Capítulo 8 Geometría euclídea 81 Problemas métricos Espacios vectoriales El plano: R 2 = { (x,y : x,y R } El espacio: R 3 = { (x,y, z : x, y, z R } Si u = λv para algún λ 0 diremos que son proporcionales: u v Producto escalar < (x 1,y 1,z 1, (x 2,y 2,z 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 (si es en R 2 olvidar las terceras coordenadas Si < u, v >= 0 diremos que son ortogonales: u v Este último apelativo responde a la siguiente igualdad cos α = < u, v > donde α es el ángulo u v que forman los vectores u y v, y indica el módulo o norma de un vector (ver más abajo Producto vectorial En R 3, si v = (a 1,a 2,a 3 y w = (b 1,b 2,b 3 son dos vectores no proporcionales (v w se tiene bien definido el producto vectorial u = v w como el vector u = ( a 2 a 3 b 2 b 3, a 1 a 3 b 1 b 3, a 1 a 2 b 1 b 2 Se cumple que v w v y v w w, es decir, el producto vectorial de dos vectores no proporcionales es ortogonal a ambos Módulo o norma de un vector v = (a,b, c, v =< v,v > 1 2= a 2 + b 2 + c 2 (si es en R 2 olvidar las terceras coordenadas Espacio afín euclídeo Miramos el espacio vectorial como espacio de puntos Un punto P es el final del vector que lo une con el origen, el punto O Cada par de puntos P, Q, delimita un único vector, el PQ Si desde P avanzamos según el vector PQ llegamos a Q: P + PQ = Q Coordenadas de un punto P: si OP = (x 0,y 0,z 0, decimos que P = (x 0,y 0,z 0 Si P = (x 0, y 0, z 0 y Q = (x 1,y 1,z 1, entonces PQ = (x 1 x 0,y 1 y 0, z 1 z 0 (si es en R 2 olvidar las terceras coordenadas Puntos, rectas y planos Una recta queda determinada por 2 puntos distintos Para determinar un plano nos bastan 3 puntos no alineados 119
Problemas métricos Ecuación de una recta en R 2 : si pasa por los puntos P 0 = (x 0,y 0 y P 1 = (x 1,y 1, su ecuación cartesiana surge al desarrollar un determinante: x x 0 y y 0 x 1 x 0 y 1 y 0 = 0 quedando de la forma ax + by + c = 0 El vector (a,b (los coeficientes de x e y es ortogonal a la recta Si X = (x,y es cualquier punto de la recta que pasa por P 0 = (x 0, y 0 y tiene dirección ortogonal a (a,b, < (x x 0,y y 0, (a,b >= 0 es su ecuación cartesiana Ecuación de un plano en R 3 : si se apoya en los puntos P 0 = (x 0,y 0,z 0, P 1 = (x 1,y 1,z 1 y P 2 = (x 2,y 2,z 2, que han de ser distintos y no colineales (es decir no en la misma recta, cualquier punto X = (x,y,z del plano verificará que el vector P 0 X será combinación lineal (por lo tanto no independiente de los vectores P 0 P 1 y P 0 P 2 Así, se ha de verificar que: x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 x 2 x 0 y 1 y 0 z 2 z 0 = 0 igualdad que al desarrollar nos lleva a la ecuación cartesiana del plano en cuestión: Ax+By+Cz+D = 0 El vector (A,B,C es ortogonal al plano, se dice un vector normal; y al vector n = (A,B,C, un (A,B,C normal unitario, pues claramente tiene norma o módulo 1 Es claro que (A,B, C P 0 P 1 P 0 P 2 Ecuación de una recta en R 3 : si pasa por el punto P 0 = (x 0,y 0,z 0 y lleva la dirección del vector u = (u x,u y,u z, su ecuación paramétrica es: P 0 + tu = ( x 0 + tu x,y 0 + tu y,z 0 + tu z, t R (si es en R 2 olvidar las terceras coordenadas Para cada valor de t se obtienen las coordenadas, ( x(t,y(t, z(t de un punto de dicha recta Despejando el parámetro t e igualando obtenemos la ecuación en su forma continua: x x 0 u x = y y 0 u y = z z 0 u z siempre que los cocientes tengan sentido (no haya ceros en algún denominador Igualando dos a dos (nos bastan dos elecciones llegamos a la ecuación (sistema de ecuaciones cartesiana: { a1 x + a l 2 y + a 3 z = c b 1 x + b 2 y + b 3 z = d en la que la recta viene descrita como intersección de dos planos distintos Los vectores v = (a 1,a 2,a 3 y w = (b 1,b 2,b 3 son ortogonales al vector, u, director de la recta: u v w Distancia entre puntos d(p, Q = P Q Si P = (x 0,y 0,z 0 y Q = (x 1, y 1,z 1 entonces d(p, Q = (x 1 x 0 2 + (y 1 y 0 2 + (z 1 z 0 2 (si es en R 2 olvidar las terceras coordenadas Distancia de un punto a Se define como la menor de las distancias posibles Siempre se consigue en direcciones ortogonales (por el Teorema de Pitágoras 120
Geometría euclídea una recta en el plano Si P = (s,t y l ax+by+c = 0, con normal unitario n = ( a, b a 2 +b 2 : d(p, l = as + bt + c a2 + b 2 un plano en el espacio Si P = (r,s,t y Π Ax + By + Cz + D = 0: d(p, Π = Ar + Bs + Ct + D A2 + B 2 + C 2 una recta en el espacio Si P = (p,q, r y la recta tiene ecuación paramétrica P 0 + tu, el punto de la recta, P t, más cercano a P corresponde al valor del parámetro en que PP t es ortogonal a u: PP t u ó < PP t,u >= 0 Una vez calculado ese valor del parámetro (que es único si P / P 0 +tu, la distancia es el módulo del vector PP t Obsérvese que PP t = PP 0 + P 0 P t y P 0 P t = tu, de manera que es fácil deducir que el momento en que PP t se pone ortogonal a u es: t = < PP 0,u > u 2 = < P 0P,u > u 2 Distancia entre variedades En general si X, Y R n son dos variedades lineales se define la distancia entre ellas d(x, Y como la menor de las distancias que se tienen entre parejas de puntos P X y Q Y Del teorema de Pitágoras es fácil deducir que si d(x, Y se obtiene para la pareja P 0 X y Q 0 Y entonces P 0 Q 0 X y P 0 Q 0 Y Se dice que la distancia entre X e Y se verifica sobre una dirección normal común Nos preocupamos en este resumen de unos pocos casos: Distancia entre dos rectas paralelas en R 2 Podemos encontrar ecuaciones de ambas con el mismo vector normal: Si l 1 ax + by + c = 0 y l 2 ax + by + c = 0 la distancia es: c c d(l 1,l 2 = a2 + b 2 entre dos planos paralelos en R 3 Podemos encontrar ecuaciones de ambos con el mismo vector normal: Si Π 1 Ax + By + Cz + D = 0 y Π 2 Ax + By + Cz + D = 0 la distancia es: D D d(π 1, Π 2 = A2 + B 2 + C 2 entre una recta y un plano paralelos en R 3 En tal situación se encuentran una recta l con vector director u y un plano Π con vector normal n ortogonal a u (de manera que la dirección u vive en el plano Si P l es cualquier punto de la recta l ocurre que: d(l, Π = d(p, Π Cuidado que esto solo ocurre porque son paralelas 121
Problemas métricos entre dos rectas que se cruzan en R 3 Estamos en esta tesitura cuando los vectores directores no son paralelos y las rectas no se cortan Entre las distintas estrategias que podemos seguir, recalcamos las siguientes: Estrategia 1 Construyendo un plano paralelo a una de las rectas y conteniendo a la otra Tomamos l 1 P 1 + su 1, l 2 = P 2 + tu 2, sea Π P 2 + su 1 + tu 2 : d(l 1,l 2 = d(l 1, Π = d(p 1, Π Estrategia 2 Construyendo, con el vector normal común, un plano conteniendo a una recta y transversal a la otra Si l 1 P 1 + su 1, l 2 = P 2 + tu 2, tomamos n = u 1 u 2 y Π P 1 + rn + su 1 Este plano corta a l 2 en un único punto: Q 2 l 2 Π Desde este punto se verifica la distancia entre ambas rectas: d(l 1,l 2 = d(l 1, Q 2 Además, se conoce la dirección sobre la que se verifica: n = u 1 u 2, con lo que se puede encontrar el punto Q 1 l 1 tal que d(l 1,l 2 = Q 1 Q 2 Estrategia 3 Ver la post data en la página 123 Otros problemas métricos Dos vectores u, v, no proporcionales determinan un paralelogramo Las diagonales del mismo están determinadas por los vectores suma u u + v y diferencia u v El área de este paralelogramo es: v Área := A(u,v = u v sen α siendo α el ángulo que forman ambos vectores Obsérvese que se usa el valor absoluto de sen α Puesto que el producto escalar de dos vectores tiene una expresión en la que interviene el ángulo, a saber: < u, v >= u v cos α; no es muy difícil (elevando al cuadrado la fórmula para el área y usando la relación fundamental de la trigonometría llegar a Área := A(u,v = det ( u 2 < u, v > < u, v > v 2 que para vectores en R 2 nos lleva a una sencilla fórmula: ( Área := A((u 1,u 2, (v 1,v 2 = det u1 v 1 u 2 v 2 Si estamos en R 3 y u y v son no proporcionales, es sencillo comprobar que u v 2 = u 2 v 2 < u, v > 2 Así, para el área de un paralelogramo delimitado por dos vectores de R 3 tenemos directamente la expresión Área := A(u,v = u v Tres vectores no coplanarios (independientes, u, v y w en R 3 determinan un paralelepípedo de volumen Volumen = V (u,v,w = A(u,v (altura = u v w cos β = < u v, w > sen 2 α + cos 2 α = 1 122
Geometría euclídea donde β es el ángulo que forma el vector w con el vector producto vectorial u w Es sencillo comprobar, desde la última expresión, que, si u = (u 1,u 2, u 3, v = (v 1,v 2,v 3 y w = (w 1, w 2,w 3 u 1 u 2 u 3 Volumen = V (u,v, w = det v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 (esto es, el volumen es el valor absoluto del determinante formado por las coordenadas de los tres vectores Nota final: Para áreas de triángulos y volúmenes de tetraedros, tenemos: Área(ABC = 1 2 Área(AB, AC Volumen(ABCD = 1 V (AB, AC, AD 6 Post data: Si l 1 P 1 + su, l 2 P 2 + tv son dos rectas que se cruzan en R 3, con los vectores P 1 P 2, u y v se tiene un paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las rectas Así: d(l 1,l 2 = V (u,v, P 1P 2 A(u, v 82 Movimientos del plano y del espacio Insertar el documento sobre la clasificación de movimientos 123