3. NÚMEROS RACIONALES. 3.1. Introducción. Expresiones comunes tales como "un tercio de cerveza", "medio litro de agua", "tres cuartos de kilo de carne", "son las doce cuarto",... no pueden ser representadas, exclusivamente, mediante un único número natural ni tampoco mediante un único número entero. Esto deja entrever que es necesaria una nueva ampliación de los conjuntos numéricos conocidos. Desde un punto de vista más matemático, sabemos que siempre podemos realizar la división entre dos números enteros obteniendo un cociente un resto. Pero es fácil descubrir que no siempre dicha división es exacta (tiene de resto cero), es decir, no podemos afirmar que la división de dos números enteros sea siempre otro número entero. Este hecho justifica también la ampliación del conjunto de los números enteros. 3.. Conceptos generales. (A) Una fracción es el cociente, razón o división de dos números enteros. El dividendo se llama numerador (n dor ) el divisor denominador (d dor n ): nd : = nd,. d (B) El signo de una fracción viene dado mediante la regla de los signos : + + fracción positiva + fracción negativa fracción positiva Si los dos signos son iguales la fracción es + + fracción negativa Si los dos signos son distintos la fracción es - Es importante llamar la atención sobre el siguiente hecho: = = = = 0' 0' = Es decir: * No es igual poner un signo menos en la fracción que no ponerlo. * No es igual poner un signo menos delante de la fracción que ponerlo en el n dor en el d dor. * Sí es igual poner el signo menos delante, en el n dor o en el d dor de la fracción. Por tanto, siempre lo colocaremos en el n dor de la misma que es donde menos confusión provoca simplifica la escritura de las fracciones. José Gallegos Fernández 8
Ejercicio: Clasifica las siguientes fracciones en positivas negativas, simplificando su escritura. 3,,, 11, 6, 9, 3, 1 8, 13, 11 3, 3,, 8,, 1 0, 9, 6, 9, 1 10, 1 POSITIVAS NEGATIVAS (C) Una fracción maor o menor que la unidad se distingue de la siguiente forma: Si la fracción es positiva: =1' 6 fracción maor que la unidad Si el n dor es maor que el d dor, la fracción es maor que la unidad 11 =0'... <11 6 fracción menor que la unidad Si el n dor es menor que el d dor, la fracción es menor que la unidad Si la fracción es negativa, se estudia como si fuera positiva luego se conclue lo contrario: = -1' 6 fracción maor que la unidad 6 11 = -0'... 6 11 fracción menor que la unidad 6 11 fracción menor que la unidad (negativa) fracción maor que la unidad (negativa) Ejercicio: Clasifica las siguientes fracciones en maores o menores que la unidad. 3,,, 11, 6, 9, 3, 1 8, 13, 11 3, 10 3,,6,, 1 0, 9, 6, 9, 1 10, 1 MAYORES que la UNIDAD MENORES que la UNIDAD José Gallegos Fernández 9
3.3. Representación gráfica de fracciones. El d dor indica el nº de partes en que dividimos la unidad el n dor el nº de partes que tomamos. 1/6 /6 3/6 /6 /6 0 1 -/3 -/3 -/3-1/3 - -1 0 Ejercicio: Representa gráficamente 11 9 3 1 10 6 6,,,,,,,,, 8 3 9 José Gallegos Fernández 30
3.. Equivalencia de fracciones. Dos fracciones son equivalentes si el producto del n dor de la primera por el d dor de la segunda es igual que el producto del d dor de la primera por el n dor de la segunda. 6 = porque 18 6 18 ( ) = 90 3 6 3 = porque Equivalentes 1 1 6 = 90 9 9 ( ) = / porque = 8 8 89 = / porque 3 9 3 = No equivalentes Ha casos en los que podemos decidir que dos fracciones NO son equivalentes sin hacer cuentas: Si una es positiva la otra negativa Si una es maor que la unidad la otra menor 0 6 6 = / porque 6 6 6 ( ) = < 0 6 11 1 11 11 9 = 99 / porque 9 = 0 < 1 9 Para obtener fracciones equivalentes a una dada, multiplicamos o dividimos el numerador el denominador por un mismo nº: 8 ( 1) ( 1) 8 16 10 ( 6) ( 6) 96 60 :3 :3 3 0 0 100 0 0 10/ 30/ :10 :10 1 3 3 3 Un número es el conjunto formado por una fracción todas sus equivalentes. El conjunto de los números es se representa por la letra. 3.. Simplificación de fracciones. Simplificar una fracción consiste en dividir el n dor el d dor por un divisor común de ambos. 10 * Descomposición en factores: 0-0 = = 100 100 (-1) / / / / / / = - * M.c.d.: 3 0 0 : 0 0 = = = porque n nmcd(0,100) = = = 0 100 100 : 0 100 = * Divisiones sucesivas: -0-100 = 0 100 0 0 10 : : El representante canónico de una fracción es aquella fracción que no se puede simplificar más (fracción irreducible), es decir, el n dor el d dor son primos entre sí (su máximo común divisor es 1). José Gallegos Fernández 31
Ejercicio: Decidir si los siguientes pares de fracciones son equivalentes o no. FRACCIONES EQUIVALENCIA POR QUÉ - - - 3-1 6 - - - - 6 1 0 1 8-19 3 0 18 0 6-6 - 9 1 0 10-90 10 1 10-6 -10 6-9 0 José Gallegos Fernández 3
Ejercicio: Simplificar las siguientes fracciones. FRACCIÓN REPRESENTANTE CANÓNICO FRACCIÓN REPRESENTANTE CANÓNICO 1 3 1 3 - -80-80 1 69 8 19 1-81 0-1 18 0-3 0 33 1 6 81 9-80 -13 39 1 18 16-11 -8-36 -8-3 8 111 8 8-3 -3 360 3080-31 10 3600 9009 100-310 81 9 90 - -38 José Gallegos Fernández 33
3.6. Reducción de fracciones a común denominador. Orden. En ocasiones, es necesario transformar el aspecto de una fracción para verla de forma que tenga el mismo denominador o el mismo numerador que otra. De esta manera se podrán comparar o se podrán sumar o restar. En esto consiste reducir fracciones a común denominador: escribirlas todas con el mismo denominador pero sin cambiar las fracciones, es decir, escribir fracciones equivalentes a las que tenemos pero de forma que tengan todas el mismo denominador. Para ello: (A) Se calcula el mínimo común múltiplo de los d dores se pone como d dor de todas las fracciones. 1 1 Y mcm(,) = mcm(3 A, A3) = A3 A = 180 Y?? 180 180 (B) Se divide el d dor común entre cada uno de los d dores el resultado se multiplica por el n dor : 1 1 1 1 1 1 6 = = 180 1 180 180 180 (C) ORDEN. Para ordenar fracciones seguimos los siguientes pasos: 1º Se reducen a común denominador. º Si las fracciones son positivas, es maor la que tiene el numerador maor. 3º Si son negativas, se estudian como si fueran positivas se conclue lo contrario. 13 1 13 3 1, 1 1 6 1 9 9 91 1 10 8 6 1, 10 10 60 60 91 9 1 10 8 6 1 < 10 10 60 60 13 1 13 1 3 < 1 1 6 9 1 Ha casos en los que podemos decidir el orden las fracciones sin hacer cuentas: Si una es positiva la otra negativa 9 6 11 Si una es maor que la unidad la otra menor < 9 Si todas tienen el mismo numerador < 3 11 < 13 6 8 11 13 13 10 3 1 8 < < < 6 9 3 < < 11 José Gallegos Fernández 3
Ejercicio: Ordena las siguientes fracciones de menor a maor. FRACCIONES SOLUCIÓN a) 3, 1 b) 9, 6 c) d) e) f) g) j) 3 9, 10 13, 1 1 1 1,, 3 3 9,, 10 9 13,, 16 18 1,,, 18 9 16 0 Ejercicio: Ordena las siguientes fracciones de maor a menor. FRACCIONES SOLUCIÓN a) b) c) f) g) h) i) j) 11 8, 18 1 8 3, 9 6 1, 1 11,, 3,, 6 9 3 11,, 1 19 13,,, 6 1 8 1 9 1 1,,, 8 6 10 José Gallegos Fernández 3
3.. decimal de un número. La expresión decimal de un nº se obtiene dividiendo el n dor entre el d dor de la fracción. Nos podemos encontrar los siguientes tipos de decimales, todos ellos s (existe un bloque de cifras decimales que se repiten, siempre las mismas en el mismo orden) a que, para que la división esté bien hecha, el resto tiene que ser menor que el divisor, por tanto, o es cero o se acaban repitiendo los restos, en cuo caso también se repiten los cocientes: (A) Exactos: en la división aparece un resto parcial nulo. 3 = 0 ' =' 68 13 = 1' 6 8 9 = 0 ' 018 00 30 13 8 900 00 0 0' 10 '68 13 1'6 000 0'018 0 00 0 0 0 0 0 0 (B) Periódicos puros: las cifras del cociente se repiten en bloques iguales desde la coma. 1 1 = 0333 '... = 03 ' = '... = ' 8 = 0 ' = 1 ' 3 11 999 33 10 3 1 11 0 999 8 33 10 0'333... 30 1'... 10 0'... 0 1'... 10 80 10 190 1 30 8 C) Periódicos mixtos: las cifras del cociente se repiten en bloques iguales pero no desde la coma. 1 31 = 0833 '... = 083 ' = 1' 166... =1' 16 = ' 10 =61 ' 6 9 18 0 6 1 31 9 18 0 0'833... 0 1'166... 00 '100... 110 '611... 0 0 000 00 80 0 0 8 José Gallegos Fernández 36
En todo número decimal se distinguen tres partes: Parte entera: 3 '... ' 3 68333 = 3 6833 Anteperiodo: 683 Parte decimal: 6833 Periodo: 3 Es importante hacer notar, que los números naturales enteros también podemos verlos como números decimales s puros de periodo cero: 31 = 31' 000... = 31' 0; 1 = 1 ' 000... =1 ' 0 Asimismo, los números decimales exactos podemos verlos como números decimales s mixtos de periodo cero: 19 ' 6 = 19 ' 6000... = 19 ' 60; ' 3 = ' 3000... = ' 30 De esta forma, todos los números conocidos hasta ahora son decimales s, por tanto, también podemos definir un número como un número decimal. Además, queda definida la siguiente relación entre los conjuntos estudiados hasta ahora:. 3.8. de los números decimales s. Al igual que todas las fracciones tienen una expresión decimal periódica, todos los números decimales s pueden escribirse en forma de fracción. De hecho, ha infinitas fracciones que dan lugar a un número decimal (todas las que sean equivalentes). Pues bien, de todas ellas ha una que es irreducible que se llama fracción del número decimal. Vamos a estudiar el procedimiento para escribir un decimal en forma de fracción, para hallar la fracción, lo único que tenemos que hacer es simplificar dicha fracción. (A) Exactos: nº sin coma 1 seguido de tantos 0 como cifras decimales 0 ' ' 3 1 ' 3 ' ' ' 00 1' 0' 91 José Gallegos Fernández 3
(B) Periódicos puros: nº sin coma parte entera tantos 9 como cifras del periodo 0 ' ' 303 1 ' 3 ' ' 0 ' 81 010 ' 9 ' (C) Periódicos mixtos: nº sin coma parte entera anteperiodo tantos 9 como cifras del periodo tantos ceros como cifras del anteperiodo 0 ' 10 ' 3 0 ' 0 11' 93 316 ' 10 ' 116 ' 1 ' 19 Las dos utilidades del cálculo de la fracción de un número decimal son: a) Intentar (si el d dor es pequeño) dibujar dicho nº decimal en la recta real con maor precisión b) Realizar operaciones en las que aparecen dichos n os a que, si no los pasamos a forma de fracción, no podemos operar con ellos (salvo de forma aproximada), mientras que en forma de fracción podemos operar perfectamente (con total exactitud). En este caso debemos terminar la operación expresando el resultado en forma decimal (como nos lo daban). José Gallegos Fernández 38