PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado método Simplex (ideado por G.B.Danzig, matemático estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es más rápido que el método simplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran número de variables, se implementan en ordenadores. 2. Inecuaciones lineales con dos variables Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: ax + by c (donde el símbolo puede ser también, <, o bien, >), donde a, b y c son números reales y x e y las incógnitas. Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de las incógnitas que verifican dicha inecuación. El conjunto de estos valores se denomina solución general de la inecuación. Una solución particular de la inecuación es un par de valores cualquiera que satisfaga dicha inecuación. Dos o más inecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Para resolver estas inecuaciones, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al plano. Ejemplo: Si queremos resolver la inecuación 2x + 3y 3, representamos en primer lugar la recta 2x +3y = 3.
Dicha recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la inecuación. Para saber qué parte seguiremos el siguiente procedimiento: Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1, 2). Para que dicho punto sea solución, tendrá que cumplir la desigualdad, por lo que sustituimos en la inecuación inicial el punto elegido (1, 2): 2 1 +3 2 3 8 3 Como esta última desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el punto (1, 2) es una solución particular de la inecuación y por tanto el semiplano que contiene a dicho punto (1, 2) es la solución general, es decir, la solución general es el semiplano superior. Si hubiéramos elegido el punto (0, 0), al sustituir en la inecuación, tendríamos que: 2 0 +3 0 3 0 3 Esta última desigualdad es evidentemente falsa, y por tanto concluimos que el punto (0, 0) no es una solución particular de la inecuación, y por tanto el semiplano que contiene a dicho punto (0, 0) no es la solución, general. La solución general de la inecuación es el otro semiplano, es decir, el semiplano superior. En ambos casos se llega a que la solución general del sistema es: 3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más inecuaciones lineales con dos incógnitas. Llamaremos región factible al conjunto de puntos (x, y) que satisfacen todas las desigualdades que forman el sistema y que constituyen la solución general. La región factible se puede calcular hallando la intersección de las regiones que son solución de cada una de las inecuaciones que forman el sistema.
Ejemplo: 2x+ 3y 3 Resolver el sistema de inecuaciones siguiente: x 0 y 0 En primer lugar representamos las rectas 2x +3y = 3, x = 0 e y = 0 y posteriormente seleccionamos el semiplano solución de cada una de las desigualdades que forman el sistema: 2x + 3y 3 x 0 y 0 La región factible, que es la zona intersección de las tres zonas anteriores es: El triángulo rayado es la solución del sistema. La solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto convexo que puede ser acotado o no. La frontera de este conjunto puede pertenecer o no a la solución, dependiendo de si las inecuaciones iniciales son estrictas (< ó >) o no ( ó ). Llamaremos vértices a los puntos que son intersección de las rectas frontera. Su cálculo es sencillo, pues se reduce a resolver los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, que se obtienen al igualar las ecuaciones de las rectas correspondientes. En el ejemplo anterior, los calcularíamos los vértices resolviendo los siguientes sistemas: 2x+ 3y = 3 x = 0 (1) 2x+ 3y = 3 x = 0 (2) (3) y = 0 y = 0 Cuyas soluciones son respectivamente: x = 0 x = 3/2 (1) (2) y = 1 y = 0 x = 0 y = 0 (3) Estos tres puntos son los vértices de la región factible:
De manera general, el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales puede ser un semiplano, una semirrecta, un segmento, un punto o el conjunto vacío. 4. Programación lineal Un problema de programación lineal es aquel en el que pretendemos hallar el máximo o el mínimo de una función, llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones que vienen expresadas en forma de inecuaciones. Si hablamos de un problema de programación lineal de dos variables x e y, se trata de optimizar (hacer máxima o mínima, según los casos) una función (llamada función objetivo) de la forma: F (x, y) = Ax + By sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales del tipo: ax 1 + by 1 c1 ax 2 + by 2 c2 ax n + by n cn Los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto convexo acotado (poligonal) o no acotado, llamado región factible del problema. Todos los puntos de dicha región cumplen el sistema de desigualdades. Se trata de buscar, entre todos esos puntos, denominados soluciones factibles, aquel o aquellos que hagan el valor de F (x, y) máximo o mínimo, según sea el problema. De todas esas soluciones factibles, aquellas que hacen óptima (máxima o mínima) la función objetivo se llaman soluciones óptimas. En general, un problema de programación lineal puede tener una, infinitas o ninguna solución. Pero en todo caso, lo que sí se verifica es que: Si hay una única solución óptima, ésta se encuentra en un vértice de la región factible, y si hay infinitas soluciones óptimas, se encontrarán en un lado de la región factible. Es posible que no haya solución óptima, pues cuando el recinto es no acotado, la función objetivo puede crecer o decrecer indefinidamente.
Para resolver el problema, podemos abordarlo de dos formas, pero antes a aplicar cualquiera de ellas siempre hay que dibujar la región factible, resolviendo el sistema de inecuaciones lineales correspondiente, como se ha visto anteriormente (la región factible puede estar acotada o no), y se calculan los vértices de dicha región. 4.1 Método analítico Consiste, simplemente, en sustituir cada uno de los vértices de la región factible en la función objetivo. Se tiene que: Si la función objetivo alcanza un valor máximo (o mínimo) en un único vértice, este será la solución del problema. Si el valor máximo (o mínimo) se alcanza en dos vértices, la solución serán todos los puntos del lado de la región que une esos dos vértices. Ejemplo: Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 céntimos de euro. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 céntimos de euro por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Para plantear el problema, llamemos: x = nº de impresos diarios tipo A repartidos. y = nº de impresos diarios tipo B repartidos. La función objetivo es el beneficio que obtiene del reparto: F (x, y) = 5x + 7y Las restricciones: Número máximo de impresos tipo A que caben en la bolsa 0 x 120 Número máximo de impresos tipo A que caben en la bolsa 0 y 100 Número máximo de impresos que es capaz de repartir x + y 150 En este ejemplo, la región factible es: Sus vértices son:
A = (0, 100) B = (50, 100) C = (120, 30) D = (120, 0) Los valores de la función objetivo: F (0, 100) = 5 0 + 7 100 = 700 F (50, 100) = 5 50 + 7 100 = 950 F (120, 30) = 5 120 + 7 30 = 810 F (120, 0) = 5 120 + 7 0 = 600 Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950 céntimos de euro, esto es, 9,5 euros. Ejemplo: Minimizar F (x, y) = 3x + 3y sujeta a las restricciones: x+ y 5 y x + 3 3y x 1 y + 2x 16 4y x 22 La región factible es, en este caso: Los vértices respectivos son: A = (1, 4), B = (4, 1), C = (7, 2), D = Los valores de la función objetivo: F (1, 4) = 3 1 + 3 4 = 15 F (4, 1) = 3 4 + 3 1 = 15 F (7, 2) = 3 7 + 3 2 = 27 14 20 F, 3 3 = 3 14 + 3 3 20 3 = 34 14 20, y E = 3 3 10 19, 3 3
10 19 F, 3 3 = 3 10 + 3 3 19 = 29 3 Observamos que el valor mínimo se alcanza en A y en B, y por tanto en todos los puntos comprendidos entre ellos, es decir, el problema tiene infinitas soluciones (todos los puntos del segmento AB). 4.2. Método gráfico Para llevar a cabo este método, seguiremos los siguientes pasos: a) Se representa la línea de beneficio nulo, que viene dada por la ecuación F (x, y) = 0, es decir: Ax + By = 0 b) Se dibujan las rectas de nivel, es decir, rectas paralelas a la recta de beneficio nulo, que pasan por todos los vértices de la región factible, es decir, se trazan paralelas a la recta Ax + By = 0 por todos los vértices. c) Se observa en qué vértice la función objetivo se hace máxima (o mínima), sin más que tener en cuenta cuál de las rectas tiene mayor (o menor) ordenada en el origen. Dependiendo de la función objetivo que tengamos y de la región factible en la que estemos estudiando su comportamiento, se pueden presentar distintas posibilidades, que se recogen en el siguiente cuadro (las rectas de nivel aumentan en el sentido de las flechas): Problemas de máximos SOLUCIONES Única Infinitas No tiene Problemas de mínimos Ejemplo: Maximiza y Minimiza la función F (x, y) = x + y sujeta a las restricciones: x 0 y 0 x + y 2 x+ 2y 4 La región factible es:
Los vértices son los puntos: A = (0, 2), B = (2, 0) y C = (4, 0) Trazamos (en morado) la recta de beneficio nulo (x + y = 0) y las paralelas a ella (restas de nivel), que pasan por los vértices de la región factible. Se observa gráficamente, que de las tres paralelas trazadas, la que corta al eje OY en un punto mayor es la que pasa por el punto (4, 0), que por tanto será la solución óptima al problema de máximos planteado. Para saber cuál es este valor máximo, sustituimos en la función: F (4, 0) = 4 + 0 = 4 Luego la función tiene su solución óptima en (4, 0) donde toma el valor 4. Por otra parte, la recta de nivel hace mínima la función es la que pasa por los vértices A y B, y por tanto el mínimo se presenta en todos los puntos del segmento AB. El problema tiene infinitos mínimos.