Control por computaor Manual e la Práctica : Análisis e sistemas iscretos Jorge Pomares Baeza Fracisco Anrés Canelas Herías Grupo e Innovación Eucativa en Automática 009 GITE IEA - -
Introucción En la práctica se ha obtenio la respuesta e un sistema igital ante istintos valores e las constantes e un controlaor PID. La respuesta e un sistema viene aa por la ubicación e los polos e la función e transferencia en bucle cerrao en el plano z. De esta manera, estuiano la localización e ichos polos en el sistema controlao es posible eterminar si un sistema es o no estable. En esta práctica se va a analizar no solo la respuesta temporal e un sistema, sino también su régimen permanente. Objetivos Analizar la respuesta temporal e un sistema e seguno oren. Describir la relación entre la respuesta e un sistema e seguno oren iscreto y el corresponiente continuo. Repasar los principales conceptos relativos a la estabilia e un sistema iscreto. Determinar el error en régimen permanente e un sistema e seguno oren iscreto.. Funciones e transferencia En la práctica se estuió la respuesta e un motor e corriente continua, cuyo esquema se ha representao en la Figura, frente a la utilización e istintos controlaores PID. Según se obtuvo en icha práctica, la función e transferencia en el ominio z es la que se muestra a continuación (perioo e muestreo 0,0): G s 7, 55086 0 0.000347z + 0.0003466 G ( z) = = s + 3 ( 0, 00854 s 5, 6933 0 ) z.995z+ 0.9948 Figura. Esquema e un motor controlao por inucio. El iagrama e bloques el sistema con regulaor será el siguiente: r(k) + - e(k) G c (z) G(z) Figura. Sistema controlao con realimentación unitaria. - -
Recoremos que la función e transferencia e tiempo continuo para un controlaor PID es: = + + / G s K s K K s C P D I existen varios métoos para la conversión e funciones e transferencia el plano s al plano z. La función c e Matlab no puee aplicarse en este caso ya que no se puee obtener la función e transferencia el filtro PID e este moo porque la función e transferencia iscreta tenría más ceros que polos, lo cual no es realizable. En su lugar usaremos la transformación bilineal, efinia e la siguiente manera: z s = T z+ s Por lo que poemos erivar el controlaor PID iscreto con el mapeo por la transformación bilineal. De la misma manera, el comano cm e Matlab puee emplearse para convertir el compensaor PID e tiempo continuo al compensaor PID iscreto usano el métoo "tustin". El métoo "tustin" emplea la aproximación bilineal para la conversión a tiempo iscreto e la erivaa. Para aplicar la conversión pueen emplearse el siguiente comano: [encz,numcz]=cm([ 0],[K Kp Ki],Ts,'tustin'); Note que el numeraor y el enominaor en el comano cm se invirtieron. La razón es porque función e transferencia PID no es propia. Matlab no permite esto. Intercambiano el numeraor y el enominaor el comano cm puee ser engañao para evolver la respuesta correcta. Consierano numz y enz el numeraor y el enominaor e la función e transferencia iscreta e la planga, G(z), la función e transferencia en bucle abierto puee obtenerse multiplicano G(z) por la función e transferencia iscreta el controlaor G c (z). numaz = conv(numz,numcz) enaz = conv(enz,encz) Finalmente, la función e transferencia en bucle cerrao puee obtenerse empleano el comano cloop o feeback: [numaz_cl,enaz_cl] = cloop(numaz,enaz); Cuestión. Consierano únicamente una ganancia proporcional unitaria (es ecir PID con K p =, K i =0 y K =0, por lo tanto, G c (z) = ), obtener los polos y ceros e la función e transferencia iscreta en bucle cerrao, G bc (z), y representarlos en el plano z. (El valor e los polos y ceros pueen obtenerse respectivamente con las funciones pole y zero e Matlab y la función pzmap representa ichos polos en el plano z). Qué se puee afirmar en cuanto a la estabilia a partir e la anterior representación?. La respuesta temporal e un sistema e seguno oren viene aa por una serie e parámetros: - 3 -
ω n. Frecuencia natural no amortiguaa. Mie la rapiez el sistema. ω. Frecuencia natural amortiguaa. Al igual que el anterior parámetro, mie la rapiez el sistema. ξ. Coeficiente e amortiguamiento. Mie la estabilia relativa. Este parámetro proporciona información acerca e la estabilia el sistema. Cuano 0 < ξ <, los polos el sistema en bucle cerrao, son complejos conjugaos y quean entro el círculo unia (por lo tanto, el sistema es estable). Se ice entonces que el sistema está subamortiguao, y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si ξ =, se ice que el sistema está críticamente amortiguao. Los sistemas sobreamortiguaos corresponen a ξ >. La respuesta transitoria e sistemas críticamente amortiguaos y sobreamortiguaos, no oscila. Si ξ = 0 la respuesta transitoria no se extingue. Por lo tanto, a menor valor e ξ más oscilante será su comportamiento. σ. Factor e ecrecimiento. Mie lo rápio que se acaba el transitorio. Se puee obtener el valor e estos parámetros a partir e la localización e los polos y ceros y las siguientes relaciones: Im Im( z) Re( z) z = Re z + z = e z = arctg = Tω σ ξ = ω ξ σ ωn = ξ Tσ Cuestión. Obtener el valor e los parámetros ω n, ω, ξ y σ para la función e transferencia, G bc (z). Qué se puee afirmar en cuanto a la estabilia observano el valor e ξ? A partir e los anteriores parámetros es posible obtener los tiempos que efinen el comportamiento el régimen temporal e un sistema e seguno oren: π Tiempo e pico: t p =. ω Tiempo e establecimiento: t s ω Sobreoscilación: M = e 00 p σπ π σ Cuestión 3. Calcular el tiempo e pico, e establecimiento y la sobreoscilación para el sistema G bc (z) en bucle cerrao. A continuación obtener la salia real el sistema hacieno uso el programa esarrollao en la práctica y comprobar que los tiempos calculaos teóricamente se corresponen con los observaos en la práctica. Consierano G c (z) = se tiene el siguiente sistema igital: - 4 -
r(k) R(z) e(k) E(z) G(z)=G c (z) G e (z) Y(z) F.T. e bucle abierto Figura 3. Sistema igital con realimentación unitaria. Se efine el error el sistema como la iferencia: E(z)= R(z)-Y(z) La transformaa E(z) se puee eterminar como: E(z)= R(z)-Y(z)= R(z)- G(z) E(z) E(z)+ G(z) E(z) = R(z) E( z) = R( z) + Gz Si el sistema es estable, la salia queará acotaa, y el error también. Entonces el error se puee calcular por el teorema el valor final: z e = lim e( k) = lim z E( z) k e = lim z R( z) z + Gz z Secuencia escalón Z {,,,,... } = = -z z Rz = Tz Secuencia rampa Z { 0, T, T,3 T,... } = ( z ) Cuestión 4. Calcular el error en régimen permanente en posición (entraa escalón) y velocia (entraa en rampa) el sistema igital. - 5 -