Tema 5: Sistemas de Ecuaciones y de Inecuaciones. Programación lineal. 5.1 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es de la forma: Un par de valores estas se verifiquen. es una solución del sistema de ecuaciones, si al sustituirlo en cada ecuación hace que En función del número de soluciones, un sistema de ecuaciones puede ser: 1. Compatible determinado: Si tiene una única solución. Son dos rectas que se cortan en un punto. 2. Compatible indeterminado: Si tiene infinitas soluciones. Es una misma recta. 3. Incompatible: Si no tiene soluciones. Son dos rectas paralelas. Sistema Compatible Determinado S.C.D. Sistema Compatible Indeterminado S.C.I. Sistema Incompatible S.I. Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se pueden utilizar los métodos de sustitución, igualación, reducción y gráfico: - Sustitución: Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la segunda ecuación. - Igualación: Se despeja una misma incógnita en amabas ecuaciones, y se igualan ambas ecuaciones. - Reducción: Multiplicar las ecuaciones por los números adecuados para que el coeficiente de una de las incógnitas sea el mismo en las dos ecuaciones. Posteriormente se restaran ambas ecuaciones. - Gráfico: Cada ecuación será una recta. La solución será el punto de corte. Ejemplo: Resuelve Por Sustitución: y= 2x+6 x + 3 (2x+6) = 4 x + 6x + 18 = 4 7x = -14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2 Por Igualación: 6x+18=4-x 7x=-14 x= -2 y=2 (-2)+6 y=2 Por Reducción: Restándolas -7y = -14 y=2 2x= -4 x=-2 Por método gráfico: 2x-y = -6 x+3y = 4 (-2,2) Ejercicio 1: a) b) c)
5.2 Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss. Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es de la forma: Un trío de valores estas se verifiquen. es una solución del sistema de ecuaciones, si al sustituirlo en cada ecuación hace que Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizaremos el Método de Gauss. Los pasos del Método de Gauss son: 1. Cambiar el orden de las ecuaciones o de las incógnitas para que el coeficiente de la primera incógnita en la primera ecuación sea 1 ó -1. 2. Se sustituye la segunda ecuación por una combinación lineal de ella y la primera, de forma que desaparezca la primera incógnita. Lo mismo se hace con la tercera ecuación. Se utiliza la primera para cambiar la segunda y la tercera. 3. Se cambia la tercera ecuación por una combinación lineal de ella y la segunda, de forma que desaparezca la segunda incógnita. Se utiliza la segunda para cambiar la tercera. 4. Se resuelve el sistema triangular obtenido. 5. - Si alguna de las ecuaciones es de la forma 0x + 0y + 0z = a 0 el sistema es Incompatible (Sin solución). - Si alguna de las ecuaciones es de la forma 0x + 0y + 0z = 0 el sistema es Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones). Ejemplo: Resuelve Ejercicio 2: a) b) c)
5.3 Sistemas de Inecuaciones con dos incógnitas. Inecuaciones: - Una Inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas con la forma: ó ó ó - Su solución es el conjunto números reales que la satisface. Se puede expresar como una desigualdad simple, como un intervalo o de forma gráfica. Inecuaciones con dos incógnitas: - Una inecuación con dos incógnitas es de la forma: ó ó ó - La solución de una inecuación con dos incógnitas es el semiplano que contiene al conjunto de pares de números reales que satisfacen la inecuación. - Para representar la solución de una inecuación con dos incógnitas 1. Represento la recta que cumple la ecuación ax+by=c, tomando dos puntos cualesquiera. 2. Compruebo si la recta está incluida en la solución dependiendo si la inecuación tiene el signo igual. 3. Tomo un punto exterior a la recta: a. Si está incluido en la inecuación, el semiplano (solución) irá desde la recta hacia ese punto. b. Si no está incluido, el semiplano tendrá sentido contrario. Ejemplo: Representa las soluciones de: a) Puntos de la recta x+3y=3 Si x=0 y=1 Si y=0 x=3 Si pertenece a la solución. Por lo tanto el semiplano irá desde la recta hacia el punto (0,0). b) Puntos de la recta 2x+y=2 Si x=0 y=2 Si y=0 x=1 Como la inecuación no tiene el signo igual, la recta no pertenece al semiplano de las soluciones. No pertenece a la solución. Por lo tanto el semiplano irá desde la recta, sin incluir, hacia el sentido contrario al punto (0,0). c) En este caso no necesito puntos para representar la recta x=0 Como la inecuación no tiene el signo igual, la recta no pertenece al semiplano de las soluciones. Veo si el Punto (1,1) pertenece a las soluciones de la inecuación: No pertenece a la solución. Por lo tanto el semiplano irá desde la recta, sin incluir, hacia el sentido contrario al punto (1,1). Ejercicio 3: a) b) c) Sistemas de Inecuaciones Lineales con dos incógnitas. - Un sistema de inecuaciones está formado por varias inecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente. - La solución de un sistema de inecuaciones es el conjunto de pares de números reales que satisfacen todas las inecuaciones simultáneamente. - Para resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas se dan los siguientes pasos: 1. Se representan los semiplanos soluciones de cada inecuación. 2. Se determina la intersección de los semiplanos. 3. Se determinan las coordenadas de sus vértices (donde se cortan las rectas).
Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: - La inecuación x+y 2 Puntos de la recta x+y=2 Si x=0 y=2 Si y=0 x=2 Si pertenece a la solución. Por lo tanto el semiplano irá desde la recta hacia el punto (0,0). - La inecuación Puntos de la recta x-2y=-4 Si x=0 y=2 Si y=0 x=-4 Si pertenece a la solución. Por lo tanto el semiplano irá desde la recta hacia el punto (0,0). - La inecuación En este caso no necesito puntos para representar la recta y=1 Veo si el Punto (0,0) pertenece a las soluciones de la inecuación: No pertenece a la solución. Por lo tanto el semiplano irá desde la recta, sin incluir, hacia el sentido contrario al punto (0,0). - Puntos de corte: 1. Entre las rectas: 3y=6 3y=6 y=2 x=0 A(0,2) 2. Entre las rectas: x=1 y=1 B(1,1) 3. Entre las rectas: x=-2 y=1 C(-2,1) - Representación de la solución: A (0,2) C (0,2) B (1,1) Ejercicio 4: a) b) c)
5.4 Programación Lineal. Un problema de programación lineal consta de los siguientes elementos: - Un conjunto de variables reales x e y, denominadas variables de decisión. - Una función objetivo de primer grado cuyas variables son las variables de decisión y que se pretende optimizar (hallar su máximo o su mínimo). La función objetivo es la representación matemática del objetivo general de la situación mediante se pretende tomar la mejor decisión. F(x, y) = c 1 x + c 2 y - Un conjunto de restricciones establecidas mediante relaciones lineales entre las variables del problema. - El recinto que determina la solución del sistema de inecuaciones formado por las restricciones se denomina región factible, y está formado por todos los puntos del plano que verifican todas y cada una de las restricciones (soluciones factibles). - Entre las soluciones factibles se encontrará la solución del problema, denominada solución óptima. Un problema de programación lineal puede tener ninguna, una o infinitas soluciones óptimas: o Si existe solución óptima única, esta se encuentra en uno de los vértices de la región factible. o Si tiene infinitas soluciones óptimas, estas son siempre los puntos correspondientes a un lado de la región factible. - La región factible puede ser acotada o no acotada. o Si es acotada el problema tiene al menos una solución óptima. o Si no es acotada, el problema puede no tener solución. Resolución de un problema de programación lineal: - Se representa gráficamente la región factible. - Se obtienen las coordenadas de todos los vértices de dicha región factible. - Se evalúa la función objetivo en los vértices de la región factible. - Según los resultados, el mayor corresponderá al máximo y el menor al mínimo. - Si dos vértices corresponden a un mismo valor óptimo (ya sea máximo o mínimo), el máximo o el mínimo serán todos los puntos del segmento que unen a dichos vértices. Ejemplo: Optimiza la función F(x, y) = 2x + 2y Con las siguientes restricciones: A: x=1 y=1 A (1, 1) F(A) = 4 B: y=0 x=2 B (2, 0) F(B) = 4 Máximos en el segmento AB y vale 4 dicho máximo. C: x=1 y=0 C (1, 0) F(C) = 1 Mínimo en C (1,0) y vale 1 dicho mínimo.
5 Resuelve Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones: ; ; ;. a) Represente gráficamente dicho recinto. b) Calcule sus vértices. c) Determine el máximo valor de la función en el recinto anterior y dónde se alcanza. 6 Resuelve Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones:. a) Represéntelo gráficamente. b) Calcule los vértices de dicho recinto. c) En el recinto anterior, halle los valores máximo y mínimo de la función En qué puntos se alcanzan dichos valores? 7 Resuelve Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones: a) Represéntelo gráficamente. b) Calcule los vértices de dicho recinto. c) Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función objetivo? En qué puntos se alcanzan dichos valores? 8 Resuelve a) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices: b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función, y los puntos donde se alcanzan. 9 Resuelve Se considera el recinto del plano determinado por los siguientes semiplanos: ; a) Represente el recinto y calcule sus vértices. b) Calcule los puntos del recinto donde la función alcanza el máximo y el mínimo. c) Entre qué valores varía la función en el recinto? 10 Resuelve a) Dibuje el recinto del plano definido por las inecuaciones: ; ;. b) Calcule los vértices del mismo. c) Obtenga en dicho recinto los valores máximo y mínimo de la función y los puntos donde se alcanzan. 11 Resuelve a) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices: ; b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función, y los puntos donde se alcanzan. 12 Resuelve Represente la región definida por las inecuaciones:. Calcule el máximo de en la región anterior e indique dónde se alcanza.
13 Plantea sin resolver Un fabricante de tapices dispone de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 225 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se necesita 1 Kg de hilo de seda y 2 kg de hilo de plata, y para los del tipo B, 2 kg de hilo de seda, 1kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada Tapiz del tipo A se vende a 2000 euros y cada tapiz del tipo B a 3000 euros. Si vende todo lo que se fabrica, cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio? 14 Plantea sin resolver Un barco puede transportar vehículos de dos tipos: coches y motos. Las condiciones de la nave obligan a que el número de motos no pueda ser inferior a la cuarta parte del de coches ni superior a su doble; además, la suma del número de motos más el doble del número de coches no puede ser mayor que 100. Cuántos vehículos, como máximo, puede transportar este barco? 15 Plantea sin resolver Una empresa elabora dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en una máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B necesita 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Semanalmente se dispone de 100 horas en la primera máquina y de 110 horas en la segunda. Si la empresa obtiene un beneficio de 70 euros por cada unidad de A, y de 50 euros por cada unidad de B, qué cantidad semanal de cada producto debe producir con objeto de maximizar el beneficio total? Cuál es ese beneficio? 16 Plantea sin resolver Un comerciante quiere dar salida a 400 kg de avellanas, 300 kg de nueces y 400 kg de almendras. Para ello hace dos tipos de lotes: los de tipo A contienen 2 kg de avellanas, 2 kg de nueces y 1 kg de almendras; y los de tipo B contienen 3 kg de avellanas, 1 kg de nueces y 4 kg de almendras. El precio de venta de cada lote es de 20 euros para los del tipo A y de 40 euros para los del tipo B. Cuántos lotes de cada tipo debe vender para obtener el máximo ingreso y a cuánto asciende éste? 17 Plantea sin resolver Un supermercado se abastece de gambas y langostinos a través de dos mayoristas, A y B, que le envían contenedores con cajas completas de ambos productos. El mayorista A envía en cada contenedor 2 cajas de gambas y 3 de langostinos, al precio de 350 euros el contenedor, mientras que el mayorista B envía en cada uno 1 caja de gambas y 5 de langostinos, al precio de 550 euros el contenedor. El supermercado necesita, como mínimo, 50 cajas de gambas y 180 de langostinos pudiendo almacenar, como máximo, 50 contenedores. Cuántos contenedores debería pedir el supermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades con el menor coste posible? Indique cuál sería ese coste mínimo. 18 Plantea sin resolver Un agricultor posee 10 hectáreas (ha.) y decide dedicarlas al cultivo de cereales y hortalizas. Por las limitaciones de agua no puede destinar más de 5 ha. a hortalizas. El cultivo de cereales tiene un coste de 1000 euros/ha. y el de hortalizas de 3000 euros/ha., no pudiendo superar el coste total la cantidad de 16000 euros. El beneficio neto por ha. de cereales asciende a 2000 euros y el de hortalizas a 8000 euros. Halle la distribución de cultivos que maximiza el beneficio y calcule dicho máximo. 19 Plantea sin resolver Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C. El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Esas latas de tomate se venden a 1, 1.8 y 3.3 euros respectivamente. Compramos en total 20 latas, que pesan un total de 10 kg y nos cuestan 35.6 euros. Queremos saber cuántas latas de cada fabricante hemos comprado. Plantee el sistema de ecuaciones que resolvería el problema anterior. 20 Plantea sin resolver Una empresa fabrica camisas de dos tipos, A y B. El beneficio que obtiene es de 8 euros por cada camisa que fabrica del tipo A, y de 6 euros por cada una del tipo B. La empresa puede fabricar, como máximo, 100000 camisas, y las del tipo B han de suponer, al menos, el 60% del total. Cuántas camisas debe fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?