Tema 8. Geometría de la Circunferencia

Tema 8. Geometría de la Circunferencia 1. Definición la circunferencia. Ecuación de la circunferencia 1.1 Ecuación de la circunferencia centrada en el origen 1. Ecuación de la circunferencia con centro arbitrario. Rectas tangentes y normales a una circunferencia 3. Posición relativa de dos circunferencias 4. Posición relativa de una circunferencia y una recta

1. Definición la circunferencia. Ecuación de la circunferencia. Definición: la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan la misma distancia, denominada radio r, de un punto denominado centro de la circunferencia. Elementos de una circunferencia: O centro de la circunferencia Radio OA, segmento que une un punto de la circunferencia con O. Valor numérico es r E B Diametro BC, segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por O. Valor numérico d=r G F O A Cuerda ED segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por O D C Flecha FG, segmento perpendicular a la cuerda que une su punto medio con la circunferencia Arco parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma. Circulo área de la circunferencia Segmento circular área comprendida entre un arco y su cuerda. Perímetro de la circunferencia: Perímetro arco de ánguloα P=α r Área del círculo a=π r P= π r Área del sector circular de ánguloα a= 1.1. Ecuación de la circunferencia centrada en el origen. En este apartado vamos a calcular la ecuación de la circunferencia con centro en el origen O(0,0) a partir de la definición. Todo punto P(x,y) de la circunferencia equidista de O una distancia r: d(p,o)= ( x 0) + ( y 0) = r elev al cuadrado c: x +y =r Página de 10

Ejemplo: calcular la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio de valor r=4. Obtén 4 puntos de la circunferencia c: x +y =16 Puntos: A(4,0), B(-4,0), C(0,4), D(0,-4) Calculo de P y Q x=3 3 +y =16 y =7 y= ± 7 P(3, 7 ), Q(3,- 7 ) Ejercicio: calcular la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3. Obtener 6 puntos de la misma: x +y =9 A(3,0), B(-3,0), D(0,3), E(0,-3). Si y=1 x +1 =9 x= ± 8 P( 8,1), Q(- 8,1) 1.. Ecuación de la circunferencia con centro arbitrario. En este apartado vamos a obtener la ecuación de la circunferencia cuando el centro con coordenadas O(x 0,y 0 ). Para obtener la ecuación vamos a ver como se modifica la ecuación cuando desplazamos una gráfica en el eje OX y en el eje OY. Desplazamiento gráfica en el eje OX: Si desplazamos una gráfica x 0 en el eje OX entonces la ecuación de nuestra nueva gráfica se obtiene sustituyendo x de la ecuación original por (x-x 0 ). Desplazamiento gráfica en el eje OY: Si desplazamos una gráfica y 0 en el eje OY entonces la ecuación de nuestra nueva gráfica se obtiene sustituyendo y de la ecuación original por (y-y 0 ) Página 3 de 10

Cuando situamos una circunferencia con centro O(x 0,y 0 ) entonces hemos desplazado la circunferencia con centro en el origen x 0 en el eje OX, y 0 en el eje OY: P y 0 O(x 0,y 0 ) P x 0 Así la ecuación de la circunferencia con centro en O(x 0,y 0 ) y radio r es: c: (x-x 0 ) +(y-y 0 ) =r Date cuenta que esta es la ecuación de todo punto P(x,y) cuya distancia a O(x 0,y 0 ) es igual a r. Ejemplo: encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en O(1,-3) y de radio 4. Dibujar la circunferencia y encontrar 6 puntos de la misma. c: (x-1) +(y+3) =16 x +y -x+6y-6=0 Calculemos P y Q: y=-6 (x-1) +9=16 (x-1) =7 x= 1± 7 P(1+ 7,-6), Q(1-7,-6) Página 4 de 10

Ecuación general de la circunferencia: esta se obtiene desarrollando los cuadrados de la ecuación vista antes. Haciendo esto la ecuación viene dada por la siguiente expresión: c: x +y +Ax+By+C=0 Identifiquemos los valores de esta ecuación con el centro O(x 0,y 0 ) y el radio de la circunferencia: c: x -(x 0 ) x+y -(y 0 ) y+(x 0 +y 0 -r )=0 A=-x 0 x 0 =-A/ B=-y 0 y 0 =-B/ C= x 0 +y 0 -r r=( x 0 +y 0 -C) 1/ Ejemplo: dibujar la circunferencia con la ecuación x +y +4x+6y-3=0 x 0 =-(4/)=-; y 0 =-6/=-3; r= ( ) + ( 3) + 3 = 16 = 4 Ejercicio: dibujar las siguientes circunferencias y obtener 6 puntos de las mismas. a) x +y -4x+y+4=0 b) x +y + 4x-1y+1=0 c) x +y +x-6y+14=0 Solución a) (x-) +(y+1) =1 b) (x+1) +(y-3) =4 c) No es una circunferencia. Página de 10

. Rectas tangentes y normales a una circunferencia. Definición: se dice que una recta es normal a la circunferencia en un punto de la misma cuando la recta pasa por este punto y por el centro de la circunferencia. Calculo de la recta normal: simplemente hay que calcular la recta que pasa por el punto dado y por el centro de la circunferencia. Definición: Se dice que una recta es tangente a una circunferencia en un punto de la misma si sólo tiene este punto en común con la circunferencia. Se cumple que esta recta es perpendicular a la recta normal por este punto. Cálculo de la recta tangente: calculamos la pendiente a partir de la pendiente de la recta normal. Conocida la pendiente y el punto de tangencia calculamos la recta. Ejemplo: calcular la recta tangente y normal en el punto de la circunferencia con x=0 a la circunferencia dada por la siguiente ecuación c: x +y -x+y+1=0 Primero calculemos el centro y el radio: x 0 =1; y 0 =-1; r=1. O(1,-1). Si x=0 y +y+1=0 y=-1. Luego el punto de tangencia es P(0,-1) 1+ 1 Normal: m = = 0 r: y=-1 0 1 Tangente: m= como pasa por P(0,-1) x=0 Ejercicio: Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen sabiendo que una de sus rectas tangentes es r: y=-x+. Podemos calcular el punto de tangencia si calculamos la intersección de r con la recta normal. Sabemos de la recta normal que pasa por el centro O(0,0) y su pendiente es m=1 (perpendicular a r). Luego es y=x. 1 1 La intersección de ambas es P(, ). El radio será la distancia entre P y O r=d(p,o)=1 c: x +y =1 Página 6 de 10

Ejercicio: calcular las rectas tangentes a la circunferencia con radio 3 y centrada en O(1,-3), sabiendo que la coordenada x de los puntos de tangencia es x=0. Calculemos primero los puntos de tangencia, para ello necesitamos la ecuación de la circunferencia: c: (x-1) +(y+3) =9. Si x=0 y=-3 ± 8 P(0,-3+ 8 ), P (0,-3-8 ) Recta tangente en P(0,-3+ 8 ): Calculemos la pendiente de la recta normal (que une P con el origen) 3 ( 3 + 8) 1 m = = 8 Luego como la tangente es perpendicular m= 1 0 8 1 r: (y+3-8 )= (x-0) 8 Recta tangente en P (0,-3-8 ): Calculemos la pendiente de la recta normal (que une P con el origen) 3 ( 3 8) 1 m = = 8 Luego como la tangente es perpendicular m=- 1 0 8 r: (y+3+ 8 )=- 1 (x-0) 8 3. Posición relativa de una circunferencia La posición relativa de dos circunferencias pueden ser las siguientes: Exteriores Tangentes Secantes Interiores D>(r 1 +r ) D=r 1 +r r 1 -r <D<r 1 +r D<= r 1 -r Ninguna solución Una solución Dos soluciones Ninguna solución D es la distancia entre los dos centros. Página 7 de 10

Ejemplo: Calcular la posición relativa entre las siguientes circunferencias: 1) c 1 : (x-1) +(y+) =4 c : x +(y-) =1 c 1 O 1 (1,-), r 1 = c O (0,), r =1 D=d(O 1, O )= 1 + 16 = 17 1,4 r 1 +r =3< 17 exterior ) c 1 :(x-1) +y =9, c :(x+) +(y-1) =4 c 1 O 1 (1,0), r 1 =3 c O (-,1), r = D=d(O 1, O )= 9 + 1 = 10 3,1 r 1 +r =; r 1 -r =1 > 10 >1 secantes 3) c 1 :(x+1) +(y-) =; c : x +(y-1) =4 c 1 O 1 (-1,), r 1 = c O (0,1), r = D=d(O 1, O )= 1 + 1 = 1, 1 r 1 +r =7; r 1 -r =3 3> Interior 4) c 1 :(x-3) +y =1, c :(x-3) +(y+3) =4 c 1 O 1 (3,0), r 1 =1 c O (3,-3), r = D=d(O 1, O )= 0 + ( 3) = 3 0, 3 r 1 +r =3=D Tangente. Página 8 de 10

Ejercicio: calcular los puntos de intersección de las siguientes circunferencias c 1 :x +y =4, c : (x+3) +y =4 c 1 O 1 (0,0), r 1 = c O (-3,0), r = D=d(O 1, O )= 3 + 0 = 3 3,0 r 1 +r =4; r 1 -r =0 4>3>0 se cortan c 1 :x +y =4 c : (x+3) +y =4 y =4-x (x+3) +4-x =4 x +6x+9+4-x -4=0 6x=-9 x=-3/ y =4-(9/4) y 7 =7/4 y= ± P(-3/, 7 7 ); P (-3/,- ) 4. Posición relativa de una circunferencia y de una recta. Una recta y una circunferencia en el plano pueden tener las siguientes posiciones relativas: Exterior a la circunf. Tangente a la circunf. Secante a la circunf. Ninguna solución Una solución Dos soluciones Para ver la posición relativa también se puede hacer viendo la distancia de la recta al centro y comparándola con el radio, pero no sabemos calcular la distancia de un punto a una recta. Así que para ver la posición relativa tendremos que ver el número de soluciones del sistema que forman las ecuaciones de la recta y de la circunferencia. Ejemplo: calcular la posición relativa entre la recta r:y=x+1 y la circunferencia c: x +(y-1) =4 y = x + 1 x (x 1 1) 4 x + + = x + ( y 1) = 4 P(, + 1), P' (, = 4 x = ± + 1) Re cta Secante a la circunferencia ; Página 9 de 10

Ejercicio: calcular la posición relativa entre las siguientes rectas y circunferencias. Calcular los puntos de corte o tangencia si existen. a) r:y=-x+7, c:(x-) +(y-1) =4 b) r:y=x-+, c:(x-) +y =1 c) r:y=x+1, c:x +y =9 a) c: (x-) +(-x+7-1) =4 x -4x+4+(6-x) -4=0 x -4x+4+36+4x -4x-4=0 x -8x +36=0 x=, x=18/ x= y=3 x=18/ y=-1/ Se corta en los puntos P 1 (,3) y P (18/,-1/) b) (x-) +(x-+ ) -1=0 x -4x+4+x +( -) + x ( -)-1=0 x -4x+4+x ++4-4 + x-4x-1=0 x +( -8)x+9-4 =0 x = + 8 ± ( + 8 ± 0 = = 4 y=- -+ = 8) 4 8 = 8 (9 4 4 ) = = + 8 ± 8 + 64 3 4 7 + 3 = P(-, ) Tangente c) x +(x+1) =9 x +4x +4x+1-9=0 x +4x-8=0 x= ± 11 11 11 x= + y= 1 + +1= + 11 11 x= y= 1 4 +1= 4 11 11 Página 10 de 10