DISEÑO DE UNA APLICACIÓN EN MATLAB PARA AJUSTE DE REGULADORES PID A PARTIR DEL LUGAR DE LAS RAICES

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1 DISEÑO DE UNA APLICACIÓN EN MALAB PARA AJUSE DE REGULADORES PID A PARIR DEL LUGAR DE LAS RAICES José Luis Calvo Rolle Departamento e Ingeniería Inustrial, Universia e La Coruña, jlcalvo@cf.uc.es Ángel Alonso Álvarez Departamento e Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Universia e León, ieaaa@unileon.es Ramón Ferreiro García Departamento e Ingeniería Inustrial, Universia e La Coruña, ferreiro@uc.es Anrés Piñón Pazos Departamento e Ingeniería Inustrial, Universia e La Coruña, anrespp@cf.uc.es Francisco Javier Pérez Castelo Departamento e Ingeniería Inustrial, Universia e La Coruña, javierpc@uc.es Isaías García Roríguez Departamento e Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Universia e León, iafigr@unileon.es Carmen Benavies Cuellar Departamento e Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Universia e León, carmen.benavies@unileon.es Resumen En el presente trabajo se pretene mostrar una aplicación realizaa en el entorno e Matlab para el iseño e regulaores PID por el métoo el lugar e las raíces. Palabras Clave: Regulaores, Lugar e las raíces, PID. INRODUCCIÓN En este ocumento se pretene aborar la explicación e una aplicación esarrollaa en Matlab basaa en la metoología empleaa en el iseño e regulaores PID meiante el empleo el lugar e las raíces, técnica muy utilizaa en el ámbito acaémico por tener una resolución relativamente sencilla en sistemas no complejos, y que permite obtener unas especificaciones eterminaas. Entre 948 y 950 Walter Evans obtuvo el métoo e iseño basao en el lugar e las raíces con el cual es posible iseñar sistemas con unos requerimientos específicos. En palabras el propio autor "el lugar e las raíces etermina toas las raíces e la ecuación iferencial e un sistema e control por meio e una representación gráfica, la cual permite una síntesis rápia e la respuesta transitoria o frecuencial eseaa". El métoo e Evans cuenta con la limitación e no poer aborar el análisis e sistemas con retraso puro y la ifícil estimación e la respuesta temporal e sistemas con istribuciones ispersas e polos y ceros. A su favor, aporta un métoo gráfico e estimar la influencia e variaciones en los parámetros el sistema, o el regulaor sobre la estabilia y el comportamiento inámico e los sistemas El iseño se basa en suponer que la función e transferencia el sistema realimentao se puee reucir, a una que tan solo incluya sus polos ominantes. Si se supone que esto es posible, se imponen las especificaciones inámicas e iseño e ichos polos ominantes, lo que a lugar a una región el plano complejo en one es posible ubicar ichos polos. Bajo el mismo entorno creao, se contempla la posibilia e obtener regulaores más sencillos conseguios por el mismo métoo. 2 FUNDAMENO DE LA APLICACIÓN La aplicación ha sio creaa con la finalia e que sirva e apoyo a la ocencia e la asignatura e Regulación Automática, o asignaturas en las que se abore el iseño e regulaores convencionales ese las topologías más simples (regulaor proporcional) hasta las más complejas (regulaor PID). Será necesaria la introucción e unos atos e partia que son los que se inican seguiamente: - Función e transferencia e la planta a controlar. - Función e transferencia el sensor (bloque e la caena e realimentación) si ispone e el (en caso contrario valor ).

2 - Especificaciones eseaas para el sistema regulao. En los sucesivos subapartaos se comentan los flujogramas seguios en la programación e la aplicación para los iferentes controlaores. 2. REGULADOR PROPORCIONAL Es la regulación más sencilla, y por lo tanto con limitaciones. Su función e transferencia es la e la expresión. ( S) = k () Para calcular el ángulo que aporta el cero el PD al sistema sin compensar para que el LDR pase por los polos ominantes, se utilizará el criterio e argumentos. El valor e (cero el PD) se obtenrá aplicano la expresión 3: ω = σ + tg( θ ) z (3) one θz es el ángulo que aporta el cero el PD. Una vez obtenio el valor e, sólo quea eterminar el valor K, lo cuál se hará aplicano el criterio e móulos. El regulaor se ajusta a un valor e k. Al aumentar k, se isminuye el error y, por tanto, se mejora el régimen permanente y la precisión, pero se puee empeorar el transitorio al introucir más oscilación en el sistema, y viceversa si se isminuye k. G () s = K ( + s) R ω ω tg( θz ) = = σ + σ tg( θz) Su acción e control se ice que es actual : necesita la presencia e la señal e error e(t) y está suborinaa a su valor en caa instante. En este tipo e regulaor sólo se necesita aumentar o isminuir la ganancia, en función e las especificaciones eseaas. Únicamente consta e un parámetro, la ganancia (k), que se eterminará por meio el criterio e móulos. 2.2 REGULADOR PD La función e transferencia e este tipo e regulaor es la inicaa en la expresión 2. ( ) ( S) = k + S (2) sieno / el cero real negativo (raíz el numeraor e la función e transferencia) introucio al sistema e control y k la ganancia. Con este regulaor, al sistema se le añae un cero real negativo en caena abierta, por lo cual las ramas el Lugar e las Raíces se va hacia la izquiera, estabilizánose el sistema y la señal controlaa y(t) evoluciona más rápiamente que si el regulaor fuera sólo e tipo proporcional. Su acción e control se ice que es e futuro : prevé el error tenieno en cuenta su tenencia e crecimiento o ecrecimiento, pero cuano el error es constante no ejerce ninguna acción sobre el sistema. El regulaor PD se utilizará para hacer pasar el LDR por los polos ominantes y que proporcionen las especificaciones eseaas. En la figura se explica, meiante un flujograma, la eterminación e los parámetros e icho regulaor: y K. Figura. Determinación e los parámetros e un regulaor PD 2.3 REGULADOR PI Su función e transferencia es la inicaa en la expresión 4 + S i ( S) = k S (4) Con éste regulaor, al sistema se le añae en caena abierta un cero real negativo en /i y un polo (raíz el enominaor e la función e transferencia) en el origen. Si ambos están muy próximos, el Lugar e las Raíces prácticamente no se ve afectao y, por tanto, tampoco el régimen transitorio. Aemás, el polo en el origen hace que el tipo e sistema aumente y, con ello, mejora el régimen permanente al isminuir o eliminar el error y aumentar la precisión. Su acción e control se ice que es e pasao : aumenta tenieno en cuenta los valores anteriores e la señal e error, permanecieno constante aún cuano ésta se anula. Este tipo e regulaor se utilizará para corregir el error en régimen permanente, ya que aumenta el tipo e sistema y por lo tanto, si el error es istinto e infinito, lo anulará. En el siguiente flujograma (figura 2) se explicará la obtención e sus parámetros característicos: iy K. El valor e i se obtiene e la expresión 4:

3 = σ 6 i (4) ( + i s)( + s) () s = K s i + i s ( s) = K i s σ i 6 ω ω tg( θz ) = = σ + σ tg( θ z) Figura 2. Determinación e los parámetros e un regulaor PI = σ 6 i 2.4 REGULADOR PID IDEAL Este tipo e regulaor se puee ecir que es una combinación e los os anteriores. Su función e transferencia es la inicaa en la expresión 5 ( S) = k + ( + S) i S (5) Este tipo e regulaor suele ser el más efectivo. Con la consieración anterior se supone que el cero introucio por el regulaor PI está mucho más cerca el origen que el cero introucio por el regulaor PD. Con éste tipo e regulaor se consigue mejorar el régimen permanente el sistema, gracias al PI, y su transitorio, gracias al PD. Este tipo e regulaor, integra en un solo regulaor las características e los os regulaores anteriores, el PI y el PID, ya que hace pasar el LDR por los polos ominantes y a su vez también corrige la especificación el error en régimen permanente. La figura 3 explica la obtención e sus parámetros característicos K, i y, por meio e un flujograma. Como se puee observar en icho flujograma, el regulaor PID es una síntesis entre un regulaor PD y un regulaor PI. Figura 3.Determinación e los parámetros e un PID 3 LA APLICACIÓN La aplicación posee un menú inicial en el que se selecciona el tipo e controlaor que se pretene calcular. La apariencia e este menú es la que se muestra en la figura 4, en la que en tipo e controlaor se ha seleccionao un PID ieal. Figura 4.Menú principal ras haber pulsao el botón continuar, aparece el cuaro e iálogo e la figura 5, que es en el que se van a inicar los atos e partia, así como se van a obtener en el mismo los resultaos obtenios.

4 4 EJEMPLO Se supone como ejemplo el sistema mostrao en la figura 6, que posee un bloque en la caena irecta (planta) y otro en la inversa (sensor) Figura 5.Menú principal En el cuaro e relieve Función e transferencia (ft) se introucen las funciones e transferencia e la planta y el sensor. anto los coeficientes el numeraor como el enominaor e ambos, se introucirán en oren ecreciente y separaos por espacios. En el panel Especificaciones eseaas, se introucirán las especificaciones eseaas por el usuario en las uniaes que se inican en el propio panel. Más abajo, en el panel ipo e error, se introucirá el tipo e error a controlar cuyo valor máximo se inica en el cuaro anterior comentao. El botón CALCULAR sirve para calcular los parámetros el regulaor eseao una vez se introuzcan tanto las ft s como las especificaciones eseaas. El resultao e los cálculos, es ecir, los parámetros el regulaor se muestran en el panel Parámetros el regulaor. En ese mismo panel también se inica el tipo e regulaor que se está empleano y la función e transferencia el mismo. Figura 6.Sistema ejemplo Las especificaciones eseaas son las que se resumen seguiamente: - iempo e pico = iempo e establecimiento = iempo e respuesta = Sobreoscilación = 50 - Error = 0 ras haber ejecutao la oren e cálculo, se obtienen los siguientes parámetros para el regulaor: K = 42.6 ; i =.5; = 0.02 Si se visualiza el lugar e las raíces el sistema sin regular y el regulao simultáneamente, aemás e la ubicación eseaa e los polos ominantes, el resultao obtenio es el que se muestra en la figura 7: LDR el sistema El botón Ver LDR sirve para ver el LDR tanto el sistema compensao como el sistema sin compensar. Imaginary Axis 20 0 En los menús espegables se muestran os opciones: Archivo Señales En Archivo sólo hay la opción e salir e la aplicación. En Señales hay la opción e ver la respuesta, tanto el sistema compensao como sin compensar, ante una entraa escalón Real Axis Figura 7.Lugar e las raíces el sistema regulao, sin regular y ubicación e los polos ominantes Si se visualiza ahora la respuesta ante entraa escalón para el sistema sin regular y el regulao, el resultao es el mostrao en la figura 8:

5 6 5 4 Respuesta ante entraa escalón Agraecimientos Los autores esean expresar su agraecimiento por el soporte financiero proporcionao por el MICY entro el plan nacional e I+D+i al proyecto DPI Amplitue 3 2 Referencias ime (sec) Figura 8.Respuesta ante entraa escalón el sistema regulao y sin regular. [] Améstegui Moreno, M. Apuntes e control PID. Universia Mayor e San Anrés. La Paz Bolivia. 200 [2] Barrientos, Antonio Control e Sistemas Continuos, Mc Graw Hill CONCLUSIONES El métoo e iseño e regulaores a partir el lugar e las raíces es un métoo e una gran potencia en cuanto a la obtención e un regulaor para unas especificaciones eseaas eterminaas. Posee os inconvenientes funamentales: el primero e ellos es ebio a la imposibilia e representar en el lugar e las raíces sistemas con retaro puro, que son muy frecuentes en la práctica. En seguno lugar es necesario mencionar que se necesita un conocimiento muy etallao el sistema para poer realizar el iseño el regulaor, hecho que no siempre es posible. Pero en plantas en las que no se e algunos e estos os casos se puee emplear con resultaos muy satisfactorios, como en el ejemplo expuesto en el presente ocumento. La aplicación esarrollaa a buenos resultaos para toos los tipos e regulaor que contempla, y resulta e utilia a los alumnos para realizar ejercicios e autocomprobación. [3] Fraile Mora, Jesús Curso e ingeniería e control, Servicio e Publicaciones E..S. Ingenieros e Caminos Canales y Puertos 987. [4] Gómez Campomanes, José Automática. Análisis y iseño e los sistemas automáticos e control. omos y 2, Jucar. Mari 986. [5] Katsuhiko Ogata, Ingeniería e Control Moerna. E. Prentice Hall Pearson Eucation [6] MathWorks, Creating Graphical User Interfaces. E. he MathWorks, Inc [7] Oliver Charlon, Francisco Carlos eoría abreviaa y problemas resueltos e sistemas lineales e control, Copi Belén, 999. [8] Paul H. Lewis y Chang Yang, Sistemas e control en ingeniería, Prentice Hall, Inc., Mari 999.