A = base X, Y, Z tal que ( ) a11 a 12 GL(2, k), sea g a 21 a A el álgebra de Lie de dimensión 3 con 22 [X, Y ] = 0, [X, Z] = a 11 X + a 12 Y, [Y, Z] = a 21 X + a 22 Y. (a) Probar que g A es un álgebra de Lie soluble no nilpotente. (b) Probar que el morfismo lineal g A gl(3, k) dado por X 0 0 1, Y 0 0 1, Z a 11 a 21 0 a 12 a 22 0, da lugar a un isomorfismo entre g A y una subálgebra de Lie de matrices. (c) Si k = R, decidir bajo qué condiciones g A es isomorfa a g B, para A, B GL(2, k) distintas. 1

2 Ejercicio 1.6. Recordar que el álgebra de Lie de Heisenberg es la subálgebra de gl(3, R): h 3 (R) := 0 a b 0 0 c : a, b, c R. (a) Probar que existe una base X, Y, Z de h 3 (R) tal que [X, Y ] = Z, [X, Z] = [Y, Z] = 0. (lo cual da una definición equivalente de este álgebra). Probar además que h 3 (R) es nilpotente. (b) Demostrar que h 3 (R) es isomorfa a la subálgebra de gl(3, C): h = z 0 0 : t R, z C. it z 0 (c) Probar que el grupo de Heisenberg: H 3 (R) := 1 x y 0 1 z : x, y, z R 0 0 1 tiene a h 3 (R) como álgebra de Lie asociada. Ejercicio 1.7. Sea g un álgebra de Lie soluble sobre R de dimensión 3. (a) Probar que, si dim[g, g] = 1, entonces g es isomorfa a h 3 (R), o es la suma directa de un álgebra de Lie de dimensión uno con un álgebra de Lie no abeliana de dimensión 2. (b) Probar que, si dim[g, g] = 2, entonces g es isomorfa a un álgebra de la forma g A del Ejercicio 1.5, para alguna A GL(2, R) (primero probar que [g, g] es abeliano). (c) Utilizar los resultados anteriores para concluir que g pertenece a una y sólo una de las familia siguientes: g es abeliana, g es isomorfa a h 3 (R) (por lo tanto, es nilpotente no abeliana), g es isomorfa a una suma directa de un álgebra de Lie de dimensión uno con un álgebra de Lie no abeliana de dimensión 2, g es isomorfa a un álgebra de la forma g A del Ejercicio 1.5, para alguna A GL(2, R). Ejercicio 1.8. Sea g un álgebra de Lie simple sobre R de dimensión 3. (a) Probar que tr(adx) = 0, para todo X g. (b) A partir del Teorema de Engel, concluir que existe X 0 g tal que adx 0 no es nilpotente. Probar que el subespacio RX 0 admite un subespacio complementario estable por adx 0. (c) Probar que existe una base B = {X, Y, Z} de g tal que X = λx 0, para algún λ R, y [adx] B = 0 2 0 0 0 2 o [adx] B = 0 0 1 0 1 0 (d) Probar que, en el primer caso, g es isomorfa a sl(2, R), y en el segundo, g es isomorfa a so(3). Para ello, escribir [Y, Z] en términos de la base, y utilizar la identidad de Jacobi. Ejercicio 1.9. Probar que toda álgebra de Lie de dimensión 3 es soluble o simple..

Ejercicio 1.10. Caracterizar todos los grupos de Lie simplemente conexos de dimensión 3 sobre R. Ejercicio 1.11. Utilizar un método similar al del Ejercicio 1.8 para concluir que el único álgebra de Lie simple de dimensión 3 sobre C es sl(2, C). Ejercicio 1.12. Sea G := {( a b 0 1 a 2 da db es una medida de Haar a izquierda, a 1 da db es una medida de Haar a derecha. ) } : a > 0, b R. Probar que G es un grupo de Lie, y que 3

4 Grupos de Lie y Álgebras de Lie 2. Año 2011 Lista de Teoremas principales Teorema 2.1. Sean G, H dos grupos de Lie, donde G es conexo. Si φ, ψ : G H son dos morfismos de grupos de Lie tales que dφ = dψ : g h, entonces φ = ψ. Teorema 2.2. Sea G un grupo de Lie, con álgebra de Lie g. Para cada subálgebra de Lie h de g, existe un único subgrupo de Lie conexo (H, ψ) de G tal que dψ(h) = h. Teorema 2.3. Sea G un grupo de Lie. Si A es un subgrupo de G que admite una estructura de variedad que hace de (A, ι) una subvariedad de G, entonces tal estructura es única, y (A, ι) es un subgrupo de Lie de G. Teorema 2.4. Sean G, H dos grupos de Lie, G simplemente conexo. Sean g, h sus álgebras de Lie, y Ψ : g h un morfismo de álgebras de Lie. Entonces existe un único morfismo de grupos de Lie ψ : G H tal que dψ = Ψ. Teorema 2.5. Sean G, H dos grupos de Lie, y φ : G H un morfismo de grupos de Lie. Entonces el siguiente diagrama conmuta: G exp G g φ dφ H h exp H Teorema 2.6. Sean G un grupo de Lie, g su álgebra de Lie, A un subgrupo de G, y a un subespacio de g. Sean U un entorno de 0 en g y V un entorno de e en G tales que exp U : U V es un difeomorfismo. Si exp(u a) = V A, entonces (A, ι) es un subgrupo de Lie de G y a es una subálgebra de Lie de A, que resulta ser el álgebra de Lie de A. Teorema 2.7. Sean G, H dos grupos de Lie, y φ : G H un morfismo de grupos continuo. Entonces φ es suave. Teorema 2.8. Sean G un grupo de Lie, M una variedad diferencial, ρ : G M M una acción transitiva. Fijemos un punto m 0 M, y consideremos el grupo de isotropía de m 0, H = {g G ρ(g, m 0 ) = m 0 }. Sea β : G/H M, β(gh) = ρ(g, m 0 ). Entonces β está bien definida y es un difeomorfismo. Teorema 2.9. Sean g una k-álgebra de Lie soluble de dimensión finita, y (V, ρ) una representación de g de dimensión finita. Si los autovalores de ρ(x) pertenecen a k, para cada x g, entonces existen v V no nulo y λ g tales que ρ(x)v = λ(x)v, x g.

Teorema 2.10. Sean g una k-álgebra de Lie de dimensión finita, y (V, ρ) una representación de g de dimensión finita tal que ρ(x) es nilpotente para todo x g. Entonces existe v V no nulo tal que ρ(x)v = 0, para todo x g. 5 Teorema 2.11. Sean G, H dos grupos de Lie simplemente conexos, g, h sus álgebras de Lie, y φ : g Der(h) un morfismo de álgebras de Lie. Entonces existe una única acción por automorfismos τ : G H H tal que d τ = π, donde τ : G Aut(H), τ(g) = τ(g, ). En tal caso, G τ H es un grupo de Lie simplemente conexo, con álgebra de Lie g π h. Teorema 2.12. Sea G un grupo de Lie simplemente conexo nilpotente, con álgebra de Lie g. Entonces exp : g G es un difeomorfismo. Teorema 2.13 (Peter-Weyl). Sea G un grupo de Lie compacto. Entonces el subespacio generado por todos los coeficientes matriciales de las representaciones unitarias irreducibles de G es denso en L 2 (G). Teorema 2.14. Sea G un grupo de Lie compacto. Entonces G admite una representación de dimensión finita 1 1, y por lo tanto es isomorfo a un subgrupo cerrado de GL(V ), para algún espacio de dimensión finita V. Teorema 2.15. Sea G un grupo de Lie compacto de dimensión m. Entonces G admite una m- forma ω invariante a izquierda. Luego, G puede orientarse de modo que ω es positiva y define una medida de Haar a izquierda.