6 PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO El objetivo de esta unidad es conocer distintos elementos de la geometría en el espacio, y las distintas relaciones que tienen entre ellos. Se estudia lo que es un sistema de referencia, cómo se aplican los vectores a problemas espaciales, como se caracterizan las rectas y los planos, y se estudian las posiciones relativas entre ellos. PUNTOS ALINEADOS Con WIRIS podemos comprobar rápidamente si tres puntos están alineados. Por ejemplo, los puntos (5, 1, 4), (3, 3, 2) y (2, 5, 5). Utilizando el comando alineados?, el programa nos da la respuesta: Una vez que pulsamos, WIRIS nos dice que los tres puntos sí están alineados: En caso de que los puntos no estuvieran alineados, el programa contestaría con un falso. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dado un segmento con extremos A y B, WIRIS es capaz de darnos las coordenadas de su punto medio. Por ejemplo, para calcular el punto medio del segmento de extremos (7, 1, 4) y (1, 5, 3): Y el resultado es: 1 Es decir, el punto medio buscado es el M = ( 4, 2, ). 2 Software matemático WIRIS. 6: Puntos, rectas y planos en el espacio 1
ECUACIONES DE RECTAS Una recta queda determinada por un punto de la recta y un vector dirección, o por dos puntos. De estas dos formas podemos definir una recta en WIRIS. En el primer caso hemos introducido un punto y un vector dirección (entre corchetes, recuerda); y en el segundo caso, dos puntos. Fíjate que WIRIS nos devuelve la ecuación implícita (intersección de dos planos) de la recta de la que le hemos dado algunos datos. Representación gráfica de una recta Con WIRIS puedes dibujar las rectas a partir de sus ecuaciones implícitas. Para ello deberás utilizar el comando dibujar3d e introducir las ecuaciones de los dos planos que forman la recta. Por ejemplo: Software matemático WIRIS. 6: Puntos, rectas y planos en el espacio 2
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS WIRIS no te dice directamente cuál es la posición relativa de dos rectas dadas, pero podemos utilizar lo aprendido hasta ahora para deducirla. Dadas dos rectas, WIRIS te puede decir cuáles son los vectores dirección de estas rectas. Y viéndolos, puedes decir si las rectas son paralelas (o coincidentes) o si se cortan (o cruzan). Además, para diferenciar si dos rectas se cortan o se cruzan, puedes utilizar lo que aprendimos en la unidad 3 sobre determinantes. Otra posibilidad podría ser dibujar las dos rectas y ver cuál es la posición relativa de ambas, pero no es recomendable. En el dibujo se verían cuatro planos, las dos rectas que nos interesan, más otras intersecciones que pudieran darse entre los cuatro planos. Estarás de acuerdo que en muchos casos la gráfica no nos ayudará nada. Prueba con algún ejemplo para ver qué tal. Posición relativa de rectas mediante rangos Al igual que en el caso anterior, lo único que puedes hacer con WIRIS es comprobar los rangos de las matrices de coeficientes y ampliadas, y según la teoría que has estudiado en el libro de texto, decidir cuál es la posición relativa de las dos rectas. ECUACIONES DE PLANOS Hay cuatro modos de definir un plano en WIRIS: mediante tres puntos, mediante un punto y su vector normal, mediante un punto y dos vectores del plano, o mediante su ecuación implícita. En este caso utilizaremos el comando plano y la forma de introducir los elementos es análoga a la que utilizamos en el caso de las rectas: los puntos entre paréntesis y los vectores entre corchetes. Al igual que hemos hecho al estudiar las ecuaciones de una recta, podrías representar los planos en una gráfica. Software matemático WIRIS. 6: Puntos, rectas y planos en el espacio 3
POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y RECTAS Dos planos Para estudiar la posición relativa de dos planos, se utilizan los rangos de sus ecuaciones implícitas. WIRIS te ayudará con los cálculos más tediosos. Una forma muy útil (ahora sí) de estudiar la posición relativa de dos planos es realizando la gráfica. En este caso se verá claramente si dos planos son coincidentes, paralelos o se cortan en una recta. Por ejemplo: En este caso, los dos planos se cortan en una recta. En este otro, sin embargo, los planos son paralelos: Software matemático WIRIS. 6: Puntos, rectas y planos en el espacio 4
A lo mejor el dibujo no te aclara a primera vista la posición de los planos, pero recuerda que pinchando en las flechas rojas puedes rotar la imagen hasta que consigas una visión perfecta de lo que quieres. Recta y plano En este caso solo podrás obtener los vectores normal del plano y dirección de la recta, y multiplicarlos escalarmente para comprobar su posición relativa. Un dibujo, como en el caso de posiciones de rectas, sería tremendamente confuso, porque veríamos tres planos y sus respectivas intersecciones. Software matemático WIRIS. 6: Puntos, rectas y planos en el espacio 5